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7.7 复数题型归纳精讲精练
模块一：题型分类.........................................................................2
题型一：复数的基础概念............................................................. 2
题型二：复数的分类................................................................... 2
题型三：复数的几何意义............................................................. 3
题型四：复数相等及应用............................................................. 4
题型五：复数的模......................................................................4
题型六：复数代数形式的四则运算..................................................5
题型七：共轭复数......................................................................6
题型八：复数的乘方运算............................................................. 6
题型九：复数范围内解方程.......................................................... 7
题型十：求辅角主值................................................................... 7
题型十一：复数的代数形式与三角形式的互化...................................8
题型十二：三角形式下的复数的乘、除运算......................................9
题型十三：复数的最值问题........................................................ 10
题型十四：复数的综合问题........................................................ 10
模块二：综合巩固....................................................................... 11
7.7 复数题型归纳精讲精练
模块一：题型分类
题型一：复数的基础概念
1.下列四种说法正确的是（
）
A．如果实数�= �，那么�−�+ (�+ �)i 是纯虚数．
B．实数是复数．
C．如果�= 0，那么�= �+ �i 是纯虚数．
D．任何数的偶数次幂都不小于零．
2.在复数1 −2i，2 +
3，
1
2 i，−5 +
2i，0，7 +
5 −2 i 中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？
其中虚数的实部与虚部分别是什么？
3．设mR ，则“
1
m ”是“复数
2
2
3
1 i
z
m
m
m
为纯虚数”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4.在复平面内，复数
2019
(1 i)i
2
3i
z
所对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5.已知a 为实数，若复数
2
(
1)
(
1)i
z
a
a
为纯虚数，则
2023
i
1
i
a
（
）
A．i
B．i
C．1
D．1
题型二：复数的分类
1.已知复数�= �2 + �−6 + �2 + 5�+ 6 i（i 为虚数单位），求适合下列条件的实数m 的值；
(1)z 为实数；
(2)z 为虚数；
(3)z 为纯虚数.
2.已知复数z 为纯虚数，且满足
· 2
3i
5
i
z
m
，则实数m 的值为（）
A．10
3
B．10
3
C．15
2
D．
15
2
3.已知,
R,i
a b
为虚数单位，则“复数
i
1 i
a
b
z
是纯虚数”是“
0
a
b
”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题型三：复数的几何意义
1．已知复数�= 2 + i，则�在复平面内对应第（
）象限
A．一
B．二
C．三
D．四
2.在复平面内，复数
1
3 i
2
2
z
对应的向量为OA
，复数
1
z 对应的向量为OB
，那么向量AB
对应的复数
是（）
A．1
B．1
C．
3i
D．
3i
3.已知复数z 满足
(1
i)
3
i
z
z
（i 为虚数单位），其中z 为z 的共轭复数，则复数z 在复平面上的对应点
位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4.已知复数
1
3i
1
3i
z
，z 为z 的共轭复数，则|
|
z
z
在复平面表示的点在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5.已知复数�= �2 + 2�+ �2 −�−6 i, �∈R,i 是虚数单位.
(1)若复数�在复平面内对应的点在直线�=−
1
2 �上，求�的值；
(2)若复数�在复平面内对应的点在第四象限，求�的取值范围.
6.已知复数�= �2 −1 + �2 −�−2 i，�∈R．
(1)若z 是纯虚数，求m 的值；
(2)若z 在复平面内对应的点在直线�−�+ 1 = 0 上，求m 的值；
(3)若z 在复平面内对应的点在第四象限，求m 的取值范围．
题型四：复数相等及应用
1.已知i为虚数单位，,x y 为实数，若
i
2
3
4i
2 i
x
y
y
，则x
y
（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
2.适合
3i
8
i
(
)
x
x
y
的实数x、y 的值为（
）
A．
0
x 且
3
y
B．
0
x 且=
3
y
C．
5
x 且
3
y
D．
3
x 且
0
y
3.已知,x y R ，i 为虚数单位，且
2
i
1
i
x
y
，则x
y
.
4.已知复数
2
1
2
1
2 i
R ,
sin
2sin
4 i
z
m
m m
z
a
，
0,
，若
1
2
z
z
，求实数a 的取
值范围
.
题型五：复数的模
1．设复数�= 3 −4i，则�的共轭复数的模为（
）
A．7
B．1
C．5
D．25
2.已知复数z 满足
1
i
5i
z
z
，则
1
z
（
）
A．3
B．2
C．
2
D．1
3.已知z 是复数，z 是其共轭复数，则下列命题中正确的是（
）
A．
2
2z
z
B．若
1
z ，则
1 i
z 的最大值为
2
1
C．若
2
1 2i
z
，则复平面内z 对应的点位于第一象限
D．若1 3i
是关于x 的方程
2
0(
R)
x
px
q
p q
,
的一个根，则
8
q
4.在复平面内，复数z 对应的点Z 的坐标为
2sin120 , 2cos120
，则
2 3
z
（
）
A．2
B．2 3
C．3 3
D．1
3
5.已知
1
3
z
，
2
5
z
，
1
2
6
z
z
，则
1
2
z
z
．
6.（多选）已知复数
1z 对应的向量为
1
OZ
，复数
2z 对应的向量为
2
OZ
，则下列说法正确的是（
）
A．若
1
1
OZ
，则
1
1
z 或i
B．若
1
4
3i
z
，
2
3
4i
z
，则
1
2
1, 1
Z Z
C．若
1
2
1
2
z
z
z
z
，则
1
2
OZ
OZ
D．若
1
2
1
2
OZ
OZ
OZ
OZ
，则
1
2
z
z
7 已知复数�= �2 + �−2 + �−1 i �∈R .
(1)若�为纯虚数，求实数�的值；
(2)若�在复平面内对应的点在直线�=
1
3 �上，求�.
8.已知复数�= �2 + �−6 + �2 + �−2 i(�∈�)在复平面内所对应的点为A.
(1)若点A 在第二象限，求实数m 的取值范围；
(2)求|�|的最小值及此时实数m 的值.
题型六：复数代数形式的四则运算
1.已知复数�在复平面内对应的点为1, −2 ，则�−2�ത=（
）
A．−1 −6i
B．−1 + 6i
C．1 −6i
D．1 + 6i
2.化简下列复数
（1）6 −5�+ 3 + 2�
（2）5 −6�+ −2 −�−3 + 4�
3.若
1
3 i
2
2
是关于x 的实系数方程
2
1
0
ax
bx
的一个复数根，且
i
z
a
b
，则1
z
z
（
）
A．1
3i
5
5
B．1
3
5
5
i
C．3
1i
5
5
D．3
1 i
5
5
4.已知复数
1
3
4i
z
，
2
2i
z
，i 为虚数单位．
(1)若
1
2
z
z
z
，求z 的共轭复数；
(2)若复数
1
2
az
z
在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．
题型七：共轭复数
1.已知复数z 满足
1
i
2
z
，z 为z 的共轭复数，z
z
等于（
）
A．2i
B．2i
C．1
D．i
2.已知i 为虚数单位，复数
(1
i)(2
3i)
z
，z 为z 的共轭复数，则
i
z
（
）
A．5
B．4
C．
29
D．
37
3.已知i 为虚数单位，若
2i
1
i
z
，则z z
（
）
A．
2
B．2
C．2i
D．2i
题型八：复数的乘方运算
1.若
3
5
7
1 i
i
i
z
，则z （
）
A．1
2i
B．1
2i
C．1 i
D．1 i
2.
2
3
2022
2023
i
2i
3i
2022i
2023i
．
3.复数
15
14
(1 i)
1
i
2
2i
2
的虚部为
.( “i ”是虚数单位)
4.计算：
（1）
6
1
i
2
3i
1 i
3
2i
；
（2）
6
9
3
1
1
3
i
i
2
2
2
2
题型九：复数范围内解方程
1.在复数范围内方程
2
2
2
0
x
x
的根为
1
x ，
2
x ，则
1x （
）
A．
2
2
B．
2
C．2
D．1
2.若复数3
i
为方程
2
1
0
ax
bx
( a ，bR )的一个根，则该方程的另一个复数根是（
）
A．3
i
B．3 i
C．i
3
D．3
i
3.已知关于x 的方程
2
0
x
ax
ab
，其中a，b 为实数．
（1）设
1
3i
x
（i 是虚数单位）是方程的根，求a，b 的值；
（2）证明：当
1
4
b
a
，且
0
a
时，该方程无实数根．
4.已知关于x 的二次方程
2
tan
i
i
2
0
x
x
．
（1）当为何值时，这个方程有一个实根？
（2）是否存在，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由．
题型十：求辅角主值
1．�= 1 −
3i（i 是虚数单位），则z 的辐角主值arg �=（
）
A．
5
3 π
B．
11
6 π
C．−
π
3
D．−
π
6
2．任意复数�= �+ �i（�、�∈�，i 为虚数单位）都可以写成�= �cos�+ isin�的形式，其中�=
�2 + �2 0 ≤�< 2�该形式为复数的三角形式，其中�称为复数的辐角主值.若复数�=
3
2 +
1
2 i，则�的辐
角主值为（
）
A．
�
6
B．
�
3
C．
2�
3
D．
5�
6
3．求下列复数的模与辐角主值：
(1)−1 + i
(2)−
2
(3)
1
2 −
3
2 i
(4)−
2
2 +
2
2 i
4．已知复数z 满足(�+ 1)(�ത+ 1) = |�|2，且
�−1
�+1是纯虚数．
(1)求z；
(2)求z 的辐角主值．
题型十一：复数的代数形式与三角形式的互化
1.复数−
1
2 +
3
2 i 的三角形式是（
）
A．cos60∘+ isin60∘
B．−cos60∘+ isin60∘
C．cos120∘+ isin60∘
D．cos120∘+ isin120∘
2．以下不满足复数
1
2 −
3
2 i 的三角形式的是（
）．
A．cos −
π
3 + isin −
π
3 ；
B．cos
5π
3
+ isin
5π
3 ；
C．cos
π
3 + isin
π
3 ；
D．cos
11π
3
+ isin
11π
3
．
3．分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式．
（1）4(cos
�
6 + �sin
�
6 )；
（2）2(cos
�
3 −�sin
�
3 )
4．把下列复数表示成三角形式，并画出与之对应的向量．
(1)6；
(2)1 + i；
(3)1 −
3i
(4)−
3
2 +
1
2 i．
题型十二：三角形式下的复数的乘、除运算
1.计算2 cos75° + isin75° ⋅
1
2 −
1
2 i 的值是（
）
A．−
6
2 +
2
2 i
B．
6
2 +
2
2 i
C．
2
2 −
6
2 i
D．
2
2 +
6
2 i
2：4 cos�+ �����÷ 2 cos
�
3 + �sin
�
3 =（
）
A．1 +
3�
B．1 −
3�
C．−1 +
3�
D．−1 −
3�
3．计算：
(1)8 cos
�
6 + isin
�
6 ⋅2 cos
�
12 + isin
�
12 ；
(2)8 cos240° + isin240° ÷ 2 cos150° −isin150° ．
4．计算：
(1)3 cos
π
6 + isin
π
6 × 2 cos
π
6 −isin
π
6
(2)
6 cos
π
3 + isin
π
3
÷
3 cos
π
6 −isin
π
6
(3) −
1
2 +
3
2 i × cos
π
6 −isin
π
6
(4) 1 −i ÷ cos
π
6 + isin
π
6
题型十三：复数的最值问题
1.若复数z 满足
3
i
1
z
(i 为虚数单位），则z 的最大值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．
3 +1
2.设复数z 满足
3
4i
1
z
，则z 的最大值是（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
3.已知三个复数
1
2
3
,
,
z z
z ，并且
1
2
3
1
z
z
z
，
1
2
,
z z 所对应的向量
1
OZ
，
2
OZ
满足
1
2
0
OZ
OZ
，则
1
2
3
z
z
z
的取值范围是
.
4.已知复数z 满足
2i
4
z
，则
3i
z
的取值范围是
．
5.已知
2
z
，则|
3
4i |
z
的最大值是
．
6.设复数
1z ，
2z 满足
1
2
2
z
z
，1
2
3
i
z
z
，复数
2
1
2
1
,
, z
z
z
z
在复平面内所对应的点分别为A，B，C，
则三角形ABC 的面积为（
）
A．3
B．2 3
C．2
D．
3
7.已知复数z 满足
3i
i
z
z
，则
1
2i
z
的最小值为（
）
A．1
B．3
C．
3
D．5
题型十四：复数的综合问题
1.已知复数
2
2
6
2 i
z
m
m
m
m
m
R 在复平面内所对应的点为A.
(1)若复数z 为纯虚数，求实数m 的值；
(2)若点A 在第二象限，求实数m 的取值范围.
2.已知2
i
是关于x 的方程
2
0
,
R
x
mx
n
m n
的一个根，其中i 为虚数单位.
(1)求
2
m
n
的值;
(2)记复数
i
z
m
n
，求复数1+i
z 的模.
3.已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数是z ，且满足
2
3
2i
z
z
．
(1)求复数z 的模z ；
(2)若复数
2
i
z
m
在复平面内对应的点在第二象限，求实数m 的取值范围．
模块二：综合巩固
1.在复平面内，
1 i
3
i
对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2.已知a R ，若
1
1 i
z
a
a
为纯虚数，则
1
z
（
）
A．
2
B．5
C．2 2
D．10
3.若
1 2i
3
2i
2
i
z
，则z （
）
A．3
3i
B．3 3i
C．3
3i
D．3
3i
4.在复数范围内，
1
2
,
z z 是方程
3
2
1
0
z
z
z
的两个不同的复数根，则
1
2
z
z
的值为（
）
A．1
B．
2
C．2
D．
2 或2
5.复数
1
2
4i,
3
i
z
a
z
b
，其中,a b 为实数，若
1
2
z
z
为实数，
1
2
z
z
为纯虚数，则a
b
（
）
A．6
B．6
C．7
D．7
6.已知复数z 满足
2
i
2i
z
，则z 在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
7.已知复数
1z ，
2z 是方程
2
2
2
0
x
x
的两个虚数根，则
1
2
z
z
（
）
A．0
B．
2
C．2
D．4
8.“
4
0
3
m
”是“复数
3
2
1 i
Z
m
m
在复平面内对应的点位于第四象限”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9.欧拉公式
ie
cos
isin
（其中e
2.718
,i
为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式建
立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉
公式，下列结论中正确的是（）
A．
iπ
e 的实部为1
B．
iπ
e 的共轭复数为1
C．
2i
e 在复平面内对应的点在第一象限
D．
2i
e 的模长为1
10.（多选）已知复数
1z ，
2z ，下列说法正确的是（
）
A．若
1
2
z
z
，则
2
1
z
z
B．若
1
2
1
2
z
z
z
z
，则
1 2
0
z z
C．若
1 2
R
z z
，则
1
2
z
z
D．若
1
2
z
z
z
z
，则z 在复平面内对应的点在一条直线上
11.（多选）已知复数
1z ，
2
C
z
，下列结论正确的有（
）
A．若
1
2
0
z
z
，则
1
2
z
z
B．若
2
2
1
2
z
z
，则
1
2
|
|
|
|
z
z
C．若复数
1z ，
2z 满足
1
2
1
2
z
z
z
z
．则
1
2
0
z
z
D．若
1
2
|
i | |
i | 1
z
z
，则
1
2
|
|
z
z
的最大值为4
12.（多选）复数
1
3i
1
3
i
z
，其共轭复数为z ，则下列叙述正确的是（
）
A．z 对应的点在复平面的第四象限
B．
2
z 是一个纯虚数
C．
2
z z
D．
i
z
z
13.（多选）已知
2
2
i
i
z
，则下列说法正确的是（
）
A．z 在复平面内对应的点的坐标为2
1
,
5
5
B．
2
1 i
5
5
z
C．z 在复平面内对应的点与点2
1
,
5
5
关于原点对称
D．
5
|
|
5
z
14.若
2
i
3i
z
，则z 的共轭复数为
．
15.已知i 是虚数单位，复数5
2i
2
i
．
16.复数
i, ,
z
a
b a b
R ，且
0
b
，若2
4
z
bz
是实数，则有序实数对
,a b 可以是
.
17.已知
2
2
0
x
x
m
m
R 的两共轭虚根为
1
x ，
2
x ，且
1
2
2 3
x
x
，则m
．
18.已知i 为虚数单位，复数
2
2
2
3
12 i
z
a
a
a
a
，
R
a
，若z 为纯虚数，则
a
.
19.已知关于x 的二次方程
2
tan
i
i
2
0
x
x
．
(1)当为何值时，这个方程有一个实根？
(2)是否存在，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由．
20.设复数
1
2
1
i
,
3
4i
z
a
a
z
R
．
(1)若
1
2
z
z
是实数，求
1
2
z
z
；
(2)若
1
2
z
z 是纯虚数，求
1z ．
21.已知复数z 满足
2
2i
1 1 i
z
（i 是虚数单位）.
(1)求z ；
(2)若复数
2
2
5
2
z
z
a
az
在复平面内对应的点在第三象限，求实数a 的取值范围.
22.已知复数
2
2 i
z
m
m
m
R ，z 为z 的共轭复数，且
6
z
z
．
(1)求m 的值；
(2)若
3i
z
是关于x 的实系数一元二次方程
2
0
x
ax
b
的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．
23.已知复数
1
1
3i
z
，
2
2
2
z
i
，i 为虚数单位.
(1)求
1
2
z
z
及
1
2
|
|
z
z
；
(2)若
1
2
z
z
z
，求z 的共轭复数.
24.求解下列各题，并写出必要过程：已知复数
2i
1
i,
, 1 i
z
z
m
m
R
是实数.
(1)求复数z 及其z 的模；
(2)若复数
0
4
10
3
3
z
z
是关于x 的方程
2
0
,
x
ax
b
a b
R 的根，求实数a 和b 的值.
