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第二学期高一年级数学学科期末考试试卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40.0分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.）
1. 某幼儿园为了了解全园310名小班学生的身高情况，从中抽取31名学生进行身高测量、下列说法正确
的是
A. 总体是310 B. 310名学生中的每一名学生都是个体
C. 样本是31名小班学生 D. 样本容量是31
【答案】D
【解析】
【分析】根据样本和样本容量，总体和总体容量的定义判断．
【详解】根据样本和样本容量，总体和总体容量的定义可知
样本是学生的身高，样本容量是31，
总体是310名学生的身高，总体容量是310
故选D．
【点睛】本题主要考查根据样本和样本容量，总体和总体容量的定义，是基础题．
2. 设 ，则 =
A. 2 B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】先由复数 的除法运算（分母实数化），求得 ，再求 ．
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，故选C．
【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．
3. 已知向量 ，且 ，则
A. B. C. 2 D. -2
【答案】A【解析】
【详解】由于两个向量垂直，故有 .
故选：A.
4. 已知 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ， ， ，则 （ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理得 ，化简即得解.
【详解】由正弦定理得 .
故选：D
【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
5. 已知单位向量 ， 的夹角为60°，则在下列向量中，与 垂直的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.
【详解】由已知可得： .
A：因为 ，所以本选项不符合题意；
B：因为 ，所以本选项不符合题意；C：因为 ，所以本选项不符合题意；
D：因为 ，所以本选项符合题意.
故选：D.
【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量
互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.
6. 已知 =(2,3)， =(3，t)， =1，则 =
A. -3 B. -2
C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.
【 详 解 】 由 ， ， 得 ， 则 ，
．故选C．
【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．
7. 若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.
【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
即 ，
所以，这个球的表面积为 .
故选：C.
【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用
长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，
借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设
计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.
8. 在中， ,BC=1,AC=5，则AB=
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.
详解：因为
所以 ，选A.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角
之间的关系，从而达到解决问题的目的.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20.0分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直
B. 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行
C. 垂直于同一直线的两条直线相互平行
D. 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直
【答案】AD
【解析】
【分析】
由面面垂直的判定定理以及性质判断AD，由面面平行的判定定理判断B，由直线与直线的位置关系判断
C.
【详解】对A项，由面面垂直 的判定定理可得，A正确；
对B项，由面面平行的判定定理可知，当这两条直线平行时，这两个平面不一定平行，故B错误；对C项，垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，故C错误；
对D项，根据面面垂直的性质定理可知，D正确；
故选：AD
【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定定理以及性质，面面平行判定定理，直线与直线的位置关系，属
于中档题.
10. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月
期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（
）
A. 月接待游客量逐月增加
B. 年接待游客量逐年增加
C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
【答案】A
【解析】
【分析】
观察折线图可知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，且折线图呈现增长趋势，高峰都出现在
7、8月份，1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月波动性更小.
【详解】对于选项A，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A错；
对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；
对于选项C，D，由图可知显然正确.故选A.
【点睛】本题考查折线图，考查考生的识图能力，属于基础题.
11. 在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为
“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息
如下，则一定符合该标志的是（ ）
甲地：中位数为2，极差为5； 乙地：总体平均数为2，众数为2；
丙地：总体平均数为1，总体方差大于0； 丁地：总体平均数为2，总体方差为3．
A. 甲地 B. 乙地 C. 丙地 D. 丁地【答案】AD
【解析】
【分析】
逐个选项分析是否一定满足每天新增疑似病例不超过7人即可.
【详解】对A,因为甲地中位数为2,极差为5,故最大值不会大于 .故A正确.
对B,若乙地过去10日分别为 则满足总体平均数为2,众数为2,但不满足每天新增疑似
病例不超过7人,故B错误.
对C,若丙地过去10日分别为 ,则满足总体平均数为1,总体方差大于0, 但不满足每天
新增疑似病例不超过7人,故C错误.
对D,利用反证法,若至少有一天疑似病例超过7人,则方差大于 .与题设矛盾,故连续
10天,每天新增疑似病例不超过7人.故D正确.
故选：AD
【点睛】本题主要考查极差,平均数,中位数与方差等的运算与理解,属于中等题型.
12. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，下列结论正确的是
A. AC⊥BD B. △ACD是等边三角形
C. AB与平面BCD成 角 D. AB与CD所成的角是60°
【答案】ABD
【解析】
【分析】
首先画出几何体，由线面垂直 的性质定理判断A是否正确；根据直二面角的条件计算 的长度，判断
是否是等边三角形；根据线面角的定义判断C；由异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，
取 的中点 ，连结 ，转化为求 或其补角.
【详解】A.取 的中点 ，连结 ,由条件可知 ，又 ，
所有 平面 ， 平面 ，所有 ,所以A正确；B.设正方形边长为2，则 ，且 ，所有 ，所
以 是等边三角形，所以B正确；
C.由条件可知 平面 ，所以 与平面 所成的角为 ，所以C不正确；
D.取 的中点 ，连结 ，则 ，则 所成的角是
或其补角，由以上说明可知 ， ,
所以 是等边三角形，所以 ，故AB与CD所成的角是60°，所以D正确.
综上可知：ABD正确.
故选：ABD
【点睛】本题考查线线，线面位置关系，和线面，异面直线所成的角，重点考查推理能力，空间想象能力，
属于基础题型.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）13. 已知复数 的实部为0，其中 为虚数单位，则实数a的值是_____.
【答案】2.
【解析】
【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得 ，然后根据复数的概念，令实部为0即得a的值.
【详解】 ，
令 得 .
【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14. 在某个容量为100的样本的频率分布直方图中，共有5小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其
他4个小长方形面积和的 ，则中间一组的频数为_______.
【答案】20
【解析】
【分析】根据题意直接根据比例进行求解即可.
【详解】因为中间一个小长方形的面积等于其他4个小长方形面积和的 ，
所以中间一个小长方形的面积等于所以小长方形面积和的 ，
因此中间一组的频数为 .
故答案 为：20
【点睛】本题考查了求频数问题，属于基础题.
15. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】
【解析】
【详解】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.
详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于
，所以该多面体的体积为
点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几
何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何
体进行解决．
16. 的内角 的对边分别为 ，已知 ，
△
，则 的面积为________．
△
【答案】 .
【解析】
【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为 ，化简求得
，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到 ，可以断定 为锐角，从而求得
，进一步求得 ，利用三角形面积公式求得结果.【详解】因为 ，
结合正弦定理可得 ，
可得 ，因为 ，
结合余弦定理 ，可得 ，
所以 为锐角，且 ，从而求得 ，
所以 的面积为 ，故答案是 .
【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）
；（2） ，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在
解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住 、 、 等特殊角的三角函数值，以便在解题中
直接应用.
四、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70.0分，解答应写出文字说
明，证明过程或演算步骤.)
17. 设向量 ， 为锐角.
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1）2；（2） .
【解析】
【分析】（1）根据向量平行的坐标关系，即可求解.
（2）结合平面向量数量积的坐标运算，代入可求得 ，即可求解.【详解】（1） ， ，且 ，
，可得 ；
（2） ，
，化简得 ，
因此， .
【点睛】本题考查了平面向量平行的坐标关系，平面向量数量积的坐标应用，同角三角函数关系式的化简
应用，属于基础题.
18. 两台机床同时生产直径为10的零件，为了检验产品质量，质量质检员从两台机床的产品中各抽取4件
进行测量，结果如下：
机床甲 10 9.8 10 10.2
机床乙 10.1 10 9.9 10
如果你是质量检测员，在收集到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合
要求.
【答案】机床乙的零件质量更符合要求，运算见解析.
【解析】
【详解】先考虑各自的平均数：设机床甲的平均数、方差分别为 ；
机床乙的平均数、方差分别为 ．
，
∴两者平均数相同，再考虑各自的方差：∵ ，∴机床乙的零件质量较稳定，乙更符合要求.
19. 如图，在直三棱柱ABC－ABC 中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．
1 1 1
求证：（1）AB∥平面DEC ；
1 1 1
（2）BE⊥C E．
1
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；
(2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可.
【详解】（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC-ABC 中，AB∥AB，
1 1 1 1 1
所以AB∥ED.
1 1
又因为ED 平面DEC ，AB 平面DEC ，
1 1 1 1
所以A
1
B
1
∥⊂平面DEC
1
.
（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.
因为三棱柱ABC-ABC 是直棱柱，所以CC ⊥平面ABC.
1 1 1 1
又因为BE 平面ABC，所以CC ⊥BE.
1
因为C
1
C ⊂平面A
1
ACC
1
，AC 平面A
1
ACC
1
，C
1
C∩AC=C，
所以BE⊥⊂平面A 1 ACC 1 . ⊂
因为C E 平面AACC ，所以BE⊥C E.
1 1 1 1
【点睛】⊂本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力
和推理论证能力.
20. 统计局就某地居民的月收入情况调查了10 000人，并根据所得数据画了样本频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包含右端点，如第一组表示收入在 元之间．
（1）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样方法
抽出100人作进一步分析，则月收入在 的应抽取多少人；
（2）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；
（3）根据频率分布直方图估计样本数据的平均数.【答案】（1）25；（2）1900；（3）1900.
【解析】
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
月收入在 的频率为0.25，
所以分层抽样抽出100人中月收入在 的人数为
；
（2）收入在 的频率是0.3，
收入在 的频率是 ，
所以样本数据的中位数在 ，
且为 （元）
（3）
（元）
所以平均数为1900元.
21. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝ .
(1)证明：a＋b＝2c；
(2)求cos C的最小值．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【解析】
【 详 解 】 试 题 分 析 ： （ 1 ） 根 据 三 角 函 数 的 基 本 关 系 式 ， 可 化 简 得
，再根据 ，即可得到 ，利用正弦定理，可作出证明；（2）由（1） ，利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可
得 的最小值.
试题解析：（1）由题意知， ，
化简得：
即 ，因为 ，所以 ，
从而 ，由正弦定理得 .
（2）由（1）知， ，所以 ，当且
仅当 时，等号成立，故 的最小值为 .
考点：三角恒等变换的应用；正弦定理；余弦定理.
【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换的应用、正弦定理与余弦定理的应用，涉及到三角函数的基本
关系式和三角形中的性质和基本不等式的应用，着重考查了转化与化归思想和学生的推理与运算能力，以
及知识间的融合，属于中档试题，解答中熟记三角函数恒等变换的公式是解答问题的关键.
22. 如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 是底面的内接正三角形， 为 上一点，
∠APC=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）设DO= ，圆锥的侧面积为 ，求三棱锥P−ABC的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】（1）根据已知可得 ，进而有 ≌ ，可得
，即 ，从而证得 平面 ，即可证得结论；
（2）将已知条件转化为母线 和底面半径 的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形
边长，在等腰直角三角形 中求出 ，在 中，求出 ，即可求出结论.
【详解】（1）连接 ， 为圆锥顶点， 为底面圆心， 平面 ，
在 上， ，
是圆内接正三角形， ， ≌ ，
，即 ，
平面 平面 ， 平面 平面 ；
（2）设圆锥的母线为 ，底面半径为 ，圆锥的侧面积为 ，
，解得 ， ，在等腰直角三角形 中， ，
在 中， ，
三棱锥 的体积为 .
【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转
化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.
