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2024 届高三（9）月起点考试
数学参考答案
1~8:BADC DCBB
9.AC 10.ACD 11.ABC 12.BC
13. 40 14. 15. 16.
17.解：(1)
………………1分
由正弦定理得 …………2分
由余弦定理可得 …………3分
，
…………………………5分
(2)由余弦定理得
…………………………6分
由于 ，
……………………7分
故
………………………………10分
18.(1)证明：连接DP，则四边形DPCF是矩形．
又 ,则 ，从而 …………2分
由 平面ABC，且 平面ABC，得
由 ，且PR为三角形ABC的中位线，得
又因为 ，AC， 平面ADFC，
所以 平面
由于 平面 ，则 …………4分
因为 ， 平面PQR，则 平面
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学科网（北京）股份有限公司又因为 平面BCD，
所以平面 平面 …………………………6分
(2)解：以P为原点，PA、PR、PD为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
故 ， ，
设 是平面 的法向量，则
取 ，得 ， …………………………………………8分
设 是平面 的法向量，则
取 ，得 ， ……………………………………10分
设平面 与平面 相交所成角的平面角为 ，则
又 …………11分
故所求余弦值为 ………………………………………………12分
19.解：（1） …………1分
在 处取得极值， ，解得 ……………………………2分
当 时， ， ， 在 增，在 减，故在
处有极大值， 符合题意………………………………………………3分
， ……………………………………………………4分
曲线 在点 处的切线方程为 ，
即为： ……………………………………………………6分
（2）由 在 上为减函数， 在 上恒成立，
可得 ，在 上恒成立……………………………………8分
令 ， ，
在 上单调递增， ， ,因此 …………12分
20.解：(1)因为数列 的前n项和为 ，且
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学科网（北京）股份有限公司当 时， …………………………………………1分
当 时，
也满足上式，所以 …………………………3分
在数列 中， ……………………4分
则公比 ，
所求通项公式为 , …………………………………6分
(2)由(1)得
而 ………………8分
…………11分
因为 ，故 ………………12分
21.解：(1)由题可知： …………………………2分
………………………………3分
(2) 次操作后，甲盒有一个黑球的概率 ，由全概率公式知：
…………4分
………………………………………………6分
……………………………………………8分
,
即 …………………………………………9分
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学科网（北京）股份有限公司(3) ，
又
即 …………10分
…………12分
22.(1)解：当点P为椭圆C短轴顶点时， 的面积取最大值 …………1分
结合 及 ，解得
故椭圆C的标准方程为 …………4分
设点
若直线PQ的斜率为零，由对称性知 ，不合题意.……5分
设直线PQ 的方程为 ，由于直线PQ不过椭圆 C 的左、右顶点，则
联立 得 ，由 可得
， ………………………………………………6分
所以
解得 …………7分
即直线PQ的方程为 ，故直线PQ过定点 .…………8分
由韦达定理可得 ，
由平面几何知识
………9分
所以 ……10分
设 则 ，当 时
故 在 单调增……11分
因为 ，所以
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学科网（北京）股份有限公司因此， 的最大值为 …………12分
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