文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B C C D D B B C C A
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11． 1 2 12． 或 （只写一个即可） 13．
14． 15. ①③④
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16.（13分）
(1) (2)
【详解】（1）因为四边形 是正方形，所以 ，且 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，即 两两互相垂直．
故以点 为坐标原点， 为 轴正方向， 为 轴正方向， 为 轴正方向，建立空间直角坐标系，
如图：则 ，
所以 ，设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，得 ，
设点 到平面 的距离为 ，则 .
故点 到平面 的距离为 .
（2）设平面 的法向量为 ，又 ，
则 ，即 ，令 ，得 ，
设平面 与平面 夹角为 ，
则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17.（14分）
(1) (2)
【详解】（1）选择条件①， ，
在 中，由正弦定理得 ，
整理得 ，则由余弦定理， ，
又 ，所以 ．
选择条件②， ，于是 ，
在 中，由正弦定理得， ，
因为 ，则 ，即 ，
因为 ，因此 ，即 ，又 ，所以 ．
（2）
如图，由（1）知， ，有 ，
因为 的内心为 ，所以 ，于是 ．
设 ，则 ，且 ，
在 中，由正弦定理得， ，
所以 ，
所以 的周长为 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以 周长的取值范围为 ．
18.（14分）
(1)中位数约为116.43分，优秀率约为(2)分布列见解析，
【详解】（1）由频率分布直方图可知 ，解得 ．
数学成绩在 内的频率为 ，在 内的频率为
，
∴样本的中位数落在 内．
设样本的中位数为m，则满足 ，解得 ，
故样本的中位数约为116.43分．
由样本估计总体得，本次高三联考该校学生的数学成绩的优秀率约为 ．
（2）由题图可知， 和 这两组频率之比为 ，
按分层抽样法，抽取的5名学生中，数学成绩在 的学生有3名，在 的学生有2名，
从这5名学生中随机选出3人，则X的所有可能取值为1，2，3．
∴ ，
∴X的分布列为
X 1 2 3
P
∴ ．
19.（14分）
(1)
(2)【详解】（1）由 得 ，
所以切线斜率 ，又 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，化简得 ；
（2）对 ， 恒成立，即 在 恒成立，
即 在 恒成立，设 ，则 ，令 得 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以函数 在 时， 取得极大值也是最大值 ，
所以 ，因为 恒成立，所以 ，
所以 的取值范围是 .
20.（15分）
(1) ；
(2)存在， .
【详解】（1）依题意，设 ，由 ，得 是线段 的中点，则 ，由直线 与 垂直，得 ，则
显然过 、 、 三点的圆的圆心为 ，半径为 ，
由过 、 、 三点的圆恰好与直线 相切，得 ，解得 ，
有 ， ，所以椭圆 的方程为 .
（2）由（1）及 ，得 ， ，椭圆 的方程为 ，
设直线 方程为 ， ，则 ，
由 消去x并整理得 ，
， ，
直线 的方程为 ，
令 得
，
所以在 轴上存在一个定点 ，使得 、 、 三点共线.
21.（15分）
(1)2，1，4，5(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意知，
，
解得 ，
所以 ；
（2）由 ，得 ，
所以 ， ，
由于n为偶数，将上式n个等式中的第2,4,6， ，这 个式子都乘以-1，相加得
，
即 ，所以 ，
又 ， ，
根据“衍生数列”的定义知，数列 是 的“衍生数列”；
（3）设数列 中后者是前者的“衍生数列”.
欲证数列 成等差数列，只需证明 成等差数列，
即只要证明 即可.
由（2）知 ，
，
所以 ，即 成等差数列，
所以 成等差数列.
