黄金卷03-赢在高考·黄金8卷备战2024年高考数学模拟卷（天津专用）（参考答案）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_4.2024高考模拟预测试卷

【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（天津专用） 黄金卷03·参考答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第 I 卷（选择题） 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要 求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A C C D B B B A B 第 II 卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 10．5 11．14或23 12． （答案不唯一，只要方程满足 即可） 13． / / 14. 15. 三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．（14分） (1) ； (2) ； (3) . 【分析】（1）利用二倍角公式，结合正弦定理边化角求解作答. （2）利用（1）的结论及余弦定理计算作答. （3）利用（1）（2）的结论，利用同角公式、二倍角公式及和角的正弦公式求解作答. 【详解】（1）在 中，由已知得 ，由正弦定理得 ，而 ， ， 所以 . （2）在 中，由余弦定理得 ，即 ，而 ，解得 ， 所以 .（3）在 中， ， ， ，有 ， 则 ， ， 由（2）知， ，即 ， 所以 . 17．（15分） (1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建系，将线面垂直的证明转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线； （2）将点面距转化为直线的方向向量在平面的法向量上的投影的绝对值，再利用向量的数量积即可求解； （3）将面面角转化为两平面的法向量所成角，再利用向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意可得 ， ， ， ， ， ， 则 ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ，则 ，取 则 ， 所以 . （2）由（1）知 ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，取 ， 所以点B 到平面ABD的距离为 ； 1 （3）由（1）知， ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，取 ， 设平面BCD与平面ABD的夹角为 ， 则 . 18．（15分） (1) ； (2)是定值1. 【分析】（1）利用椭圆的性质计算即可； （2）分类讨论 是否为0，联立直线PQ与椭圆方程，直线OT方程，结合韦达定理判定 三点纵坐标关系即可. 【详解】（1）由椭圆性质可知： ， ， ， ， 所以由题意可知： ， 即椭圆方程为： ； （2）由上可知 ， 当 时，则 重合，此时由椭圆的对称性可知 ，则 ； 当 时，则 ， 由 ，可知直线 为 ， 设 ， ， 纵坐标 ，易知此时 ， 联立直线 与椭圆方程 可得 ， 所以 ， 联立直线 与 方程 ，即 ， 对于 ， 综上可知 为定值1.19．（15分） (1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意利用构造关于数列的方程组，从而进行求解出通项公式； （2）根据题意先求出数列 的公式，然后分情况讨论，从而求解； 【详解】（1）解：由题意知 ①， 得 ② 将②与①式相减得： ，所以得 ， 所以 ，当 时， 也满足； 所以 的通项公式为： . （2）解：不存在，理由如下： 设数列 的通项为 ， 则 ，得 ， 所以得 即 即 ， 当 为偶数时： ，得 ， 当 为奇数时： ，得 ， 所以得： 当 ， 都为偶数时，得 ， ， 此时： ，此情况不符合题意； 当 ， 都为奇数时，得： ， ， 此时： ，此情况不符合题意； 当 为奇数， 都为偶数时，得： ， ， 此时： ，此情况不符合题意； 当 为偶数， 都为奇数时，得 ， ， 此时： ，此情况不符合题意； 综上所述：不存在 ，使得 . 【点睛】思路点睛：用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未 被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 20．（16分）(1) (2) (3) 【分析】（1）先求导后求出切线的斜率 ，然后求出直线上该点的坐标即可写出直线方程； （2）根据函数的单调性和最值分类讨论； （3）分情况讨论，根据函数的单调性和极限求解. 【详解】（1） ，所以：切点为 ， 又 ，所以： ， 所以：切线方程为 . （2）定义域为R， ， ①当 时， ，令 得 ，所以： 单调递增区间为 ； 令 得 ，所以 单调递减区间为 ；所以： 在 取极大值，符合题意． ②当 时，由 ，得： ， ， ， 变化情况如下表： 0 － 0 + 0 － 减 极小值 增 极大值 减 所以： 在 处取得极大值，所以： 符合题意．③当 时，由 ，得： ， ， （i）当 即 时， ， 变化情况如下表： 0 + 0 － 0 + 增 极大值 减 极小值 增 所以： 在 处取得极小值，不合题意． （ⅱ）当 即 时， 在R上恒成立，所以： 在R上单调递增，无极大值点． （iii）当 ，即 时， ， 变化情况如下表： 0 + 0 － 0 + 增 极大值 减 极小值 增 所以： 在 处取得极大值，所以： 合题意． 综上可得： 的取值范围是 ． （3） 详解如下：根据（2）知可分三种情况：① ，② ，③ ： ①当 时， 在区间 单调递减， 单调递增，在 上 单调递减，无最小值. ②当 时，当 ， 趋向 时， 趋向于 ， 当 ，要使函数 取得存在的最小值，即： ，解得： ， 故 时，取得最小值，故 的取值范围为 . ③当 时， 在 趋向 时， 趋向于 ， 又因为 时， 取到极小值， ，故无最小值. 综上所述：函数 存在最小值， 的取值范围为： .