6.9 正弦定理
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：正弦定理......................................................................2
考点二：三角形面积公式............................................................. 2
考点三：正弦定理解决的两类问题..................................................3
考点四：利用正弦定理判断三角形的形状.........................................3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：已知两角及任意一边解三角形............................................3
题型二：已知两边和其中一边的对角解三角形...................................4
题型三：判断三角形的形状.......................................................... 5
题型四：三角形解的个数............................................................. 6
题型五：利用正（余）弦定理求范围或最值......................................7
题型六：综合运用正弦定理、余弦定理解三角形................................ 8
题型七：求三角形面积（定值）.................................................... 9
题型八：根据三角形面积求参数...................................................10
题型九：三角形面积最值（范围）问题..........................................12
题型十：求三角形周长（定值）...................................................13
题型十一：三角形周长最值（范围）问题....................................... 15
模块三：综合巩固....................................................................... 17
6.9 正弦定理
模块一：基础知识
考点一：正弦定理
1、公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a
sinA =
b
sinB =
c
sinC.
【注意】正弦定理的特点
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．
2、正弦定理推论：在∆ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，外接圆半径为R
①
a
sinA =
b
sinB =
c
sinC = 2R，
②sinA: sinB: sinC = a: b: c，
③asinB = bsinA，bsinC = csinB，asinC = csinA，
④
a+b+c
sinA+sinB+sinC =
a+b
sinA+sinB =
a+c
sinA+sinC =
b+c
sinB+sinC = 2R，
⑤a = 2RsinA，b = 2RsinB，c = 2RsinC（实现边和角的互相转化）
3、正弦定理的推导示例：
当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 的高是CD．根据三角函数的定义，
CD＝asinB，CD＝bsinA，
所以asinB＝bsinA，得到a
sinA
＝b
sinB
.
同理，在△ABC 中b
sinB
＝c
sinC
.
从以上的讨论和探究可得：a
sinA
＝b
sinB
＝c
sinC
.
考点二：三角形面积公式
在∆ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，边BC，CA，AB 边上的高分别记作ha，hb，hc，r 为
内切圆半径，R 为外接圆半径，O 为内切圆心。
（1）S =
1
2 aha = bhb = chc
（2）S =
1
2 absinC =
1
2 bcsinA =
1
2 acsinB
证明：当∆ABC 为锐角三角形时，作AD ⊥BC 于点D，
设∆ABC 的面积为S，则S =
1
2 BC ∙AD =
1
2 absinC；
当∆ABC 为钝角三角形时，作BC 边长的高AD，
则AD = ABsin 180° −∠ABC = ABsin∠ABC，
∴S =
1
2 BC ∙AD =
1
2 acsin∠ABC；
当∆ABC 为直角三角形时，上述结论依然成立。
（3）S =
1
2 a + b + c ∙r
证明：S∆ABC = S∆AOB + S∆BOC + S∆AOC =
1
2 cr +
1
2 ar +
1
2 br =
1
2 a + b + c ∙r
（4）S =
a+b+c
4R
证明：S =
1
2 absinC =
1
2 ab
c
2R =
a+b+c
4R
考点三：正弦定理解决的两类问题
1、类型1：已知两角及一边解三角形
方法概要：（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
（2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的
角为锐角，由正弦值可求锐角唯一；
（3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，
要分类讨论
2、类型2：已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题）
在△ABC 中，已知a，b 和A 时，解的情况如下：
当A 为锐角时：
当A 为钝角时
考点四：利用正弦定理判断三角形的形状
法一化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配
方等)得到边的关系，如a＝b，a
2＋b
2＝c
2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A＝a
2R
，sin B
＝b
2R
，sin C＝c
2R
法二化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角
的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2RsinC
模块二：题型分类
题型一：已知两角及任意一边解三角形
1.在△ABC 中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．
2. ABC
中，角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知
60
A
，
45
B
，
2 3
a
，则b
.
3.在ABC
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
2
b
，
45
B
，
105
A
，则c
.
4.在△ABC 中，若
60
A
，
45
B
，
3 2
BC
，则AC （
）
A．4 3
B．2 3
C．
3
D．
3
2
5.在ABC
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
6
a
，
3 7
sin
8
A
，
9
cos
16
B
，则b （
）
A．8
B．5
C．4
D．3
6.在ABC
中，
3 6
AB
，
π
4
ABC
，
π
3
ACB
，点D 在BC 的延长线上，且
10
CD
，则AD
.
7.在ABC
中，边长
10,
60 ,
45
BC
A
B
，则边长AC （
）
A．20 2
B．10 6
3
C．10 2
D．5 6
3
8.在ABC
中，已知
4
cos
5
A
，
3
B
，
3
b
，则sin C
；
a
；c
．
题型二：已知两边和其中一边的对角解三角形
1.在ABC
中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知
30
B
，
2
b
，
2
c
，则C
．
2.已知ABC
中，
4
BC
，
4 3
AC
，
30
A
，则
B
（
）
A．30
B．30或150
C．60
D．60或120
3.已知ABC
中，
4
BC
，
4 3
AC
，
30
A
，则
B
（
）
A．30
B．30或150
C．60
D．60或120
4.在ABC
中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c．已知
39,
2,
120
a
b
A
．
(1)求sin B 的值；
(2)求c 的值．
5.在ABC
中，
5
AC
，
5
2
BC
，
1
tan
2
A
，D 在AB 上，且
135
ADC
．
(1)求CD 的值；
(2)求
BCD
△
的面积．
6.在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
2
1
2
sin
2
a
b
A
，
，
，则C=（
）
A．π 6
B．π 4
C．π 3
D．π 2
7.在ABC
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
π
3
A
，
7
a
，
2
b
.
(1)求sinB；
(2)求ABC
的面积.
题型三：判断三角形的形状
1.设ABC
的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若
cos
cos
cos
a
A
b
B
c
C
，则ABC
的形状是
（
）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．三边比为1：2：3 的三角形
2.若
3
a
b
c
b
c
a
bc
，且cos
cos
c
B
b
C
，那么ABC
是（
）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
3.在ABC
中，
2
cos 2
2
B
a
c
c
，则ABC
的形状为
三角形．
4.已知ABC
内角A，B，C 的对边为a，b，c，若cos
cos
2
2
a
b
A
B
，
2
2
2
c
a
b
ab
，则ABC
的形状是（
）
A．钝角三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
5.在ABC
中，若cos
cos
A
b
B
a
，则该三角形的形状一定是（
）
A．等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等边三角形
6.在ABC
中，有
1 cos2
2sin(
) 1
2
C
A
B
，试判断ABC
的形状
（从“直角三角形”，“锐角三角
形”，“钝角三角形”中选一个填入横线中）.
7.在ABC
中，sin
sin 2 ,
2
B
A c
a
，则（
）
A．
B
为直角
B．
B
为钝角
C．
C
为直角
D．
C
为钝角
题型四：三角形解的个数
1.（多选）ABC
中，内角A，B，C 对边长分别为a，b，c，下列选项的三角形有两解的是（
）
A．
14
a
，
7 3
b
，
45
B
B．
15
a
，
20
b
，
30
A
C．
47
b
，
38
c
，
50
B
D．
25
b
，
13
c
，
23
C
2.在ABC
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
π
3
A
，
3
a
，
2
b
，则此三角形的解的情
况是（
）
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．有解但解的个数不确定
3.在
ABC
D
中，
60
A
，
5
a
，
6
b
，满足条件的
ABC
D
（
）
A．有无数多个
B．有两个
C．有一个
D．不存在
4.在ABC
中，已知
3
cos
5
A
，sin B
a
，若cosC 有唯一值，则实数a 的取值范围为（
）
A．
4
0, 5
B．
3
0,
{1}
5
C．
4
0,
{1}
5
D．4 ,1
5
5.设ABC
的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
2
b
，
45
A
，当ABC
有两个解时，a 的取值
范围是
.
6.在ABC
中，
60
A
，
5
a
，
6
b
，满足条件的ABC
（
）
A．有无数多个
B．有两个
C．有一个
D．不存在
7.在ABC
中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c .若
π ,
4
3
B
a
，且该三角形有两解，则b 的范围是（
）
A．
2 3,
B．
2 3,4
C．
0,4
D．
3 3,4
、
8.（多选）已知ABC
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, , ,
a b c 则下列说法正确的是（
）
A．若
2
30
a
b
B
，
=
=
°，则ABC
有一个解
B．若
2
30
a
b
B
，
=
=
° ，则ABC
有两个解
C．若sin 2
sin 2
A
B
，则ABC
为等腰三角形
D．若sin
cos
A
C
，则ABC
为钝角三角形
9.在ABC
中，已知
π
6
A
，
2
a
，若ABC
有两解，则边b 的取值范围为
.
题型五：利用正（余）弦定理求范围或最值
1.在锐角ABC
中，角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，若cos
cos
1
a
C
c
A
，
2
1
a
bc
，则a 的取值范围
是
.
2.在锐角ABC
中，设边, ,
a b c 所对的角分别为
, ,
A B C ，且
2
2
a
b
bc
．
(1)证明：
2
A
B
(2)若
1
a ，求2b
c
的取值范围．
3.在ABC
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2 cos
cos
cos2
3
a
A
B
b
A
c
b
.
(1)求角A；
(2)若ABC
的面积为1，求a 的最小值.
4.已知ABC
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
2
sin 2
2 3sin
3,
0, 2
C
C
C
．
(1)若
3,
4
a
b
，求c 的值以及ABC
的面积；
(2)若
14
0
1 ,tan
2
BM
BC
BAC
，求cos
BAC
的值以及AM
CM 的取值范围．
5.在锐角ABC
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，为cos
cos
2 cos .
c
B
b
C
a
A
(1)求角A 的大小；
(2)当
3
a
时，求
2
b
c
的取值范围.
6.在ABC
中，角A、B、C 所对边分别记为a，b，c，且向量
,
2
m
b c
a
与向量
cos
,cos
n
C
B
垂直．
(1)若
3
a
c
，求sin
sin
B
C 的值；
(2)若角B 的内角平分线与AC 相交于点
,
3
D BD
，求b 的最小值．
题型六：综合运用正弦定理、余弦定理解三角形
1.在ABC
中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，且2sin
3sin
B
C
，若
2
1,cos
3
b
c
A
，则
a
．
2.在ABC
中，
2π
2
,
,
2
3
CM
MB
AMB
AM
，则
2
2
AC
AB
的最小值为
.
3.已知ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin
sin
sin(
)
sin
sin
sin
sin
A
C
A
C
B
C
A
C
．
(1)求A ；
(2)若角A 的平分线AD 交BC 于点D ，且
2
AD
，求ABC
面积的最小值．
4.在ABC
中，
2
B
A
，点D 在线段AB 上，且满足2
3
AD
BD
，
ACD
BCD
，则cos A等于
.
5.在ABC
中，设角
,
A B 及C 所对边的边长分别为,a b 及c ，若
3
a
，
5
c
，
2
B
A
，则边长b
．
6.已知, ,
a b c 分别为ABC
内角
, ,
A B C 的对边，若ABC
同时满足下列四个条件中的三个：①
3
a
；②
2
b
；③sin
sin
sin
B
C
a
c
A
b
c ；④
2
1
cos
sin
sin
2
4
B
C
B
C
．
(1)满足有解三角形的序号组合有哪些，说明理由？
(2)请在（1）所有组合中任选一组，求对应ABC
的面积．
题型七：求三角形面积（定值）
1.在ABC
中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且
cos
cos
2 cos
0
b
A
a
B
c
A
.
(1)求角A 的大小；
(2)D 是边BC 上的一点，且
2
BD
CD
，AD 平分
BAC
，且
3
AD
，求ABC
的面积.
2.在ABC
中，内角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，已知
1
tan
3,cos
3
B
C
，且
3 6
b
.
(1)求cosA 的值；
(2)求ABC
的面积；
3. ABC
的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，
6
a
，sin
sin
2
B
C
b
a
B
．
(1)求角A 的大小；
(2) M 为ABC
的重心，AM 的延长线交BC 于点D ，且
2 3
AM
，求ABC
的面积．
4.在ABC
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
6
sin
2sin
sin
6
A
C
B
，
6
b
c ．
(1)求：cosB 的值．
(2)求：
π
cos 2
3
B
的值．
(3)若
3 2
b
，求：ABC
的面积．
5.在ABC
中，已知tan
tan
1
tan
tan
A
B
A
B
，
2 2
AB
，
2 3
AC
．
(1)求角B ；
(2)若ABC
为锐角三角形，且
0
GA
GB
GC
，求
GAB
△
的面积.
题型八：根据三角形面积求参数
1.设ABC
内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin
sin
2
A
C
a
b
A
.
(1)求B ；
(2)若
3
c
，且ABC
的面积为
3
2
，求角B 的角平分线的长.
2.在ABC
中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, , ,
7
a b c c
b
且
2 cos
2
a
c
A
b
.
(1)求C 的值；
(2)若ABC
的面积为3 3，求BC 边上的高.
3.已知ABC
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
1
cos
cos2
cos
cos2
2
a
A
B
b
B
A
c
.
(1)求角C；
(2)若
7,
c
ABC
△
的面积为15 3
4
，求ABC
的周长．
4.在ABC
中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，已知cos
cos
1
B
C
b
c
a
，且
a
2 2,c
a
b
．
(1)求bc 的值；
(2)若ABC
的面积
7
S
，求,b c 的值．
5.在ABC
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，2
2 cos
a
c
b
C
，
(1)求角B 的大小；
(2)若ABC
的面积为
3
4
，周长为3b，求AC 边上的高.
6.已知ABC
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，面积为S，且
1
sin ,cos
4
S
ac
A
B
.
(1)求cosA ；
(2)若
15,
S
D
为AC 的中点，求BD 的长.
题型九：三角形面积最值（范围）问题
1.在ABC
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3
sin
3 cos
c
b
A
a
B
．
(1)求A ；
(2)若点D 是BC 上的点，AD 平分
BAC
，且
2
AD
，求ABC
面积的最小值．
2.如图，在平面内，四边形ABCD的对角线交点位于四边形内部，
3
AB
，
7
BC
，ACD
为正三角形，
设
ABC
.
(1)求AC 的取值范围；
(2)当变化时，求四边形ABCD面积的最大值.
3.已知在锐角ABC
中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，
2
cos
cos
a
b
C
c
B
．
(1)求角C 的大小；
(2)若
2
a
，求ABC
的面积S 的取值范围．
4.设ABC
的内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且
cos
cos
cos
cos2
a
B
b
A
B
c
B
．
(1)求角B；
(2)若点D 在边AC 上，BD 平分
ABC
，且
3
BD
，求ABC
面积的最小值．
5.在ABC
中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，2
3
2 cos
c
b
a
B
.
(1)求角A；
(2)若
3
3
a
，求ABC
面积的最大值.
6.已知ABC
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且
π
2 sin
cos
3 cos
4
b
A
b
A
a
B
．
(1)求B ；
(2)若
2 2
b
，求ABC
面积的最大值．
题型十：求三角形周长（定值）
1.在ABC
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
π
3
C
，cos
cos
a
B
b
A
abc
.
(1)求ABC
的面积；
(2)若
1
c ，求ABC
的周长.
2.在ABC
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
3
cos
5
A
，
sin
sin
sin
3 sin
a
c
A
C
b
B
c
A
．
(1)证明：ABC
是锐角三角形；
(2)若
2
a
，求ABC
的周长．
3.在ABC
中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且sin
sin
2
A
C
c
b
C
.
(1)求角B；
(2)设BD 是AC 边上的高，且
1
BD ，
3
b
，求ABC
的周长.
4.记ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
2
2
3 sin
sin
2sin sin
8sin sin cos
A
C
A
C
A
C
B
．
(1)证明：
2
a
c
b
；
(2)若
11
cos
14
B
，ABC
的面积为15
3
4
，求ABC
的周长．
题型十一：三角形周长最值（范围）问题
1.如图，已知平面四边形ABCD存在外接圆，且
5
AB
，
2
BC
，
4
cos
5
ADC
．
(1)求ABC
的面积；
(2)求
ADC
△
的周长的最大值．
2.在ABC
中，角
, ,
A B C 所对的边分别是, ,
a b c ，已知2 cos
cos
a
A
c
B
CD
，CD
为CA
在CB
方向上的投影
向量．
(1)求A ；
(2)若
3
a
，求ABC
的周长的取值范围．
3.在ABC
中，内角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，且
π
sin
sin
3
a
C
c
A
．
(1)求角A 的大小；
(2)若ABC
的中线
3
AD
，求b
c
的最大值．
4.在锐角ABC
中，内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，
sin
sin
sin
sin
cos
cos
a
b
A
B
C
B
a
B
b
A
.
(1)求角A 的大小；
(2)若ABC
外接圆的半径为
3 ，求
2
2
2
b
c
a
的取值范围.
5.已知锐角ABC
内角
, ,
A B C 及对边, ,
a b c ，满足2
2 cos
c
b
a
B
.
(1)求A 的大小；
(2)若
1
a ，求ABC
周长的取值范围.
6.在ABC
中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC
的面积为
ABC
S
．已知①
3
2
ABC
AB BC
S
；
②
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
B
A
B
A
C
C
A
；③
2
cos
cos
c
a
B
b
C
，从这三个条件中任选一
个，回答下列问题．
(1)求角B ；
(2)若
2 3
b
．求
2
2
a
c
的取值范围．
7.在ABC
中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且2 sin
sin
3 cos
b
C
c
B
c
B
，若D 为AC 边上一
点，AB
BD
，
2
BD
．
(1)求角B ；
(2)求2
1
AD
CD
的取值范围．
8.在单位圆上的三点A，B，C 构成的锐角ABC
中，内角A，B，C 所对的边分别为
2
2
, , ,sin
sin
( 2sin
sin )sin
a b c
c
A
C
B
B
．
(1)求a；
(2)求
2b
c
的取值范围．
模块三：综合巩固
1.设ABC
的内角
,
,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，若
2 2,
4,C
45 ,
a
c
则A 的值可以为（
）
A．30
B．60
C．120
D．30或150
2.在ABC
中，角
,
,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，
8 3,
6,
60
a
b
A
，则sin B （
）
A．2
3
B．
6
3
C．
2
2
D．3
8
3.在ABC
中，
4 2
a
，
45
A
o，b
m
，若满足条件的ABC
有两个，则m 的可能取值为（
）
A．8
B．6
C．4
D．2
4.设ABC
的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin
cos
cos
a
A
b
C
c
B
，则ABC
的形状为（
）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
5.在ABC
中，已知
3
5
120
AB
AC
A
，
，
，则sin
sin
A
B （
）
A．5
7
B．7
5
C．3
5
D．5
3
6.在ABC
中，“cos2
cos2
A
B
”是“a
b
”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7.在ABC
中，
π,
4,
6
A
AB
BC
a
，且满足该条件的ABC
有两个，则a 的取值范围是（
）
A．
0,2
B．
2,2 3
C．
2,4
D．
2 3,4
8.圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根呈南北方向的水平长尺
（称为“圭”）和一根直立于圭面的标杆（称为“表”），如图．成语有云：“立竿见影”，《周髀算经》里记
载的二十四节气就是通过圭表测量日影长度来确定的．利用圭表测得某市在每年夏至日的早上8：00 和中
午13：00 的太阳高度角分别为23（
ABC
）和83（
ADC
）．设表高AC 为1 米，则影差BD （
）
（参考数据：sin16
0.276
，
3
1.732
）
A．2.016 米
B．2.232 米
C．2.428 米
D．2.614 米
9.(多选)在ABC
中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下叙述或变形中正确的有（
）
A．
: :
sin
:sin
:sin
a b c
A
B
C
B．
sin 2
sin 2
a
b
A
B
C．sin
sin
sin
a
b
c
A
B
C
D．
sin
sin
A
B
A
B
10. ABC
中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c，
120
ABC
，BD
BC
交AC 于点D，且
1
BD ，2a
c
的
最小值为（
）
A．8
3
B．8 3
3
C．8
D．8 3
11.在钝角ABC
中，
π
6
C
，
4
AC
，则BC 的取值范围是（
）
A．
8 3
(0,
3 ）
B．
8 3
(2 3,
3 ）
C．
8 3
(0,2 3)
(
,
3
）
D．
8 3
(4,
3 ）
12.在ABC
中，内角A 、B 、C 对应边分别为a 、b 、c ，已知
cos
2
cos
a
B
b
c
A
，且角A 的平分线AD 交BC
于点D ，
1
AD ，则2
3
AC
AB
的最小值为（
）
A．5
2 6
B．6
2 6
C．5
2 5
D．6
2 5
13.(多选)在ABC
中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且
cos
cos
4 cos
a
b
C
c
B
c
C
，
π
6
A
，则b
c 的
取值可能是（
）
A．
1
2
B．
3
2
C．2
D．
3
14.在ABC
中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
1
b ，
π
6
B
，
1
1
2
tan
tan
A
C
，则ABC
的
面积为
.
15.在ABC
中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.设AB
a
，AC
b
，试用a，b
表示AN
为
，
若
π
6
A
，ABC
的面积为
3 ，则AM AN
的最小值为
.
16.在ABC
中，内角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c 且(
)(sin
sin
)
sin
3 sin
b
c
B
C
a
A
b
C
．
(1)求角A 的大小；
(2)若
13
a
，且ABC
的面积为
3 ，求ABC
的周长．
17.已知函数
2
3sin cos
cos
1
f x
x
x
x
.
(1)求
f
x 的最小正周期；
(2)在ABC
中，, ,
a b c 分别是角
, ,
A B C 的对边，若
2
f C
，
4
a
b
，且ABC
的面积为
3
3
，求ABC
外
接圆的半径.
18.在ABC
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
2
sin
cos2
cos2
C
A
B
.
(1)若
3
c
a
，求cosC ；
(2)延长BC 至点D，使得AD
BD
，若
2
a
，求ACD
面积的最大值.
19．（多选）南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幕，减中斜幂，
余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积，可用公式
2
2
2
2
2
2
1
4
2
c
a
b
S
c a
（其中a、b、c、S 为三角形的三边和面积）表示．在ABC
中，a、b、c 分
别为角A、B、C 所对的边，若
3
b
，且1
3cos
cos
sin
3sin
B
C
C
B
，则下列命题正确的是（
）
A．ABC
面积的最大值是9
3
4
B．
3
c
a
C．
3
b
c
D．ABC
面积的最大值是
3
