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高一､二实验班数学测试题
一､单项选择题(本题共8小题，每小题5分，只有一项是符合题目要求的)
1. 在复平面内，复数 ( 是虚数单位)，则复数 的共轭复数所对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用复数代数形式的乘除运算化简 ，然后再求出其共轭复数在复平面内对应的点的坐标判断即可.
【详解】
，
，其在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第三象限.
故选：C.
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的几何意义，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
2. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱全面积与侧面积的比为（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
解：设圆柱底面积半径为r，则高为2πr，全面积：侧面积=[（2πr）2+2πr2]：（2πr）2
这个圆柱全面积与侧面积的比为 ,故选A3. 如图所示，在四棱锥 中， 分别为 上的点，且 平面 ，则（ ）
A. B. C. D. 以上均有可能
【答案】B
【解析】
∵MN∥平面PAD，平面PAC∩平面PAD＝PA，MN⊂平面PAC，
∴MN∥PA. 故选B.
考点：直线与平面平行的性质.
4. 已知 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平行四边形法则求解即可.
【详解】依题意， ，故
故选A．【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题.
5. 在 中， 分别是角 的对边，满足 ，则 的最大角为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知条件和余弦定理可得选项.
【详解】根据方程可知： ，故 ，由余弦
定理得： ，又 ，故 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查三角形中余弦定理的应用，熟记余弦定理的形式是关键，属于基础题.
6. 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ）
分数 5 4 3 2 1
人数 20 10 30 30 10
A. B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：根据平均数、方差、标准差的概念直接运算即可．
解：∵ ，
∴=
= ， ．
故选B．
7. 在 中， 分别是角 的对边，满足 ，则 的形状为（ ）
A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 锐角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
利用余弦定理表示出 ,代入已知等式变形后得到 ,即可结论.
【详解】 , ,即 ,
整理得: ,即 ,则 为等腰三角形.
故选：C.
【点睛】本题考查了余弦定理以及等腰三角形的判定,熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题.
8. 掷一枚骰子 的试验中，出现各点的概率均为 ，事件 表示“出现小于5的偶数点”，事件 表示“出
现小于5的点数”，则一次试验中，事件 （ 表示事件 的对立事件）发生的概率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意知试验发生包含的所有事件是6，事件 和事件 是互斥事件，看出事件 和事件 包含的基本事
件数，根据互斥事件和古典概型概率公式得到结果．
【详解】解： 事件 表示“小于5的点数出现”，
的对立事件是“大于或等于5的点数出现”，表示事件是出现点数为5和6．
事件 表示“小于5的偶数点出现”，
它包含的事件是出现点数为2和4，
，
．
故选： ．
【点睛】本题考查互斥事件和对立事件的概率，分清互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不可能
同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的事件，属于基础题．
二､多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)
9. 若复数 ，其中 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A. 的虚部为 B.
C. 为纯虚数 D. 的共轭复数为
【答案】ABC
【解析】
【分析】
首先利用复数代数形式的乘除运算化简 后得： ，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即
可.
【详解】
因为 ，
对于A： 的虚部为 ，正确；
对于B：模长 ，正确；对于C：因为 ，故 为纯虚数，正确；
对于D： 的共轭复数为 ，错误.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基
础知识的理解和掌握，属于常考题.
10. 有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥的两个事件是（ ）
A. 至少有1件次品与至多有1件正品 B. 至少有1件次品与都是正品
C. 至少有1件次品与至少有1件正品 D. 恰有1件次品与恰有2件正品.
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据互斥事件的定义，对每个选项做出判断，从而得到结论．
【详解】对于A，至少有1件次品与至多有1件正品不互斥，它们都包括了“一件正品与一件次品”的情
况，故不满足条件；
对于B，至少有1件次品与都是正品是对立事件，属于互斥事件，故满足条件；
对于C，至少有1件次品与至少有1件正品不互斥，它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况，故不
满足条件；
对于D，恰有1件次品与恰有2件正品是互斥事件，故满足条件．
故选：BD．
【点睛】本题考查互斥事件的判断，考查逻辑思维能力和分析求解能力，侧重考查对基础知识的理解和掌
握，属于基础题.
11. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事
互联网行业岗位分布条形图，则下列结论正确的是（ ）
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A. 互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上
B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据扇形统计图和条状图，逐一判断选项，得出答案.
【详解】选项A：因为互联网行业从业人员中，“90后”占比为56％，
其中从事技术和运营岗位的人数占的比分别为39.6％和17％，
则“90后”从事技术和运营岗位的人数占总人数的
.“80前”和“80后”
中必然也有从事技术和运营岗位的人，则总的占比一定超过三成，
故选项A正确；
选项B：因为互联网行业从业人员中，“90后”占比为56％，
其中从事技术岗位的人数占的比为39.6％，则“90后”从事技术
岗位的人数占总人数的 .“80前”和“80后”
中必然也有从事技术岗位的人，则总的占比一定超过20％，故选项B正确；
选项C：“90后”从事运营岗位的人数占总人数的比为 ，
大于“80前”的总人数所占比3％，故选项C正确；
选项D：“90后”从事技术岗位的人数占总人数的 ，
“80后”的总人数所占比为41％，条件中未给出从事技术岗位的占比，
故不能判断，所以选项D错误.故选：ABC.
【点睛】本题考查了扇形统计图和条状图的应用，考查数据处理能力和实际应用能力，属于中档题.
12. 已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点 、 ，若线段 的最小值为 ，则（ ）
A. 正方体的外接球的表面积为 B. 正方体的内切球的体积为
C. 正方体的棱长为2 D. 线段 的最大值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】
设正方体的棱长为 ，由此确定内切球和外接球半径，由 的最小值为两球半径之差可构造方程求得 ，
进而求得外接球表面积和内切球体积；由 的最大值为两球半径之和可得到最大值.
【详解】设正方体的棱长为 ，
则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即 ；内切球半径为棱长的一半，即 .
分别为外接球和内切球上的动点，
，解得： ，即正方体棱长为 ， 正确，
正方体外接球表面积为 ， 正确；内切球体积为 ， 正确；
线段 的最大值为 ， 错误.
故选： .
【点睛】本题考查正方体外接球和内切球相关问题的求解，关键是通过球的性质确定两球上的点的距离最
小值为 ，最大值为 .
三､填空题13. 已知向量 ， ，其中 ， ， 与 的夹角为 ________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，根据平面向量坐标加减法运算和模的求法，分别求出 和 的坐标和 ，再利用平面向量
的数量积运算，即可求出 与 的夹角.
【详解】解：由题可知， ， ，
则 ，
，
得 ， ，
所以 ，
又因为两向量的夹角范围为 ，
所以 与 的夹角为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的夹角，以及向量的坐标加减法运算和模的求法，属于基
础题.
14. 在 中，若 ， ， ，则 等于________.【答案】 或 .
【解析】
【分析】
由正弦定理，求得 ，得到 或 ，分类讨论，即可求得 的值.
【详解】由正弦定理，可得 ，所以 ，
因为 ，所以 或 ，
当 时， ，可得 ；
当 时， ，此时 ，
综上可得 或 .
故答案为： 或 .
【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中利用正弦定理求得 的值，得出 的大小是解
答的关键，着重考查分类讨论，以及运算与求解能力.
15. 如图，在 中， ， 是 上的一点，若 ，则实数 的值为
________.
【答案】
【解析】
【分析】解法1：先根据 得到 ，从而可得 ，再根据三点共线定理，
即可得到 的值.
解法2：根据图形和向量的转化用同一组基底 去表示 ，根据图形可得： ，
设 ，通过向量线性运算可得： ，从而根据平面向量基本定理列方
程组，解方程组得 的值.
【详解】
解法1：因为 ，所以 ，
又 ，
所以
因为点 三点共线，
所以 ，
解得： .
解法2：
因 为 ，设 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 解得： ，
所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算、三点共线定理，平面向量基本定理的运用，属于基础题.
16. 在平行四边形 中， ， ，且 ，以 为折痕，将 折起，
使点 到达点 处，且满足 ，则三棱锥 的外接球的表面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先由余弦定理求得 ，在四面体 中，根据棱长关系可知，将四面体 放在长方体中，
则三棱锥 的外接球转化为长方体的外接球，根据棱长关系求出长方体的长、宽、高，利用长方
体的体对角线等于外接球的直径，求出外接球半径，从而可求得外接球的表面积.【详解】解：在 中， ， ，且 ，
由余弦定理，得 ，
即： ，解得： ，
在四面体 中， ， ， ，
三组对棱长相等，可将四面体 放在长方体中，
设长方体的相邻三棱长分别为 ， ， ，设外接球半径为 ，
则 ， ， ，
则 ，即 ，所以 .
所以，四面体 外接球的表面积为：
.
故答案为： .
【点睛】本题考查外接球的表面积，涉及长方体的外接球的性质，考查转化思想和计算能力.
四､解答题(本题共6题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤)
17. 已知复数w满足 为虚数单位 ， ．
求z；
若 中的z是关于x的方程 的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．【答案】（1） ．（2） ， ， ．
【解析】
【分析】
利用复数的运算计算出w，代入z即可得出．
把 代入关于x的方程 ，利用复数相等解出p，q，即可得出．
【详解】 ， ，
．
是关于x的方程 的一个根，
， ，
，q为实数， ，
解得 ， ．
解方程 ，得
实数 ， ，方程的另一个根为 ．
【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18. 在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，并且 .已知________，计算
的面积.请① ，② ，③ 这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完
整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可.
【答案】答案不唯一，见解析
【解析】
【分析】根据余弦定理求出 ，若选择① ，② ，，根据余弦定理求出 ，然后根据面积公式
可求得结果；若选择① ，③ ，根据正弦定理和余弦定理求出 和 ，然后根据面积
公式可求得结果；若选择② ，③ ,根据正弦定理求出 ，再根据面积公式可求得结果.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
若选择① ，② ，由 ，
得 ，即 ，解得 （负值舍去）
所以 .
若选择① ，③ ，由 以及正弦定理可得 ，
由 得 ，得 ，，
所以 .
若选择② ，③ ,由 以及正弦定理可得 ，所以 ，
所以 .
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，属于基础题.
19. 如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 面 ， 为 的中点．
（1）证明： 平面 ;（2）设 ， ，三棱锥 的体积 ，求A到平面PBC的距离．
【答案】（1）证明见解析 （2） 到平面 的距离为
【解析】
【详解】试题分析：（1）连结BD、AC相交于O，连结OE，则PB∥OE，由此能证明PB∥平面ACE．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A到平
面PBD的距离
试题解析：(1）设BD交AC于点O，连结EO．
因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．
又E为PD的中点，所以EO∥PB
又EO 平面AEC，PB 平面AEC
所以PB∥平面AEC．
（2）
由 ，可得 .
作 交 于 ．
由题设易知 ，所以
故 ，
又 所以 到平面 的距离为
法2：等体积法由 ，可得 .
由题设易知 ,得BC
假设 到平面 的距离为d，
又因为PB=
所以
又因 为 (或 )，
，
所以
考点：线面平行的判定及点到面的距离
20. 若5张奖券中有2张是中奖的，先由甲抽1张，然后由乙抽1张，求：
（1）甲中奖的概率 ；
（2）甲､乙都中奖的概率 ；
（3）只有乙中奖的概率 .
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】
（1）记甲中奖为事件A，5张奖券中有2张是中奖的，由等可能事件的概率公式计算可得答案；（2）记甲、乙都中奖为事件B，由（1）可得，首先由甲抽一张，中奖的概率，分析此条件下乙中奖的概
率，由相互独立事件的概率的乘法公式计算可得答案；
（3）记只有乙中奖为事件C，首先计算由对立事件的概率性质计算甲没有中奖的概率，进而分析此条件下
乙中奖的概率，由相互独立事件的概率的乘法公式计算可得答案.
【详解】（1）根据题意，甲中奖为事件A，
5张奖券中有2张是中奖的，则甲从中随机抽取1张，则其中奖的概率为 .
（2）记甲、乙都中奖为事件B，
由（1）可得，首先由甲抽一张，中奖的概率为 ，
若甲中奖，此时还有4张奖券，其中1张有奖，则乙中奖的概率为 ，
则甲、乙都中奖的概率 .
（3）记只有乙中奖为事件C，
首先甲没有中奖，其概率为 ，
此时还有4张奖券，其中2张有奖，则乙中奖的概率为 ，
则只有乙中奖的概率为 .
【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式，注意在甲中奖与否的条件下，乙中奖的概率不同，
属于中档题.
21. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门
的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为（1）求频率分布直方图中 的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在 的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在 的概率.
【答案】（1）0.006；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为 ，可求 ；
（2）在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为 ，由频率与概率关系可得该部
门评分不低于80的概率的估计值为 ；
（3）受访职工评分在[50，60)的有3人，记为 ，受访职工评分在[40，50)的有2 人，记为 ，
列出从这5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率.
【详解】（1）因为 ，
所以
（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为 ，
所以该企业职工对该部门评分不低于80 的概率的估计值为
（3）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，
即为 ；
受访职工评分在[40，50)的有： 50×0.004×10=2(人)，即为 .
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即 ，
故所求的概率为
【点睛】本题考查频率分布直方图､概率与频率关系､古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，
注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出
所有的基本事件，千万不可出现重､漏的情况.
22. 在四棱锥 中，侧面 ⊥底面 ，底面 为直角梯形， // ，
， ， ， 为 的中点．
（Ⅰ）求证：PA//平面BEF；
（Ⅱ）若PC与AB所成角为 ，求 的长；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-BE-A的余弦值．
【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）二面角 的余弦值为 .
【解析】
【详解】【分析】
分析：（Ⅰ）连接 AC 交 BE 于 O，并连接 EC，FO，由题意可证得四边形 ABCE 为平行四边形，则
， //平面 .
（Ⅱ）由题意可得 ，且 ，则 ，故 .
（Ⅲ）取 中点 ，连 ，由题意可知 的平面角，由几何关系计算可得二
面角 的余弦值为 ．
详解：（Ⅰ）证明：连接AC交BE于O，并连接EC，FO，
, 为 中点
AE//BC，且AE=BC
四边形ABCE为平行四边形
O为AC中点
又F 为AD中点
，
，
//平面
（Ⅱ）由BCDE为正方形可得由ABCE为平行四边形可得 //
为 即
，
侧面 底面 侧面 底面 平面
，
，
.
（Ⅲ）取 中点 ，连 ，
， ，
平面 ，
的平面角，
又 ，
，所以二面角 的余弦值为 ．
点睛：(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：
①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；
②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．
(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二
面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
