文档内容
第五章：平面向量与解三角形（模块综合调研卷）
（19题新高考新结构）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上
的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符
合题目要求的）
1．已知向量 与 能作为平面向量的一组基底，若 与 共线（ ），则k的值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】引入参数 ，由平面向量基本定理建立方程组即可求解.
【详解】若 与 共线，则设 ，
因为向量 与 能作为平面向量的一组基底，
所以 ，所以 ，解得 .
故选：B.
2．设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，则 的外接圆的面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由余弦定理先求出 ，结合同角平方关系求出 ，再由正弦定理求出外接圆半径为 ，即
可得解．
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，所以 ，
设 的外接圆半径为 ，
则 ，则 的外接圆的面积 ．
故选：A．
3．已知单位向量 ， 满足 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意结合数量积的运算律可得 ，进而可得 ， ，结合夹角
公式分析求解.
【详解】由题意可知： ，
因为 ，解得 ，
则 ，即 ，
，
可得 ，
且 ，所以 与 的夹角为 ．
故选：D．
4．在 中， ， ， ， 是 边一点， 是 的角平分线，则
（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【分析】由余弦定理得到 ，由正弦定理和 得 ，求出 ，进而得到
，在 中，由正弦定理得到答案.【详解】在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
在 中，由正弦定理得 ，
在 中，由正弦定理得 ，
其中 ， ，
所以 ， ，
故 ，
又 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，
故 ，
在 中，由正弦定理得 ，
即 ，解得 .
故选：A
5．在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ．已知 ．则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用余弦定理，然后利用正弦定理化简即可.
【详解】，因为 ，得又因为
得
整理得
由正弦定理可得
得
得 ，因为
所以
所以
故选:B
6．在 中，角A、B、C所对的边为a、b、c若 ，则 的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角、切化弦，再结合二倍角公式求解即得.
【详解】在 中，由 及正弦定理得 ，而 ，
整理得 ，即 ，而 ，
则 ，因此 或 ，即 或 ，
所以 是等腰三角形或直角三角形.
故选：C
7．已知 为单位向量，且 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．6
【答案】B
【分析】由 ，得 ，可得 ，由
，当等号成立时可得最小值.
【详解】 为单位向量，有 ，得 ，由 ，得 ，
有 ，所以 ，
，
， ，有 ，
则 ，
当且仅当 与 方向相反时“ ”成立，
如取 时，可使“ ”成立.
所以 .
故选：B．
【点睛】关键点点睛：
本题关键点是由已知条件得 ，这样就能得到 .
8．已知 的内角 的对边分别为 ，且 .M为 内部的一点，且
，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把已知等式中 向量用 表示后可求得 ，由余弦定理得 的关系，求出
的最值，再由不等式性质得结论．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ， ，
由余弦定理得 ，
由 （当且仅当 时取等号），得 ，∴ ，∴ ，即 的最大值是 ．
故选：A.
【点睛】本题考查平面向量基本定理，考查余弦定理及基本不等式求最值．解题关键是由平面向量基本定
理把 用 表示出来．
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9．已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则（ ）
A． B．
C． D． 在 的方向上的投影向量为
【答案】AB
【分析】根据向量的数量积、向量的模、向量的垂直和投影向量的运算性质，对各个选项逐一判定即可．
【详解】 ， ，故A正确；
，所以 ，故B正确；
，所以 ，
又因为 ，所以 ，故C错误；
在 上的投影向量为 ，故D错误；
故选：AB．
10．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，则（ ）
A． 边上的高为
B． 为定值
C． 的最小值为2
D．若 ，则
【答案】ABD
【分析】对A，根据 边上的高为 求解即可；对B，由正弦定理结合三角恒等变换化简即可；对C，由正弦定理结合三角恒等变换化简，结合B中 ，再根据基本不等式求解即可；对D，
根据三角形内角关系，结合两角和差的正切公式与正弦定理判断即可.
【详解】对A， 边上的高为 ，由题意 ，故A正确；
对B，由正弦定理 即 ，
故 ，
又锐角 ，故 ，即 ，故B正确；
对C， ，
又 ，故
，当且仅当 ，
即 时取等号，此时 ， ，与锐角 矛盾，故C错误；
对D， ，
即 ，又 ，即 ，
故 ，解得 ，故 .
则 ，即 ，解得 .
故 ， ，或 ， .
不妨设 ， ，
则 ， ，
故 ， ， ，
故 ，由正弦定理 ，故D正确.
故选：ABD
11．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三
角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是 内一点，， ， 的面积分别为 ， ， ，且 ．以下命题正确的
有（ ）
A．若 ，则M为 的重心
B．若M为 的内心，则
C．若 ， ，M为 的外心，则
D．若M为 的垂心， ，则
【答案】ABD
【分析】A选项， ，作出辅助线，得到 ， ， 三点共线，同理可得 为 的
重心；B选项，设内切圆半径为 ，将面积公式代入得到 ；C选项，设外接
圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D选项，得到 ，作出辅
助线，由面积关系得到线段比，设 ， ， ，表示出 ， ， ，结合三角函
数得到 ， ，进而求出余弦值；
【详解】对A选项，因为 ，所以 ，
取 的中点 ，则 ，所以 ，
故 ， ， 三点共线，且 ，
同理，取 中点 ， 中点 ，可得 ， ， 三点共线， ， ， 三点共线，
所以 为 的重心，A正确；
对B选项，若 为 的内心，可设内切圆半径为 ，
则 ， ， ，所以 ，
即 ，B正确；
对C选项，若 ， ， 为 的外心，则 ，
设 的外接圆半径为 ，故 ， ，
，
故 ， ， ，
所以 ，C错误；
对D选项，若 为 的垂心， ，
则 ，
如图， ， ， ，相交于点 ，
又 ，
，即 ，
，即 ，
，即 ，
设 ， ， ，则 ， ， ，
因为 ， ，
所以 ，即 ，
，则 ，D正确；
故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查向量与四心关系应用，关键是利用三角形的几何关系及向量数量积及向量
线性表示逐项判断.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．已知平面向量 ， ， ，若 ， ，则 .
【答案】
【分析】根据向量平行和垂直的坐标表示得出参数计算即可.
【详解】因为 ，所以 ,
因为 ，所以 ,
所以 .
故答案为： .
13．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即在
中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则 的面积为 .若
，且 的外接圆的半径为 ，则 面积的最大值为 .
【答案】
【分析】先将 化简得 ，再由均值不等式得 ，最后代入面积共
公式即可得出答案.
【详解】因为 ,
所以由正弦定理得 ,
所以 ,
所以由余弦定理得 ,
而 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,
由 得 ,
所以 ，当且仅当 时取等号,
所以 ,
故 面积的最大值为 .
故答案为：
14．已知A、B、C是半径为1的圆上的三个不同的点，且 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据题意，由正弦定理可得 ，然后分 与 讨论，再由平面向量数量
积的定义展开，结合三角恒等变换公式代入计算，即可得到结果.
【详解】由正弦定理可得 ，所以 ，
所以 ，且 ，则 或 ，
则 或 ，
当 时， ，
所以
， ，则 ，当 时，即 时， 取得最小值 ；
当 时， ，
所以
， ，则 ，
则 无最值；
综上所述， 的最小值是
故答案为：
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17
分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．在 中，角 所对的边分别为 ，设向量 ，
， ， .
(1)求函数 的最大值；
(2)若 ， ， ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量数量积的坐标运算得 ，利用降幂公式和辅助角公式化简，利用正弦函数的性质
求最大值；
（2） 解得 ，由 利用正弦定理边化角得 ，再结合余弦定理求得
，面积公式求 的面积．【详解】（1）
.
因为 ，所以 ，
所以当 ，即 时， 有最大值 ；
（2）因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
由正弦定理 ，所以 ， ，
又因为 ，所以 ，得 ，
由余弦定理有： ，即 ，所以 ，
所以 ．
16．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 .
(1)若 ，求C；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由题给条件求得 ，进而求得 ；
（2）先利用正弦定理和题给条件求得 和 ，再构造函数 ，求得此函
数值域即为 的取值范围
【详解】（1）由 ，可得 ，则
整理得 ，解之得 或
又 ，则 ，则 ，则
（2）A ，B为 的内角，则
则由 ，可得 ，则 均为锐角
又 ，则 ，
则 ，则
因为 ,
则
令 ，则
又 在 单调递增， ，
可得 ，则 的取值范围为 ，
则 的取值范围为
17．在锐角 中，内角 的对边分别为 ，且满足：
(1)求角 的大小；
(2)若 ，角 与角 的内角平分线相交于点 ，求 面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦边化角，并结合恒等变换得 ，再结合题意得 ，进而根据内角和定理得答案；
（2）由题，结合（1）得 ，设 ，则 ，进而根据锐角三角形得
，在 中，由正弦定理得 ，进而
，再根据三角函数性质求范围
即可.
【详解】（1）解：因为
所以 ，即
所以 ，
所以 ，即 ，
因为在锐角 中， ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ，解得
所以
（2）解：因为 ，角 与角 的内角平分线相交于点 ，
所以 ，
所以
所以 ，
设 ，则 ，
因为 为锐角三角形，
所 ，解得
所以，在 中，由正弦定理 得 ，所以， 面积
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以， 面积的取值范围是 .
18．记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
(1)若 ，证明： ；
(2)若 ，证明： .
【答案】(1)见详解；
(2)见详解.
【分析】（1）根据正余弦定理角化边，整理即可；
（2）根据正弦定理推得 ，即可得到 .通过分析，可得 以及 ，代入
，整理可得到 ，令 ，构造 ，求导得
到 在 上单调递减.进而得到 .
【详解】（1）证明：由正弦定理可得， ，所以 ，
由余弦定理及其推论可得， ， ，所以，由已知可得， ，
即 ，
因为 ，所以 .
（2）证明：由已知得， ，
又由正弦定理 可得， ，
因为 ，所以 .
由（1）知， ，则 ，
又由正弦定理 可得，
，
又 ，则 ，
将 以及 代入 可得，
，
整理可得， ，
因为， ， ，所以 ，则 .
令 ，则 ， ，
则 ，
所以，当 ， 恒成立，所以 在 上单调递减.
所以， ，即 .综上所述， .
19．若 内一点 满足 ，则称点 为 的布洛卡点， 为 的布洛
卡角．如图，已知 中， ， ， ，点 为的布洛卡点， 为 的布洛卡角．
(1)若 ，且满足 ，求 的大小．
(2)若 为锐角三角形．
（ⅰ）证明： ．
（ⅱ）若 平分 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.
【分析】（1）先判断 与 相似，进而得到 ，应用余弦定理求出 的值即可；
（2）（ⅰ）在 内，三次应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
，针对 分别在 、 和 内，三次应用余弦
定理以及三角形的面积公式，且 表示出三角形的面积，由余弦定理形式相加，
再化简整理得： ，即可得证；（ⅱ）得出 与 的等量关系，再利用余弦定
理和三角形的面积公式， 平分 ，将 代入，化简整理即可得证.
【详解】（1）若 ，即 ，得 ，
点 满足 ，则 ，
在 和 中， ， ，
所以 与 相似，且 ，所以 ，即 ，
由余弦定理得： ，且 ， ，
得 ，且 ，
所以 ；
（2）（ⅰ）在 内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
，
，
，
三式相加可得： ①
在 内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
，
在 和 内，同理： ， ，
三式相等： ，
因为 ，由等比性质得：
②
由①②式可证得： ；
（ⅱ）因为 ，
即 ，
所以 ，
在 中，
分别由余弦定理得： ， ，，
三式相加整理得 ，
，
将 代入得：
若 平分 ，则 ， ，
所以 ③
又由余弦定理可得： ④
由③-④得：
所以 ，
所以 .
【点睛】关键点点睛：根据 表示出三角形得面积，在 中，由
余弦定理相加，得出 与 的等量关系，是解决本题的关键.
