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第六章平面向量及其应用全章综合测试卷(基础篇)
参考答案与试题解析
一.选择题(共8 小题,满分40 分,每小题5 分)
1.下列说法正确的个数是(
)
(1)温度、速度、位移、功这些物理量是向量;
(2)零向量没有方向;
(3)向量的模一定是正数;
(4)非零向量的单位向量是唯一的.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解题思路】根据零向量与单位向量,向量的定义对各个项逐个判断即可求解.
【解答过程】对于(1),温度与功没有方向,不是向量,故(1)错误,
对于(2),零向量的方向是任意的,故(2)错误,
对于(3),零向量的模可能为0,不一点是正数,故(3)错误,
对于(4),非零向量的单位向量的方向有两个,故(4)错误,
故选:A.
2.10(�Ԧሬ+ �Ԧሬ) −(�Ԧሬ−�Ԧሬ) =(
)
A.9�Ԧሬ+ 9�Ԧሬ
B.9�Ԧሬ+ 11�Ԧሬ
C.11�Ԧሬ+ 9�Ԧሬ
D.11�Ԧሬ+ 11�Ԧሬ
【解题思路】根据数乘向量的运算律化简求解即可.
【解答过程】根据向量运算公式可知,10(�Ԧሬ+ �Ԧሬ) −(�Ԧሬ−�Ԧሬ) = 10�Ԧሬ+ 10�Ԧሬ−�Ԧሬ+ �Ԧሬ= 9�Ԧሬ+ 11�Ԧሬ.
故选:B.
3.如图,在△���中,��=
1
3 ��,点�是��的中点.设��Ԧ
ሬሬሬ= �Ԧሬ,��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ,则��Ԧ
ሬሬሬሬ=(
)
A.
2
3 �Ԧሬ−
1
6 �Ԧሬ
B.
2
3 �Ԧሬ+
1
6 �Ԧሬ
C.
1
6 �Ԧሬ−
2
3 �Ԧሬ
D.
1
6 �Ԧሬ+
2
3 �Ԧሬ
【解题思路】根据向量的线性运算即可求得答案.
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【解答过程】由题意在△���中,��=
1
3 ��,点�是��的中点,
故��Ԧ
ሬሬሬሬ=−��Ԧ
ሬሬሬሬ=−
1
2 (��Ԧ
ሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ) =
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬ−
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
= 1
2 ��Ԧ
ሬሬሬ−1
6 ��Ԧ
ሬሬሬሬ= 1
2 ��Ԧ
ሬሬሬ−1
6 (��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬ)
=
2
3 ��Ԧ
ሬሬሬ−
1
6 ��Ԧ
ሬሬሬሬ=
2
3 �Ԧሬ−
1
6 �Ԧሬ,
故选:A.
4.已知非零向量�Ԧሬ, �Ԧሬ满足�Ԧሬ= 2 3 �Ԧሬ,且�Ԧሬ⊥3�Ԧሬ+ �Ԧሬ,则�Ԧሬ与�Ԧሬ的夹角为(
)
A.
�
6
B.
�
3
C.
2�
3
D.
5�
6
【解题思路】根据数量积的运算律及向量夹角的运算公式求解.
【解答过程】解:因为�Ԧሬ⊥(3�Ԧሬ+ �Ԧሬ),
所以�Ԧሬ⋅(3�Ԧሬ+ �Ԧሬ) = 3|�Ԧሬ|2 + �Ԧሬ⋅�Ԧሬ= 0,
设�Ԧሬ与�Ԧሬ的夹角为�,
所以cos�=
�Ԧሬ⋅�Ԧሬ
|�Ԧሬ||�Ԧሬ| =
−3|�Ԧሬ|2
|�Ԧሬ|×2 3|�Ԧሬ| =−
3
2 ,
所以�=
5π
6 .
故选:D.
5.在△���中,角�,�,�所对的边分别为�,�,�,�=
π
3,�=
3,�=
2,则此三角形的解的情况是
(
)
A.有一解
B.有两解
C.无解
D.有解但解的个数不确定
【解题思路】运用正弦定理计算出sin�,结合�> �有sin�> sin�,计算出�即可得.
【解答过程】由
�
sin�=
�
sin�,得sin�=
�⋅sin�
�
=
2× 3
2
3
=
2
2 ,
又�> �,�=
π
3,故�只能为锐角,即�=
π
4,
故该三角形只有一解.
故选:A.
6.设向量�റሬ= 1,2 ,�റሬ= −3,5 ,�റሬ= 4, �,若�റሬ+ �റሬ= ��റሬ�∈R ,则�+ �的值为(
)
A.−
11
2
B.
11
2
C.−
29
2
D.
29
2
【解题思路】利用平面向量的坐标运算可得出关于�、�的方程组,解出这两个未知数的值,即可求得结果.
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【解答过程】因为�റሬ+ �റሬ= ��റሬ�∈R ,即−2,7 = �4, �,所以,4�=−2
��= 7 ,解得�=−
1
2,�=−14,
因此,�+ �=−
29
2 .
故选:C.
7.已知向量�Ԧሬ= 3, −4 , �Ԧሬ= −2, �, �Ԧሬ= 2,1 ,若�Ԧሬ+ �Ԧሬ
⊥�Ԧሬ,则�=(
)
A.−2
B.2
C.−6
D.6
【解题思路】利用向量加法和数量积的坐标表示求解即可.
【解答过程】由题意可得�Ԧሬ+ �Ԧሬ= 1, �−4 ,
因为�Ԧሬ+ �Ԧሬ
⊥�Ԧሬ,所以�Ԧሬ+ �Ԧሬ
⋅�Ԧሬ= 2 + �−4 = 0,解得�= 2,
故选:B.
8.在△���中,sin�=
2sin�, ∠�= 105°, �=
3 + 1,则△���的面积为(
)
A.
3−1
2
B.3 −1
C.
3+1
2
D.3 + 1
【解题思路】应用正弦定理进行边角互化,得�=
2�,再应用余弦定理出cos∠�,进而得到�, �,利用同
角三角函数关系求出sin∠�,应用三角形面积公式�=
1
2 ��sin�即可求得.
【解答过程】由sin�=
2sin�,根据正弦定理得:�=
2�,
又∠�= 105°, �=
3 + 1,则
cos105∘= cos(60∘+ 45∘) = cos60∘cos45∘−sin60∘sin45∘
=
1
2 ⋅
2
2 −
3
2 ⋅
2
2 =
2−6
4
,
sin105∘=
1 −(cos105∘)2 =
2 +
6
4
cos∠�=
�2+�2−�2
2��
=
�2+2�2−4−2 3
2 2�2
=
2−6
4
,
解得�=
2,则�= 2,
�△���= 1
2 ��sin∠�= 1
2 ⋅
2 ⋅2 ⋅
2 +
6
4
=
3 + 1
2
故选:C.
二.多选题(共4 小题,满分20 分,每小题5 分)
9.下列命题中错误的有(
)
A.起点相同的单位向量,终点必相同;
B.已知向量��Ԧ
ሬሬሬሬ∥��Ԧ
ሬሬሬሬ,则四边形ABCD 为平行四边形;
C.若�Ԧሬ//�Ԧሬ, �Ԧሬ//�Ԧሬ,则�Ԧሬ//�Ԧሬ;
D.若�Ԧሬ= �Ԧሬ, �Ԧሬ= �Ԧሬ,则�Ԧሬ= �Ԧሬ
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【解题思路】由单位向量的定义、向量共线和相等的条件,判断各选项的结论.
【解答过程】单位向量的方向不确定,所以起点相同的,终点不一定相同,A 选项错误;
四边形ABCD 中,��Ԧ
ሬሬሬሬ∥��Ԧ
ሬሬሬሬ,则��//��且��= ��,四边形ABCD 为平行四边形,B 选项正确;
当�Ԧሬ= 0Ԧሬ时,满足�Ԧሬ//�Ԧሬ, �Ԧሬ//�Ԧሬ,但不能得到�Ԧሬ//�Ԧሬ,C 选项错误;
由向量相等的条件可知,若�Ԧሬ= �Ԧሬ, �Ԧሬ= �Ԧሬ,则�Ԧሬ= �Ԧሬ,D 选项正确.
故选:AC.
10.已知向量�Ԧሬ,�Ԧሬ满足�Ԧሬ+ 2�Ԧሬ
= �Ԧሬ,�Ԧሬ⋅�Ԧሬ+ �Ԧሬ2 = 0 且�Ԧሬ
= 2,则(
)
A.�Ԧሬ
= 2
B.�Ԧሬ+ �Ԧሬ= 0Ԧሬ
C.�Ԧሬ−2�Ԧሬ
= 6
D.�Ԧሬ⋅�Ԧሬ= 4
【解题思路】由�Ԧሬ+ 2�Ԧሬ
= �Ԧሬ,得�Ԧሬ⋅�Ԧሬ+ �Ԧሬ2 = 0,又�Ԧሬ⋅�Ԧሬ+ �Ԧሬ2 = 0 且�Ԧሬ
= 2,得�Ԧሬ
= 2,�Ԧሬ⋅�Ԧሬ=−4,可得
cos �Ԧሬ, �Ԧሬ
=
�Ԧሬ⋅�Ԧሬ
�Ԧሬ
�Ԧሬ=−1,�Ԧሬ, �Ԧሬ
= π,有�Ԧሬ+ �Ԧሬ= 0,�Ԧሬ−2�Ԧሬ
= 6,可判断各选项.
【解答过程】因为�Ԧሬ+ 2�Ԧሬ
= �Ԧሬ,所以�Ԧሬ+ 2�Ԧሬ
2 = �Ԧሬ
2,即�Ԧሬ2 + 4�Ԧሬ⋅�Ԧሬ+ 4�Ԧሬ2 = �Ԧሬ2,整理可得�Ԧሬ⋅�Ԧሬ+ �Ԧሬ2 = 0,
再由�Ԧሬ⋅�Ԧሬ+ �Ԧሬ2 = 0,且�Ԧሬ
= 2,可得�Ԧሬ2 = �Ԧሬ2 = 4,所以�Ԧሬ
= 2,�Ԧሬ⋅�Ԧሬ=−4,A 选项正确,D 选项错误;
cos �Ԧሬ, �Ԧሬ
=
�Ԧሬ⋅�Ԧሬ
�Ԧሬ
�Ԧሬ=−1,即向量�Ԧሬ,�Ԧሬ的夹角�Ԧሬ, �Ԧሬ
= π,故向量�Ԧሬ,�Ԧሬ共线且方向相反,所以�Ԧሬ+ �Ԧሬ= 0,B 选
项正确;
�Ԧሬ−2�Ԧሬ
=
�Ԧሬ−2�Ԧሬ
2 =
�Ԧሬ2 −4�Ԧሬ⋅�Ԧሬ+ 4�Ԧሬ2 =
4 + 16 + 16 = 6,C 选项正确.
故选:ABC.
11.已知�Ԧሬ= �, −2 , �Ԧሬ= −4, �,则(
)
A.若�Ԧሬ//�Ԧሬ,则�=± 2 2
B.若�Ԧሬ⊥�Ԧሬ,则�= 0
C.�Ԧሬ−�Ԧሬ的最小值为2
D.若向量�Ԧሬ与向量�Ԧሬ的夹角为钝角,则�的取值范围为(0, + ∞)
【解题思路】利用向量平行垂直的坐标表示,向量模和夹角的坐标表示,通过计算验证各选项中的结论.
【解答过程】已知�Ԧሬ= �, −2 , �Ԧሬ= −4, �,
若�Ԧሬ//�Ԧሬ,则�2 =−2 × −4 = 8,解得�=± 2 2,A 选项正确;
若�Ԧሬ⊥�Ԧሬ,则�Ԧሬ⋅�Ԧሬ=−4�−2�= 0,解得�= 0,B 选项正确;
�Ԧሬ−�Ԧሬ= �+ 4, −2 −�,�Ԧሬ−�Ԧሬ
=
�+ 4 2 + −2 −�2 =
2 �+ 3 2 + 2,
当�=−3 时,�Ԧሬ−�Ԧሬ有最小值2,C 选项错误;
当�= 2 2时,�Ԧሬ= 2 2, −2 , �Ԧሬ= −4,2 2 ,�Ԧሬ=−
2�Ԧሬ,
向量�Ԧሬ与向量�Ԧሬ的夹角为180∘,D 选项错误.
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故选:AB.
12.在△���中,三个内角�, �, �所对的边分别为�, �, �,若�sin
�+�
2 = �sin�, �+ �=
3�,则下列结论一
定正确的为(
)
A.�=
�
3
B.�: �= 2: 1
C.△���为直角三角形
D.�: �= 1:
3
【解题思路】由�sin
�+�
2 = �sin�,利用正弦定理求得角B,再根据�+ �=
3�,利用余弦定理求得a,c
的关系逐项判断.
【解答过程】解:因为�sin
�+�
2
= �sin�,
由正弦定理得sin�cos
�
2 = sin�sin�,
因为�, �∈0,π ,
化简得cos
�
2 = 2sin
�
2 cos
�
2,
则sin
�
2 =
1
2,
�
2 =
π
6,
所以�=
π
3,故A 正确;
由余弦定理得�2 = �2 + �2 −2��cos�,
= �+ �2 −2��−2��cos�,
即
�+�
3
2
= �+ �2 −3��,即2�2 −5��+ 2�2 = 0,
解得�= 2�或�=
1
2 �,
当�= 2�时,�=
3�,则�2 + �2 = �2,�: �= 2:
3,
当�=
1
2 �时,�=
3
2 �,则�2 + �2 = �2,�: �= 1:
3,故BD 错误,C 正确,
故选:AC.
三.填空题(共4 小题,满分20 分,每小题5 分)
13.下列各量中,向量有:
③⑤⑥
.(填写序号)
①浓度;②年龄;③风力;④面积;⑤位移;⑥加速度.
【解题思路】根据向量的概念判断即可.
【解答过程】向量是有大小有方向的量,故符合的有:风力,位移,加速度.
故答案为:③⑤⑥.
14.已知在△���中,��= 3,��= 2,∠���= 60°,�为线段��上任意一点,则��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ的取值范围是
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−
1
16 , 3
.
【解题思路】设��Ԧ
ሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬ,0 ≤�≤1,得到��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ= 4 �−
1
8
2
−
1
16,求出取值范围.
【解答过程】设��Ԧ
ሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬ,0 ≤�≤1,则��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= �−1 ��Ԧ
ሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ,
故��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ=
�−1 ��Ԧ
ሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ
⋅���Ԧ
ሬሬሬ= ��−1 ��Ԧ
ሬሬሬ2 + ���Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ
= 4��−1 + ���Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬcos∠���= 4�2 −4�+ 3�
= 4�2 −�= 4 �−
1
8
2
−
1
16,
因为0 ≤�≤1,所以−
1
8 ≤�−
1
8 ≤
7
8,
故−
1
16 ≤4 �−
1
8
2
−
1
16 ≤3,��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ∈−
1
16 , 3 .
故答案为:−
1
16 , 3 .
15.已知在△���中,�为��的中点,�是线段��上的动点,若��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ,则
2
�+
1
�的最小值为
8
.
【解题思路】根据三点共线可得�+ 2�= 1,利用“1”的技巧及均值不等式求解.
【解答过程】如图,
因为��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ,�为��的中点,
所以��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ 2���Ԧ
ሬሬሬሬ,
因为�, �, �三点共线,所以�+ 2�= 1(�> 0, �> 0),
2
�+
1
�= �+ 2�
2
�+
1
�= 4 +
4�
�+
�
�≥4 + 2
4�
�⋅
�
�= 8,
当且仅当
4�
�=
�
�,即�=
1
2 , �=
1
4时等号成立,
故
2
�+
1
�的最小值为8.
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故答案为:8.
16.落霞与孤鹜齐飞,秋水共长天一色,滕王阁,江南三大名楼之一,因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》
而名传千古,如图所示,在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A,B,C 处测得其顶点P 的仰角分别为30°,
60°,45°,且AB=BC=75 米,则滕王阁的高度OP=
15 15
米.
【解题思路】设��= ℎ, ℎ> 0,表示出��, ��, ��,利用cos∠���=−cos∠���结合余弦定理列方程求解.
【解答过程】设��= ℎ, ℎ> 0,
则��=
��
tan30° =
3ℎ, ��=
��
tan60° =
3
3 ℎ, ��=
��
tan45° = ℎ.
由∠���+ ∠���= π得cos∠���=−cos∠���,
由余弦定理得
3
3 ℎ
2
+752−ℎ2
2×75× 3
3 ℎ
=−
3
3 ℎ
2
+752−
3ℎ
2
2×75× 3
3 ℎ
,
解得ℎ= 15 15,即OP 为15 15米.
故答案为:15 15.
四.解答题(共6 小题,满分70 分)
17.如图,�是正六边形������的中心,且��റ
ሬሬሬሬ= �റሬ,��റ
ሬሬሬሬ= �റሬ,��റ
ሬሬሬሬ= �റሬ.在以�, �, �, �, �, �, �这七个点中
任意两点为起点和终点的向量中,问:
(1)与�റሬ相等的向量有哪些?
(2)�റሬ的相反向量有哪些?
(3)与�റሬ的模相等的向量有哪些?
【解题思路】根据相等向量、相反向量、向量模长的概念,结合图形进行分析求解即可.
【解答过程】(1)由相等向量定义知:与�റሬ相等的向量有��റ
ሬሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬሬ.
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(2)由相反向量定义知:�റሬ的相反向量有��റ
ሬሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬሬ.
(3)由向量模长定义知:与�റሬ的模相等的向量有��റ
ሬሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬሬ,
��റ
ሬሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬሬ.
18.设向量�Ԧሬ,�Ԧሬ满足�Ԧሬ
= �Ԧሬ
= 1,且�Ԧሬ−2�Ԧሬ
=
7.
(1)求�Ԧሬ与�Ԧሬ的夹角;
(2)求�Ԧሬ+ 3�Ԧሬ的大小.
【解题思路】(1)平方�Ԧሬ−2�Ԧሬ
=
7计算得到cos�=−
1
2,得到答案.
(2)确定�Ԧሬ+ 3�Ԧሬ
=
�Ԧሬ+ 3�Ԧሬ
2,计算得到答案.
【解答过程】(1)设�Ԧሬ与�Ԧሬ的夹角为�0 ≤�≤π ,
�Ԧሬ−2�Ԧሬ
=
�Ԧሬ−2�Ԧሬ
2 =
�Ԧሬ2 −4�Ԧሬ⋅�Ԧሬ+ 4�Ԧሬ2 =
7,则�Ԧሬ
2 −4 �Ԧሬ
⋅�Ԧሬcos�+ 4 �Ԧሬ
2 = 7,
将�Ԧሬ
= �Ԧሬ
= 1 代入得1 −4cos�+ 4 = 7,cos�=−
1
2,故�=
2π
3 ;
(2)�Ԧሬ+ 3�Ԧሬ
=
�Ԧሬ+ 3�Ԧሬ
2 =
�Ԧሬ2 + 6�Ԧሬ⋅�Ԧሬ+ 9�Ԧሬ2 =
�Ԧሬ
2 + 6 �Ԧሬ
⋅�Ԧሬcos�+ 9 �Ԧሬ
2
将�Ԧሬ
= �Ԧሬ
= 1 代入得�Ԧሬ+ 3�Ԧሬ
=
1 + 6 × −
1
2 + 9 =
7,故�Ԧሬ+ 3�Ԧሬ
=
7.
19.已知平面向量�
→= 1, �, �
→
= 2�+ 3, −�
�∈R
(1)若�Ԧሬ⊥�Ԧሬ,求x 的值:
(2)若�Ԧሬ∥�Ԧሬ,求�Ԧሬ−�Ԧሬ
【解题思路】(1)直接利用向量垂直的坐标表示列方程求解;
(2)先通过向量平行的坐标公式求出�,再通过向量的坐标运算求模.
【解答过程】(1)∵�Ԧሬ⊥�Ԧሬ,
∴�Ԧሬ⋅�Ԧሬ= 2�+ 3 −�2 = 0,
解得�= 3 或�= −1;
(2)∵�Ԧሬ∥�Ԧሬ,
∴−�= 2�+ 3 �,即2�2 + 4�= 0 解得�= 0 或�=−2,
当�= 0 时,�Ԧሬ= 1,0 , �Ԧሬ= 3,0 ,�Ԧሬ−�Ԧሬ= −2,0 ,∴�Ԧሬ−�Ԧሬ
= 2;
当�=−2 时,�Ԧሬ= 1, −2 , �Ԧሬ= −1,2 ,�Ԧሬ−�Ԧሬ= 2, −4 ,∴�Ԧሬ−�Ԧሬ
=
4 + 16 = 2 5,
∴�Ԧሬ−�Ԧሬ
= 2 或�Ԧሬ−�Ԧሬ
= 2 5.
20.如图所示,一条河两岸平行,河的宽度��=
3km,一艘船从河边的A 点出发到达对岸的B 点,船只
在河内行驶的路程��= 2km,行驶时间为0.2 h.已知船在静水中的速度�1Ԧ
ሬሬሬ的大小为�1Ԧ
ሬሬሬ,水流的速度�2Ԧ
ሬሬሬ的
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大小为�2Ԧ
ሬሬሬ
= 2km/h.求:
(1) �1Ԧ
ሬሬሬ;
(2)船在静水中速度�1Ԧ
ሬሬሬ与水流速度�2Ԧ
ሬሬሬ夹角的余弦值.
【解题思路】(1)由题意得�Ԧሬ= �1Ԧ
ሬሬሬ+ �2Ԧ
ሬሬሬ,结合已知利用余弦定理可求解;
(2)由(1)结合余弦定理可求出cos �1Ԧ
ሬሬሬ, �2Ԧ
ሬሬሬ.
【解答过程】(1)∵河的宽度��=
3km,��= 2km,
∴sin∠���=
��
��=
3
2 ,∴∠���= 60°.
如图,设合速�Ԧሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ,�2Ԧ
ሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ,船在静水中的速度�1Ԧ
ሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬ,则�Ԧሬ= �1Ԧ
ሬሬሬ+ �2Ԧ
ሬሬሬ,
由题意可得�Ԧሬ
=
2
0.2 = 10 km h ,且∠���= ∠���= 60°,
又�2Ԧ
ሬሬሬ
= 2km/h,∴在△���中,由余弦定理可得
�1Ԧ
ሬሬሬ
=
��2 + ��2 −2 × ��× ��× cos60° =
100 + 4 −2 × 10 × 2 × 1
2 = 2 21 km h
(2)由(1)知��= 2 21,��= 10,��= 2,
由余弦定理可得cos∠���=
4+84−100
2×2×2 21 =−
21
14 .
∴cos �1Ԧ
ሬሬሬ, �2Ԧ
ሬሬሬ
= cos 180° −∠���=−cos∠���=
21
14 .
21.如图,在△���中,��= 4��,��= 3��,BE 与AD 相交于点M.
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(1)用��Ԧ
ሬሬሬሬ,��Ԧ
ሬሬሬ表示��Ԧ
ሬሬሬሬ,��Ԧ
ሬሬሬሬ;
(2)若��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ,求�+ �的值.
【解题思路】(1)由BC=4BD 得出��Ԧ
ሬሬሬሬ=
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬ−
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ,然后可得��Ԧ
ሬሬሬሬ=
3
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬ;根据��= 3��得出��Ԧ
ሬሬሬሬ=
2
3 ��Ԧ
ሬሬሬ,然后根据��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ即可用��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬ表示出��Ԧ
ሬሬሬሬ;
(2)根据A,M,D 三点共线得出��Ԧ
ሬሬሬሬ=
3�
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
4 ��Ԧ
ሬሬሬ,然后根据平面向量基本定理得出�= 3�;根据B,
M,E 三点共线得出��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+
2(1−�)
3
��Ԧ
ሬሬሬ,然后即可根据平面向量基本定理求出k 的值,进而得出�+ �
的值.
【解答过程】(1)因为��= 4��,所以��Ԧ
ሬሬሬሬ=
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ=
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
=
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬ−
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ,
所以��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬ−
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ=
3
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬ.
因为��= 3��,所以��Ԧ
ሬሬሬሬ=
2
3 ��Ԧ
ሬሬሬ,
所以��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ=
2
3 ��Ԧ
ሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ.
(2)因为A,M,D 三点共线,所以��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ=
3�
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
4 ��Ԧ
ሬሬሬ.
因为��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ,所以
�=
3�
4
�=
�
4
,即�= 3�.
因为B,M,E 三点共线,所以��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ 1 −���Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+
2 1−�
3
��Ԧ
ሬሬሬ.
因为��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ,所以
�= �
�=
2 1−�
3
.
因为�= 3�,所以�= 3 ×
2
3 1 −�,解得�=
2
3,
从而�=
2
3,�=
2
9,故�+ �=
8
9.
22.在△���中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且
�
tan�=
�
2sin�.
(1)求角A 的值;
(2)若�= 6,�= 2�,求△���的面积.
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【解题思路】(1)利用正弦定理边化角,结合角的范围求解即得.
(2)由(1)的结论,利用余弦定理求出�,再利用三角形面积公式计算即得.
【解答过程】(1)在△���中,
�
tan�=
�
2sin�得
�cos�
sin�=
�
2sin�,
由正弦定理得
sin�cos�
sin�
=
sin�
2sin�.又sin�> 0, sin�> 0,
因此cos�=
1
2,而�∈0,π ,所以�=
π
3.
(2)由(1)知�=
π
3,由余弦定理得�2 = �2 + �2 −2��cos�= �2 + �2 −��,
而�= 6,�= 2�,则36 = 4�2 + �2 −2�2 = 3�2,解得�= 2 3(舍去负值),所以�= 2�= 4 3,
所以△���的面积�=
1
2 ��sin�=
1
2 × 4 3 × 2 3 ×
3
2 = 6 3.