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专题04 平面向量的线性运算与数量积
1、（2023年新课标全国Ⅰ卷）已知向量 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，所以 ， ，
由 可得， ，
即 ，整理得： ．
故选：D．
2、（2023年新课标全国Ⅱ卷）2．已知向量 ， 满足 ， ，则 ______．
【答案】
【详解】法一：因为 ，即 ，
则 ，整理得 ，
又因为 ，即 ，
则 ，所以 .
法二：设 ，则 ，
由题意可得： ，则 ，
整理得： ，即 .故答案为： .
3、（2023年全国乙卷数学（文））3．正方形 的边长是2， 是 的中点，则
（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【详解】方法一：以 为基底向量，可知 ，
则 ，
所以 ；
方法二：如图，以 为坐标原点建立平面直角坐标系，
则 ，可得 ，
所以 ；
方法三：由题意可得： ，
在 中，由余弦定理可得 ，
所以 .
故选：B.4、（2023年全国乙卷数学（理））4．已知 的半径为1，直线PA与 相切于点A，直线PB与 交
于B，C两点，D为BC的中点，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】如图所示， ，则由题意可知: ，
由勾股定理可得
当点 位于直线 异侧时，设 ，
则：
，则 当 时， 有最大值 .当点 位于直线 同侧时，设 ，
则：
，则
当 时， 有最大值 .
综上可得， 的最大值为 .
故选：A.
5、（2023年全国甲卷数学（文））5．已知向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，所以 ，
则 ， ，所以 .
故选：B.
6、（2023年全国甲卷数学（理））6．向量 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ,所以 ,
即 ,即 ,所以 .
如图,设 ,
由题知, 是等腰直角三角形,
AB边上的高 ,
所以 ,
,.
故选:D.
7、【2022年全国乙卷】已知向量⃑a=(2,1)，⃑b=(−2,4)，则|⃑a−⃑b|（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】因为⃑a−⃑b=(2,1)−(−2,4)=(4,−3)，所以|⃑a−⃑b|=√42+(−3) 2=5.
故选：D
8．【2022年全国乙卷】已知向量⃑a,⃑b满足|⃑a|=1,|⃑b|=√3,|⃑a−2⃑b|=3，则⃑a⋅⃑b=（ ）
A．−2 B．−1 C．1 D．2
【答案】C
2
【解析】：∵|⃗a−2⃗b|2=|⃗a|2−4⃗a⋅⃗b+4|⃗b|，
又∵|⃗a|=1,|⃗b|=√3,|⃗a−2⃗b|=3,
∴9=1−4⃗a⋅⃗b+4×3=13−4⃗a⋅⃗b，
∴⃗a⋅⃗b=1
故选：C.
9、【2022年新高考1卷】在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA．记⃑CA=⃗m，⃑CD=⃗n，则⃑CB=
（ ）
A．3⃗m−2⃗n B．−2⃗m+3⃗n C．3⃗m+2⃗n D．2⃗m+3⃗n
【答案】B
【解析】因为点D在边AB上，BD=2DA，所以⃑BD=2⃑DA，即⃑CD−⃑CB=2(⃑CA−⃑CD)，
所以⃑CB= 3⃑CD−2⃑CA=3⃑n−2⃑m =−2⃗m+3⃗n．
故选：B．
10．【2022年新高考2卷】已知向量⃑a=(3,4),⃑b=(1,0),⃑c=⃑a+t⃑b，若<⃑a,⃑c>=<⃑b,⃑c>，则t=（ ）
A．−6 B．−5 C．5 D．6
【答案】C
9+3t+16 3+t
【解析】：⃗c=(3+t,4),cos⟨⃗a,⃗c⟩=cos⟨b,⃗c⟩,即 = ,解得t=5,
5|⃗c| |⃗c|
故选：C11、【2022年全国甲卷】已知向量⃑a=(m,3),⃑b=(1,m+1)．若⃑a⊥⃑b，则m=______________．
3
【答案】− ##−0.75
4
3
【解析】由题意知：⃑a⋅⃑b=m+3(m+1)=0，解得m=−
.
4
3
故答案为：− .
4
1
12．【2022年全国甲卷】设向量⃑a，⃑b的夹角的余弦值为 ，且|⃑a|=1，|⃑b|=3，则(2⃑a+⃑b)⋅⃑b=_________．
3
【答案】11
1 1
【解析】：设⃑a与⃑b的夹角为θ，因为⃑a与⃑b的夹角的余弦值为 ，即cosθ= ，
3 3
1
又|⃑a|=1，|⃑b|=3，所以⃑a⋅⃑b=|⃑a|⋅|⃑b|cosθ=1×3× =1，
3
所以(2⃑a+⃑b)⋅⃑b=2⃑a⋅⃑b+⃑b2=2⃑a⋅⃑b+|⃑b| 2 =2×1+32=11．
故答案为：11．
13、（2023年新高考天津卷）7．在 中， ， ，点 为 的中点，点 为 的中点，
若设 ，则 可用 表示为_________；若 ，则 的最大值为_________．
【答案】
【详解】空1：因为 为 的中点，则 ，可得 ，
两式相加，可得到 ，
即 ，则 ；
空2：因为 ，则 ，可得 ，
得到 ，即 ，即 .
于是 .
记 ，
则 ，
在 中，根据余弦定理： ，
于是 ，
由 和基本不等式， ，
故 ，当且仅当 取得等号，
则 时， 有最大值 .
故答案为： ； .
题组一、平面向量的线性运算与基本定理的应用
1-1、（2022·河北·石家庄二中模拟预测）数学家欧拉于 年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出
定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，
该直线被称为三角形的欧拉线，设点 分别为任意 的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的
是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】
依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半， ，
， ，A错误，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选：D.
1-2、（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）平行四边形 中，点 在边 上， ，
记 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】在 中， ， ，
所以 .
故选：D1-3、（2023·山西·统考一模）已知矩形 中， 为 边中点，线段 和 交于点 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】取 中点 ，可证得四边形 为平行四边形，得到 ，结合三角形中位线性质可确
定 为 上靠近 的三等分点，从而根据向量线性运算推导得到结果.
【详解】取 中点 ，连接 ，交 于点 ，
， ， 四边形 为平行四边形，
，又 为 中点， ，同理可得： ，
，
.
故选：D.
1
AD BC
1-4、（2021·山东泰安市·高三三模）已知平面四边形ABCD满足 4 ，平面内点E满足
BE 3CE CD AE M BM xAB yAD x y
， 与 交于点 ，若 ，则 （ ）
5 5 4 4
A．2 B． 2 C．3 D． 3
【答案】C
【解析】易知BC 4AD，CE 2AD，
1 1
BM AM AB AE AB ABBE AB
3 3
1 2
AB6AD AB AB2AD
3 3 ，
4
x y
∴ 3 ，
故选：C .
题组二、向量的坐标运算
2-1、（2023·山西运城·统考三模）已知向量 满足 ，且 ，则实数
（ ）
A．1或 B．-1或 C．1或 D．-1或
【答案】D
【详解】
所以 ，
因为 ，
所以 ，
解得 或 ，
故选：D.
2-2、（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】 ， ；
故选：A.
2-3、（2023·辽宁·校联考三模）已知向量 ， ，且 ，则 ______.
【答案】
【详解】已知向量 ， ， ，
∵ ，∴ ，解得 ，∴ ， .
故答案为：
2-4、（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）已知平面向量 ，若 ，
则 __________.
【答案】
【详解】 ，
因为 ，所以 ，解得 .
故答案为：
2-5、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知向量 ， ，则下列命
题正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 在 上的投影为 ，则向量 与 夹角为
C．与 共线的单位向量只有一个为
D．存在 ，使得
【答案】BD
【解析】
：向量 ， ，对A：因为 ，所以 ，所以 ，故选项A错误；
对B：因为 在 上的投影向量为 ，即 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
因为 ，所以向量 与 夹角为 ，故选项B正确；
对C：与 共线的单位向量有两个，分别为 和 ，故选项C错误；
对D：当 时， ，此时向量 与 共线同向，满足 ，所以存在 ，
使得 ，故选项D正确；
故选：BD.
题组三、向量的夹角与模
3-1、（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知平面向量 满足 ， ，且 与 的
夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为平面向量 满足 ， ，且 与 的夹角为 ，
则 ，则 ，即
解得 ，
所以 .故选：D
3-2、（2023·湖南岳阳·统考三模）已知平面向量 的夹角为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由已知
.
故选：D.
3-3、（2023·重庆·统考三模）已知 是单位向量，向量 满足 与 成角 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设 ，如图所示：
则由 ，又 与 的夹角为 ， .
又由 ，由正弦定理 ，得 ，
， ，
，
故选：C
3-4、（2022·山东青岛·高三期末）已知非零向量 满足： ，则 夹角 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解:因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，由于
所以
故选：B
题组四、向量的投影
4-1、（2023·安徽黄山·统考三模）已知 向量 满足 ，则 在 方向上的投
影向量的模长的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，，
设 的夹角为 ， ，解得： ，
因为 ，则 ，设 ，
所以设
， ，因为 ，则 ，
化简得： ，所以
在 方向上的投影向量的模长为： ，
所以 在 方向上的投影向量的模长的最大值为： .
故选：D.
4-2、（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知平面向量 ， ，则 在 上的投影向量为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据 在 上的投影向量是 计算即可解决.
【详解】由题知， ，
所以 ，
设 与 夹角为 ，
所以 在 上的投影向量是 ，
故选： .
4-2、（2023·浙江·校联考三模）（多选）在平面直角坐标系中，已知点 ，则
（ ）
A．
B． 是直角三角形
C． 在 方向上的投影向量的坐标为D．与 垂直的单位向量的坐标为 或
【答案】ABD
【详解】因为 ，所以 ，A正确
因为 ，所以 ，
所以 ，即 为直角三角形，B正确；
设与 同向的单位向量为 ， ，
所以 在 方向上的投影向量为 ，C错
误；
因为 ，设与 垂直的单位向量为 ，
则 ，解得 或 ，
故与 垂直的单位向量的坐标为 或 ，D正确，
故选：ABD．
4-3、（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）如果平面向量 ， ，则向
量 在 上的投影向量为_____ .
【答案】
【详解】由已知可得， ， ，
所以， ，
所以，向量 在 上的投影向量为 .
故答案为： .
题组五、向量数量积的运用5-1、（2023·湖北·校联考三模）正 的边长为2， ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】设 ，如图所示：
因为
所以
，
故选：C．
5-2、（2022·山东日照·高三期末）已知△ 是边长为1的等边三角形，点 分别是边 的中点，
且 ，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】把△ 如下图放在直角坐标系中，由于△ 的边长为1，故 ， 点 分别是边 的中点，
，设 ， ， ，
， .
故选：B.
5-3、（2023·安徽·校联考三模）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边
长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛
三角形中，已知 ，P为弧AC上的一点，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图所示，以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，
建立平面直角坐标系，则 ， ，
由 ，得 ，
所以 ， ，
所以 ．
故选：C．5-4、（2023·湖南永州·统考三模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1
是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示其外框是边长为2的正六边形ABCDEF，内
部圆的圆心为该正六边形的中心О，圆О的半径为1，点P在圆О上运动，则 的最小值为（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
【答案】D
【详解】如图以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 的垂直平分线所在直线为 轴，建立平面直角坐
标系，设点 ，
由题意知， ， ，则 ， ，
所以 ，当 ，即 时 取最小值 ，
故选：D.
1、（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知 ， ，若 ，则 （ ）
A． B．4 C．3 D．
【答案】B
【分析】由平面向量的坐标运算求解，【详解】因为 ，所以 ，所以 .
故选：B.
2、（2023·安徽铜陵·统考三模）在平行四边形 中， 是 边上中点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 是平行四边形 的 边上中点，所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
3、（2023·云南红河·统考一模）已知向量 ， ，且 ，则实数
（ ）
A．2 B． C．8 D．
【答案】D
【分析】计算出 和 ，利用垂直列出方程，求出实数 的值.
【详解】由题意得 ， ，
由 ．得 ，所以 .
故选：D．
4、（2023·云南玉溪·统考一模）在扇形COD中 ， ．设向量 ，
，则 （ ）
A．－4 B．4 C．－6 D．6
【答案】D
【分析】运用向量的数量积运算公式求解即可.
【详解】∵ ， ，∴ ， ，
，
∴ .
故选：D.
5、（2023·云南·统考一模）平面向量 与 相互垂直，已知 ， ，且 与向量 的夹角是
钝角，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，则由题意得 ，解出方程，检验即可.
【详解】设 ，则由题意得 ，即 ，
解得 或 ，
设 ，当 时，此时 ，
又因为向量夹角范围为 ，故此时夹角为锐角，舍去；
当 时，此时 ，故此时夹角为钝角，
故选：D.
6、（2023·山西临汾·统考一模）已知 ， 为不共线的非零向量， ， ，
，则（ ）A． ， ， 三点共线 B． ， ， 三点共线
C． ， ， 三点共线 D． ， ， 三点共线
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出 ，再利用共线向量逐项判断作答.
【详解】 ， 为不共线的非零向量， ， ， ，
则 ， ，
因 ，则 与 不共线， ， ， 三点不共线，A不正确；
因 ，即 与 共线，且有公共点B，则 ， ， 三点共线，B正确；
因 ，则 与 不共线， ， ， 三点不共线，C不正确；
因 ，则 与 不共线， ， ， 三点不共线，D不正确.
故选：B.
7、（2023·河北唐山·统考三模）正方形 边长为 ， 为 中点，点 在 上， ，
则 （ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】C
【详解】设 ，
因为 ， ，
因为正方形 边长为 ， ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
故选：C
8、（2023·安徽宿州·统考一模）（多选题）已知平面向量 ， ， ，则下列说法正
确的是（ ）A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则向量 在 上的投影向量为 D．若 ，则向量 与 的夹角为锐角
【答案】AB
【分析】根据向量线性运算即数量积公式可得AB正确；根据投影向量定义可得向量 在 上的投影向量为
，即C错误；由 可得 ，但此时向量 与 的夹角可以为零角并非锐角，可得D错误.
【详解】若 ，根据平面向量共线性质可得 ，即 ，所以A正确；
若 ，可得 ，即 ，解得 ，所以B正确；
若 ， ，由投影向量定义可知向量 在 上的投影向量为 ，即C错误；
若 ，则 ，所以 ；
但当 时， ，即此时向量 与 的夹角为零角，所以D错误.
故选：AB.
9、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）若向量 ， ，且 ， 共线，则
______．
【答案】
【分析】根据向量共线的充要条件得出 ，然后利用向量的坐标运算即可求解.
【详解】因为 ， 共线，所以 ，解得： ，
所以 ， ，
所以 ，
故答案为： .10、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知向量 ， ，若 ，则
______
【答案】
【分析】根据向量坐标运算法则求出 ，再利用模的计算公式即可.
【详解】根据题意， ，
解得 ，此时 ，则 .
故答案为： .
11、（2023·安徽安庆·校考一模）已知向量 ，设 与 的夹角为 ，则
__________.
【答案】
【分析】由平面向量的夹角公式代入计算即可得出答案.
【详解】由平面向量的夹角公式得，
.
故答案为：
12、（2023·山西晋中·统考三模）设向量 与向量 的夹角为 ，定义 与 的向量积： 是一个向量，
它的模 ．若 ， ，则 （ ）
A．-1 B．1 C． D．
【答案】D
【详解】∵ ，
∴ ，又 ，∴ ，∴ ．
故选：D.
