文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C A A A D C D A A A
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11． 12． /3.5 13．
14． 15. ①②③
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16.（13分）
(1)证明见解析(2)
【解】（1）证明：在 中，由 ，得 ， ，
所以 ，则 ，
又 ， ，
所以 ，即 ，
因为 ，又 平面 ， ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）因为四边形 为正方形，则 ，
又因为 平面 ，则 平面 ，
以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为x、y轴，
平面 内过点 且与直线 垂直的直线为 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
所以， ， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则 .
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，可得 ，
设二面角 的平面角大小为 ，
则 ，
所以，二面角 的余法值为 .
17.（14分）
(1) (2)
【详解】（1）选择①： ，由余弦定理知： ，即 .
∴ ，即 ，
结合正弦定理可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 .
∵ ，
∴ .
选择②：∵ ，
∴由正弦定理得 .
由余弦定理得 .
∵ ，
∴ .
（2）由（1）知 .
又因为 ， ，
∴由余弦定理得： ，即 ，
∴ ，
∴ 的面积 .
18.（14分）(1)0.15(2) (3)
【详解】（1）记事件 “硬币正面向上”，事件 “7：40-7：45到校”
则由题有 ， ， ，
故 .
（2） 可取1，2，3，…，9，10，
由题：对于 ， ； ，
故 ，
，
以上两式相减得： ，
故 .
所以 .
（3）由题意： ， ，则 ，
这说明 为以 为首项， 为公比的等比数列.
故 ，所以 .19.（14分）
(1) ；(2)是定值， .
【详解】（1）由题意 ，故 .
（2）由（1）及题设知： ，直线 的斜率存在且不为0，
设 ，则 ，即 ，
所以 ，又过点O且与直线BG垂直的直线记为l，则 ，
故直线 ，而直线 ，则 ，
联立 ，而 ，可得 ，
所以 ，故 ，过 作 轴，如图，
所以 为定值.20.（15分）
(1)极大值为 ，无极小值(2) (3)证明见解析
【解】（1）由题意知函数 的定义域为 ， ，
， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，极大值为 ，无极小值.
（2）由题意知函数 的定义域为 .
，
则 ， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 .
（3）不妨设 ，则由（2）知 ， .
设 ，由 ，得 ，
即 ，因为函数 在R上单调递增，所以 成立.
构造函数 ，则 ，
， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
构造函数 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，
所以当 时， ，即当 时， ，
所以 ，
又 在 上单调递减，
所以 ，即 .
21.（15分）
(1)不是“ ”数列
(2) ，
(3) ，证明见解析
【详解】（1）根据“ 数列”的定义，则 ，故 ，
因为 成立， 成立， 不成立，
所以 不是“ 数列”.
（2）由 是首项为 的“ 数列”，则 ， ，由 是等比数列，设公比为 ，
由 ，则 ，
两式作差可得 ，
即
由 是 “ 数列”，则 ，对于 恒成立，
所以 ，
即 对于 恒成立，
则 ，即 ，
解得， ， ，
又由 ， ，则 ，即
故所求的 ，数列 的通项公式
（3）设函数 ，则 ，令 ，
解得 ，当 时， ，
则 在区间 单调递减，
且 ，
又由 是 “ 数列”，
即 ，对于 恒成立，
因为 ，则 ，再结合 ，
反复利用 ，
可得对于任意的 ， ,
则 ，
即 ，则 ，
即 ， ， ， ，
相加可得 ，
则 ,
又因为 在 上单调递增，
所以 ，
又 ，所以 ，
即 ，
故 .
