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2023年高考押题预测卷01【天津卷】
数学·参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8 9
C A A D B D C D B
二、填空题
10．
11．
12．
13． / /
14．
15．
三、解答题
16．（14分）
【详解】（1）由余弦定理 ，
则 ，
又 ，
所以 ，……………………………4分
即 ，
由正弦定理可得 ，……………………………6分
因为 ，
所以 ，则 ，又 ，所以 .……………………………8分（2）因为 ， ，所以 ，
所以 ， ，
所以 .……………………………14分
17．（15分）
【详解】（1）解：如图建立空间直角坐标系，以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴，过点 作
面 的垂线为 轴，则由题意可得 ，
由 ，及 即 ，
可得 .……………………………4分
（i）设平面 的一个法向量为 ，
则 解得
令 ，得 是平面 的一个法向量.……………………………6分
因为 ，
所以 .又 平面 ，
所以 平面 .……………………………8分（ii）由（i）可得 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .……………………………10分
（2）设 ，
则 ，
设 是平面 的一个法向量，
则 ，
取 ，则 是平面 的一个法向量，……………………………12分
则 ，
解得 或 （舍去）.
所以 .……………………………15分
18．（15分）
【详解】（1）设 的公差为 ， 的公比为 ，由题意
，即 ，
∵ ，解得 ，∴ ，∴ .
∵ ，∴ ，∴
∴ .……………………………4分
（2）∴ ①
∴ ②……………………………6分
① ②得
∴ .……………………………10分
（3）
当 为偶数时，
当 为奇数时，
∴ ……………………………15分
19．（15分）
【详解】（1）解：当点 为椭圆 短轴顶点时， 的面积取最大值，
且最大值为 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以，椭圆 的标准方程为 .……………………………4分（2）解：①设点 、 .
若直线 的斜率为零，则点 、 关于 轴对称，则 ，不合乎题意.
设直线 的方程为 ，由于直线 不过椭圆 的左、右焦点，则 ，
联立 可得 ，……………………………6分
，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，……………………………8分
则 ，
所以，
，解得 ，
即直线 的方程为 ，故直线 过定点 .……………………………10分
②由韦达定理可得 ， ，
所以， ……………………………12分
，
，则 ，
因为函数 在 上单调递增，故 ，
所以， ，当且仅当 时，等号成立，……………………………14分
因此， 的最大值为 .……………………………15分
20．（16分）
【详解】（1）当 时， ， ，
切线的斜率 ，又 ，所以切点为 ，
所以，切线方程为 ……………………………3分
（2）①.函数 ， ，
（ⅰ）当 时，当 时， ， ， ，则 在 上单调递增，
没有极值点，不合题意，舍去；……………………………5分
（ⅱ）当 时，设 ，则 在 上恒成立，所以 在 上
递增，即 在 上递增，……………………………7分
又 ， ，所以 在 上有唯一零点 ，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增，
所以函数 在区间 内有唯一极值点，符合题意，
综上， 的取值范围是 ．……………………………10分②.由①知 ，当 时， ，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增；
所以 时， ，则 ，……………………………12分
又因为 ，
所以 在 上有唯一零点 ，
即 在 上有唯一零点 ．……………………………13分
因为 ，
由①知 ，所以 ，
则
， ……………………………14分
设 ， ，
则 ，
， ，所以
在 为单调递增，又 ，所以 ，
又 时， ，所以 ．
所以 ．……………………………15分由前面讨论知 ， ， 在 单调递增，
所以 ．……………………………16分
