专题3.4数学方法在物理中的应用问题（原卷版）_4.2025物理总复习_2023年新高复习资料_二轮复习_2023届高考物理二、三轮复习总攻略290387341

第三部分 专项提能优化训练 专题3.4 数学方法在物理中的应用问题 目录 一、正弦定理、余弦定理、三角形相似法..............................................................................................................1 类型1 正弦定理的应用...................................................................................................................................1 类型2 余弦定理的应用...................................................................................................................................4 类型3 三角形相似法的应用...........................................................................................................................5 ......................................................................................................................................................................................7 ....................................................................................................................................................................................10 四、均值不等式........................................................................................................................................................14 四、数学归纳法和数列法........................................................................................................................................16 五、微元法的应用....................................................................................................................................................23 一、正弦定理、余弦定理、三角形相似法 类型1 正弦定理的应用 1．正弦定理： 在如图甲所示的三角形中，各边和所对应角的正弦之比相等。 即：＝＝ 【例1】(2020·日照模拟)如图所示，两个质量分别为m、m的小圆环A、B用不可伸长的细线连着，套在一 个竖直固定的大圆环上，大圆环的圆心为O。系统平衡时，细线所对的圆心角为90°，大圆环和小圆环之 间的摩擦力及细线的质量忽略不计，重力加速度大小用g表示，下列判断正确的是( )A．小圆环A、B受到大圆环的支持力之比是∶1 B．小圆环A受到大圆环的支持力与竖直方向的夹角为15° C．细线与水平方向的夹角为30° D．细线的拉力大小为mg 【针对训练1】.在仰角α＝30°的雪坡上举行跳台滑雪比赛，如图所示。运动员从坡上方 A点开始下滑， 到起跳点O时借助设备和技巧，保持在该点的速率不变而以与水平面成 θ角的方向起跳。最后落在坡上B 点，坡上OB两点距离为L。已知A点高于O点h＝50 m，不计摩擦和阻力，则OB两点距离L最大值为多 少米？此时起跳角为多大？ 【针对训练2】．(2022·银川模拟)如图所示，a、b两个小球穿在一根光滑的固定杆上，并且通过一条细绳 跨过定滑轮连接。已知b球质量为m，杆与水平面的夹角为30°，不计所有摩擦。当两球静止时，Oa段绳 与杆的夹角也为30°，Ob段绳沿竖直方向，则a球的质量为( ) A.m B.m C.m D．2m 【针对训练3】(2022·浙江Z20联盟第二次联考)在圆心为O、半径为R的光学介质圆环内有一点光源P， 可以向纸面内各方向发光，已知OP＝R，介质折射率n＝，则从圆周上有光线射出的范围是(sin 37°＝0.6， cos 37°＝0.8)( )A.πR B.πR C.πR D.2πR 类型2 余弦定理的应用 余弦定理：在如图甲所示的三角形中，有如下三个表达式： a2＝b2＋c2－2bc·cos A b2＝a2＋c2－2ac·cosB c2＝a2＋b2－2ab·cos C 【例2】[多选]已知力F的一个分力F 跟F成30°角，大小未知，另一个分力F 的大小为F，方向未知，则 1 2 F 的大小可能是( ) 1 A. B. C. D.F 类型3 三角形相似法的应用 三角形相似法：相似三角形的对应角相等，对应边成比例，如图乙所示，两三角形相似，有： ＝＝ 【例3】[多选]表面光滑、半径为R的半球固定在水平地面上，球心O的正上方O′处有一无摩擦定滑轮， 轻质细绳两端各系一个可视为质点的小球挂在定滑轮上，如图所示。两小球平衡时，若滑轮两侧细绳的长 度分别为L ＝2.4R和L ＝2.5R，这两个小球的质量之比为，小球与半球之间的压力之比为，则以下说法正 1 2确的是( ) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 【针对训练】(2021·河南焦作高三模拟)如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有 一个光滑的小孔，质量为m的小球套在圆环上。一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用 手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在小球移动过程中手对线的拉力 F和轨道对 小球的弹力F 的大小变化情况是( ) N A.F不变，F 增大 B.F减小，F 不变 N N C.F不变，F 减小 D.F增大，F 减小 N N 三角函数：y＝acos θ＋bsin θ y＝acos θ＋bsin θ＝sin(θ＋α)，其中α＝arctan 。 当θ＋α＝90°时，有极大值y ＝。 max 【例4】(2022·临汾模拟)如图所示是一旅行箱，它既可以在地面上推着行走，也可以在地面上拉着行走。 已知该旅行箱的总质量为15 kg，一旅客用斜向上的拉力拉着旅行箱在水平地面上做匀速直线运动，若拉 力的最小值为90 N，此时拉力与水平方向间的夹角为θ，重力加速度大小为g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，旅 行箱受到地面的阻力与其受到地面的支持力成正比，比值为μ，则( )A．μ＝0.5，θ＝37° B．μ＝0.5，θ＝53° C．μ＝0.75，θ＝53° D．μ＝0.75，θ＝37° 【针对训练1】(2022·浙江新高考创新卷)如图所示，重为G的物体在外力F的牵引下沿粗糙水平面做匀速 直线运动，已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，若F与水平面间的夹角θ从0°到90°逐渐增大，下列说 法错误的是( ) A.力F逐渐增大 B.外力F先减小后增大 C.物体受到的合外力保持不变 D.支持力与摩擦力的合力方向不变 【针对训练3】 (2022·湖北省部分重点中学期末联考)一名同学把箱子从圆弧形的坡底缓慢地推到坡顶，该 同学作用在箱子上的推力方向和箱子的运动方向始终相同。箱子可视为质点，且箱子和坡面之间的动摩擦 因数不变，该同学在推动箱子的过程中，下列说法正确的是( ) A.推力一直减小 B.推力一直增大 C.坡对箱子的作用力一直在减小 D.坡对箱子的作用力一直在增大 【针对训练3】(2022·浙江宁波镇海中学适应性测试)甲、乙两位同学玩相互抛接球的游戏，其中一位同学 将球从A点抛出后，另一同学总能在等高处某点B快速接住，如图所示。假设甲同学出手后球的速度大小 为v，方向与水平面成θ角，忽略空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是( )A.球在空中做变加速曲线运动 B.球在空中上升的最大高度 C.保持θ角不变，球的出手速度越大，球在空中运动的时间一定越短 D.保持出手速度大小不变，改变出手方向，A、B点间最大距离 【针对训练4】(2022·肇庆一模)如图(a)所示，一物体以一定的速度v 沿足够长的固定斜面向上运动，此物 0 体在斜面上的最大位移与斜面倾角的关系如图(b)所示。设各种条件下，物体与斜面间的动摩擦因数不变， 取g＝10 m/s2。试求： (1)物体与斜面之间的动摩擦因数及物体的初速度大小； (2)θ为多大时， x值最小？求出x的最小值。 二次函数：y＝ax2＋bx＋c 当x＝－时，有极值y ＝(若二次项系数a＞0，y有极小值；若a＜0，y有极大值)。 m 【例5】如图，固定在竖直平面内的倾斜轨道AB，与水平固定光滑轨道BC相连，竖直墙壁CD高H＝0.2 m，在地面上紧靠墙壁固定一个和CD等高，底边长L ＝0.3 m的固定斜面。一个质量m＝0.1 kg的小物块 1 (视为质点)在轨道AB上从距离B点L ＝4 m处由静止释放，从C点水平抛出，已知小物块与AB段轨道间 2 的动摩擦因数为0.5，通过B点时无能量损失；AB段与水平面的夹角为37°。(空气阻力不计，取重力加速 度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(1)求小物块运动到B点时的速度大小； (2)求小物块从C点抛出到击中斜面的时间； (3)改变小物块从轨道上释放的初位置，求小物块击中斜面时动能的最小值。 【针对训练1】[多选](2022·临沂期末)如图所示，矩形线框abcd处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场 方向与线框平面垂直，线框ab长为2L，bc长为L，MN为垂直于ab并可在ab和cd上自由滑动的金属杆， 且杆与ab和cd接触良好，abcd和MN上单位长度的电阻皆为r。让MN从ad处开始以速度v向右匀速滑 动，设MN与ad之间的距离为x(0≤x≤2L)，则在整个过程中( ) A．当x＝0时，MN中电流最小 B．当x＝L时，MN中电流最小 C．MN中电流的最小值为 D．MN中电流的最大值为 【针对训练2】(2022·江苏常州市开学考试)如图所示，歼－20战斗机安装了我国自主研制的矢量发动机， 能够在不改变飞机飞行方向的情况下，通过转动尾喷口方向改变推力的方向，使战斗机获得很多优异的飞 行性能。已知在歼—20战斗机沿水平方向超音速匀速巡航时升阻比(垂直机身向上的升力和平行机身向后 的阻力之比)为。飞机的重力为G，使飞机实现节油巡航模式的最小推力是( ) A.G B. C. D. 【针对训练3】(2022·浙江高三开学考试)如图所示，用内壁光滑细圆管弯成的半圆形轨道 APB(半圆轨道半 径远大于细圆管的内径)和直轨道BC组成的装置，把它竖直放置并固定在水平面上，已知半圆轨道半径 R＝1 m，质量m＝100 g小球(视为质点)压缩弹簧由静止释放，小球从A点弹入圆轨道从C点以v ＝8 m/s离 0 开轨道随即进入长L＝2 m、μ＝0.1的粗糙水平地面(图上对应为CD)，最后通过光滑轨道DE，从E点水平 射出，已知E距离地面的高度为h＝1 m，除CD段外其他处摩擦阻力忽略不计，重力加速度g＝10 m/s2.不 计空气阻力，求： (1)小球到达C点时对圆管的压力； (2)弹簧储存的弹性势能的大小； (3)若E点的高度h可以调节，当h多大时，水平射程x最大，此最大值是多少． 【针对训练4】(2022·湖南高三一模)在一条平直的公路上，乙车以v ＝10 m/s的速度匀速行驶，甲车在乙 1 车的后面做同方向初速度为v ＝15 m/s、加速度大小为a＝0.5 m/s2的匀减速运动，若两车初始距离L＝36 2 m，请通过计算分析两车能否相遇？若能相遇则求出两车相遇的时间；若不能相遇则求出两车间的最近距 离． 四、均值不等式 由均值不等式a＋b≥2(a>0，b>0)可知： (1)两个正数的积为定值时，当两数相等，和最小； (2)两个正数的和为定值时，当两数相等，积最大． 【例6】如图所示，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直．小物块以速度v从轨道 下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时 对应的轨道半径为多少？(不计空气阻力，重力加速度大小为g) 【针对训练1】(2022·安徽阜阳市教学质量统测)如图所示，AB是固定在竖直面内的光滑圆弧轨道，圆弧轨 道最低点B的切线水平，最高点A到水平地面的高度为h。现使一小球(视为质点)从A点由静止释放。不计 空气阻力，小球落地点到B点的最大水平距离为( )A. B.h C.h D.2h 【针对训练2】[2022·浙江绍兴(新昌、浦江、富阳)三校联考]如图所示，轨道ABCDE是研究小球在竖直平 面内做圆周运动的条件的简易装置，A到水平桌面的高度为H，最低点B处的入、出口靠近但相互错开，C 是半径R＝10 cm的圆形轨道的最高点，DE部分水平，且恰好与圆形轨道的圆心O 等高，水平桌面上的点 1 O 位于E点的正下方。经过多次实验发现，将一质量 m＝10 g的小球从轨道AB上的某一位置A由静止释 2 放，小球恰能沿轨道运动通过ABCDE到达E点，不计小球与轨道的摩擦阻力以及空气阻力。(g＝10 m/s2) (1)求出A到水平桌面的高度H，小球对圆轨道压力的最大值； (2)若A距水平桌面高H ＝0.3 m，小球仍由静止释放，到达E点离开轨道后落在水平桌面上，求落点与O 1 2 之间的水平距离x； (3)若小球仍从H ＝0.3 m处由静止释放，但DE到水平面的高度h可变，求落点与O 之间的水平距离最大 1 2 值。 四、数学归纳法和数列法 凡涉及数列求解的物理问题都具有过程多、重复性强的特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复， 而是一种变化了的重复．随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着前后有联系的变化．该类问题求解 的基本思路为： (1)逐个分析开始的几个物理过程； (2)利用归纳法从中找出物理量变化的通项公式(这是解题的关键)； (3)最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律求解．无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公式可用． 等差：S＝＝na＋d(d为公差)． n 1 等比：S＝(q为公比)． n 【例7】如图所示，质量M＝2 kg的平板小车左端放有质量m＝3 kg的小铁块(可视为质点)，它和小车之间 的动摩擦因数μ＝0.5.开始时，小车和铁块共同以v ＝3 m/s的速度向右在光滑水平面上运动，车与竖直墙 0 正碰，碰撞时间极短且碰撞中不损失机械能．车身足够长，使铁块不能和墙相撞，且始终不能滑离小车． g取10 m/s2.求小车和墙第一次碰后直至其最终恰好靠墙静止这段时间内，小车运动的总路程． 【针对训练1】(2022·浙江嘉兴市教学测试)如图所示，张同学进行射击游戏，把弹丸(视为质点)从竖直放置 的圆柱形筒的顶端A处沿圆筒的直径方向水平射出，已知弹丸初速度大小为 v ＝10 m/s，圆柱筒高h＝2.45 0 m，直径d＝1 m，物体每次与竖直筒壁碰撞，水平分速度大小变为原来的 50%，方向相反，竖直分速度不 变，则弹丸( ) A.经筒壁1次反弹并击中筒底左边缘B处 B.经筒壁2次反弹并击中筒底右边缘C处 C.经筒壁2次反弹并击中筒底B、C间某处 D.经筒壁3次反弹并击中筒底B、C间某处 【针对训练2】(2022·山东烟台市一模)如图所示，质量为M＝4.5 kg的长木板置于光滑水平地面上，质量为 m＝1.5 kg的小物块放在长木板的右端，在木板右侧的地面上固定着一个有孔的弹性挡板，孔的尺寸刚好可 以让木板无接触地穿过。现使木板和物块以v＝4 m/s的速度一起向右匀速运动，物块与挡板碰撞后立即以 0 碰前的速率反向弹回，而木板穿过挡板上的孔继续向右运动，整个过程中物块不会从长木板上滑落。已知 物块与挡板第一次碰撞后，物块离开挡板的最大距离为x＝1.6 m，重力加速度g取10 m/s2： 1 (1)求物块与木板间的动摩擦因数；(2)若物块与挡板第n次碰撞后，物块离开挡板的最大距离为x＝6.25×10－3 m，求n； n (3)求长木板的长度至少应为多少？ 【针对训练3】．如图所示，装置的左边是足够长的光滑水平面，一轻质弹簧左端固定，右端连接着质量 M＝2 kg的小物块A；装置的中间是水平传送带，它与左右两边的水平面等高，并能平滑对接，传送带始 终以v＝2 m/s的速率逆时针转动。装置的右边是一光滑的曲面，质量m＝1 kg的小物块B从其上距水平面 h＝1.0 m处由静止释放。已知物块B与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.2，传送带的长度l＝1.0 m。设物块 A、B之间发生的是对心弹性碰撞，第一次碰撞前物块A静止，g取10 m/s2。 (1)求物块B与物块A第一次碰撞前的速度大小； (2)通过计算说明物块B与物块A第一次碰撞后能否运动到右边曲面上； (3)如果物块A、B每次碰撞后，物块A再回到平衡位置时都会立即被锁定，而当它们再次碰撞前锁定被解 除，试求出物块B第n次碰撞后运动的速度大小。 【针对训练4】．(2022·南昌一模)如图所示，坐标系x轴水平，y轴竖直。在第二象限内有半径R＝5 cm的 圆，与y轴相切于点Q(0,5 cm)，圆内有匀强磁场，方向垂直于xOy平面向外。在x＝－10 cm处有一个比 荷为＝1.0×108 C/kg的带正电荷的粒子，正对该圆圆心方向发射，粒子的发射速率v ＝4.0×106 m/s，粒子 0 在Q点进入第一象限。在第一象限某处存在一个矩形匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向外，磁感应强 度B ＝2 T。粒子经该磁场偏转后，在x轴M点(6 cm,0)沿y轴负方向进入第四象限。在第四象限存在沿x 0 轴负方向的匀强电场。有一个足够长挡板和y轴负半轴重合，粒子每次到达挡板将反弹，每次反弹时竖直 分速度不变，水平分速度大小减半，方向反向(不考虑粒子的重力)。求： (1)第二象限圆内磁场的磁感应强度B的大小； (2)第一象限内矩形磁场的最小面积； (3)带电粒子在电场中运动时水平方向上的总路程。 【针对训练5】(2021·山东日照市3月模拟)如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一、二象限内，存在以虚线OM为边界的匀强电场和匀强磁场。匀强电场方向沿y轴负方向，匀强磁场方向垂直于xOy平面向里， 虚线OM与x轴负方向成45°角。一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子从坐标原点O处以初速度v 沿x轴 0 正方向运动，粒子每次到达x轴将反弹，第一次反弹无能量损失，以后每次反弹水平分速度不变、竖直分 速度大小均减为反弹前的，方向相反。电场强度大小等于，磁感应强度大小等于，求：(不计粒子重力，题 中各物理量单位均为国际单位，计算结果可用分式表示) (1)带电粒子第三次经过OM时的坐标； (2)带电粒子第三次到达OM时经过的时间； (3)带电粒子从第二次进入电场开始，沿电场方向运动的总路程。 五、微元法的应用 在电磁感应中，如导体切割磁感线运动，产生感应电动势为 E＝BLv，感应电流I＝，受安培力为F＝ILB＝ v，因为是变力问题，所以可以用微元法。 【例7】(2022·浙江嘉兴市教学测试)如图所示，AB、CD是固定在水平桌面上，相距为L的两根平行光滑 导轨，其中MN、PQ两段用绝缘材料制成，其余部分用电阻不计的金属材料制成。ABCD区域内存在竖直 方向的磁感应强度大小为B的匀强磁场。A、C两点间接有一个电动势为E、内阻为r的直流电源，B、D 两点间接有一个阻值为R的定值电阻。将导体棒a静止置于导轨上MP的左侧，紧靠MP，导体棒b静止置 于导轨上MNQP区域内的某一位置，两根棒的长度均等于导轨间距、质量均为 m、电阻值均为R，整个过 0 程中，两根棒始终与导轨垂直。闭合开关S后，导体棒a向右运动，与b棒相碰后即粘合成一根“更粗的 棒”，以v 的速度通过NQ继续向右运动最后静止在导轨上。试求： 0 (1)匀强磁场的方向；(2)该“粗棒”在NQ右侧滑行的距离； (3)从闭合开关S到金属棒a通过MP的短时间内，金属棒a上产生的焦耳热？此过程中电磁辐射的能量是 金属棒a上产生焦耳热的k倍。 【针对训练1】如图所示，在水平面上有两条导电导轨MN、PQ，导轨间距为L，匀强磁场垂直于导轨所 在的平面向里，磁感应强度的大小为B，两根完全相同的金属杆1、2间隔一定的距离摆开放在导轨上，且 与导轨垂直。它们的电阻均为R，两杆与导轨接触良好，导轨电阻不计，金属杆的摩擦不计。杆1以初速 度v 滑向杆2，为使两杆不相碰，则杆2固定与不固定两种情况下，最初摆放两杆时的最小距离之比为( 0 ) A．1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．3∶1 【针对训练2】(2022·浙江宁波市适应性考试)打开水龙头，调节流速，流出涓涓细流，如图所示。若将乒 乓球靠近竖直的水流时，水流受到乒乓球指向球心方向的“吸附力”作用会被吸引，顺着乒乓球表面流动。 这个现象称为康达效应。如图所示，某同学在实验时，水流从A点顺着半径为R的乒乓球表面流动，O为 乒乓球的球心(球心与A、水龙头位于同一竖直平面内)，调节乒乓球A与水龙头之间的距离，使水流恰好 在乒乓球的最低点B与之分离，最后落在水平地面上的C点(未画出)。已知B点到C点的水平射程为x，B 点距地面的高度为h，不计一切阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是( ) A.水流沿着乒乓球表面做匀速圆周运动 B.水流离开B点之前的瞬间，其向心加速度大小为g C.水流受到乒乓球的“吸附力”属于引力相互作用 D.在B点质量为Δm(Δm→0)的水受到乒乓球的“吸附力”为F，则＝g【针对训练3】 如图所示，足够长的光滑平行金属导轨与水平面成 θ角放置，导轨间距为L且电阻不计， 其顶端接有一阻值为R的电阻，整个装置处于磁感应强度大小为 B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平 面向下。一质量为m的金属棒以初速度v 由导轨底端上滑，经一段时间滑行距离x到达最高点后，又返回 0 底端。棒与两导轨始终垂直且接触良好，其接入电路中的电阻为 r，重力加速度为g。下列说法不正确的是 ( ) A.棒下滑过程的平均速度等于 B.棒下滑过程通过R的电荷量为 C.棒上滑时间等于 D.棒上滑过程中回路产生的焦耳热等于mv－mgxsin θ 【针对训练4】(2022·浙江Z20联盟第二次联考)如图所示，有两相距L＝1 m的足够长光滑平行金属导轨 MN、PQ置于绝缘水平面上，导轨电阻不计，导轨右端紧靠一绝缘弹性墙，整个装置处于竖直向上的匀强 磁场中，磁感应强度B＝1 T。质量m ＝0.1 kg、电阻R ＝4 Ω的导体棒AB与质量m ＝0.4 kg、电阻R ＝6 1 1 2 2 Ω的导体棒CD垂直导轨放置，在外力作用下使两导体棒间夹有被压缩的一轻质短弹簧(可认为两棒是挨着 的)；弹簧的弹性势能E ＝1 J，AB棒与墙的距离l＝2 m。某时刻撤去外力，弹簧瞬间恢复原长，使两棒分 p 离，弹簧恢复原长后立即撤去，棒在运动过程中始终与导轨垂直且与导轨保持良好接触。求： (1)弹簧释放后瞬间AB、CD棒的速度大小； (2)两棒最后的距离Δx； (3)整个过程中AB棒产生的焦耳热。