文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求
的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由已知 ，故选：B．
2．已知复数 为纯虚数（其中 为虚数单位），则实数 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【详解】根据题意， ，
因为 为纯虚数，所以 ，解得 .故选：C.
3．下列函数是偶函数，且在 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】A选项， 在 上单调递减，A错误；
B选项， 的定义域为 ，定义域不关于原点对称，不是偶函数，B错误；C选项， 的定义域为R，又 ，故 为偶函数，
且 时， 在 上单调递增，满足要求，C正确；
D选项， 的定义域为R，且 ，故 ，
不是偶函数，D错误.故选：C
4．已知 ，则 （ ）
A． B．2 C．4 D．12
【答案】D
【详解】令 ，则 ，
即原式可化为 ，
对 有 ，
令 ，即 时，有 ，
对 有 ，
令 ，即 时，有 ，
即 .故选：D.
5．已知点 ， ，动点C在圆 上，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【详解】不妨设 ， ．
因为 ， ，则 ， ，
所以 ．当 时，即 时等号成立，故选:D．
6．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记
录视力数据，五分记录法的数据 和小数记录法的数据 满足 （其中 ， 为常数），已知某
同学视力的五分记录法的数据为 时小数记录法的数据为 ，五分记录法的数据为 时小数记录法的
数据为 ，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】B
【详解】由五分记录法的数据为 时小数记录法的数据为 ，
五分记录法的数据为 时小数记录法的数据为 ，
则 ，解得 .
故选：B.
7．过抛物线 的焦点 作直线 与该抛物线交于 两点，与 轴交于点 ，若 在第一象
限， 的倾斜角为锐角，且 为 的中点，则 的斜率为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】B
【详解】抛物线 的焦点 ，准线 ，
过点 作 于点 ，交 轴于点 ，则 轴，如图，由 为 的中点，得 ，则 ，
，
所以 的斜率 .故选：B
8．已知公比不为1的等比数列 的前 项和为 ，记 ： 为等差数列； ：对任意
自然数 为等差数列，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【详解】因为命题 成等差数列，所以 ，又数列 为等比数列，且公比不为1，
所以 ，整理得到 ，
又命题 成等差数列，所以 ，即 ，整理得到
，
所以 是 的充要条件，故选：C.9．若函数 在 上有两个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，令 ，即 ，则 ，
所以函数 在 上有两个不同的零点等价于曲线 和 在 上有两个不同
的交点，
设 ， ，则 ，令 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ，当 时， ，且 时， ，
其图像如图所示，
故 的取值范围为 .故选：C.
10．古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率.黄金分割率的值也
可以用 表示，即 ，设 为正五边形的一个内角，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】先计算出 ，然后利用诱导公式以及二倍角的余弦公式求解出结果.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，故选：A.
第 II 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知向量 满足 ， 与 的夹角为 ，则 ;
【答案】 1 2
【详解】因为向量 满足 ， 与 的夹角为 ，
所以 ，
.
故答案为：1；2
12．若函数 的图象在 内恰好有两条对称轴，则实数 的值可以是
（写出一个满足题意的 即可）．
【答案】 或 （只写一个即可）
【详解】因为 ，则 ，
因为需要包含两条相邻的对称轴，因为 在区间内，则有 ，
即 ，所以 或4．
故答案为： 或 （只写一个即可）13．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点A在C的左支上， 交C的右支于点
B， ， ，则C的焦距为 ， 的面积为 ．
【答案】
【详解】
取AB的中点M，则 ， ， ， ， 是
等腰三角形，
，设 ，由双曲线的定义得 ，
， ，在 中， ，
， ．在 中， ，解得 ，则双曲
线C的焦距为 ；
， 的面积为 ；
故答案为：① ，② .
14．已知函数 ，满足对任意 ，都有 成立，则 的取值范
围是 .
【答案】【详解】对任意 ，都有 成立，即 在定义域内单调递减，
则有 ，解得 .
故答案为： .
15．如图， ， 分别是正四棱柱 上，下底面的中心， 是 的中点， ，则
下列结论正确序号有
①．
②．
③．异面直线 与 所成角的余弦值为
④．平面 与平面 夹角的余弦值为
【答案】①③④
【详解】对于①中，因为底面 为正方形，且 分别是正四棱柱 上、下底面的中
心，所以 ， ，
又因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，所以①正确；
对于②中，由 分别是正四棱柱 上底面的中心，
可得 是 的中点，则 平面 ，因为 平面 ，
所以 与 不平行，所以②错误；
以点 为原点，直线 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，设 ，则 ， ， ， ， ， ， ，可得 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，
又由 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，
对于③中，由 ，所以③正确；
对于④中，由于平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，
可得 ，所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ，所以④正确．
故选：①③④．
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（13分）如图，在四棱锥 中，已知 ，底面 是正方形， 为棱 的中点，
.(1)求点 到平面 的距离；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】(1) (2)
【详解】（1）因为四边形 是正方形，所以 ，且 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，即 两两互相垂直．
故以点 为坐标原点， 为 轴正方向， 为 轴正方向， 为 轴正方向，建立空间直角坐标系，
如图：
则 ，
所以 ，设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，得 ，
设点 到平面 的距离为 ，则 .故点 到平面 的距离为 .
（2）设平面 的法向量为 ，又 ，
则 ，即 ，令 ，得 ，
设平面 与平面 夹角为 ，
则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17．（14分）从① ；②
这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：______．
(1)求角C的大小；
(2)若 ， 的内心为I，求 周长的取值范围．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）选择条件①， ，
在 中，由正弦定理得 ，
整理得 ，则由余弦定理， ，
又 ，所以 ．
选择条件②， ，于是 ，
在 中，由正弦定理得， ，
因为 ，则 ，即 ，
因为 ，因此 ，即 ，又 ，所以 ．
（2）
如图，由（1）知， ，有 ，
因为 的内心为 ，所以 ，于是 ．
设 ，则 ，且 ，
在 中，由正弦定理得， ，
所以 ，
所以 的周长为 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以 周长的取值范围为 ．
18．（14分）高中的数学试卷满分是150分，记成绩在 分属于优秀．杜老师为研究某次高三联考本校学生的数学成绩，随机抽取了200名学生的数学成绩（均在区间 内）作为样本，并整理成如
下频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图计算样本的中位数并估计本次高三联考该校学生的数学成绩的优秀率；（结果保留
两位小数）
(2)从样本数学成绩在 ， 的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学
生中随机选出3人，记这3人中来自 组的人数为X，求X的分布列与数学期望．
【答案】(1)中位数约为116.43分，优秀率约为
(2)分布列见解析，
【详解】（1）由频率分布直方图可知 ，解得 ．
数学成绩在 内的频率为 ，在 内的频率为
，
∴样本的中位数落在 内．
设样本的中位数为m，则满足 ，解得 ，
故样本的中位数约为116.43分．
由样本估计总体得，本次高三联考该校学生的数学成绩的优秀率约为 ．
（2）由题图可知， 和 这两组频率之比为 ，
按分层抽样法，抽取的5名学生中，数学成绩在 的学生有3名，在 的学生有2名，从这5名学生中随机选出3人，则X的所有可能取值为1，2，3．
∴ ，
∴X的分布列为
X 1 2 3
P
∴ ．
19．（14分）已知函数 .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若对 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【详解】（1）由 得 ，
所以切线斜率 ，又 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，化简得 ；
（2）对 ， 恒成立，即 在 恒成立，
即 在 恒成立，设 ，则 ，令 得 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以函数 在 时， 取得极大值也是最大值 ，所以 ，因为 恒成立，所以 ，
所以 的取值范围是 .
20．（15分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过点 且与直线 垂直的
直线交 轴负半轴于 ，且 .
(1)若过 、 、 三点的圆恰好与直线 相切，求椭圆 的方程；
(2)设 .过椭圆 右焦点 且不与坐标轴垂直的直线 与椭圆 交于 、 两点，点 是点 关于 轴的
对称点，在 轴上是否存在一个定点 ，使得 、 、 三点共线？若存在，求出点 的坐标；若不存
在，说明理由.
【答案】(1) ； (2)存在， .
【详解】（1）依题意，设 ，由 ，得 是线段 的中点，则 ，
由直线 与 垂直，得 ，则
显然过 、 、 三点的圆的圆心为 ，半径为 ，
由过 、 、 三点的圆恰好与直线 相切，得 ，解得 ，
有 ， ，所以椭圆 的方程为 .（2）由（1）及 ，得 ， ，椭圆 的方程为 ，
设直线 方程为 ， ，则 ，
由 消去x并整理得 ，
， ，
直线 的方程为 ，
令 得
，
所以在 轴上存在一个定点 ，使得 、 、 三点共线.
21．（15分）已知数列 ： ， ，…， .如果数列 ： ， ， 满足 ， ，
其中 ，则称 为 的“衍生数列”.
(1)若数列 ： ， ， ， 的“衍生数列”是 ：5， ，7，2，求 ；
(2)若 为偶数，且 的“衍生数列”是 ，证明： 的“衍生数列”是 ；
(3)若 为奇数，且 的“衍生数列”是 ， 的“衍生数列”是 ，…依次将数列 ， ， ，…第（ ）项取出，构成数列 ： ， ， ….求证： 是等差数列.
【答案】(1)2，1，4，5 (2)证明见解析 (3)证明见解析
【详解】（1）由题意知，
，
解得 ，
所以 ；
（2）由 ，得 ，
所以 ， ，
由于n为偶数，将上式n个等式中的第2,4,6， ，这 个式子都乘以-1，相加得
，
即 ，所以 ，
又 ， ，
根据“衍生数列”的定义知，数列 是 的“衍生数列”；
（3）设数列 中后者是前者的“衍生数列”.
欲证数列 成等差数列，只需证明 成等差数列，
即只要证明 即可.
由（2）知 ，
，
所以 ，即 成等差数列，所以 成等差数列.
