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辽宁省七校协作体2025-2026 学年高一下学期6 月练习数学试
卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ）
A．四棱台
B．四棱锥
C．四棱柱
D．三棱柱
3．已知向量
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
4．已知a,b,c分别为△ABC的三个内角
的对边，若
，则角
B =（ ）
A．
或
B．
C．
D．
5．将函数
的图象向右平移
（
）个单位长度，得到函数
的图象，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图扇形
，圆心角
，D 为半径AB中点，
把扇形分成三部分，这三
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部分绕AC 旋转一周，所得三部分旋转体的体积
之比是（ ）
A．1:2:2
B．
C．
D．
7．已知函数
，若方程
的解为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知
是单位向量，且
的夹角为
，若
，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．若
，
为复数，则下列选项一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．两个直三棱柱的高均为2，底面边长都是1，1，
，将它们拼成一个新的棱柱，则这
个新棱柱的表面积可以是（ ）
A．12
B．
C．10
D．
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11．已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
的值域为
C．
在
上单调递减
D．
图象的对称轴为直线
三、填空题
12．已知A，
，C三点在球
的球面上，
，
，
，球心
到平面
的距离等于球半径的一半，则该球的表面积是______．
13．如图，在河岸
上测量河对面A，
两点间的距离，测得
，
，
，
，
，则
______.
14．在锐角三角形
中，角
的对边分别是a,b,c，若△ABC的面积S = a
2
4 ，则
tan A tan B tanC的最小值为________．
四、解答题
15．如图是一个正四棱台
的铁料，上下底面的边长分别为
､
和
，
高
.
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(1)求四棱台
的表面积；
(2)若要将这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比.
16．在△ABC中，内角A，
，C所对的边分别为
，b，，已知a= 4，
．
(1)若
，求△ABC的面积；
(2)若
，求
和的值；
17．已知函数
.
(1)若
，求
及
的单调递增区间；
(2)已知
在区间
上单调递增，且
，求
的最小正周期.
18．已知△ABC的内角
的对边为a,b,c，且
(1)求
;
(2)若△ABC的面积为
①已知
为
的中点，且
，求△ABC底边
上中线AE的长;
②求内角A的角平分线
长的最大值.
19．由平面内夹角为60°的两条数轴Ox，Oy 构成的坐标系，称为“完美坐标系”，如图所
示．设向量
分别为数轴Ox，Oy 正方向上的单位向量，对于该平面内的向量
，若
，则实数对
称为向量
的“完美坐标”．
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(1)已知向量
，
的“完美坐标”分别为
，
，判断命题“
的充要条件是
”是否正确？若命题正确，请给出证明；若命题不正确，请说明理由；
(2)已知向量
，
的“完美坐标”分别为
，
，设函数
．
①若存在
，使不等式
成立，求实数k 的取值范围；
②若函数
在区间
内恰有两个不同的零点，求实数a 的
取值范围．
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《辽宁省七校协作体2025-2026 学年高一下学期6 月练习数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
D
B
D
A
C
AC
BCD
题号
11
答案
ABC
11．ABC
12．
13．
14．
15．
【详解】（1）如下图，正四棱台侧面是全等的等腰梯形，
分别取
中点
，连接
，
过点
作
，交ON于点
.
则
，
所以
，
所以四棱台的表面积
.
（2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，
则圆台
的上、下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高.
则圆台
上底面圆半径为
，下底面圆半径为
，
高
，则圆台
的体积为
．
又正四棱台的体积
，
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所以削去部分的体积
，
所以削去部分与圆台的体积之比为
；
16．
【详解】（1）已知a= 4，
，
，由余弦定理得：
因为
所以由同角三角函数关系得：
△ABC的面积
（2）由正弦定理
，且
，
，
代入得
，约去
（
），解得
．
则
．
由余弦定理
，代入a= 4，
，
得：
，
整理得
，解得
或c = 4．
当c = 4时，
，则
，
，即
，
此时
，矛盾，舍去；
当
时，
，符合题意；
故
．
17．
【详解】（1）因为
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，
当
时，
，则
.
令
，解得
，
所以f (x)的单调递增区间为
；
（2）因为x∈[0,π
3 ]，所以
因为f (x)在区间
上单调递增，且
，
在区间
上单调递增，
所以
，解得
.
又
，f (x)在区间
上单调递增，
所以曲线f (x)关于
对称，且点
在曲线的递增部分上，
则
，
又
在
处单调递增，所以
，解得
，
又
，所以
，则
，
所以f (x)的最小正周期为
.
18．
答案第4页，共2页
【详解】（1）由正弦定理得
，即
，
故
，因为
，所以
，
所以
.
（2）①由（1）知
，因为△ABC的面积为
，
所以
，解得
，
且
，解得
，由于
，
所以
，所以
，即
.
②因为
为角A的角平分线，所以
，
由于
，
得到
，
由于
，所以
，
由二倍角公式得
，则
，解得
，
又
，所以
，
由于
，当且仅当
时，等号取得到，
故
，故
.
19．
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【详解】（1）不正确
证明：
因为
，
分别为Ox，Oy 正方向上的单位向量，且夹角为
，
所以
，
，
因为
，所以⃗a⋅⃗b=0，即
，
则有
，
所以“
”的充要条件是“
”，
所以“
”的充要条件是“
”是不正确的.
（2）因为向量
，
的“完美坐标”分别为
，
，
由（1）知
，
所以
.
令
，则
因为x∈(0,π
2 )，所以
，则
，
又
，
即
，
所以
，
.
已知
恒成立，即
对
恒成立.
因为
时，
，所以
对
有解.
答案第6页，共2页
令
，
，g(t )单调递增，
当
时，
.
所以
，即实数k的取值范围是
.
②
，
令
，则
因为
，所以
，则
，
又
，
即
，
则
，
.
因为
，
所以当
或
时，方程
有1 个根，当
时，方程
对应2 个根，当
时，方程
对应1 个根，当
时，方程
对应2 个根，
令
，可得
，
因为
，所以方程有2 个不等实根，又
，
不妨设
，又因为u=0不满足方程，
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所以可得
，
令
，则函数在
和
上单调递减，
如图，
由题意，可知
①
与函数
图象两支都相交，且交点横坐标分别在
，
，
所以
，解得
；
②
，满足题意，此时
；
③
，满足题意，此时
；
所以实数a 的取值范围为
.
