文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（天津专用）
黄金卷·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9
C A A C C D B A D
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10． 11． 12． 13．
14．9 15．
三、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（14分）
【详解】（1）由正弦定理 ，
原式可化为： ，
整理得： ，
因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 .
（2）由余弦定理 ，
即 ，解得 .由正弦定理 ，解得 ，
因为 ，所以A为锐角， ，
所以 ，
.
17．（15分）
【详解】（1）证明：法一：分别取 、 的中点 、 ，连接 、 、 ，
由题意可知点 、 分别为线段 、 的中点．所以 ， ，
因为 ，所以 ，所以点 、 、 、 四点共面，
因为 、 分别为 、 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 ， 、 平面 ，所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 ；
法二：因为 为正方形，且 平面 ，所以 、 、 两两互相垂直，
以点 为坐标原点，以 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则 、 、 、 、 、 ，
所以 ，易知平面 的一个法向量 ，
所以 ，所以 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ．
（2）解：设平面 的法向量 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
易知平面 的一个法向量 ，设平面 与平面 夹角为 ，
则 ，
所以平面 与平面 夹角余弦值为 ；
（3）解：假设存在点 ，使得 ，其中 ，
则 ，
由（2）得平面 的一个法向量为 ，由题意可得 ，
整理可得 ．即 ，
因为 ，解得 或 ，所以， 或 ．
18．（15分）
【详解】（1）设椭圆左，右焦点分别为 ， ，
由题意可知， ，①
因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，即 ，
整理得， ，②
又 ，③
由①②③解得， ， ， ，
所以椭圆方程为 .
（2）
由（1）可知， ，
由题意知，当直线 的斜率为0， ， 重合， ， 重合， ，符合题意；当直线斜率不为零时，设其直线方程为 ， ，
由 可得， ，
，
则 ， ，
因为 ，所以 的直线为 ，
令 ，则 ，即 ，
同理可得 ，
所以
所以 ，
，
点 到直线 的距离为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，
解得， 或 ，
当 时，直线 的方程为 ，此时直线过点 ，不符合题意，舍去；
当 时，直线 的方程为 ,即 ，符合题意.
综上，所以直线 的斜率为 或0.
19．（15分）
【详解】（1）由 可得：
时， ，
相减可得 ，故 ，
当 时， 也符合上式，故 ，
由 可得 ，所以数列 为公差为0的等差数列，且首项为2，
所以 ，则 .
（2）由 和 可得 ，
记 ，则 ，所以 ，
当 时， ，当 时， ，此时 单调递减，
而 ,
由于集合M的元素个数为2，所以 ，故 .
（3）由 得 ， ，
由于 ，
因此
.
20．（16分）
【详解】（1）当 时， ， ，
所以 ，曲线 在点 处切线的斜率为 ，
所以切线方程为 ．
（2）当 时，使 等价于 ，
令 ，所以 ，
令 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
又因为 ， ，
所以 在 上 ，使 ，即 ，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
所以 在 上单调递减， 在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，且 ，
所以使 恒成立的最大偶数为 ．
（3） 时， ，
，
令 ，则 ，
令 ，则 ， 单调递增，
又 ，所以，当 时， ， 单调递增，
又 ，所以，当 时， ，
即 ，则 ，，
．
