文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷
黄金卷·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C C D A D C D A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
AB AD ABD AC
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．35 14． （答案不唯一） 15． 16．2
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
【答案】【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角变换可得答案；
（2）利用余弦定理求出边 ，根据面积相等可得答案.
【小问1详解】
∵ ，∴ ，
∴ ，即 .
又∵ ， ，∴ ， .
【小问2详解】
设BC边上的高为h，∵ ，即 ，解得 ，
∴ ，解得 ，即BC边上的高为 .
18．（12分）
【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析
【分析】（1）根据递推式关系再写一项做差，之后利用等比数列定义证明；
（2）先求出 的表达式，之后进行裂项求和即可.
【详解】（1）证明：由 ，当 时，可得 ；
当 时， ，所以 ，
∴ 时， ，
∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列；
∴ ，∴ .
（2）证明：由（1）知， ，∴ ，
∴ ，
∴ ,因为 ，所以 ，所以 即 成立．
所以对任意的正整数 ，都有 得证.
19．（12分）
【答案】(1)证明见解析 (2)0
【分析】（1）取AC的中点D，可得四边形 为平行四边形，利用线面垂直的判定定理、性质定理
和面面垂直的判定定理证明可得答案；
（2）以A为原点， ， ， 所在方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系
，求出平面 的法向量，设 ， ，由P，M，Q三点共线，可设 ，
求出 ，根据空间角的向量求法可得答案.
【详解】（1）取AC的中点D，则AD与 平行且相等，
可得四边形 为平行四边形，则有 ，
又 ，故 ．
又 ， ， ，AC， 平面 ，故 平面 ，又因为
平面 ，故 ，
又因为 ， ， ， 平面 ，故 平面 ，
而 平面 ，故平面 平面 ；
（2）以A为原点， ， ， 所在方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角
坐标系 ，则 ， ， ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，则 ．
设 ， ，则 ， ，
由题意知P，M，Q三点共线，可设 ，则 ，
解得 ，故 ， ，
则 ，
故 ，
即 平面 ，故所求线面角的正弦值为0．
20．（12分）
5
【答案】(1)a=0.036,82.3，（2）分布列见解析；期望为3
(0.008+0.016+0.020+a+0.044+0.040+0.028+0.008)×5=1
【详解】（1）由直方图可知
解得a=0.036(0.008+0.016+0.02+0.036)×5=0.4<0.5
因为 ，
(0.008+0.016+0.02+0.036+0.044)×5=0.62>0.5
，
所以学员该项技能的评价指标的中位数在[80,85)内.
m
(m−80)×0.044+0.4=0.5 m≈82.3
该学员该项技能的评价指标的中位数为 ，则 ，解得 .
由题意可知抽取12名学员中该项技能的评价指标在[70,75)内的有4名，在[85,90)内的有8名.由题意可知X
的所有可能取值为0，1，2，3，4.
C5
7
C4C1
35
C3C2
14
P(X=0) 8 = , P(X=1) 8 4 = , P(X=2) 8 4 = ,
C5 99 C5 99 C5 33
12 12 12
C2C3
14
C1C4
1
P(X=3) 8 4 = , P(X=4) 8 4 = ,
C5 99 C5 99 则X的分布列为
12 12
7 35 14 14 1 5
E(X)=0× +1× +2× +3× +4× =
99 99 99 99 99 3
21．（12分）
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）移项平方可化简方程，注意变量的范围；
（2）设 ，直线 方程是 ，由垂直得直线 方程为 ，由直线与圆
相切得 ，直线 方程是 与曲线 方程联立，消去 后得关于 的二次方程，由此方
程有两个正根据得 或 ，由韦达定理得 ，计算出弦长 ，求出原点到直线 的距
离，计算出三角形面积后，设 ，换元后应用基本不等式得最小值．，由 得
．
所以曲线 的方程是 ；
（2）设 ，直线 方程是 ，则直线 方程为 ，即 ,
直线 与已知圆相切，所以 ，则 ，
由 得， ，
由题意 （∵ ），
， ，∴ 或 ，
，
又原点 到直线 的距离为 ，
∴ ，
由 或 得 ，设 ，
，当且仅当 时等号成立，
，当且仅当 时等号成立，
∴ 时， ，∴ ，即 时， ．
22．（12分）【答案】（1）极大值为 ，无极小值
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）对 求导，由导数的几何意义可得 ，代入 ，即可求得 的单调性和极
值.
（2）将不等式变形为 ，令 ，分离参数后构造函数，转为为求解
的最大值，即 时， 恒成立，令 ，则 ，
然后结合对数运算性质可求.
【小问1详解】
由 ，可得 ，
由条件可得 ，即 .
则 ，令 可得 ，当 时， ，当 时， .
在 上单调递减，在 上单调递增，
的极大值为 ，无极小值.
【小问2详解】
，即 对任意的 恒成立，
即 ，其中 ，
令 ，则 ，即 ，
构造函数 ，则 ，令 ，得 ，列表如下：
+ 0 -
极大值
所以，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
所以， ，
即 时， 恒成立，
取 ，则 对任意的 恒成立，令 ，则 ，
所以 ，
所以 ，即 .
