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高2025 级高一下学期第三次学情调研数学参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
C
D
B
B
A
C
ACD
ABD
题号
11
答案
ACD
1．A【分析】先根据复数的乘法运算求解出
，则复数的虚部可知.
【详解】因为
，所以
的虚部为
，
故选：A.
2．A【分析】根据向量平行列出方程，即可求解.
【详解】根据题意知
，则
，解之可得
.
故选：
3．C【详解】由题设，原三角形的面积
，
所以其直观图的面积
.
4．D【分析】根据余弦定理即可求解.
【详解】由余弦定理可得
,
，即
，
故选：D
5．B【分析】先求出母线长，再根据圆锥表面积公式求解即可
【详解】圆锥母线长
，表面积
6．B【分析】先将
弦化切求得
，再根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为
，
所以
，
，
所以
，
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故选：B.
7．A【详解】在
中，
，记
，
，
所以
，
，
，
所以
，即
.
8．C【分析】化简
的表达式，由图象经过点
，求出
，再根据
在
上
恰有2 个零点，列出不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知
，
的图象经过点
，故
，即
，
而
，即
，则
，
故
，
当
，
时，
，
由于
在
上恰有2 个零点，故
，
则
，实数
的取值范围是
，
故选：C
9．ACD【分析】根据线线、线面、面面之间的基本关系，结合选项依次判断即可.
【详解】A：若
，则
与
是异面直线或相交直线或
，故A 符合题意；
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B：由异面直线的定义，若
不同在任何一个平面内，则
与
是异面直线，故B 不符合
题意；
C：若
，则
与
相交或
，故C 符合题意；
D：若
，则
，而
不一定相交，故D 符合题意.
故选：ACD
10．ABD【分析】由平面向量的坐标运算，结合向量夹角、平行、垂直的判定规则，以及
投影向量的计算公式逐项分析判断.
【详解】选项A：易知
，且
，
说明
与
不共线，因此两向量夹角为锐角，A 正确；
选项B：若
，则
，解得
，B 正确；
选项C：因为
，所以
，
解得
，C 错误；
选项D：投影向量公式为
，代入
，
得
，D 正确.
11．ACD【分析】根据正弦定理可判断选项A；根据正弦定理及正弦的二倍角公式可判断
选项B；根据正弦定理及余弦定理可判断选项C；根据锐角三角形的特点、余弦函数的单
调性及诱导公式可判断选项D．
【详解】在
中，
.
对于A，若
，
，
，由正弦定理
，得
，
所以
或
，此时
有两解，故A 正确；
对于B，若
，则由正弦定理有
，所以
，即
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，
所以有
或
，即
或
，即
为等腰三角形或直角
三角形，故B 错误；
对于C，若
，则由正弦定理可得
，
不妨设
，
，
，其中
，则为最大边，所以
为最大角，
则由余弦定理有
，所以
为钝角，即
为钝
角三角形，故C 正确；
对于D，若
为锐角三角形，则
，所以
，
因为
在
上单调递减，所以
，故D 正确．
12．
/
【分析】由图象变换求得
，代入求解
.
【详解】由题，
，所以
.
13．
【分析】利用同角三角函数关系和余弦的两角和公式求解即可.
【详解】由
可得
，
所以
，
故答案为：
14．
【分析】设截面交棱
于点
，连接
、
，由面面平行的性质可知
，可知截面为等腰梯形
，求出该梯形的高以及上、下底的长，结合梯形
的面积公式求解即可.
【详解】设截面交棱
于点
，连接
、
，如图所示，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
平面
，所以
，
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因为
，由等角定理结合图形可得
，
又因为
，故
为等腰直角三角形，且
，
，
易知
，且
，同理可得
，
故四边形
为等腰梯形，如下图所示：
在平面
内分别作
，
，垂足分别为点
、
，
因为
，
，
，故四边形
为矩形，所以
，
在
和
中，
，
，
，
所以
，
所以
，
由勾股定理可得
，
故截面面积为
.
故答案为：
.
15．(1)
(2)
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【详解】（1）当
时，
，
故
，所以
.
（2）因为复数
在复平面内对应的点
位于第三象限，
所以
，解得
，
所以
的取值范围为
.
16．(1)
，
(2)
【分析】（1）由余弦定理得
，再根据正弦定理求得
的值即可；
（2）根据余弦定理求得
，再根据三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）因
，则
，
由余弦定理得，
，
因
，则
.
又因为
，由正弦定理
得
，又
，∴
.
所以
的周长为
.
（2）由
得，
，
由（1）
，所以
，得
，
故
.
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17．(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）取
的中点
，连接
；证明
，根据线面平行判定定理证明
平面
.
（2）求出四棱锥
及三棱柱的体积，再利用割补法求出多面体的体积.
【详解】（1）取AE 的中点O，连接OF，OM，由O，M 分别为AE，AC 的中点，
得
，
，而
，且
，则
，
且
，四边形
为平行四边形，
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
．
（2）在棱柱
中，取BC 中点G，连接AG，则AG 为四棱锥
的高，
而
，四棱锥
的体积
，
由
，得
，三棱柱
的体积
，
所以多面体
的体积为
．
18．(1)
，
(2)①
；②
【分析】（1）根据向量的减法、向量相等及平面向量的基本定理求解即可.
（2）①根据三点共线及平面向量基本定理可得所求值.
②由三点共线及平面向量基本定理得
，再用基本不等式可得最小值.
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【详解】（1）因为
，所以
，所以
，
又
，且
与
不共线，由平面向量基本定理得
，
.
（2）①因为
，
，
三点共线，所以存在实数
使得
，
所以
，
因为
，所以
，所以
.
又
，所以
.
因为
与
不共线，所以
，解得
，
.
②由①可知，
，且
，
，
所以
，
因为
，
，
三点共线，所以
，且
，
，
所以
当且仅当
，即
时取等号，所以
的最小值为
.
19．(1)
(2)
(3)
，
【分析】（1）由题意得
，求出周期，再利用周期公式可求出
，然后将点
代入
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中可求出
的值，从而可求出函数解析式；
（2）先根据函数的平移得到函数解析式，再结合正弦型函数的奇偶性求解即可；
（3）设
，则将问题转化为方程
在区间
上恰有三个实数根
，
然后结合正弦函数的图象可求出
的范围，从而可求出
的范围，进而可求
出
的取值范围．
【详解】（1）因为函数
的图象相邻两条对称轴之间的距离为
，所以
，
所以
，又
，即
，所以
，所以
，
又因为函数
的图象过点
，所以
，即
，
又因为
，解得
，所以
；
（2）将函数
的图象向右平移m 个单位长度，得
，
因为此函数图象关于y 轴对称，所以
，
则
，所以
时，m 取得最小正值，即为
；
（3）当
时，设
，则
，
由方程
在区间
上恰有三个实数根
，
得方程
在区间
上恰有三个实数根
，
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则函数
与
在
上有3 个交点，
则
的图象如下：
由图可知，
，即
，则
的取值范围为
，
且
，
即
，故
，
由图得，
，则
，即
，
即
，所以
．
