石家庄市第一中学2025届高考第一次模拟考试数学答案_2025年3月_250302河北省张家口市第一中学2025届高三下学期一模试题（全科）

石家庄市第一中学 2025 届高考第一次模拟考试 数学参考答案 1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．C 7．C 8．C 9．AC 10．AD 11．AB 12． 13． 14． 15．（1）设等差数列 的公差为 ， ， 由 ，且 ， ， 成等比数列， 有 ，解得 或 （舍）， （3分） 有 ， 所以数列 的通项公式为 ； （6分） （2）由 ，有 ，（9分） 有 ， 可得 .（13分） 16．（1）由 和余弦定理可得 . 因为 为 的内角，所以 ，故 ，（3分） 由 变形得 ，由正弦定理得 .（7分） （2）选择条件①： ， 由正弦定理得 ，解得 ，因为 为 的内角，所以 ，故 ， 与 相互矛盾，故不存在这样的三角形， 所以我们不选择条件①， 选择条件②： ， 因为 ， ，所以 ， 解得 ，由余弦定理得 ， 化简得 ，解得 或 （舍）， 所以 . 选择条件③： ， 因为 ，所以 . 因为 ，所以 ， 由余弦定理得 ，化简得 . 解得 或 ，当 时， 是直角三角形，与题干不符，故排除， 所以 .（15分） 17．(1)证明：取 三等分点 ，由等比例性质可得 且 ，根据已知条件有 且 ，再由平行四边形性质有 ，最后由线面平行的判定即可证结论.（6分） （2）法一：由题设易得 平面 ，则 为所求二面角 的平面角，进而由已知条 件及余弦定理即可求二面角的余弦值；法二：构建空间直角坐标系求面 、面 的法向量，利 用空间向量夹角的坐标表示求二面角余弦值. (1) 取 三等分点 ，则 ，且 ，故 且 ，又 ， ，即 且 ， 所以四边形 为平行四边形，即 ， 又 平面 ， 平面 ，故 平面 . (2) 法一：由平面 即平面 ，且 ， 平面 ， 所以 平面 ，则 为所求二面角 的平面角， 在等腰△ 中 ， ，则 ， 又 ， ，由 ，即 ， 所以，同 求法可得 ，故所求二面角 的余弦值为 .（15分） 法二：以 的中点 为坐标原点，以 为 轴 为 轴建系如图所示， 则 ， ， ， ， ， 所以 ， ， ， 设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，则 ，若 ，可得 ， ，若 ，可得 ， 所以 ，即二面角 的余弦值为 .（15分） 18． （1）求出函数的定义域，再对函数求导，然后通导数的正负可求出函数的单调区间， Δ4  m21  0   （2）由函数有两个极值点可得方程 的有两个不等正根，则有x x 2m0 ，求得 1 2  xx 10 x22mx10  1 2 1 1 x 2  x 1 ， 0x 1 1x 2 ，将问题转化为可化为ax 1 lnx 1  2 x 1 3x 1 对x 1 0,1恒成立，构造函数 1 g(x)xlnx x3x,x(0,1)，利用导数求其最小值即可 2 (1) f x 的定义域为 0, ， 3 1 x23x1 由m ，求导得 f(x) x3 ， 2 x x 3 5 3 5 令 fx0 ，得 x23x10 ，解得x 1  2 ，x 2  2 ，（3分） 所以当0xx 或xx 时， f(x)0，当x xx 时， f(x)0， 1 2 1 2 3 5 3 5 3 5 3 5 故 f x在(0, ),( ,)上单调递增，在( , )上单调递减；（7分） 2 2 2 2 (2) 1 x22mx1 f x的定义域为0,，求导得 fx x2m ， x x f x 有两个极值点x 1 ,x 2 x 1 x 2  时，等价于方程x22mx10的有两个不等正根， Δ4  m21  0   所以x 1 x 2 2m0 ，所以 ， ，（10分）  1 xx 10 x   1 2 2 x 0x 1x 1 1 2 1 1 1 此时不等式 f x ax 0 恒成立，等价于lnx 1  2 x 1 22(x 1  x )x 1 a x 对 x 0,1恒成立， 1 2 1 1 1 1 可化为ax 1 lnx 1  2 x 1 3x 1 对x 1 0,1恒成立，1 3 令g(x)xlnx x3x,x(0,1)，则g(x)lnx x2， 2 2 3 1 3 3 令h(x)lnx x2，得h(x) 3x0，得x  或x  （舍去），（13分） 2 x 1 3 2 3  3  3  所以当x0, 时， ，当x ,1时， ，   3   h(x)0   3   h(x)0 2  3 3 3  3 3 1 故hxh ln    ln  0     3 3 2 3 3 2     所以gx0在 0,1 恒成立，所以gx 在 0,1 上单调递减， 3 3 所以gxg1 ，所以a . 2 2 3 故实数 的取值范围是(, （17分） a 2 19．（1）设 ， ， 设直线 的方程为 ， 联立方程组 ，得 ，（2分） 所以 ， ， 则 ，（3分） 点 到直线 的距离为： ， 所以 ， 令 ，（6分） 则 ，当 即 时 面积取得最大值， 所以 面积的最大值为 .（8分） （2）设 ， ， 设直线 的方程为 ， 联立方程组 ，得 ，（10分）即 所以 ，即 ，（12分） 同理可得： ， 所以 （15分） 化简得： ， 当 时， 取得最大值 .（17分）