文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考Ⅰ卷专用）
黄金卷02·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
B C B B C D A D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
BD ACD ACD AC
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． 15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
【答案】(1) (2) .
【详解】（1） ，由正弦定理得 ，
即 ，
由余弦定理，得 .
因为 ，所以 .
（2）由（1）得 ，所以 的面积为 ，得 ，
由 及正弦定理，得 ，
所以 .
由余弦定理，得 ，
所以 .
18．（12分）
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
设 ，其中 ， ，
若 是 的中点，则 ， ， ，
于是 ，∴ ，即 ．
（2）由题设知， ， ，是平面 内的两个不共线向量．
设 是平面 的一个法向量，
则 ，取 ，得 ．
又平面 的一个法向量是 ，
∴ ，
而二面角 的余弦值为 ，因此 ，解得 或 （舍去），此时 ．
设 ，而 ，由此得点 ， ，
∵PQ∥平面 ，且平面 的一个法向量是 ，
∴ ，即 ，解得 ，从而 ．
将四面体 视为以 为底面的三棱锥 ，则其高 ，
故四面体 的体积 ．
19．（12分）
【答案】(1) (2)证明见解析(3) ．
【详解】（1）由题可得 ，
∵曲线 在 处的切线方程为 ，
∴ ，即 ，
∴ ．
（2）证明：令 ，则 ，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）∵ 对任意的 恒成立，
∴ 对任意的 恒成立，
令 ， ，
则 ，
由（2）可知当 时， 恒成立，
令 ，可得 ；令 ，可得 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，
∴ ，
∴实数k的取值范围为 ．
20．（12分）
【答案】(1) (2)【详解】（1）设等差数列 的公差为 .
由 ，可知 ， ，即
因为 为整数，所以 ，
结合不等式组 解得 ，
所以 .
（2）由（1）可知 .
当 为偶数时，
.
又 ，即 对任意偶数都成立，所以 .
同理，当 为奇数时，
，
又 ，即 对任意奇数都成立，
易知当奇数 时，函数 取得最小值-15，
故 .
综上， .
21．（12分）
【答案】(1) (2)分布列见解析，
【详解】（1）从甲箱中摸出2个球颜色相同的概率为 ，记事件A为最后摸出的2个球颜色不同，事件B为这2个球是从丙箱中摸出的，
则 ，
，
，
所以 ；
（2）X的所有可能取值为2，3，4，
则 ，
，
，
故X的分布列如表：
X 2 3 4
P
故 .
【点睛】难点点睛：本题解答的难点在于求分布列时，计算每个值相应的概率，要弄清楚每个值对应的情
况，分类求解，注意计算量较大，要十分细心.
22．（12分）
【答案】(1)
(2)面积取到最大值 ，此时点 .【详解】（1）设d是点P到直线 的距离，
根据题意动点P的轨迹就是集合 ．
由此得 ．
将上式两边平方，并化简得 .
即C的标准方程为 .
（2）设 ，则 ，
切线 方程： ，切线 方程： ，
因为两直线都经过点 ，
所以可得 ，
从而直线 的方程是 ，
联立 ，消去 可得 ，由韦达定理，得 ，
所以 ，
点 到直线 的距离 ，
所以 ，其中 ，
令 ，则 ，所以 ，
令 ，则，
在 上递增，
即 ，即 时， 的面积取到最大值 ，
此时点 .
