文档内容
泸州市三校联盟 2025 年高二上学期第一次联合考试
数 学 试 题 参 考 答 案
一、选择题：本大题共11个小题，第1～8题每小题5分，第9～11题每小题6分，共58分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B D C D C B A A AD ACD ABD
二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。
12．（1，0） 13．0.58（或 ） 14．［1，+ ∞）
三、解答题：本大题共5个小题，共77分。
15．（本小题满分13分）
解：（1）由正弦定理可得： ，
即： ，
因为 ，所以 ，由 得： ．
（2）因为 ， 的周长为 ，所以 ，
由余弦定理可得： ，
所以 ，即 的面积： ．
16．（本小题满分15分）
解：（1）因为 ， ，且 ，所以四边形 为菱形，则 ,
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 ， 、 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ．
（2）（方法一）因为 平面 ，
所以直线 与平面 所成的角为 ，即 ，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，则 ，
令 ，由四边形 为菱形， ，则 是边长为 的等边三角形，
高二·数学答案 第 1 页 共 7 页所以， ， ， ，
因为 平面 ， ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴，建立如下图所示的空间直角坐标
系，
则 、 、 、 、 ，
则 ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，则 ， ，故 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
，
故平面 与平面 的夹角余弦值为 ．
（方法二）因为 平面 ，
所以直线 与平面 所成的角为 ，即 ，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，则 ，
令 ，由四边形 为菱形， ，则 是边长为 的等边三角形，
所以， ， ， ，
所以， ，
取 中点 ，连接 、 ，
等腰直角 中， 且 ，
由勾股定理得 ，
因为 ，则 ，且 ，
因为 ， ，平面 平面 ，
所以平面 与平面 的夹角即 ，
高二·数学答案 第 2 页 共 7 页在 中， ， ， ，则 ，即 ，
，故平面 与平面 的夹角余弦值为 ．
17．（本小题满分15分）
解：（1）由题意可得 ，解得 ，
由频率分布直方图可知 的频率为 ，而 的频率为 ，
所以第85百分位数在区间 内，设第85百分位数为 ，
则 ，解得 ，
所以第85百分位数为 ．
（2）由频率分布直方图可知 的频率为 ， 的频率为 ，
所以 ，
．
（3）由频率分布直方图可知年龄为 ， 的两组观众频率之比为： ，
所以按比例用分层随机抽样的方法抽取5人，
则年龄在 中的观众应抽取4人，年龄在 中的观众应抽取1人；
记 的四名学生编号为1、2、3、4，记 的一名学生编号为5，
则选出两名学生的可能结果为12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共10种；
设事件 “抽到的两名学生的年龄都来自 ”，
则事件 包含的样本点有12，13，14，23，24，34，共6种，
所以两名学生的年龄均在 的概率 ．
18．（本小题满分17分）
解：（1）由题意得 ，
解得 ， ．
（2）比赛结束后，甲、乙个人得分可能为0，2，3，5，
记甲得分为i分的事件为 ，乙得分为i分的事件为 ，
， 相互独立，
记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E，
高二·数学答案 第 3 页 共 7 页则 ，且 ， ， 彼此互斥，
易得 ， ，
， ，
所以
，
所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为 ．
（3）记甲得分为 分的事件为 ，乙得分为 分的事件为 ，
、 、 、两两互斥，
则
，
，
，
因为 ， ， ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，
即 ．
19．（本小题满分17分）
解：（1）证明：根据题意可知 ， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 是平面 内的两条相交直线，所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 ．
（2）①证明：过点 作 交 于点 ，
高二·数学答案 第 4 页 共 7 页因为平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ．
又因为 平面 ，则 ；
根据题意，平面图形翻折后 ， ，
且 是平面 内两条相交直线，
所以 平面 ，又 ，得 平面 ．
又 平面 ，则 ，
因为 是平面 内两条相交直线，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ．
②方法一：
直角梯形 中， ， ，且 ，
由①可知 平面 ，
由（1）可知由题意平面 平面 ，
所以 到底面 的距离为 ，
在 中，设点 到 的高 ，即 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 平面 ，
设点 到底面 的高为 ，
在 中，根据三角形的面积公式 ，∴ ；
几何体 的体积为
；
取 的中点 ，连接 ，
因为 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，又因为 平面 ，所以 ，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，∴ ，化简得到 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
故当 取得最大值时，即 取得最小值 ， ，
高二·数学答案 第 5 页 共 7 页所以几何体体积 ．
方法二：
直角梯形 中， ，且 在平面 上，
由①可知 平面 ，
由（1）可知由题意平面 平面 ，
所以点 到底面 的距离为 ，
在 中，设点 到 的高 ，即 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 平面 ，
设点 到底面 的高为 ，
在 中，根据三角形的面积公式 ，∴ ．
几何体 的体积为
．
过点 作 的垂线交直线 于 ，分别以 为 轴正方向建立空间直角坐标
系，
则
，
，
设平面 的法向量为 ，
，
令 ，可得 ，
，设平面 的法向量为 ，
，
令 ，可得 ，
高二·数学答案 第 6 页 共 7 页因为平面 平面 ，所以 ，化简得到
，
因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
故当 取得最大值时，即 取得最小值 ， ，
所以几何体体积 ．
高二·数学答案 第 7 页 共 7 页
