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2025-2026 学年高一下学期5 月期中学情调研 数学试卷 一、单选题 1．已知圆心角是2 弧度的扇形的周长为4，则扇形的面积为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知 ，则 的虚部为（ ） A． B． C．2 D． 3．下列各式中，值为 的是 A． B． C． D． 4．已知函数 图象上相邻两条对称轴之间的距离为 ，将函数 的图 象向左平移 个单位后，得到的图象关于y 轴对称，则函数 的一个零点是（ ） A． B． C． D． 5．已知函数 的图象如图所示，则 （ ） A． B． C． D．0 6．在 中， ，则这个三角形一定是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 7．若 ，则 （ ） A． 或2 B． 或 C．2 D． 8．如图， 是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若 ，点M 为线段 上的动点，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列有关复数 的叙述正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 的虚部为 C．若 ，则 D．若 ，则 10．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A． 的值域是R B． 在定义域内是增函数 C． 的最小正周期是 D． 的解集是 11．已知函数 ，有下列四个结论，其中正确的结论为（ ） A． 在区间 上单调递增 B． 不是 的一个周期 C．当 时， 的值域为 D． 的图像关于 轴对称 三、填空题 12．已知向量 ， 的夹角为 ， ， ，则 ______. 13．若 ， ，则 ________. 14．已知函数 ，当 时 取得最小值，当 时 取得最 大值，且 在区间 上单调.则当 取最大值时 的值为________. 四、解答题 15．已知非零向量 ， 满足 ，且 . （1）求 与 的夹角； （2）若 ，求 . 16．已知 ， ，且 ， ． (1)求 的值； (2)求 的值． 17．已知函数 . (1)化简 (2)求函数 在 的值域. 18．在面积为的 中，内角 ，所对的边分别为 ，且 . (1)求角 ； (2)若 ，求 的周长； (3)若 为锐角三角形，且 边上的高为2，求 面积的取值范围. 19．我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里 拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点 ， 该点 即称为托里拆利点（以下简称“ 点”）.通过研究发现三角形中的“ 点”满足到三角形三个顶点 的距离和 最小.当 的三个内角均小于 时， 使得 的点 即为“ 点”； 当 有一个内角大于或等于 时，最大内角的顶点为“ 点”.试用以上知识解 决下面问题: 已知 的内角 所对的边分别为 . (1)若 ，则 ①求 ； ②若 ，设点 为 的“ 点”， 求 ； (2)若 ，设 点为 的“ 点”， ，求实数的最小值. 1．A 由扇形的周长和面积公式求解. 【详解】由扇形的周长公式得 ， 解得 ，所以扇形的面积为 . 故选：A 2．C 根据复数的模的计算公式得到 ，即可化简 ，从而判断其虚部. 【详解】因为 ，所以 ， 又 ，即 ，所以 ，所以 的虚部为2. 故选：C 3．C 【详解】对于选项A： ；对于选项B： ；对于选项 C： ；对于选项D： ；故选 C 4．B 由函数 图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，得到周期为 ，进而得到 ，再利 用平移变换得到 图象，然后根据图象关于y 轴对称，求得解析式即可. 【详解】解：由函数 图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，可知其周期为 ， 所以 ，所以 ． 将函数 的图象向左平移 个单位后，得到函数 图象． 因为得到的图象关于y 轴对称， 所以 ， ，即 ， ． 又 ， 所以 ， 所以 ． 由 得， ，即 ． 故选：B． 5．B 根据三角函数的图象，利用最值、周期、特殊点确定 、 、 的值，即可得出结论. 【详解】由图象知，函数的最小正周期 ， 即 ， ，由五点对应法则代入 知， ，即 ，因为 ，解得 ， 所以 ，则 . 故选：B 6．D 由正弦定理和三角恒等变换得到 或 ，得到三角形形状 【详解】 ，由正弦定理得 ， 故 ， 又 ， ， 所以 ， 所以 ， 即 ，所以 或 ， 由 得 或 （舍去）， 由 得 ， 故这个三角形一定是等腰或直角三角形 7．C 根据已知条件，利用正切的二倍角公式求出tanα，再利用正余弦二倍角公式和同角三角函数的商数关系化 简要求值的式子，带值计算即可得到答案. 【详解】 或 ， 代入tanα 求得值均为：2. 故选：C. 8．C 根据题意结合余弦定理求得 ，从而可求得 ，设 ，则 ，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】因为 是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形， 又 ， ， 则 ，即 ， 设 ， 则 又 ，则 时， 取最小值 . 故选：C 9．ACD 根据复数的运算复数的概念复数模的计算及几何意义判断各选项 ､ ､ . 【详解】对于A， ，则 ，故A 正确； 对于B， ，则 的虚部为 ，故B 不正确； 对于C，设 ，由 得 ，所以 ，故C 正确； 对于D，若 ，则复数 对应的点在以 为圆心，1 为半径的圆上，这个圆上的点到原点的距离最 小值为0，最大值为2，所以 ，D 正确. 故选：ACD. 10．AC 根据正切函数的性质，即可判断A 项；求出函数的单调递增区间，即可判断B 项；由周期公式，求出周期， 即可判断C 项；由 时，由 的解，即可得出 ，求解不等式 即可得出解集，判断D 项. 【详解】对于A 项，根据正切函数的性质，可知 的值域是R，故A 项正确； 对于B 项，由 可得， ，所以 的定义域为 . 由 可得， ，所以 在每一个区间 上单调递增，故B 项错误； 对于C 项，由已知可得， 的最小正周期是 ，故C 项正确； 对于D 项，当 时，由 ，可得 . 则由 可得， ， 所以 的解集是 ，故D 项错误. 故选：AC. 11．BCD 对于A，通过举反例取 ，得出 单调递减；对于B，根据周期的定义，即可判断；对于C，由 得出 的解析式，设 ，即可得出值域；对于D，由奇偶函数的定义判断 出 为偶函数，即可判断D． 【详解】因为 是 上的偶函数，所以 ， 对于A： 当 时， ，设 ， 则 ， 在 上单调递减， 又 在 上单调递增， 所以 在 单调递减，故A 错误； 对于B： ，故B 错误； 对于C： 当 时， ， 设 ， 则 ， 因为 ， 所以 ，故C 正确； 对于D： 定义域为 ， 因为 ， 所以 为偶函数，图像关于 轴对称，故D 正确； 故选：BCD． 12． 根据 计算可得结果. 【详解】 . 故答案为： . 13． 根据 以及 求出 ，根据二倍角的正弦、余弦公式求出 ， ，根据 及两角差的正弦公式可得结 果. 【详解】因为 ， ， 当 时， ， 又 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， ， 所以 . 故答案为： . 14． 【详解】根据题意，因为当 时 取得最小值，当 时 取得最大值， 故 ，解得 . 因为 在区间 上单调，故 ，即可得 解得 ，又 ，当 时， 且 ，由 ，得 ， 此时 在区间 单调，满足题意. 故 的最大值为10，此时 的值为 . 故答案为： . 15．（1） ；（2） . （1）由 ，得 ，则 ，再结数量积的公式和 可求得 与 的夹角； （2）由 ，得 ，将此式展开，把 代入可求得结果 【详解】（1）∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ， ∵ ，∴ 与 的夹角为 . （2）∵ ，∴ ， ∵ ，又由（1）知 ， ∴ ，∴ . 16．(1) (2) 【详解】（1）因为 ，所以 ， 因为 ，所以 . （2）因为 ， ，所以 ， 因为 ，所以 ，且 ； . 因为 ，所以 . 17．(1) (2) 【详解】（1） ； （2）由（1）可得 ， 令 ， ， ， ， ， 对称轴为 ， 当 时， ， 当 时， ， 故函数 的值域为 . 18．(1) (2) (3) （1）利用正弦定理将角的关系化为边的关系，再通过余弦定理求出角 . （2）先由三角形面积公式求出 的值，再结合余弦定理求出 的值，进而得到三角形的周长. （3）根据三角形面积公式得到 与面积的关系，再利用正弦定理和锐角三角形的条件确定角 的范围， 从而得出面积的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得 ，所以 ， 所以 ，由余弦定理， ， 因 ，则 . （2）由余弦定理， ，即 ， 又 ，由条件知 ，所以 ， 所以 ， ， . 所以 周长为 . （3）由 可得： 由正弦定理， ，即得： ， 则 由 为锐角三角形可得， ，解得： ， 则 ， ，故得 ， 即 面积的取值范围为 . 19．(1)① ；② ； (2) . 【详解】（1）①在 中，由正弦定理得 ， ，有 ， ， ， ， ，又 ， ； ②由①知 ，则 的三个角都小于 ， 由“ 点”定义知： ， 设 ， ， ，由 得 ，整理得 ， 所以 . （2）由 ，结合正弦定理 ， 有 ， 均为三角形内角， 或 （舍），即 ， ， 由点 为 的“ 点”，得 ， 设 ， ， ， ， 由 ， 得 ， 由余弦定理得 ， ， ， 相加得 ，得 ， 整理得 ， 于是 ，当且仅当 ，即 时取等号， 又 因为 而 解得 ，所以实数的最小值为 .