文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（上海高考专用）
黄金卷03
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．（4 分）若关于 x 的不等式|x+1|＜6﹣|x﹣m|的解集为 ，则实数 m 的取值范围是 （﹣∞，﹣
7] ∪ [5 ， +∞ ） ． ∅
【分析】利用绝对值的几何意义求得|x+1|+|x﹣m|的最小值为|m+1|，结合题意可得|m+1|≥6，由此求得实
数m的取值范围．
【解答】解：由于关于x的不等式|x+1|+|x﹣m|＜6的解集为 ，
而|x+1|+|x﹣m|表示数轴上的x对应点到﹣1、m对应点的距离∅之和，它的最小值为|m+1|，
故有|m+1|≥6，∴m+1≥6，或m+1≤﹣6，求得m≤﹣7，或m≥5，
故答案为：（﹣∞，﹣7]∪[5，+∞）．
【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．
2．（4分）在△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠A＝60°，M为△ABC的外心，若 ，λ，
μ∈R，则 ＝ 7 ．
【分析】令边AB，AC中点分别为D，E，将 分别用 和 表示，再与 求数量
积即可列式计算作答．
【解答】解：如图，设边AB，AC中点分别为D，E，连接DM，EM，
因为点M为△ABC的外心，于是DM⊥AB，EM⊥AC，
所以 ， ， ，
所以 ， ，依 题 意 ， ，
，
解得 ，
所以 ＝7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，属于中档题．
3．（4分）已知等比数列{a }的前n项和为S ，且满足2S ＝2n+1+λ，则实数λ的值是 ﹣ 2 ．
n n n
【分析】结合等比数列的前n项和的特点及已知即可求解．
【解答】解：由2S ＝2n+1+λ可得S ＝2n+ λ，
n n
因为等比数列的前n项和S ＝ ＝ ，（q≠1），
n
所以， ＝﹣1即λ＝﹣2．
故答案为：﹣2
【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和公式的应用，解题的关键是弄清楚和公式的特点．
4．（4分）已知tan（π+α）＝2，则sin2α＝ ．
【分析】结合诱导公式及二倍角公式即可求解．
【解答】解：因为 tan（π+α）＝tanα＝2，
所以 sin2α＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用三角函数的诱导公式是解决本题的关键．
5．（4分）若函数y＝ 的值域为{y|y≠2}，则实数a的值为 2 ．
【分析】分离常数得出 ，根据x≠﹣2即可得出该函数值域为{y|y≠a}，从而得出a的值．【解答】解： ，
∵x≠﹣2，
∴y≠a，
又该函数的值域为{y|y≠2}，
∴a＝2．
故答案为：2．
【点评】考查函数值域的定义及求法，反比例函数的值域，以及分离常数法的运用．
6．（4分）设复数2﹣i和3﹣i的辐角主值分别为α，β，则α+β＝
【分析】先确定复数2﹣i和3﹣i的辐角主值所在区间，再利用三角恒等变换求解．
【解答】解：∵复数2﹣i和3﹣i对应的点分别为（2，﹣1），（3，﹣1），
∴ ＜α＜2π， ＜β＜2π；
∴ ＜α+β＜4π；
∵tanα＝﹣ ，tanβ＝﹣ ，
∴tan（α+β）＝ ＝﹣1，
∴α+β＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了复数的三角形式的应用及三角恒等变换的应用，属于中档题．
7．（5分）已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a＝0表示圆，则a＝ ﹣ 1 ．
【分析】由圆的一般方程的特征可得a2＝a+2，解出a的值，再代入检验即可．
【解答】解：由题意可得a2＝a+2，
解得a＝﹣1或2，
当a＝﹣1时，方程为x2+y2+4x+8y﹣5＝0，表示圆，
当a＝2时，方程为4x2+4y2+4x+8y+10＝0，不表示圆，
所以a的值为﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了圆的一般方程，考查了学生的运算求解能力，是基础题．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝3，c＝4，则cosA＝ ，
△ABC的面积是 ．
【分析】由已知结合余弦定理可求cosA，进而可求sinA，然后代入三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：因为a＝2，b＝3，c＝4，
由余弦定理可得，cosA＝ ，
所以sinA＝ ，
∴S ＝ ＝ ＝
ABC
△
故答案为： ，
【点评】本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于基础试题．
9．（5分）已知一组数据为﹣3，5，7，x，11，且这组数据的众数为5，那么该组数据的中位数是 5 ．
【分析】根据题意，由数据的众数为5可得x的值，由中位数的定义把这组数据从小到大排列，分析可
得答案．
【解答】解：根据题意，数据为﹣3，5，7，x，11的众数为5，即5出现的次数最多，则x＝5，
把这组数据从小到大排列，得﹣3，5，5，7，11，
则数据的中位数是5，
故答案为：5．
【点评】本题考查众数、中位数的计算，关键是求出x的值，属于基础题．
10．（5分）若多项式x2+x10＝a +a （x+1）+ +a （x+1）9+a （x+1）10，则a ＝ ﹣ 12 0 ．
0 1 9 10 3
【分析】由x2+x10＝[（x+1）﹣1]2+[（x+1⋯）﹣1]10＝a +a （x+1）+ +a （x+1）9+a （x+1）10，则a
0 1 9 10 3
⋯
，得解．
【解答】解：由x2+x10＝[（x+1）﹣1]2+[（x+1）﹣1]10＝a +a （x+1）+ +a （x+1）9+a （x+1）10，
0 1 9 10
⋯
则a ＝﹣120，
3
故答案为：﹣120．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，属基础题．11．（5分）已知△ABC的边AC＝2，且 ，则△ABC的面积的最大值为 ．
【分析】首先根据三角恒等变形和正弦定理变形得到 ，再利用三角形面积公式得
，再转化为三角函数的性质，
求函数的最大值．
【解答】解：由题意，设△ABC中角A，B，C所对应的边长度分别为a，b，c，则有b＝2，
由 ，可得 ，
整理得3cosAsinB+2sinAcosB＝sinAsinB，
∴cosAsinB+2sin（A+B）＝sinAsinB，
∵A+B+C＝π，∴cosAsinB+2sinC＝sinBsinA，
∴2sinC＝sinB（sinA﹣cosA），
由正弦定理可得2c＝b（sinA﹣cosA）＝2（sinA﹣cosA），
∴c＝sinA﹣cosA＞0，则有 ．
故△ABC的面积
＝sinA（sinA﹣cosA）＝sin2A﹣sinAcosA
＝ ．
∵ ，∴ ，
当 时，△ABC的面积S取得最大值 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查三角函数和解三角形相结合的综合应用，本题的关键是利用三角恒等变形和正弦定理
得到 ，为后面转化为关于A的三角函数求最值奠定基础，属中档题．
12．（5分）下列命题中：
（1）两个底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面体是棱台；
（2）夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；
（3）利用斜二测画法画平行四边形的直观图，直观图可能是梯形；（4）存在四个面都是直角三角形的三棱锥．
说法正确的有 1 个．
【分析】由棱台的定义可判断A；由旋转体的结构特征可判断B；由斜二测画法的规则可判断C；举特
例即可说明D．
【解答】解：对于（1），两个底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面体中，侧棱延长后不一定会
相交，所以该几何体不一定是棱台，故错误；
对于（2），当两个平行截面不平行于圆柱的底面时，夹在平行截面间的几何体不是一个旋转体，故错
误；
对于（3），根据斜二测画法画直观图可知，平行性不变，因此平行四边形的直观图仍是平行四边形，
故错误；
对于（4），如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，则四面体的四个面都是直角三角形，
故正确，
即说法正确的有1个，
故答案为：1
【点评】本题考查了棱锥、棱柱的结构特征，斜二测画法规则以及垂直关系的判断，属于中档题．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）
13．（4分）设集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义P Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P Q中元素的
个数为（ ） ⊗ ⊗
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由集合的定义代入写出所有元素即可．
【解答】解：由题意知，
P Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}＝{（3，6），（3，7），（4，6），（4，7），（5，6），（5，
7）⊗}，
共有6个元素，
故选：D．【点评】本题考查了集合的性质及新定义的应用，属于基础题．
14．（4分）对三组数据进行统计，获得以下散点图．关于其相关系数依次是 r ，r ，r ，则它们的大小关
1 2 3
系 是 （ ）
A．r ＞r ＞r B．r ＞r ＞r C．r ＞r ＞r D．r ＞r ＞r
1 3 2 1 2 3 2 1 3 3 1 2
【分析】由图分析得到正负相关即可．
【解答】解：由题意得，
第一组数据线性相关，且正相关，
第二组数据线性相关，且负相关，
第三组数据无相关关系，
故r ＞r ＞r ，
1 3 2
故选：A．
【点评】本题考查了变量相关关系的判断，属于基础题．
15．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx﹣ ）（ω＞0）在区间[0， ]上的最大值为 ，则实数ω的取
值个数最多为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】分两种情况研究 ω 的取值，当 时，可得 ，求出 ω 的值；
时，得到 ，构造两个函数 ，
，利用两个函数图象的交点进行分析判断，即可得到答案．
【解答】解函数f（x）＝sin（ωx﹣ ）（ω＞0）在区间[0， ]上的最大值为 ，
当 ，即 时，f（x）的最大值为 ，解得ω＝3，当 ，即 时，f（x）的最大值为 ，
令 ， ，作出图象如图所示，
由图象可知，y＝g（ω），y＝h（ω）的图象有两个交点A（ω ，y ），B（ω ，y ），
1 1 2 2
所以方程 有两个实根ω ，ω ，又 ，所以 ，
1 2
所以此时存在一个实数ω＝ω 满足题意．
1
综上所述，存在两个正实数ω满足题意．
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数最值的应用，主要考查了分类讨论思想的应用以及数形结合方法的应用，
考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
16．（5分）若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）＝0的解”是真命题，则下列命题中是真命
题的为（ ）
A．方程f（x，y）＝0表示的曲线是C
B．方程f（x，y）＝0是曲线C的方程
C．方程f（x，y）＝0的曲线不一定是C
D．以方程f（x，y）＝0的解为坐标的点都在曲线C上
【分析】利用方程与曲线的关系进行判断即可．
【解答】解：由于不能判断以方程f（x，y）＝0的解为坐标的点是否都在曲线C上，
即曲线C可能只是方程f（x，y）＝0所表示的曲线上的某一小段，
故方程f（x，y）＝0的解的曲线不一定是C，
则也不能推出曲线C是方程f（x，y）＝0的轨迹，
故选项A，B，D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了曲线与方程的关系的判断，掌握曲线与方程的相关关系是解题的关键，属于基础题．三、解答题（本大题共有6题，满分78分）
17．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，PB＝PD＝2，PA＝
，E为PA的中点．
（1）证明：PC∥平面BED；
（2）求三棱锥P﹣BCE的体积；
（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
【分析】（1）由题意，根据线面平行的判定定理，可得答案．
（2）由题意，根据三棱锥的体积转化，根据线面垂直判定定理，可得答案．
（3）由题意，根据二面角的平面角，采用几何法，可得答案．
【解答】（1）证明：如图，连接AC，交于BD于O点，连接EO，易知O为AC中点．
∵E为PA的中点，∴EO∥PC．∵EO 平面BED，PC 平面BED，
∴PC∥平面BED． ⊂ ⊄
（2）解：因为E是PA的中点，所以V ＝V ＝ V ＝ V ．
三棱锥P﹣BCE 三棱锥C﹣PEB 三棱锥C﹣PAB 三棱锥B﹣APC
∵∠BAD＝60°，知△ABD为等边三角形，
又因为PB＝PD＝AB＝AD＝2知，△ABD≌△PBD，
∴ ，
又 ，即PO⊥AC，
故 ．
∵底面ABCD是菱形，∴BO⊥AC，
又O为等边三角形PBD的边BD的中点，故BO⊥PO，
而PO∩AC＝O，PO，AC 平面APC，
⊂∴BO⊥平面APC．
∴ ．
（3）解：如图，过点A作AM⊥PB，垂足为M，连接CM．
∵PO⊥AC，O为AC中点，∴PA＝PC．
又AB＝BC，PB＝PB，∴△ABP≌△CBP．
∴AM＝CM，CM⊥PB，故∠AMC为二面角A﹣PB﹣C的平面角．
∵ ，
由 ，得 ．
∵ ，
在△AMC中， ，
∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为 ．
【点评】本题主要考查线面平行的证明，棱锥体积的求法，二面角的求法，考查运算求解能力，属于中
档题．
18．（14分）已知f（x）＝ ．
（1）判断并证明函数y＝f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明函数y＝f（x）在区间（2，+∞）上的单调性；
（3）根据函数y＝f（x）的性质，画出函数y＝f（x）的大致图像．【分析】（1）先分析函数的定义域，再分析f（﹣x）、f（x）的关系，即可得结论；
（2）根据题意，利用作差法分析可得结论；
（3）根据题意，由（1）（2）的结论，分析可得函数的图象．
【解答】解：（1）f（x）＝ 为偶函数，
证明：f（x）＝ ，其定义域为{x|x≠±2}，
f（﹣x）＝ ＝f（x），故f（x）为偶函数；
（2）f（x）＝ 在（2，+∞）上的单调递增，
证明：设2＜x ＜x ，则f（x ）﹣f（x ）＝ ﹣ ＝ ，
1 2 1 2
由于2＜x ＜x ，则有f（x ）﹣f（x ）＜0，
1 2 1 2
则函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，
（3）函数f（x）的图象如图：【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，涉及函数的图象，属于基础题．
19．（14分）某商场计划在国庆节开展促销活动，准备了游戏环节，主持人准备一枚质地均匀的骰子，掷
到奇数和偶数的概率各为 ，游戏要求顾客掷2n（n∈N*）次骰子，每次记录下点数为奇数还是偶数．
（1）若正好有n次的点数为偶数，则顾客获得一个价值50元的红包作为顾客，你认为n＝1和n＝2哪
种情况更有利于你获得红包？
（2）投掷2n次骰子后，若掷出偶数的次数多于奇数，则顾客获得一张100元的消费券；掷出偶数的次
数等于奇数，则顾客获得一张50元的消费券；掷出偶数的次数少于奇数，则顾客获得一张10元的消费
券．
（ⅰ）当n＝2时，记顾客获得的消费券为X元，求随机变量X的数学期望；
（ⅱ）记“掷2n次骰子，掷出偶数的次数多于奇数”的概率为P ，求P （直接写出P 表达式即可）
n n n
【分析】（1）通过二项分布得出概率；
（2）利用随机变量得概率分布列得出期望，解决问题．
【解答】解：（1）掷2次骰子，掷出1次偶数的概率为 ，
掷4次骰子，掷出2次偶数的概率为 ，
所以n＝1更有利于顾客获得红包．
（2）（ⅰ）当n＝2时，记顾客获得的消费券为X元，X可取10，50，100．
当掷出2次偶数时，2次奇数时，X＝50，所以P（X＝50）＝ ；
当掷出4次偶数，或者3次偶数1次奇数时，X＝100，所以P（X＝100）＝（ ）4+＝ ；
当掷出4次奇数，或者3次奇数1次偶数时，X＝10，所以P（X＝10）＝（ ）4+ ＝
，
所以随机变量X的数学期望是50× +100× +10× ＝ ．
（ⅱ）掷出偶数的次数等于奇数的概率为 ＝ ，又掷到奇数和偶数的概率各
为 ，
所以掷出偶数的次数多于奇数的概率等于掷出偶数的次数少于奇数的概率，所以P ＝ （1﹣ ）
n
＝ ﹣ ．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列及期望，是中档题．
20．（18分）抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上的一点，已知以F为圆心，FA
为半径的圆F交l于B，D两点．
（1）若∠BFD＝90°，△ABD的面积为 ，求p的值及圆F的方程；
（2）若直线y＝kx+b与抛物线C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，准线l与y轴交于点S，点S关于直线
PQ的对称点为T，求|FT|的取值范围．
【分析】（1）由焦半径和圆的半径得到 ，结合△ABD面积求出p＝2，圆F的方程为x2+（y﹣1）2＝8；
（2）表达出 关于直线PQ的对称点的坐标，利用垂直关系列出方程，求出 b＝2p，从而利
用两点间距离公式表达出 ．
【解答】解：（1）由对称性可知：∠BFD＝90°，FS＝BS＝DS＝p，
设A（x ，y ），由焦半径可得： ，
A A
，
解得：p＝2，
圆F的方程为：x2+（y﹣1）2＝8．
（2）由题意得：直线PQ的斜率一定存在，其中 ，
设 关于直线PQ的对称点为T（m，n），
则 ，解得： ，
联立y＝kx+b与x2＝2py得：x2﹣2pkx﹣2pb＝0，
设P（x ，y ），Q（x ，y ），
1 1 2 2
则x +x ＝2pk，x x ＝﹣2pb，
1 2 1 2
则 ，
则 ，
﹣2pb（1+k2）+2pk2b+b2＝﹣2pb+b2＝0，
解得：b＝0（此时O与P或Q重合，舍去）或b＝2p，
所以＝ ∈（p，4p]．
【点评】本题主要考查圆锥曲线方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，
属于中等题．
21．（18分）设函数 ．
（1）求函数f （x）在点（1，f （1））处的切线方程；
3 3
（2）证明：对每个n∈N*，存在唯一的 ，满足f （x ）＝0；
n n
（3）证明：对于任意p∈N*，由（2）中x 构成的数列{x }满足 ．
n n
【分析】（1）求出导函数，然后求解导数值即切线斜率，代入点斜式方程即可求解；
（2）根据f′（x）＞0，得函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，又f （1）＞0， ，根据零
n
点存在性定理可证；
（3）由f （x）在（0，+∞）上单调递增，可得x ＜x ，再f （x ）减f （x ）变形化简，利用放
n+1 n+1 n n+p n+p n n
缩法得证．
【解答】解：（1） ，所以 ，
所以 ，
又 ，
所以函数f （x）在点（1，f （1））处的切线方程为 ，即 ；
3 3
（2）证明：对每个n∈N*，当x＞0时，
由函数 ，
可得 ，
故函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．由于f （1）＝0，当n≥2时， ，即f （1）＞0．
1 n
又 ＝ ，
根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的 ，满足f （x ）＝0；
n n
（3）证明：对于任意p∈N*，由（1）中x 构成数列{x }，当x＞0时，
n n
∵ ，
∴f （x ）＞f （x ）＝f （x ）＝0．
n+1 n n n n+1 n+1
由f （x）在（0，+∞）上单调递增，
n+1
可得x ＜x ，即x ﹣x ＞0，
n+1 n n n+1
故数列{x }为减数列，
n
即对任意的n、p∈N*，x ﹣x ＞0．
n n+p
由于 ①，
②，
用①减去②并移项，利用0＜x ≤1，可得
n+p
．
综上可得，对于任意p∈N*，由（1）中x 构成数列{x }满足 ．
n n
【点评】本题考查数列与函数的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题．
