文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D D D B A C C C D B
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11． 12． 8 13． 14． 15. ①③④
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16.（13分）
(1) (2)2
（1）得 ，利用正弦面积公式与余弦定理得到 ，再借助正弦定理得结果.
【详解】（1） ，
的最小正周期 ；
（2）由 ，可得 ，又 ，
， ， ，
由 ，得 ，
由余弦定理得： ，得 ，
由正弦定理得 外接圆的半径 .
17.（14分）(1)证明见解析 (2)见解析
【详解】（1）证明：因为四边形 为矩形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又平面 平面 ， 平面 ，
所以 ；
（2）若选条件①：平面 平面 ，
则平面 平面 ， , 平面 ，
所以 平面 平面 所以 ,
但是 ，因此 不可能，所以选择条件①的五面体不存在，
若选择条件②：平面 平面
取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ，
则 ，由 ，得 ，且 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，由 平面 ，得 ，
建立如图空间直角坐标系 ， ,0, , ,0, , ,4, , ,4, , ,0, , ,2, ,
则 ，
设 为平面 的一个法向量，
则 ,令 ，得 ， ，所以 ，
，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ．
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．若选择条件③：
由于 ， , 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
以下如选择条件②相同.
18.（14分）
(1)
(2)主办方在决赛的前两场的投资额应为 千万元，即 万元.
【详解】（1）记“甲队获得冠军”为事件 ，“决赛进行三场比赛”为事件 ，
由题可知 ，
，
∴当甲队获得冠军时，决赛需进行三场比赛的概率为 .
（2）设主办方在决赛前两场中共投资 （千万元）， 其中 ，
若需进行第三场比赛，则还可投资 （千万元），
记随机变量 为决赛的总盈利，则 可以取 ， ，
∴ ， ，
∴随机变量 的分布列为∴ 的数学期望 ，
令 ，则 ，
∴当 ，即 时， 取得最大值，
∴主办方在决赛的前两场的投资额应为 千万元，即 万元.
19.（14分）
(1) (2)是，
【详解】（1）设动圆半径为 ，
由圆 与圆 外切得： ，由圆 与圆 内切得： ，
故 ，
故点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，且 ， ，故 ，
∴点 的轨迹 的方程为： .
（2）设 ， ，
由 ，
故 ， ，
，
所以 的中点 ，故 的中垂线的方程为： ．
因为 的中垂线为 轴，故 的中垂线与 轴的交点即为外心 ，
令 得： ，故 ，
又 ，
故 （定值）．
20.（15分）
(1) (2)
【详解】（1）当 时， ， ， ，
所以 ，所以切线方程为 ，即 ．
（2）由 ，得 ，所以 ．
令 ， ，所以 ，
令 得 ，当 时， ，
当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 在 处取极小值 ，
的大致图像如图，
要使函数 有一个零点，即直线 与 的图像有一个交点，
则 或 ，解得 或 ，
所以k的取值范围为 ．
21.（15分）
(1)数列 是“ 数列”，数列 不是“ 数列”，理由见解析
(2) 不是“ 数列”，理由见解析
【详解】（1）解：数列1，2，3，4，是“ 数列”，数列2，6，8，12不是“ 数列”．
因为数列1，2，3，4，中“ ”构成等比数列，
所以数列1，2，3，4，是“ 数列”；
因为数列2，6，8，12中“ ”，“ ”，“ ”，“ ”均不能构成等比数列，
所以数列2，6，8，12不是“ 数列”；
（2）解： 不是“ 数列”．
假设 是“ 数列”，
因为 是单调递增数列，即 中存在的 （ ）三项成等比数列，
也就是 ，即 ，
，两边时除以 得 ，等式左边 为偶数，
等式右边 为奇数．
所以数列 中不存在三项按一定次序排列构成等比数列．
综上可得 不是“ 数列”．
