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6.12平面向量及其应用全章综合测试卷(提高篇)(解析版)(1)_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_平面向量

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学科网(北京)股份有限公司
第六章平面向量及其应用全章综合测试卷(提高篇)
参考答案与试题解析
一.选择题(共8 小题,满分40 分,每小题5 分)
1.下列命题:
①若|�Ԧሬ| = |�Ԧሬ|,则�Ԧሬ= �Ԧሬ;
②�Ԧሬ= �Ԧሬ的充要条件是|�Ԧሬ| = |�Ԧሬ|且�Ԧሬ∥�Ԧሬ
③若�Ԧሬ∥�Ԧሬ, �Ԧሬ∥�Ԧሬ,则�Ԧሬ∥�Ԧሬ;
④若�、�、�、�是不共线的四点,则��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ是四边形����为平行四边形的充要条件.
其中,真命题的个数是(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
【解题思路】根据向量共线的概念依次判断各选项即可得答案
【解答过程】解:对于①,若|�Ԧሬ| = |�Ԧሬ|,则模相等,方向不一定相同,故错误;
对于②,当�Ԧሬ=−�Ԧሬ时也满足|�Ԧሬ| = |�Ԧሬ|且�Ԧሬ∥�Ԧሬ,故错误;
对于③,当�Ԧሬ= 0Ԧሬ时,满足�Ԧሬ∥�Ԧሬ, �Ԧሬ∥�Ԧሬ,但�Ԧሬ∥�Ԧሬ不一定成立;
对于④,若�、�、�、�是不共线的四点,则��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ是四边形����为平行四边形的充要条件,正确.
故真命题的个数是1 个.
故选:B.
2.已知�1Ԧ
ሬሬ,�2Ԧ
ሬሬ是平面内两个不共线的向量,��Ԧ
ሬሬሬሬ= 4�1Ԧ
ሬሬ+ 2�2Ԧ
ሬሬ,��Ԧ
ሬሬሬሬ=−�1Ԧ
ሬሬ+ ��2Ԧ
ሬሬ,��Ԧ
ሬሬሬሬ= �1Ԧ
ሬሬ+ 1 −��2Ԧ
ሬሬ,且A,
C,D 三点共线,则�=(
)
A.
1
2
B.2
C.4
D.
1
4
【解题思路】根据已知求出��Ԧ
ሬሬሬ= 3�1Ԧ
ሬሬ+ �+ 2 �2Ԧ
ሬሬ.根据已知可得��Ԧ
ሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ共线,进而得出��Ԧ
ሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ,代入向
量整理得出方程组
3 −�= 0
�+ 2 −�+ ��= 0 ,求解即可得出答案.
【解答过程】由已知可得,��Ԧ
ሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= 3�1Ԧ
ሬሬ+ �+ 2 �2Ԧ
ሬሬ,��Ԧ
ሬሬሬሬ= �1Ԧ
ሬሬ+ 1 −��2Ԧ
ሬሬ.
因为A,C,D 三点共线,所以��Ԧ
ሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ共线,
则∃�∈R,使得��Ԧ
ሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ,
即3�1Ԧ
ሬሬ+ �+ 2 �2Ԧ
ሬሬ= ��1Ԧ
ሬሬ+ �1 −��2Ԧ
ሬሬ,
整理可得3 −��1Ԧ
ሬሬ+ �+ 2 −�+ ���2Ԧ
ሬሬ= 0Ԧሬ.
因为�1Ԧ
ሬሬ,�2Ԧ
ሬሬ不共线,
所以有
3 −�= 0
�+ 2 −�+ ��= 0 ,解得�=
1
4
�= 3
.
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故选:D.
3.向量�Ԧሬ= (1,3),�Ԧሬ= 3�−1, �+ 1 ,�Ԧሬ= 5,7 ,若�Ԧሬ+ �Ԧሬ
∥�Ԧሬ+ �Ԧሬ,且�Ԧሬ= ��Ԧሬ+ ��Ԧሬ,则�+ �的值
为(
)
A.2
B.
5
2
C.3
D.
7
2
【解题思路】先利用平面向量加减法的坐标运算和向量共线的坐标表示求出�= 1,再利用向量的坐标表示
得到关于�、�的方程组进行求解.
【解答过程】由题意,得�Ԧሬ+ �Ԧሬ= 3�, �+ 4
,�Ԧሬ+ �Ԧሬ= 6,10 ,
因为�Ԧሬ+ �Ԧሬ
∥�Ԧሬ+ �Ԧሬ,所以30�= 6�+ 24,解得�= 1,
则�Ԧሬ= ��Ԧሬ+ ��Ԧሬ= �, 3�+ 2�, 2�= �+ 2�, 3�+ 2�= 5,7 ,
即�+ 2�= 5
3�+ 2�= 7 ,解得�= 1
�= 2 ,故�+ �= 3.
故选:C.
4.如图,△���是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形,若��= 4,��= 2,
点M 为线段��上的动点,则��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
⋅��Ԧ
ሬሬሬሬሬ的最大值为(
)
A.
16
9
B.
21
4
C.6
D.10
【解题思路】利用平面向量的线性表示和数量积,转化为函数的最值问题求解.
【解答过程】根据题意可得,∠���= ∠���= ∠���= 60∘,
所以∠���= ∠���= ∠���= 120∘,
又因为��= 4, ��= 2,
所以��= ��= ��= 4,��= ��= ��= ��= ��= ��= 2,
设��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬ0 ≤�≤1 ,则��Ԧ
ሬሬሬሬ= 1 −���Ԧ
ሬሬሬ,
所以��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ−2���Ԧ
ሬሬሬ,
��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2 �−1 ��Ԧ
ሬሬሬ+ 2��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ,
所以��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
⋅��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= 2 �−1 ��Ԧ
ሬሬሬ+ 2��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ−2���Ԧ
ሬሬሬ
=−4��−1 ��Ԧ
ሬሬሬ2 + 2 �−1 ��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ−4���Ԧ
ሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ+ 2��Ԧ
ሬሬሬሬ2 + 2���Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ
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=−16��−1 + 4 �−1 −8�+ 8 + 4�+ 2
=−16�2 + 16�+ 6 =−16 �−
1
2
2
+ 10,
令��=−16 �−
1
2
2
+ 10,
当�∈0,
1
2 单调递增,�∈
1
2 , 1 单调递减,
当�=
1
2,��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
⋅��Ԧ
ሬሬሬሬሬ取最大值为10.
故选:D.
5.在△���中,��Ԧ
ሬሬሬሬ=
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ,E 是线段��上的动点(与端点不重合),设��Ԧ
ሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ,则
2�+3�+��
��
的
最小值是(
)
A.10
B.4
C.7
D.13
【解题思路】由已知条件结合平面向量基本定理可得�+
3
2 �= 1,�> 0, �> 0,则
2�+3�+��
��
=
2
�+
3
�+ 1 =
2
�+
3
�
�+
3
2 �+ 1,化简后利用基本不等式可得答案.
【解答过程】因为��Ԧ
ሬሬሬሬ=
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ,所以��Ԧ
ሬሬሬሬ=
3
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ,
因为��Ԧ
ሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ,所以��Ԧ
ሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬ+
3
2 ���Ԧ
ሬሬሬሬ,
因为�, �, �三点共线,所以�+
3
2 �= 1,�> 0, �> 0,
2�+ 3�+ ��
��
= 2
�+ 3
�+ 1 =
2
�+ 3
�
�+ 3
2 �+ 1
=
2�
�+ 3 + 3 +
9�
2�+ 1 = 7 +
2�
�+
9�
2�≥7 + 2
2�
�⋅
9�
2�= 13,
当且仅当
2�
�=
9�
2�
�+
3
2 �= 1
,即
�=
1
2
�=
1
3
时取等.
故选:D.
6.已知△���中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c,下列命题中,真命题的个数是(
)
(1)若�2tan�= �2tan�,则△���是等腰三角形;
(2)若sin�= cos�,则△���是直角三角形;
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(3)若cos�cos�cos�< 0,则△���是钝角三角形;
(4)若cos(�−�)cos(�−�)cos(�−�) = 1,则△���是等边三角形.
A.1
B.2
C.3
D.4
【解题思路】利用三角形的性质、正弦定理、同角三角函数的基本关系进行计算求解.
【解答过程】△���中,�2tan�= �2tan�,由正弦定理有:
sin2�⋅
sin�
cos�= sin2�⋅
sin�
cos�,因为△���中sin�≠0, sin�≠0,
所以
sin�
cos�=
sin�
cos�,即sin�cos�= sin�cos�,即sin2�= sin2�,
所以2�= 2�或2�+ 2�= π,故(1)错误;
△���中,因为sin�= cos�> 0,所以�∈0,
π
2 ,
所以�+ �=
π
2或�= �+
π
2,故(2)错误;
△���中,cos�cos�cos�< 0,当cos�< 0, cos�< 0, cos�< 0 时,
�∈
π
2 ,π ,�∈
π
2 ,π ,�∈
π
2 ,π ,显然不满足;
当cos�, cos�, cos�中有1 为负,2 个为正,不妨设cos�< 0, cos�> 0, cos�> 0,
则�∈
π
2 ,π ,�∈0,
π
2 ,�∈0,
π
2 ,所以△���是钝角三角形;故(3)正确;
△���中,�, �, �∈0,π ,所以�−�∈−π,π , �−�∈−π,π , �−�∈−π,π ,
所以cos(�−�) ∈−1,1 , cos(�−�) ∈−1,1 , cos(�−�) ∈−1,1 ,
因为cos(�−�)cos(�−�)cos(�−�) = 1,
所以cos(�−�) = cos(�−�) = cos(�−�) = 1,所以�= �= �,
则△���是等边三角形,故(4)正确;故A,C,D 错误.
故选:B.
7.在锐角△���中,角�,�,�的对边分别为�,�,�,记△���的面积为�,若(�2 −�2)sin�= 2�,则
�+�
�
取值范围是(
)
A.(1,5)
B.( 2 + 1,5)
C.(1,
3 + 2)
D.( 2 + 1,
3 + 2)
【解题思路】利用余弦定理、正弦定理,三角形面积的正弦表示以及三角恒等变换化简得出�= 2�,利用
△���为锐角三角形求出角�的取值范围,由正弦定理结合三角恒等变换可得出
�+�
�= 2cos�2 + 2cos�−
1,利用二次函数的基本性质可求得
�+�
�的取值范围.
【解答过程】由题意得:�=
1
2 ��sin�,得:�2 −�2 sin�= ��sin�,
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又sin�> 0,得:�2 + ��= �2,
由余弦定理得:�2 + ��= �2 = �2 + �2 −2��cos�,化简得:�= �−2�cos�,
由正弦定理得:sin�= sin�−2sin�cos�= sin �+ �−2sin�cos�
= sin�cos�+ cos�sin�−2sin�cos�= sin�cos�−cos�sin�= sin �−�,
因为:�, �∈0,
π
2 ,则:−
π
2 < �−�<
π
2,
又因为正弦函数�= sin�在−
π
2 ,
π
2 上单调递增,所以:�= �−�,即:�= 2�,
则:�= π −�−�= π −3�,
因为△���为锐角三角形,则:
0 < �<
π
2
0 < 2�<
π
2
0 < π −3�<
π
2
,解得:
π
6 < �<
π
4,则:2 < 2cos�<
3,
所以:
�+�
�=
sin�+sin�
sin�
=
sin2�+sin π−3�
sin�
=
2sin�cos�+sin�cos2�+cos�sin2�
sin�
=
sin�2cos�+2cos2�−1+2cos2�
sin�
= 2cos�2 + 2cos�−1,
令:�= 2cos�∈
2,
3 ,则函数�= �2 + �−1 在
2,
3 上单调递增,
故
�+�
�= 2cos�2 + 2cos�−1 ∈
2 + 1,
3 + 2 ,故D 项正确.
故选:D.
8.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理,它包含三个结论,其中一个是相交弦定理:圆内的两
条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等,如图,已知圆�的半径2,点�是圆�内的定点,且��=
2,
弦��, ��均过点�,则下列说法错误的是(
)
A.��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ为定值
B.��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ的取值范围是−2,0
C.当��⊥��时,��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ为定值
D.��Ԧ
ሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ的最大值为16
【解题思路】过�, �作直径��,利用向量加减几何意义得��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ==−(|��Ԧ
ሬሬሬሬ| −|��Ԧ
ሬሬሬሬ|)(|��Ԧ
ሬሬሬሬ| + |��Ԧ
ሬሬሬሬ|)判断A;
若�为��中点,连接��,应用向量线性运算的几何意义及数量积的运算律、圆的性质得��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2��Ԧ
ሬሬሬሬሬ2 −
4,进而求范围判断B;根据垂直关系及��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= (��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ) ⋅(��Ԧ
ሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ)、数量积得运算律化简判断C;
若�为��中点,连接��,圆的性质易得��Ԧ
ሬሬሬ
2 ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ
2 = 16(4 −��2) ⋅(4 −��2),应用基本不等式及
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��2 + ��2 ≥��2求最值,注意取值条件判断D.
【解答过程】如图,过�, �作直径��,
由题意��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ=−|��Ԧ
ሬሬሬሬ||��Ԧ
ሬሬሬ| =−|��Ԧ
ሬሬሬ||��Ԧ
ሬሬሬሬ| =−|��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ||��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ|,
所以��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ=−|��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ|| −(��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ)| =−|��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ||��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ|
=−(|��Ԧ
ሬሬሬሬ| −|��Ԧ
ሬሬሬሬ|)(|��Ԧ
ሬሬሬሬ| + |��Ԧ
ሬሬሬሬ|) =−(|��Ԧ
ሬሬሬሬ|2 −|��Ԧ
ሬሬሬሬ|2) =−2 为定值,A 对;
若�为��中点,连接��,则
��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= (��Ԧ
ሬሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ) ⋅(��Ԧ
ሬሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ) = ��Ԧ
ሬሬሬሬሬ2 + ��Ԧ
ሬሬሬሬሬ⋅(��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ) + ��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ
= ��Ԧ
ሬሬሬሬሬ2 −(4 −��Ԧ
ሬሬሬሬሬ2) = 2��Ԧ
ሬሬሬሬሬ2 −4,
由题意0 ≤��Ԧ
ሬሬሬሬሬ2 ≤��Ԧ
ሬሬሬሬ2 = 2,则��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ∈[ −4,0],B 错;
若��⊥��,故��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= 0,
则��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= (��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ) ⋅(��Ԧ
ሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ) = ��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ,
又��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ=−2,则��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ=−2,同理可得��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ=−2,故��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ=−4,C 对;
因为��Ԧ
ሬሬሬ≤4, ��Ԧ
ሬሬሬሬ
≤4,则当弦��, ��均与��重合时,此时��Ԧ
ሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ有最大值,为16,故D 正确.
故选:B.
二.多选题(共4 小题,满分20 分,每小题5 分)
9.下列说法不正确的是(
)
A.若�Ԧሬ= �Ԧሬ,则�Ԧሬ、�Ԧሬ的长度相等且方向相同或相反
B.若向量�Ԧሬ,�Ԧሬ满足�Ԧሬ
> �Ԧሬ,且同向,则�Ԧሬ>�Ԧሬ
C.若�Ԧሬ
≠�Ԧሬ,则�Ԧሬ与�Ԧሬ可能是共线向量
D.若非零向量��Ԧ
ሬሬሬሬ与��Ԧ
ሬሬሬሬ平行,则�、�、�、�四点共线
【解题思路】因为向量是矢量,具有大小和方向,是不能比较大小的,即可判断选项A、B;再利用共线
向量的含义可判断选项C、D.
【解答过程】对于A 项,�Ԧሬ= �Ԧሬ只能说明�Ԧሬ、�Ԧሬ的长度相等,不能判断它们的方向, 因而选项A 错误;
对于B 项,向量不能比较大小,因而选项B 错误;
对于C 项,�Ԧሬ
≠�Ԧሬ只能说明�Ԧሬ、�Ԧሬ的长度不相等,它们的方向可能相同或相反,故选项C 正确;
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对于D 项,��Ԧ
ሬሬሬሬ与��Ԧ
ሬሬሬሬ平行,可能��//��,即�、�、�、�四点不一定共线,因而选项D 错误.
故选:ABD.
10.如图,在同一平面内,两个斜边相等的直角三角形放置在一起,其中��= 1, ∠�= ∠���=
π
2 , ∠���=
π
6 , ∠�=
π
4,则下列结论正确的是(
)
A.��Ԧ
ሬሬሬሬ=
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
2
3 ��Ԧ
ሬሬሬ
B.��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ
C.��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ=
6
D.��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= 3
【解题思路】根据平面向量加减运算法则可知A 错误,B 正确;由转化法利用平面向量数量积定义即可求
得C 错误,D 正确.
【解答过程】由��= 1 可得��= ��= 2,则��= ��=
2,
所以��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬ+
2
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬ+
2
2
��Ԧ
ሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ
= 1 −
2
2
��Ԧ
ሬሬሬ+
2
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ,可得A 错误;
易知��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ,所以可得��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ,即B 正确;
易知��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ
⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= 0 +
2 × 1 × cos30∘=
6
2 ,可得C 错误;
由��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ
⋅��Ԧ
ሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
= ��Ԧ
ሬሬሬ2 −��Ԧ
ሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ
= 3 −0 +
2 ×
3cos60∘−1 ×
2cos30∘= 3 −0 +
6
2 −
6
2 = 3,即D 正确;
故选:BD.
11.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,图1 是一个正八边形窗花隔断,
图2 是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH 的边长为1,P 是正八边形
ABCDEFGH 边上任意一点,则(
)
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A.��Ԧ
ሬሬሬሬ与��Ԧ
ሬሬሬ能构成一组基底
B.��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ=
2��Ԧ
ሬሬሬሬ
C.��Ԧ
ሬሬሬሬ在��Ԧ
ሬሬሬሬ向量上的投影向量的模为
2
2
D.��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ的最大值为3 + 2 2
【解题思路】A 选项,作出辅助线,证明出∠���= 90°,从而建立平面直角坐标系,写出点的坐标,得到
��Ԧ
ሬሬሬሬ与��Ԧ
ሬሬሬ平行,故A 错误;
B 选项,求出��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ得到B 正确;
C 选项,求出��Ԧ
ሬሬሬሬ,��Ԧ
ሬሬሬሬ,利用投影向量的计算公式求出答案;
D 选项,取��的中点�,得到��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ2 −��Ԧ
ሬሬሬሬ2 = ��Ԧ
ሬሬሬሬ2 −
1
4,求出��Ԧ
ሬሬሬሬ2的最大值,从而得到��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ的
最大值.
【解答过程】连接AF,
因为∠���= 45°,故∠���=
180°−45°
2
= 67.5°,
因为∠���= 3 × 45° = 135°,故∠���=
180°−135°
2
= 22.5°,
故∠���= 67.5° + 22.5° = 90°,
以��所在直线为�轴,��所在直线为�轴,建立平面直角坐标系,
则�0,0 , �1,0 , �−
2
2 ,
2
2
, �0,
2 + 1 , �1 +
2
2 ,
2
2
故��Ԧ
ሬሬሬሬ= −
2
2 ,
2
2
, ��Ԧ
ሬሬሬ= −1 −
2
2 ,
2
2 + 1 ,
故−
2
2 ×
2
2 + 1 −
2
2 × −1 −
2
2
=−
1
2 −
2
2 +
2
2 +
1
2 = 0,
所以��Ԧ
ሬሬሬሬ与��Ԧ
ሬሬሬ平行,不能构成一组基底,A 错误;
�
1
2 ,
2+1
2
,��Ԧ
ሬሬሬሬ= −
1
2 , −
2+1
2
,��Ԧ
ሬሬሬሬ= 1 +
2
2 ,
2
2
−
1
2 ,
2+1
2
=
2+1
2
, −
1
2 ,
��Ԧ
ሬሬሬሬ= 1,0 −
1
2 ,
2+1
2
=
1
2 , −
2+1
2
,
故��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ=
2
2 , −
2+2
2
=
2��Ԧ
ሬሬሬሬ,B 正确;
�−
2
2 ,
2
2 + 1 ,��Ԧ
ሬሬሬሬ= −
2
2 ,
2
2 + 1 ,��Ԧ
ሬሬሬሬ= 1,0 ,
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故��Ԧ
ሬሬሬሬ在��Ԧ
ሬሬሬሬ向量上的投影向量的模长为
��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ
��Ԧ
ሬሬሬሬ
=
−2
2 , 2
2 +1 ⋅1,0
1
=
2
2 ,C 正确;
取��的中点�,则��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2��Ԧ
ሬሬሬሬ,��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2��Ԧ
ሬሬሬሬ,
则��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ
2 = 4��Ԧ
ሬሬሬሬ2,��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
2 = 4��Ԧ
ሬሬሬሬ2,
两式相减得:��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ2 −��Ԧ
ሬሬሬሬ2 = ��Ԧ
ሬሬሬሬ2 −
1
4,
当点�与点�或�重合时,��Ԧ
ሬሬሬሬ2最大,
最大值为��2 + ��2 =
1
4 +
2 + 1
2 =
13
4 + 2 2,
则��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ的最大值为
13
4 + 2 2 −
1
4 = 3 + 2 2,D 正确.
故选:BCD.
12.在△���中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且tan�+ tan�=
3�
�cos�,则下列结论正确的是
(
)
A.�=
π
6
B.若�= 2,则该三角形周长的最大值为6
C.若△���的面积为2,a,b,c 边上的高分别为ℎ1, ℎ2, ℎ3,且ℎ1ℎ2ℎ3 = �,则�2的最大值为24 3
D.设��Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
2�+���Ԧ
ሬሬሬሬ,且��= 1,则�+ 2�的最小值为
9 7
7
【解题思路】A 选项,利用正弦定理和三角恒等变换得到
sin�
cos�cos�=
3sin�
sin�cos�,从而得到tan�=
3,求出�=
π
3,
A 正确;B 选项,由余弦定理结合基本不等式求出周长的最值;C 选项,利用三角形面积公式,得到��=
8 3
3 ,
ℎ1ℎ2ℎ3 =
64
���=
8 3
�,利用余弦定理及基本不等式求出�2 ≥
8 3
3 ,从而求出�2 =
192
�2 ≤24 3,C 正确;D 选项,
��Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
2�+���Ԧ
ሬሬሬሬ变形为��Ԧ
ሬሬሬሬ=
2�
�+2���Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
�+2���Ԧ
ሬሬሬ,两边平方后得到
1
�+
2
�=
7,再利用基本不等式“1”的妙用求
出最值.
【解答过程】A 选项,tan�+ tan�=
3�
�cos�,由正弦定理可得:
sin�
cos�+
sin�
cos�=
3sin�
sin�cos�,
而
sin�
cos�+
sin�
cos�=
sin�cos�+cos�sin�
cos�cos�
=
sin(�+�)
cos�cos�=
sin�
cos�cos�,
故
sin�
cos�cos�=
3sin�
sin�cos�,
因为0 < �< π且cos�位于分母位置,故sin�≠0, cos�≠0,
所以tan�=
3,
又0 < �< π,
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所以�=
π
3,故A 错误;
B 选项,由A 选项知:�=
π
3,由余弦定理得:
�2 = 4 = �2 + �2 −2��cos�= �2 + �2 −��= (�+ �)2 −3��≥(�+ �)2 −3
�+�
2
2
,
所以(�+ �)2 ≤16,�+ �≤4,当且仅当�= �时等号成立,
此时�+ �+ �≤6,所以周长的最大值为6,故B 正确;
C 选项,结合三角形面积公式得
1
2 �ℎ1 = 2,
1
2 �ℎ2 = 2,
1
2 �ℎ3 = 2,
则ℎ1 =
4
�, ℎ2 =
4
�, ℎ3 =
4
�, ℎ1ℎ2ℎ3 =
64
���,
又因为�△���=
1
2 ��sin�=
1
2 ��⋅
3
2 =
3��
4
= 2,所以��=
8 3
3 ,
结合余弦定理得�2 = �2 + �2 −��≥2��−��=
8 3
3 ,当且仅当�= �时等号成立,
所以ℎ1ℎ2ℎ3 =
64
���=
8 3
�,所以�2 =
192
�2 ≤24 3,
所以�2的最大值为24 3,故C 正确;
对于D 选项,因为��Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
2�+���Ԧ
ሬሬሬሬ,即��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
2�+���Ԧ
ሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ,
��Ԧ
ሬሬሬሬ=
2�
�+2���Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
�+2���Ԧ
ሬሬሬ,
两边平方并化简得|��Ԧ
ሬሬሬሬ|2 = 1 =
4�2�2
(�+2�)2 +
�2�2
(�+2�)2 +
4�2�2
(�+2�)2 ×
1
2,
即(�+ 2�)2 = 7�2�2,�+ 2�=
7��,
1
�+
2
�=
7,
所以�+ 2�=
1
7 (�+ 2�)
1
�+
2
�=
1
7 5 +
2�
�+
2�
�
≥
1
7 5 + 2
2�
�⋅
2�
�
=
9 7
7 ,
当且仅当�= �时取等号,所以�+ 2�的最小值为
9 7
7 ,故D 正确.
故选:BCD.
三.填空题(共4 小题,满分20 分,每小题5 分)
13.已知�Ԧሬ,�Ԧሬ是平面内两个不共线的向量,��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧሬ+ 2�Ԧሬ,��Ԧ
ሬሬሬሬ= 3�Ԧሬ+ ��Ԧሬ,若A,B,C 三点共线,则�=
±
6
.
【解题思路】利用两个向量的加减法的法则,以及其几何意义求出��റ
ሬሬሬ的坐标,把A,B,C 三点共线转化
为��Ԧ
ሬሬሬ=�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ,再根据向量相等可得答案.
【解答过程】由题意可得��Ԧ
ሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧሬ+ 2�Ԧሬ
+ 3�Ԧሬ+ ��Ԧሬ= 3 + ��Ԧሬ+ 2 + ��Ԧሬ
,
∵A,B,C 三点共线,∴��Ԧ
ሬሬሬ=�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ,
∴3 + ��Ԧሬ+ 2 + ��Ԧሬ= ���Ԧሬ+ 2�Ԧሬ
= ���Ԧሬ+ 2��Ԧሬ,
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故有��= 3 + �
2�= 2 + �,解得
�=
6
�=
2+ 6
2
,或
�=−
6
�=
2−6
2
,
故答案为:±
6.
14.如图,在△���中,已知��= 2, ��= 3, ∠���= 60°,点D,E 分别在边AB,AC 上,且��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬ=
3��Ԧ
ሬሬሬሬ,点F 为线段DE 上的动点,则��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ的取值范围是
−
1
16 ,
1
2
.
【解题思路】设��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ0 ≤�≤1 ,以��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬ为基底,将��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬ分别用��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬ表示,再结合数量积的运
算律把��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ用�表示,再结合二次函数的性质即可得解.
【解答过程】因为��= 2, ��= 3, ∠���= 60°,
所以��Ԧ
ሬሬሬሬ2 = ��Ԧ
ሬሬሬሬ2 = 4, ��Ԧ
ሬሬሬ2 = ��Ԧ
ሬሬሬ
2 = 9, ��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ
��Ԧ
ሬሬሬcos∠���= 3,
设��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ0 ≤�≤1 ,
则��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ=−
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ=−
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
=−
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ �
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬ−
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
= −
1
2 −
1
2 ���Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
3 ���Ԧ
ሬሬሬ,
��Ԧ
ሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬ=−2
3 ��Ԧ
ሬሬሬ−1 −���Ԧ
ሬሬሬሬ=−2
3 ��Ԧ
ሬሬሬ−1 −�
��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
=−
2
3 ��Ԧ
ሬሬሬ−1 −�
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬ−
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
=
1
2 −
1
2 ���Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
3 �−1 ��Ԧ
ሬሬሬ,
则��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ=
−
1
2 −
1
2 ���Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
3 ���Ԧ
ሬሬሬ
⋅
1
2 −
1
2 ���Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
3 �−1 ��Ԧ
ሬሬሬ
= 1
4 �2 −1
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ2 + 1
2 −1
3 �2 + 1
2 ���Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ+ 1
9 �2 −1
3 ���Ԧ
ሬሬሬ2
= �2 −
3
2 �+
1
2,
对于�= �2 −
3
2 �+
1
2,其开口向上,对称轴为�=
3
4,
所以�= �2 −
3
2 �+
1
2在0,
3
4 上单调递减,在
3
4 , 1 上单调递增,
当�= 0 时,��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ= �2 −
3
2 �+
1
2取得最大值
1
2,
当�=
3
4时,��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ= �2 −
3
2 �+
1
2取得最小值−
1
16,
所以��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ的取值范围是−
1
16 ,
1
2 .
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故答案为:−
1
16 ,
1
2 .
15.设�റሬ, �റሬ为不共线的向量,满足�റሬ= ��റሬ+ ��റሬ, 3�+ 4�= 2(�, �∈R),且�റሬ
= �റሬ−�റሬ
= �റሬ−�റሬ,若�റሬ−�റሬ
= 3,
则�റሬ
⋅�റሬ
2 −(�റሬ⋅�റሬ)2的最大值为
324
.
【解题思路】采用建系法,令�Ԧሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ, �Ԧሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ, �Ԧሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ,将各个点用坐标表示,然后表达出△���面积的最
大值,进而求得(|�Ԧሬ| ⋅|�Ԧሬ|)2 −(�Ԧሬ⋅�Ԧሬ)2的最大值;
【解答过程】令�Ԧሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ, �Ԧሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ, �Ԧሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ,又因为|�Ԧሬ| = |�Ԧሬ−�Ԧሬ| = |�Ԧሬ−�Ԧሬ|,
即|��Ԧ
ሬሬሬሬ| = |��Ԧ
ሬሬሬ| = |��Ԧ
ሬሬሬሬ|,
则点C 为△���的外心,因为|�Ԧሬ−�Ԧሬ| = |��Ԧ
ሬሬሬሬ| = 3,
设�( −
3
2 , 0), �(
3
2 , 0), �(0, �),不妨取�> 0
则点�(�0, �0)在圆�: �2 + (�−�)2 = �2 +
9
4上,
由��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ,代入坐标,( −�0, �−�0) −= �(
3
2 −�0, −�0) + �( −
3
2 −�0, −�0),
解得�0 =
3
2 ⋅
�−�
1−�−�, �0 −�=
(�+�)�
1−�−�,
联立3�+ 4�= 2 和�: �2 + (�−�)2 = �2 +
9
4,
解得�=
3 3
2
1 −2�(�<
1
2 ),故|�0| = |�+
(�+�)�
1−�−�| =
6 3 1−2�
2−�
=
6 6⋅
1
2−�
(1
2−�)+3
2
=
6 6
1
2−�+
3
2 1
2−�
≤6,
当且仅当
1
2 −�=
3
2
1
2−�
即�=−1 时取“=”.
故�△���=
1
2 |��| ⋅|�0| ≤9,于是
[(|�Ԧሬ| ⋅|�Ԧሬ|)2 −(�Ԧሬ⋅�Ԧሬ)2]max = [|��Ԧ
ሬሬሬሬ|2 ⋅|��Ԧ
ሬሬሬሬ|2 ⋅(1 −cos2∠���)]max
= [|��Ԧ
ሬሬሬሬ|2 ⋅|��Ԧ
ሬሬሬሬ|2 ⋅sin2∠���]max = 4(�△���
2
)max = 324.
故答案为:324.
16.剪纸,又叫刻纸,是一种镂空艺术,是中华汉族最古老的民间艺术之一.如图,一圆形纸片直径��=
20cm,需要剪去四边形���1�,可以经过对折,沿��, ��裁剪,展开就可以得到.
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已知点�在圆上且��= 10cm,∠���= 30°.则镂空四边形���1�的面积的最小值为
150(2 −
3)
cm2.
【解题思路】由对称性可得����1�= 2����,所以求△���面积的最小值即可,设��= �, ��= �, ��= �,
根据��= 20, ��= 10, ∠���= 30°可得∠���= 60°,根据△���的面积公式可得�, �, �的关系,再根据基
本不等式即可求△���面积的最小值.
【解答过程】由对称性可得����1�= 2����,所以求△���面积的最小值即可,
如图所示,设�为圆心,连接��,作��⊥��于�,
由题意��= ��= ��= 10,所以∠���= 60°,所以��= ��⋅sin60° = 5 3,
设��= �, ��= �, ��= �,由面积公式�△���=
1
2 ��sin30° =
1
2 �⋅��得��= 10 3�,
由余弦定理
3
2 =
�2+�2−�2
2��
可得3��= �2 + �2 −
�2�2
300,
又根据基本不等式可得3��= �2 + �2 −
�2�2
300 ≥2��−
�2�2
300,即��≥300(2 −
3),
当且仅当�= �=
300(2 −
3)时取等号,
所以�△���=
1
4 ��≥75(2 −
3),
所以四边形���1�的面积的最小值为150(2 −
3)cm2,
故答案为:150(2 −
3).
四.解答题(共6 小题,满分70 分)
17.已知�Ԧሬ
= 2,�Ԧሬ
= 3,�Ԧሬ+ �Ԧሬ
⋅�Ԧሬ= 8.
(1)求�Ԧሬ+ �Ԧሬ;
(2)当�为何值时,��Ԧሬ−�Ԧሬ与�Ԧሬ+ 2�Ԧሬ垂直?
(3)求向量�Ԧሬ与�Ԧሬ+ �Ԧሬ的夹角的余弦值.
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【解题思路】(1)先求得�Ԧሬ⋅�Ԧሬ,然后通过平方的方法求得�Ԧሬ+ �Ԧሬ.
(2)根据向量垂直列方程,化简求得�的值.
(3)根据向量的夹角公式求得正确答案.
【解答过程】(1)依题意,�Ԧሬ+ �Ԧሬ
⋅�Ԧሬ= �Ԧሬ⋅�Ԧሬ+ �Ԧሬ2 = �Ԧሬ⋅�Ԧሬ+ 9 = 8, �Ԧሬ⋅�Ԧሬ=−1,
所以�Ԧሬ+ �Ԧሬ
=
�Ԧሬ+ �Ԧሬ
2 =
�Ԧሬ2 + 2�Ԧሬ⋅�Ԧሬ+ �Ԧሬ2 =
4 −2 + 9 =
11.
(2)若��Ԧሬ−�Ԧሬ与�Ԧሬ+ 2�Ԧሬ垂直,
则��Ԧሬ−�Ԧሬ
⋅�Ԧሬ+ 2�Ԧሬ
= ��Ԧሬ2 + 2�−1 ⋅�Ԧሬ⋅�Ԧሬ−2�Ԧሬ2 = 4�−2�−1 −18 = 2�−17 = 0,
解得�=
17
2 .
(3)�Ԧሬ⋅�Ԧሬ+ �Ԧሬ
= �Ԧሬ2 + �Ԧሬ⋅�Ԧሬ= 4 −1 = 3,
设向量�Ԧሬ与�Ԧሬ+ �Ԧሬ的夹角为�,
则cos�=
�Ԧሬ⋅�Ԧሬ+�Ԧሬ
�Ԧሬ× �Ԧሬ+�Ԧሬ=
3
2× 11 =
3 11
22 .
18.设�1റ
ሬሬ,�2റ
ሬሬ是两个不共线的向量,如果��റ
ሬሬሬሬ= 3�1റ
ሬሬ−2�2റ
ሬሬ,��റ
ሬሬሬሬ= 4�1റ
ሬሬ+ �2റ
ሬሬ,��റ
ሬሬሬሬ= 8�1റ
ሬሬ−9�2റ
ሬሬ.
(1)求证:A,B,D 三点共线;
(2)试确定�的值,使2��1റ
ሬሬ+ �2റ
ሬሬ和�1റ
ሬሬ+ ��2റ
ሬሬ共线;
(3)若�1റ
ሬሬ+ ��2റ
ሬሬ与��1റ
ሬሬ+ �2റ
ሬሬ不共线,试求�的取值范围.
【解题思路】(1)要证明A,B,D 三点共线,只需证明向量��റ
ሬሬሬሬ与��റ
ሬሬሬሬ共线;
(2)两向量2��1റ
ሬሬ+ �2റ
ሬሬ与�1റ
ሬሬ+ ��2റ
ሬሬ(�1റ
ሬሬ+ ��2റ
ሬሬ≠0Ԧሬ)共线,所以存在唯一实数实数�,使2��1റ
ሬሬ+ �2റ
ሬሬ= ��1റ
ሬሬ+ ��2റ
ሬሬ.
由此列方程组可解;
(3)知两向量不共线,求参数.可先求两向量共线时的参数值,实数集中去除这些值,即为不共线的参数
值或范围.
【解答过程】(1)证明:因为��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ+ ��റ
ሬሬሬሬ= 4�1റ
ሬሬ+ �2റ
ሬሬ+ 8�1റ
ሬሬ−9�2റ
ሬሬ= 12�1റ
ሬሬ−8�2റ
ሬሬ= 4 3�1റ
ሬሬ−2�2റ
ሬሬ
= 4��റ
ሬሬሬሬ,
所以��റ
ሬሬሬሬ与��റ
ሬሬሬሬ共线.
因为��റ
ሬሬሬሬ与��റ
ሬሬሬሬ有公共点B,
所以A,B,D 三点共线.
(2)因为2��1റ
ሬሬ+ �2റ
ሬሬ与�1റ
ሬሬ+ ��2റ
ሬሬ共线,
所以存在实数�,使2��1റ
ሬሬ+ �2റ
ሬሬ= ��1റ
ሬሬ+ ��2റ
ሬሬ.
因为�1റ
ሬሬ,�2റ
ሬሬ不共线,所以2�= �,
1 = ��,
所以�=±
2
2 .
(3)假设�1റ
ሬሬ+ ��2റ
ሬሬ与��1റ
ሬሬ+ �2റ
ሬሬ共线,则存在实数m,使�1റ
ሬሬ+ ��2റ
ሬሬ= ���1റ
ሬሬ+ �2റ
ሬሬ.
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因为�1റ
ሬሬ,�2റ
ሬሬ不共线,所以1 = ��,
�= �,
所以�=± 1.
因为�1റ
ሬሬ+ ��2റ
ሬሬ与��1റ
ሬሬ+ �2റ
ሬሬ不共线,
所以�≠± 1.
19.已知�1Ԧ
ሬሬ,�2Ԧ
ሬሬ是平面内两个不共线的非零向量,��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2�1Ԧ
ሬሬ+ �2Ԧ
ሬሬ,��Ԧ
ሬሬሬሬ=−�1Ԧ
ሬሬ+ ��2Ԧ
ሬሬ,��Ԧ
ሬሬሬ=−2�1Ԧ
ሬሬ+ �2Ԧ
ሬሬ,且
A,E,C 三点共线.
(1)求实数�的值;
(2)若�1Ԧ
ሬሬ= (3,1),�2Ԧ
ሬሬ= ( −1, −2),求��Ԧ
ሬሬሬሬ的坐标;
(3)已知�( −
1
2 , 3),在(2)的条件下,若A,B,C,D 四点按逆时针顺序构成平行四边形,求点A 的坐标.
【解题思路】(1)��Ԧ
ሬሬሬሬ//��Ԧ
ሬሬሬ,利用共线向量的坐标表示即可求解;
(2)��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬ,利用向量加法的坐标表示即可求解;
(3)根据题意得��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ,即可求解.
【解答过程】(1)��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= (2�1Ԧ
ሬሬ+ �2Ԧ
ሬሬ) + ( −�1Ԧ
ሬሬ+ ��2Ԧ
ሬሬ) = �1Ԧ
ሬሬ+ (1 + �)�2Ԧ
ሬሬ,
因为A,E,C 三点共线,所以存在实数k,使得��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬ,
即�1Ԧ
ሬሬ+ (1 + �)�2Ԧ
ሬሬ= �( −2�1Ԧ
ሬሬ+ �2Ԧ
ሬሬ),得(1 + 2�)�1Ԧ
ሬሬ= (�−1 −�)�2Ԧ
ሬሬ.
因为�1Ԧ
ሬሬ,�2Ԧ
ሬሬ是平面内两个不共线的非零向量,所以
1 + 2�= 0
�−1 −�= 0
解得�=−
1
2,�=−
3
2;
(2)��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬ=−�1Ԧ
ሬሬ−
3
2 �2Ԧ
ሬሬ−2�1Ԧ
ሬሬ+ �2Ԧ
ሬሬ=−3�1Ԧ
ሬሬ−
1
2 �2Ԧ
ሬሬ
=−3 × (3,1) −
1
2 × ( −1, −2) = ( −9, −3) +
(
1
2 , 1) = ( −
17
2 , −2);
(3)设�(�, �),
由题意可得��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ= ( −
17
2 , −2),
∴−
1
2 −�=−
17
2 ,3 −�=−2,
∴�= 8,�= 5.
∴�(8,5).
20.如图,点�, �分别是正方形����的边��、��上两点,��= 1,∠���= �,记点�为△���的外心.
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(1)若��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ,��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ,0 ≤�≤1,求��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ的值;
(2)若�= 45°,求��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ的取值范围;
(3)若�= 60°,若��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ,求3�+ 6�的最大值.
【解题思路】(1)建立平面直角坐标系,根据向量数量积的坐标运算求得��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ的值.
(2)设∠���= �∈0,
π
4 ,求得��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ关于tan�的表达式,进而求得��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ的取值范围.
(3)设��Ԧ
ሬሬሬሬ
= �,��Ԧ
ሬሬሬሬ
= �,将3�+ 6�表示为关于�, �的表达式,求得
�
�的取值范围,进而求得3�+ 6�
的最大值.
【解答过程】(1)以�点为坐标原点,��为�轴,建立直角坐标系.��, 1 ,�1,1 −�,
所以��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= −�, −1 ⋅−1, −1 + �= 1.
(2)设∠���= �∈0,
π
4 ,0 ≤tan�≤1,1 ≤tan�+ 1 ≤2,
则�1, tan�,�tan
π
4 −�, 1 .
��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= −tan π
4 −�, −1 ⋅−1, −tan�= tan π
4 −�+ tan�= 1 −tan�
1 + tan�+ tan�
=
2
1+tan�+ tan�−1 =
2
1+tan�+ tan�+ 1 −2,
由于tan�+ 1 ∈1,2 ,根据对勾函数的性质可知��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ∈2 2 −2,1 .
(3)��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ=
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ2 = ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ
⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ2 + ���Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ;
��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ=
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ2 = ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ
⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ2.
设��Ԧ
ሬሬሬሬ
= �,��Ԧ
ሬሬሬሬ
= �,则这两个式子为
1
2 �2 = ��2 +
1
2 ���,
1
2 �2 =
1
2 ���+ ��2.
,
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化简得�= 2��+ ��,
�= ��+ 2��.
解得
�=
2�−�
3�,
�=
2�−�
3�.
所以3�+ 6�= 3
2�−�
3�+ 6
2�−�
3�= 6 −
�
�+
2�
�,
设∠���= �∈0,
π
6 ,tan�∈0,
3
3 ,
令�=
�
�=
��Ԧ
ሬሬሬሬ
��Ԧ
ሬሬሬሬ=
1
cos�
1
cos π
6−�
=
3
2 cos�+1
2sin�
cos�
=
3
2 +
1
2 tan�∈
3
2 ,
2 3
3
,
所以由对勾函数的性质得3�+ 6�= 6 −
�
�+
2�
�
= 6 −�+
2
�
∈6 −
11 3
6
, 6 −
5 3
3
,
所以当�=
π
6时,即点�与�点重合时,3�+ 6�取到最大值6 −
5 3
3 .
21.在锐角△���中,cos�=
2
2 ,点�为△���的外心.
(1)若��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ,求�+ �的最大值;
(2)若��Ԧ
ሬሬሬሬ
=
2.
①求证:��Ԧ
ሬሬሬሬ+ sin2�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ−cos2�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= 0Ԧሬ;
②求3��Ԧ
ሬሬሬሬ+ 2��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ的取值范围.
【解题思路】(1)推导出��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ=
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬ2,��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ=
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ2,由��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ以及平面向量数量积的
运算性质可得出2���Ԧ
ሬሬሬሬ+
2���Ԧ
ሬሬሬ
= ��Ԧ
ሬሬሬሬ,2���Ԧ
ሬሬሬሬ+ 2���Ԧ
ሬሬሬ
= ��Ԧ
ሬሬሬ,求出�、�的表达式,再利用基本不
等式可求得�+ �的最大值;
(2)①证明出sin2�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ−cos2�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ
= ��Ԧ
ሬሬሬሬ,设��Ԧ
ሬሬሬሬ与sin2�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ−cos2�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ的夹角为�,且�∈0,π ,
计算得出cos�=−1,可得出�= π,即可证得结论成立;
②计算出△���的外接圆半径为1,可得3��Ԧ
ሬሬሬሬ+ 2��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ2 = 14 + 6 5cos 2�+ �,求出角�的取值范围,
结合余弦函数的基本性质可求得3��Ԧ
ሬሬሬሬ+ 2��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ的取值范围.
【解答过程】(1)解:如下图所示:
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取��的中点�,连接��,则��⊥��,
所以,��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ
⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ=
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ2,
同理可得��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ=
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬ2,
由平面向量数量积的定义可得��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬcos�=
2
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ,
因为��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ,所以,��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ2 + ���Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ,
即
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ2 = ���Ԧ
ሬሬሬሬ2 +
2
2 ���Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ,所以,2���Ԧ
ሬሬሬሬ+
2���Ԧ
ሬሬሬ
= ��Ԧ
ሬሬሬሬ,①
��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ2,即
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬ
2 =
2
2 ���Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ
+ ���Ԧ
ሬሬሬ
2,
所以,2���Ԧ
ሬሬሬሬ+ 2���Ԧ
ሬሬሬ
= ��Ԧ
ሬሬሬ,②
联立①②可得�= 1 −
2
2 ⋅
��Ԧ
ሬሬሬሬ
��Ԧ
ሬሬሬሬ,�= 1 −
2
2 ⋅
��Ԧ
ሬሬሬሬ
��Ԧ
ሬሬሬሬ,
所以,�+ �= 2 −
2
2
��Ԧ
ሬሬሬሬ
��Ԧ
ሬሬሬሬ+
��Ԧ
ሬሬሬሬ
��Ԧ
ሬሬሬሬ
≤2 −
2
2 × 2
��Ԧ
ሬሬሬሬ
��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅
��Ԧ
ሬሬሬሬ
��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2 −
2,
当且仅当��Ԧ
ሬሬሬሬ
= ��Ԧ
ሬሬሬ时,等号成立,故�+ �的最大值为2 −
2.
(2)解:①因为cos�=
2
2 ,0 < �<
π
2,则�=
π
4,
由圆的几何性质可得∠���= 2∠�=
π
2,所以,��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= 0.
设△���的外接圆半径为�,
所以sin2�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ−cos2�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ2 = sin22�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ
2 + cos22�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ2 = �2 sin22�+ cos22�= �2,
所以sin2�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ−cos2�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ
= �= ��Ԧ
ሬሬሬሬ,
又��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅sin2�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ−cos2�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ
= sin2���Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ
−cos2���Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ
而∠���= 2∠���,则∠���= 2π −∠���−∠���=
3π
2 −2∠���,
所以,cos∠���= cos
3π
2 −2∠���=−sin2�,
所以sin2���Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ
−cos2���Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ
= sin2�⋅�2cos∠���−cos2�⋅�2cos∠���
=−sin2 2�⋅�2 −cos2 2�⋅�2 =−�2.
设��Ԧ
ሬሬሬሬ与sin2�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ−cos2�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ的夹角为�,且�∈0,π ,
则cos�=
��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅sin2�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ−cos2�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ
��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅sin2�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ−cos2�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ=
−�2
�⋅�=−1,
所以�= π,即��Ԧ
ሬሬሬሬ=−sin2�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ+ cos2�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ.
故��Ԧ
ሬሬሬሬ+ sin2�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ−cos2�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= 0Ԧሬ,得证;
②因为��Ԧ
ሬሬሬሬ
=
2,∠���=
π
2,��Ԧ
ሬሬሬሬ
= ��Ԧ
ሬሬሬሬ
= �,所以,��Ԧ
ሬሬሬሬ
=
2�=
2,所以,�= 1.
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3��Ԧ
ሬሬሬሬ+ 2��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ2 = 9��Ԧ
ሬሬሬሬ2 + 4��Ԧ
ሬሬሬሬ2 + ��Ԧ
ሬሬሬሬ2 + 12��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ+ 6��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ+ 4��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ
= 9 + 4 + 1 + 12cos2�+ 6cos2�+ 4cos2�
= 14 + 12cos2�+ 6cos
3π
2 −2�= 14 + 12cos2�−6sin2�= 14 + 6 5cos 2�+ �其中tan�=
1
2,且�为
锐角,故0 < �<
π
4,
由
tan�=
sin�
cos�=
1
2
sin2�+ cos2�= 1
0 < �<
π
4
可得
sin�=
5
5
cos�=
2 5
5
,
因为
0 < �<
π
2
0 < �=
3π
4 −�<
π
2
,可得�∈
π
4 ,
π
2 ,则2�∈
π
2 ,π ,
则
π
2 + �< 2�+ �< π + �,且
π
2 <
π
2 + �<
3π
4 ,
因为余弦函数�= cos�在
π
2 + �,π 上单调递减,在π,π + �上单调递增,
又因为cos
π
2 + �=−sin�=−
5
5 ,cos π + �=−cos�=−
2 5
5 ,
所以,−1 ≤cos 2�+ �<−
5
5 ,
所以,3 −
5
2 = 14 −6 5 ≤14 + 6 5cos 2�+ �< 8,
所以,3��Ԧ
ሬሬሬሬ+ 2��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ
∈3 −
5, 2 2 .
22.在△���中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且满足�cos�+
3�sin�−�−�= 0.
(1)求角A;
(2)若�=
3,求△���周长的最大值;
(3)求
��−��−��
�2
的取值范围.
【解题思路】(1)根据正弦定理与sin�= sin�cos�+ cos�sin�得到3sin�−cos�= 1,从而求出�=
π
3;
(2)由余弦定理和基本不等式求出�+ �≤2 3,从而得到周长的最大值;
(3)利用正弦定理,结合三角恒等变换得到
��−��−��
�2
=
4
3 sin2 �+
π
6 −2sin �+
π
6 −
1
3,换元后,配方求
出最值,得到取值范围.
【解答过程】(1)�cos�+
3�sin�−�−�= 0,由正弦定理得,
sin�cos�+
3sin�sin�−sin�−sin�= 0,
因为sin�= sin �+ �= sin�cos�+ cos�sin�,
所以sin�cos�+
3sin�sin�−sin�cos�−cos�sin�−sin�= 0,
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即3sin�sin�−cos�sin�−sin�= 0,
因为�∈0,π ,所以sin�≠0,故3sin�−cos�= 1,
所以sin �−
π
6 =
1
2,
因为�∈0,π ,所以�−
π
6 ∈−
π
6 ,
5π
6 ,
故�−
π
6 =
π
6,解得�=
π
3;
(2)由(1)知�=
π
3,
又�=
3,由余弦定理得cos�=
�2+�2−�2
2��
=
�+�2−2��−�2
2��
,
即
1
2 =
�+�2−2��−3
2��
,
所以�+ �2 −3 = 3��,
由基本不等式可知��≤
�+�
2
2
,
所以�+ �2 −3 ≤
3
4 �+ �2,解得�+ �≤2 3,
当且仅当�= �=
3时,等号成立,
故△���的周长最大值为3 3;
(3)由(1)知�=
π
3,
则
��−��−��
�2
=
sin�sin�−sin�sin�−sin�sin�
sin2�
=
sin�sin�−3
2 sin�+sin�
3
4
= 4
3 sin�sin�−2 3
3
sin�+ sin�= 4
3 sin π
3 + �sin�−2 3
3
sin π
3 + �+ sin�
= 4
3
3
2 cos�+ 1
2 sin�sin�−2 3
3
3
2 cos�+ 1
2 sin�+ sin�
= 2 3
3 sin�cos�+ 2
3 sin2�−cos�−
3sin�
=
3
3 sin2�+ 1 −cos2�
3
−cos�−
3sin�
=−2
3 cos 2�+ π
3 + 1
3 −2sin �+ π
6
=−2
3 1 −2sin2 �+ π
6
+ 1
3 −2sin �+ π
6
=
4
3 sin2 �+
π
6 −2sin �+
π
6 −
1
3,
令�= sin �+
π
6 ,
因为�∈0,
2π
3 ,所以�+
π
6 ∈
π
6 ,
5π
6 ,�= sin �+
π
6 ∈
1
2 , 1 ,
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则
��−��−��
�2
=
4
3 �2 −2�−
1
3 =
4
3 �−
3
4
2
−
13
12,
故当�=
3
4时,
��−��−��
�2
取得最小值,最小值为−
13
12,
当�= 1 时,
��−��−��
�2
取得最大值,最大值为−1,
故
��−��−��
�2
的取值范围是−
13
12 , −1 .