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人教A版数学--解三角形专题十
知识点 三角恒等变换的化简问题,正弦定理边角互化的应用,余弦定理解三角形,
基本不等式求和的最小值
典例1、在 ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
.
（1）求角B；
（2）若D为AC的中点，且 ，求 ABC面积的最大值.
随堂练习：在锐角 中， 分别为角 所对的边， ，且 的面积
．
（1）若 ，求 ； （2）求 的最大值．典例2、在 中，已知角 所对的边分别为 ， ，向量 ，
，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）当 取得最大值时，求角 的大小和 的面积．
随堂练习：在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，
．
（1）求角C；（2）已知 边上的点P满足 ，求线段 的长度取最大值时 的面积．
典例3、在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 ；
（1）求 的值；
（2）若 ，当 取得最大值时，求 的面积．
随堂练习：在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ．
（1）求角 的大小；
（2）求 取值范围；
（3）如图所示，当 取得最大值时，在 所在平面内取一点 （ 与 在两侧），使得线段 ， ，求 面积的最大值．
人教A版数学--解三角形专题十答案
典例1、答案：（1） （2）
解：（1）因为 ， 所以
即 ， 由余弦定理，得
∵ ，∴ ∵ ，∴ ；
（2）解法一：∵ ， ∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ∴ ，∴ ，当且仅当 时取等号，
故 ABC面积的最大值为 ；
解法二：在 ABD中，由余弦定理，得 ，
即 ①
在 CBD中，由余弦定理，得 ，
即
∵ ， ∴ ②
①+②得 ③
在 ABC中，由余弦定理，得 ，即 ，
代入③中，整理得 ，
∵ ，∴
∴ ，当且仅当 时取等号
故 ABC面积的最大值为4
解法三：如图，过C作AB的平行线交BD的延长线于点E，
∵ ，D为AC的中点， ∴ ， ， ，
，
在 BCE中，由余弦定理，得 ，
即 ，整理得 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，当且仅当 时取等号
故 ABC面积的最大值为4 .
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1） ，解得： ；
， ， ，
由余弦定理得： ，解得： .（2） ，即 ，
由正弦定理得： ，
，
，
；
， ， ，
则当 时， 取得最小值 ， 的最大值为 .
典例2、答案： （1） （2） ；
解：（1） ，
， ， ，
， .
，， ，
当 ，即 时， 取得最大值；
在 中，由正弦定理得： ；
，
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）由 ，得 ，
即
由正弦定理得： ，
因为 ， ，所以 ．
因为 ，所以 ．在 中，由正弦定理得： ．
所以 ．
由 及 ，可得 ，在 中，
由余弦定理可得：
．
．
所以，当且仅当 即 时， 取最大值.
所以， 取最大值时， ， ， ，
，
典例3、答案： （1） （2）
解：（1）由 ，
因为 ，可得 ，
所以 ，整理得 ，即 ， 所以 ．
（2）由 ，知 ，
又由
因为 ，所以 ，
当且仅当 时取等号，此时 ，
因为 ，故 ，所以 ．
随堂练习：答案： （1） （2） （3）
解：（1）因为 ，
所以在 中，由余弦定理得 ，
又 ，所以 ；
（2）由（1）得， ，得 ，
所以
由 ，所以 ，所以 的取值范围是 ；
（3）当 取得最大值时， ，解得 ；
令 ， ， ， 则 ，∴
；
又 ，
∴ ，
∴ ．
∴
，
当 时等号成立； ∴ 面积的最大值为 ．
