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2023年高考押题预测卷02【天津卷】
数学·参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8 9
D D D C A C C D D
二、填空题
10：
11：
12： .
13： ；
14： ；
15： .
三、解答题
16．(14分)
【详解】（1）在 中，由正弦定理
可得： ，整理得 ，
由余弦定理，可得 ；…………………………………………5分
（2）（i）由（1）可得 ，又由正弦定理 ，
及已知 ，可得 ，
由已知 ，可得 ，故有 ，…………………………………………8分
为锐角，可得 ， ，则 ；…………………………………………10分
（ii）由（i）可得 ， ,
.……………………………………14分
17．(15分)
【详解】（1）由 为正三棱柱可知， 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
由底面是边长为2的正三角形，D为AB的中点，所以 ；
又 ， 平面 ，所以 平面 ；
又 平面 ，所以 ；…………………………………………4分
（2）取线段 的中点分别为 ，连接 ，
易知 两两垂直，以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标
系 ，如下图所示;
由侧棱长为 ，底面边长为2可得，
，由D为AB的中点可得 ，
所以 ，…………………………………………6分
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，可得 ；
即 ；
易得 即为平面 的一个法向量，…………………………………………10分
所以 ，
设二面角 的平面角为 ，由图可知 为锐角，
所以 ，即 ；
即二面角 的大小为 .…………………………………………12分
（3）由（2）可知 ，平面 的一个法向量为 ，
设直线CA与平面 所成的角为 ，
所以 ，
即直线CA与平面 所成角的正弦值为 .…………………………………………15分
18．(15分)
【详解】（1）由题意，设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，因为 ，
所以 即
解得 （舍去），或
所以 .…………………………………………5分
（2）由（1）知 ，
所以
…………………………………………10分
（3）由（1）知 .
所以
所以
.
即 …………………………………………15分
19．(15分)
【详解】（1）由题意得 ，解得 ，将 代入椭圆方程，得到 ，故 ，
故椭圆方程为 ；…………………………………………3分
（2）当直线 的斜率为0时，此时 三点共线，不合要求，舍去；
当直线 的斜率不为0时，设直线 的方程为 ，
与椭圆方程 联立，得 ，
设 ，则 ，
则
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 面积的最大值为 ，
此时直线 的方程为 或 ；…………………………………………9分
（3）在x轴上存在点 使得 恒成立，理由如下：
因为 ，所以 ，即 ，
整理得 ，即 ，所以 ，
则 ，解得 ，
故在x轴上存在点 ，使得 恒成立.…………………………………………15分
20．(16分)
【详解】（1）当a=1时， ，
所以 ，
故切点坐标为 ，…………………………………………2分
又 ，
所以 ，
故切线的斜率为 ，
由点斜式可得， ，即 ，
故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ；…………………………………………4
分
（2） 的定义域为 ，
又 ，
①当 ，即 时， 在 上恒成立，
故 在 上单调递减；…………………………………………6分
②当 ，即 或 ，令 ，解得 ，
若 时，则当 或 时， ，
当 时， ，…………………………………………8分
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
若 时， 在 上恒成立，
故 在 上单调递减.…………………………………………9分
综上所述，当 时， 在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递减，
在 上单调递增.…………………………………………10分
（3）由（2）可知，当 时，f（x）有两个极值点 ，
则 ，
由题意可得， ，
则
，…………………………………………14分令 ，
则 ，
当 时， ，则 单调递增，
当 时， ，则 单调递减，
故当 时， 取得最大值 ，
所以 .…………………………………………16分
