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7.5复数的三角表示（解析版）(1)_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_复数知识点题型分类PDF

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文档文本内容

7.5 复数的三角表示
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：复数的三角表示式.......................................................... 2
考点二：辅角的主值................................................................... 2
考点三：三角形式下的复数相等.................................................... 2
模块二：题型分类.........................................................................2
题型一：复数的三角表示............................................................. 2
题型二：求复数的辅角主值.......................................................... 5
题型三：复数的代数形式与三角形式的互化......................................8
题型四：三角形式下复数的乘、除运算..........................................10
题型五：复数乘除运算的几何意义................................................14
题型六：三角表示下复数的乘方与开方..........................................16
模块三：综合巩固....................................................................... 18
7.5 复数的三角表示
模块一：基础知识
考点一：复数的三角表示式
如图，我们可以用刻画向量大小的模r 和刻画向量方向的角来表示复数z.一般地，任何一个复数z=a+bi
都可以表示成r(
+i
)的形式.
概念名称
概念的说明
模r
r 是复数z 的模，
)
辐角θ
θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量
所在射线(射线OZ)为终边的
角，且
三角形式
r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi 的三角表示式，简称三角形式，该式
的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连
考点二：辅角的主值
显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i 的辐角是
+2kπ，其中k 可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数
0 的辐角也是任意的.我们规定在0
<2π范围内的辐角的值为辐角的主值.通常记作argz，即0
argz<2π.
考点三：三角形式下的复数相等
每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复
数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
模块二：题型分类
题型一：复数的三角表示
1．复数
1
3 i
2
2


的三角形式是（
）
A．cos60
isin60



B．cos60
isin60




C．cos120
isin60



D．cos120
isin120



【答案】D
【解析】依题意，令


1
3 i
cos
isin
(
0,0
360 )
2
2
z
r
r












，
则
|
| 1
r
z

，所以
1
cos
2
3
sin
2








，
因为0
360





，所以
120



，
所以
1
3
2
2 i


的三角形式是cos120
isin120



.故选：D.
2．把复数
1
3

z
i 化三角形式为（
）
A．
π
π
2 cos
isin
6
6







B．
π
2 cos
isin
6
6









C．
π
π
2 cos
isin
3
3







D．2
3
π
π
cos
isin 3








【答案】C
【解析】设复数的三角形式为


cos
isin
z
r




,
则
2
21
3
2
r 


, tan
3

,可取
π
arg
3
z


,
从而复数1
3i

的三角形式为
π
π
2 cos
isin
3
3






.故选:C.
3．复数
sin15
icos15
z




的三角形式是（
）
A．cos195
isin195



B．sin75
icos75



C．cos15
isin15



D．cos75
isin75



【答案】D
【解析】
sin15
icos15
cos75
isin75
z








,故选：D.
4．（多选）下列复数的三角形式正确的有（
）
A．1
π
π
cos
2
12
6
isin







B．
π
π
2 cos
isin
3
3







C．3
π
π
cos
2
7
7
isin





















D．
π
π
3 cos
6
6
isin














【答案】BC
【解析】复数的三角形式为


cos
si in
z
r




，所以只有B、C 正确，故选：BC.
5．（多选）下列复数的三角形式正确的有（
）
A．1 cos
isin
2
12
12









B．2 cos
isin
6
6









C．3 cos
isin
2
5
5























D．3 cos
isin
3
3
















【答案】BC
【解析】复数的三角形式为


cos
isin
z
r




，所以只有B、C 正确，A、D 选项错误.故选:BC.
6.欧拉公式ei�= cos�+ isin�e = 2.71828⋯是由18 世纪瑞士数学家､自然科学家莱昂哈德･欧拉发现的，
被誉为数学上优美的公式.已知ei �−π
6 =−
1
2 +
3
2 i，则cos�=（
）
A．−
3
2
B．−
1
2
C．
1
2
D．
3
2
【解题思路】按已知公式展开，由等式列出方程组，解出�=
5π
�+ ��π，进而求解.
【解答过程】∵�i�= ����+ i sin�，
∴ei �−π
�= ����−
π
�+ isin �−
π
�=−
�
�+
�
�i，
∴
����−
π
�=−
�
�
����−
π
�=
�
�
，
∴�−
π
�=
2π
�+ ��π，�∈Z，
即�=
5π
�+ ��π，�∈Z，
∴cos�= ���
5π
�+ ��π = ���
5π
�=−
�
�.
故选：A.
7.欧拉公式e�i = cos�+ isin�（其中i 为虚数单位，�∈R），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数
函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，
被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，e−�i
3的共轭复数为（
）
A．
1
2 +
3
2 i
B．
1
2 −
3
2 i
C．−
1
2 +
3
2 i
D．−
1
2 −
3
2 i
【解题思路】直接计算得到�=
�
�−
�
�i，再计算共轭复数得到答案.
【解答过程】�= e−�i
�= ���−
π
�+ isin −
π
�=
�
�−
�
�i，故�=
�
�+
�
�i.
故选：A.
8.欧拉公式e�i = cos�+ isin�（其中i 为虚数单位，�∈�）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角
函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（
）
A．eπi = 1
B．e
πi
2为实数
C．
e�i
3+i =
1
2
D．复数e2i对应的点位于第三象限
【解题思路】利用复数的欧拉公式可判断AB 选项；利用欧拉公式以及复数的除法化简复数
e�i
�+i，结合复
数的模长公式可判断C 选项；利用欧拉公式以及复数的几何意义可判断D 选项.
【解答过程】对于A 选项，eπi = ����+ isinπ =−�，A 错；
对于B 选项，e
πi
�= ���
π
�+ isin
π
�= i 为纯虚数，B 错；
对于C 选项，因为
e�i
�+i =
����+isin�
�−i
�+i
�−i
=
����+ �����
�
+
�����−����
�
i，
因此，
e�i
�+i =
����+ �����
�
�
+
�����−����
�
�
=
������+�����
��
=
�
�，C 对；
对于D 选项，�∈
π
�,π ，则����< �，����> �，
所以，复数e�i = ����+ isin�在复平面内对应的点位于第二象限，D 错.
故选：C.
9.欧拉公式e�i = cos�+ isin�（其中i 为虚数单位，�∈R）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指
数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位.
依据欧拉公式，下列选项正确的是（
）
A．eπi为虚数
B．函数�(�) = e�i不是周期函数
C．若e�i =
1−3i
2
，则�=
2π
3
D．e
π
4i ⋅e
π
3i的共轭复数是
2−6
4
−
2+ 6
4
i
【解题思路】A 选项，根据题意计算出eπi =−�，A 错误；B 选项，由����, ����是周期函数，得到答案；
C 选项，根据欧拉公式得到����=
�
�, ����=−
�
�，C 错误；D 选项，计算出e
π
�i ⋅e
π
�i =
�−�
�
+
�+ �
�
i，得
到共轭复数.
【解答过程】A 选项，eπi = ����+ isinπ =−�，为实数，A 错误；
B 选项，�(�) = e�i = ����+ isin�，由于����, ����是最小正周期为�π的函数，所以�(�) = e�i = ����+
isin�是周期函数，B 错误；
C 选项，由题意得����+ isin�=
�−�i
�
，所以����=
�
�, ����=−
�
�，
又�=
�π
�时，����=−
�
�, ����=
�
�，故C 错误；
D 选项，e
π
�i ⋅e
π
�i = ���
π
�+ isin
π
�
���
π
�+ isin
π
�=
�
�+
�
�i
�
�+
�
�i
=
�−�
�
+
�+ �
�
i，
故共轭复数是
�−�
�
−
�+ �
�
i，D 正确.
故选：D.
题型二：求复数的辅角主值
1．写出下列复数的辐角的主值
（1）-4
（2）2i
（3）
3
3i


（4）2 cos
sin
3
3
π
π
i







【答案】（1）arg
π
z 
；（2）
π
arg
2
z 
；（3）
5π
arg
4
z 
；（4）
5π
arg
3
z 
【解析】（1）


4
4 cosπ+isin π

，所以arg
π
z 
；
（2）
π
π
2i
4 cos
+isin
2
2






，所以
π
arg
2
z 
；
（3）
5π
5π
3
3i= 6 cos
+isin
4
4








，所以
5π
arg
4
z 
；
（4）2 cos
sin
2 cos
s
3
in
3
3
3
5
π
π
i
π
5π
+i













，所以
5π
arg
3
z 
.
2．已知复数
3
i
z 
，则arg z （
）
A．5π
3
B．
π
6

C．11π
6
D．5π
6
【答案】C
【解析】因为
3
1
11π
11π
3
i=2
i =2 cos
isin
2
2
6
6
z


















，所以
11π
arg
6
z 
.故选：C
3．
1
3
z
i

（i 是虚数单位），则z 的辐角主值

arg z （
）
A．5 π
3
B．11 π
6
C．
π
3

D．
π
6

【答案】A
【解析】
1
3
5π
5π
1
3i=2
i
2 cos
isin
2
2
3
3
z


















，
所以复数
1
3
z
i

的辐角主值

5
arg
π
3
z 
.故选：A
4：2 的辐角主值为（
）
A．
π
2
B．
3π
2
C．0
D．2π
【解题思路】根据复数的三角形式，对选项逐一分析判断即可.
【解答过程】对于A，若辐角主值为
π
�，则�= ����
π
�+ isin
π
�= �i，不可能为�，故A 错误；
对于B，若辐角主值为
�π
�，则�= ����
3π
�+ isin
3π
�
=−�i，不可能为�，故B 错误；
对于C，若辐角主值为�，则�= �����+ isin�= �，当�= �时，�= �，故C 正确；
对于D，由于辐角主值的范围为�, �π ，不可能为�π，故D 错误.
故选：C.
5．已知i 为虚数单位，
1
3

z
i ，则z 的辐角主值为
.
【答案】π
3
【解析】因为
1
3
π
π
1
3i
2
i
2 cos
isin
2
2
3
3
z



















，所以z 的辐角主值为π
3 .
6．已知复数z 满足
2
2
4
0
z
z



，且
π
argz
, π
2






．求z 的三角形式；
【答案】
2π
2π
2 cos
isin
3
3
z








．
【解析】由
2
2
4
0
z
z



，可得

2
1
3
z 
，所以
1
3i
z 
，则
1
3i
z 
，
又
π
arg
, π
2
z






，所以
1
3i
z 
，
因为




2
2
1
3
2
z 



，所以
1
3
2
i
2
2
z












2π
2π
2 cos
isin
3
3







．
7.设复数�1 =−1 + i, �2 =
1
2 +
3
2 i，则arg
�1
�2 =（
）
A．
13
12 �
B．
7
12 �
C．
5
12 �
D．−
5
12 �
【解题思路】由复数��=−�+ i, ��=
�
�+
�
�i，利用复数的除法得到
��
��= �
�−�
�
+
�+ �
�
i ，再转化为三
角形式求解.
【解答过程】解：因为复数��=−�+ i, ��=
�
�+
�
�i，
所以
��
��=
−�+i
�
�−�
�i
�
�+ �
�i
�
�−�
�i ，
=
�−�
�
+
�+�
�
i，= �
�−�
�
+
�+ �
�
i ，= ����
��
��+ ���
��
��i ，所以���
��
��=
��
��，故选：C.
8.设�< �<
5�
4 ，则复数
cos2�+isin2�
cos�−isin�的辐角主值为（
）
A．2�−3�
B．3�−2�
C．3�
D．3�−�
【解题思路】根据复数三角形式下的乘除运算及辐角的定义即可求解．
【解答过程】解：
�����+������
����−�����=
�����+������
���(−�)+����(−�) = �����+ ������，
因为�< �<
��
�，
所以��< ��<
���
�，所以�< ��−��<
��
�，
所以该复数的辐角主值为��−��．
故选：B.
题型三：复数的代数形式与三角形式的互化
1.把下列复数表示成三角形式；
(1)−5 + 5i
(2)3 3 −3i
(3)−4i
(4)13
【解题思路】（1）由公式�=
��+ ��求模长�，由�角的终边经过点�, �求辐角的主值即可求解；
（2）由公式�=
��+ ��求模长�，由�角的终边经过点�, �求辐角的主值即可求解；
（3）由公式�=
��+ ��求模长�，由�角的终边经过点�, �求辐角的主值即可求解；
（4）求模长�，辐角的主值�即可求解；
【解答过程】（1）因为�=
−��+ ��= ��，����=
�
�=
�
−�=−�，所以�是第二象限角，
所以���−�+ �i =
�π
�，
所以−�+ �i = 5 ����
�π
�+ i ⋅���
�π
�
（2）因为�=
��
�+ −��= �，����=
�
�=
−�
��=−
�
�，且�是第四象限角，
所以�����−�i = �π −
π
�=
11π
�，
所以��−�i=6 ���
��π
�+ i ⋅���
��π
�
（3）�= −�i = �且���−�i =
�π
�，
所以−�i=4 ���
�π
�+ i ⋅���
�π
�.
（4）�= ��，且�����= �，
所以��= ������+ i ⋅����.
2.将下列复数化为三角形式：
(1)−
3 + i；
(2)−1 −
3i；
(3)−2 cos
�
5 + isin
�
5 ；
(4)2 sin
�
5 + icos
�
5 ．
【解题思路】求出各复数的模和辐角，化简成�(����+ isin�)的形式即可得解.
【解答过程】（1）−
�+ i=2(cos
��
�+isin
��
�)
（2）−�−
�i=2(cos
��
�+isin
��
�)
（3）−����
�
�+ isin
�
�
= �(���
��
�+ isin
��
�)
（4）����
�
�+ ����
�
�
= �(���
��
��+ isin
��
��).
3.把下列复数表示成代数形式：
(1)4 cos
π
3 + isin
π
3 ；
(2)6 cos
11π
6 + isin
11π
6
．
【解题思路】由诱导公式及特殊角的三角函数化简即可.
【解答过程】（1）����
π
�+ isin
π
�= �
1
�+ i ⋅
�
�
= �+ ��i；
（2）����
��π
�+ isin
��π
�
= ����
π
�−isin
π
�= �
�
�−i ⋅
�
�= ��−�i.
4.在复平面内作出下列复数对应的向量，并用三角形式表示（辐角取主值）：
(1)6；
(2)1 + i；
(3)1 −
3i；
(4)−
6 −
2i．
【解题思路】根据复数的几何意义，求出模长和辐角，即可求解.
【解答过程】（1）6 对应的向量如答图中���Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ，
∵�= �, ����= �, ����= �，又�∈�, �π ，
∴�= �, ∴�= �(����+ �����).
（2）�+ �对应的向量如答图中���Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ，
∵�=
�, ����=
�
�, ����=
�
�，
又�∈�, �π , ∴�=
π
�，∴�+ i =
����
π
�+ isin
π
�.
（3）�−
��对应的向量如答图中���Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ
∵�=
�+ �= �, ����=
�
�, ����=−
�
�，
又�∈�, �π , ∴�=
�π
�，∴�−
�i = ����
�π
�+ isin
�π
�.
（4）−
�−
�i 对应的向量如答图中���Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ，
∵�= ��, ����=−
�
�, ����=−
�
�，
又�∈�, �π , ∴�=
�π
�，∴−
�−
�i = �����
�π
�+ isin
�π
�.
题型四：三角形式下复数的乘、除运算
1．计算下列各式，并把结果化成代数形式：
（1）
π
π
π
π
2 cos
isin
3 cos
isin
12
12
6
6














，
（2）
2π
2π
π
π
6 cos
isin
2 cos
isin
3
3
3
3



























．
【答案】（1）3 2
3 2

；（2）
3
3 i
2
2

【解析】（1）原式
π
π
π
π
6 cos
isin
12
6
12
6






















π
π
2
2
6 cos
isin
6
i
3 2
3 2
4
4
2
2




















．
（2）原式
2π
π
2π
π
3 cos
isin
3
3
3
3






















π
π
1
3
3
3
3 cos
isin
3
i
i
3
3
2
2
2
2




















2．如果
π ,π
2






，那么复数


1 i
cos
isin




的三角形式是（
）
A．
9π
9π
2 cos
isin
4
4























B．




2 cos 2π
isin 2π









C．
π
π
2 cos
isin
4
4























D．
3π
3π
2 cos
isin
4
4























【答案】A
【解析】因为
π
π
1 i
2 cos
isin
4
4








，





cos
isin
cos 2π
isin 2π









，
所以


π
π
1 i
cos
isin
2 cos
2π
isin
2π
4
4






























9π
9π
2 cos
isin
4
4
























.
故选：A.
3．棣莫弗公式(cos
isin )
cos
isin
n
x
x
nx
nx



（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，
根据棣莫弗公式可知，已知复数
2π
2π
cos
i sin
3
3


，则
4
的值是（
）
A．

B．1

C．
D．
【答案】C
【解析】依题意知，
2π
2π
1
3
cos
i sin
i
3
3
2
2




，
由棣莫弗公式，得
4
4
2π
2π
8π
8π
π
π
(cos
i sin
)
cos
i sin
cos 3π
i sin 3π
3
3
3
3
3
3





















π
π
1
3
cos
i sin
i
3
3
2
2




，所以
4



.故选：C.
4．已知

cos
isin
cos
isin
n
x
x
nx
nx



（其中i 为虚数单位），那么复数
2023
π
π
cos
isin
5
5







在复平面内所
对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【解析】由

cos
isin
cos
isin
n
x
x
nx
nx



，
可得
2023
π
π
2023π
2023π
cos
isin
cos
isin
5
5
5
5









3π
3π
3π
3π
cos 404π
isin 404π
cos
isin
5
5
5
5


















，
因为
3π
cos
0
5 
，
3π
sin
0
5 
，
所以复数
2023
π
π
cos
isin
5
5







在复平面内所对应的点位于第二象限．故选：B．
5.计算2 cos75° + isin75° ⋅
1
2 −
1
2 i 的值是（
）
A．−
6
2 +
2
2 i
B．
6
2 +
2
2 i
C．
2
2 −
6
2 i
D．
2
2 +
6
2 i
【解题思路】根据复数的三角运算公式运算即可.
【解答过程】因为
�
�−
�
�i =
�
�
�
�−
�
�i =
�
�
������∘+ isin���∘
所以������° + isin��° ⋅
�
�−
�
�i = ������° + isin��° ⋅
�
�
������∘+ isin���∘，
所以������° + isin��° ⋅
�
�−
�
�i =
�������° + isin���° =
�
�+
�
�i，
故选：B.
6.复数
(−1+ 3i)5
1+ 3i 的值是（
）
A．−16
B．16
C．−
1
4
D．
1
4 −
3
4 i
【解题思路】应用复数的三角形式的乘方、除法运算化简求值即可.
【解答过程】
(−�+ �i)�
�+ �i
= ��×
(−�
�+ �
�i)�
(�
�+ �
�i) = ��×
(����π
�+isin�π
�)�
���π
�+isinπ
�
= ��×
���10π
�+isin10π
�
���π
�+isinπ
�
= ��× (�����+ isin3π) =
−��.
故选：A.
7．计算：
（1）
π
π
π
π
8 cos
isin
2 cos
isin
6
6
4
4














；
（2）
4π
4π
5π
5π
2 cos
isin
4 cos
isin
3
3
6
6














；
（3）




3 cos225
isin225
2 cos150
isin150











（4）
π
π
4
cos
isin
4
4








【答案】（1）


4 6
4 2
4 6
4 2 i



；（2）4 3
4i

；（3）3
3
3
3i
4
4



；（4）2 2
2 2i

【解析】（1）
π
π
π
π
π
π
π
π
8 cos
isin
2 cos
isin
16 cos
isin
6
6
4
4
6
4
6
4







































3
2
1
2
1
2
3
2
16
i
4 6
4 2
4 6
4 2
2
2
2
2
2
2
2
2




























.
（2）
4π
4π
5π
5π
4π
5π
4π
5π
2 cos
isin
4 cos
isin
8 cos
isin
3
3
6
6
3
6
3
6





































1
3
3
1
3
3
1
1
16
i
2
2
2
2
2
2
2
2


































































3
1
8
i
4 3
4i
2
2












.
（3）




3 cos225
isin225
2 cos150
isin150

















3
6
cos 225
150
isin 225
150
cos75
isin75
2
2




















6 cos 45 +30
isin 45 +30
2










2
3
2
1
2
3
2
1
i
2
6
2
2
2
2
2
2
2
2
























6
2
6
2
i
+
4
4
4
4
6
2



















3
3
3
3i
4
4




.
（4）


π
π
π
π
4
cos
isin
4 cos0
isin 0
cos
isin
4
4
4
4


















π
π
π
π
2
2
4 cos
isin
4 cos
isin
4
i
4
4
4
4
2
2








































2 2
2 2i


.
8.已知i 为虚数单位，若�1 = �1(cos�1 +isin�1)，�2 = �2(cos�2 +isin�2)，⋅⋅⋅，��= ��(cos��+isin��)，
则�1�2 ⋅⋅⋅��= �1�2 ⋅⋅⋅��[cos �1 + �2 +⋅⋅⋅+ ��+isin �1 + �2 +⋅⋅⋅+ ��.特别地，如果�1 = �2 =⋅⋅⋅= ��=
�(cos�+isin�)，那么[�(cos�+isin�)]�= ��(cos��+isin��)，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754 年)创
立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是（
）
A．若�= cos
�
6 +isin
�
6，则�4 =−
1
2 +
3
2 i
B．若�= cos
�
5 +isin
�
5，则�5 = 1 +i
C．若�1 = 2(cos
7�
12 +isin
7�
12 )，�2 = 3(cos
5�
12 +isin
5�
12 )，则�1�2 =−6 + 6i
D．若�1 = 3(cos
�
12 −isin
�
12 )，�2 = 4(cos
�
4 +isin
�
4 )，则�1�2 = 6 + 6i
【解题思路】A. ��= ���
��
�+i���
�
��=−
�
�+
�
�i，所以该选项正确；
B. ��= ����+i����=−�，所以该选项错误；
C. ����= �(����+i����) =−�，所以该选项错误；
D. ����= ��(���
��
��+i���
��
��) = ��+�i.所以该选项错误.
【解答过程】A. 若�= ���
�
�+i���
�
�，则��= ���
��
�+i���
�
��=−
�
�+
�
�i，所以该选项正确；
B. 若�= ���
�
�+i���
�
�，则��= ����+i����=−�，所以该选项错误；
C. 若��= �(���
��
��+i���
��
��)，��= �(���
��
��+i���
��
��)，则����= �(����+i����) =−�，所以该选项错
误；
D. ��= �(���
���
��+i���
���
��)，��= �(���
�
�+i���
�
�)，则����= ��(���
��
��+i���
��
��) = ��+�i.所以该
选项错误.
故选：A.
题型五：复数乘除运算的几何意义
1．把复数1 i
对应的向量绕原点按逆时针方向旋转π
2 ，所得到的向量对应的复数是
.
【答案】1
i

【解析】复数1 i
对应的向量绕原点按逆时针方向旋转π
2 ，
所得到的向量对应的复数是



π
π
1 i
cos
isin
1 i i
1 i
2
2











2．在复平面内，将与复数3
3i

对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转60°，求与所得的向量对应的复数，
写出你的思考过程．
【答案】2 3i

【解析】根据复数乘法的几何意义，所求的复数是(3
3i)[cos( 60 )
isin( 60 )]




o
o
，
即
1
3
3
3 3
3
3
(3
3i)(
i) =
i
i
2 3i
2
2
2
2
2
2






.
故与所得的向量对应的复数是2 3i

.
3．将复数1
3i

在复平面上所对应的向量ON
绕原点按顺时针方向旋转π
2 得到向量
1
ON

，那么
1
ON

对应的
复数是
.
【答案】
3
i

【解析】复数1
3i

的三角形式是
π
π
2 cos
isin
3
3






,
向量
1
ON

对应的复数是
π
π
2 cos
isin
π
π
3
3
2 cos
isin
3
i
π
π
6
6
cos
isin
2
2































.
4．在复平面内，把与复数3
3i

对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转60，则所得向量对应的复数为
（用代数形式表示）．
【答案】2 3i

【解析】复数3
3i

对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转60，
则所得向量对应的复数为


2 3 cos330
isin 330
3
3i
cos60
isin 60
cos60
isin 60












2 3 cos 330
60
isin 330
60
2 3i










.
5.设复数�1 =−1 −i 在复平面上对应向量��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ，将��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ按顺时针方向旋转
5
6 �后得到向量��2Ԧ
ሬሬሬሬሬ，令��2Ԧ
ሬሬሬሬሬ对应的
复数为�2的辐角主值为�，则tan�=（
）
A．2 −
3
B．−2 +
3
C．2 +
3
D．−2 −
3
【解题思路】将给定的复数化成三角形式，再利用复数乘法的三角形式求出��的辐角主值，即可计算作答.
【解答过程】复数��=
�[���(
��
�) + isin(
��
�)]，因���Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ按顺时针方向旋转
�
��后得到向量���Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ，
依题意，��= ��[���( −
��
�) + isin( −
��
�)] =
�(���
��
�) + isin
��
�)[���( −
��
�) + isin( −
��
�) =
�(���
��
��+ isin
��
��)，
因此复数��的辐角主值�=
��
��，所以����= ���(
�
�+
�
�) =
����
�+����
�
�−����
�����
�
=
�
�+�
�−�
�
= �+
�.
故选：C.
6．把复数z1 与z2 对应的向量OAOB

，
分别按逆时针方向旋转4
和5
3
后，重合于向量OM
且模相等，已知
2
1
3
z
i

，则复数
1z 的代数式和它的辐角主值分别是（
）
A．
2
2i


，3
4

B．
3
2
2 , 4
i



C．
2
2 , 4
i 


D．
2
2 , 4
i 


【答案】B
【解析】由题可知
1
2
5
5
cos
sin
cos
sin
4
4
3
3
z
i
z
i


















，
则


1
2
2
1
3
1
3
2
2
2
2
2
z
i
i
i




















，





1
2 2 1
2
2 2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
i
z
i
i
i
i
i














，
可知
1z 对应的坐标为

2,
2

，则它的辐角主值为3
4
.故选：B.
7.设�=
3 −�对应的向量为��റ
ሬሬሬሬ，将��റ
ሬሬሬሬ绕点O 按逆时针方向和顺时针方向分别旋转45°和60°，求所得向量
对应的复数（用代数形式表示）
【解题思路】将复数对应的向量变换为复数三角形式的乘积，即可求解.
【解答过程】解：将��റ
ሬሬሬሬ绕点O 按逆时针方向旋转45°所得向量对应的复数为：
( �−�) �����° + �����° = �������° + �������°
�����° + ������°
= �������° + �������° =
�× �����° + ������°
= �×
�+ �
�
+
�−�
�
�=
�+ �
�
+
�−�
�
�.
将��റ
ሬሬሬሬ绕点O 按顺时针方向旋转60°所得向量对应的复数为
( �−�) ���−��° + ����−��°
= �������° + �������°
���−��° + ����−��°
= �������° + �������°
= �× (�−�) =−��.
8.在复平面内，点A 对应的复数是3 + i，向量��റ
ሬሬሬሬ绕着点O 按逆时针方向旋转120°得到向量��റ
ሬሬሬሬ.
(1)求点C 对应的复数�0；
(2)已知点B 对应的复数z 满足�−�0 = 1，且��റ
ሬሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬሬ
= 120°，求复数z.
【解题思路】（1）利用复数的几何意义和复数的乘法运算求解；
（2）根据题意，由向量��റ
ሬሬሬሬ对应的复数��= ��⋅
�
�[���−���° + isin −���° ]或��= ��⋅
�
�������° +
isin���° 求解.
【解答过程】（1）解：因为点A 对应的复数是�+ i，向量��റ
ሬሬሬሬ绕着点O 按逆时针方向旋转120°，
所以��=
�+ i ⋅������° + isin���° =−
�+ i；
（2）因为点B 对应的复数z 满足�−��= �，且��റ
ሬሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬሬ
= ���°，
所以向量��റ
ሬሬሬሬ对应的复数��= ��⋅
�
�[���−���° + isin −���° ] =
�
�+
�
�i，
或��= ��⋅
�
�������° + isin���° =−i，
∴��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ+ ��റ
ሬሬሬሬ= −
�
�,
�
�或��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ+ ��റ
ሬሬሬሬ= −
3,0 ，
∴�=−
�
�+
�
�i 或�=−
3.
题型六：三角表示下复数的乘方与开方
1.计算：−1 +
3i
10 =（
）．
A．1024 −1024 3i；
B．−1024 + 1024 3i；
C．512 −512 3i；
D．−512 + 512 3i．
【解题思路】首先写成复数的三角形式，再利用乘方公式，即可化简求值.
【解答过程】设�=−�+
�i=2 −
�
�+
�
�i = ����
�π
�+ isin
�π
�，
所以���= ����
�π
�+ isin
�π
�
��
= ������
��π
�+ isin
��π
�
= �������π
�+ isin �π
�
= ���−�
�+
�
�i
=−���+ ����i.
故选：D.
2.计算cos
π
4 + isin
π
4
−4
=（
）
A．1
B．−1
C．i
D．−i
【解题思路】根据复数三角形式的乘方运算可解.
【解答过程】cos
π
�+ isin
π
�
−�
=
�
cosπ
�+isinπ
�
�=
cos�+isin�
cosπ+isinπ =−�，
故选:B.
3.在复平面内，复数�= �+ �i(�, �∈�)对应向量为��റ
ሬሬሬሬ（�为坐标原点），设|��റ
ሬሬሬሬ| = �，以射线��为始边，��
为终边逆时针旋转所得的角为�，则�= �(cos�+ isin�)，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：�1 =
�1 cos�1 + isin�1 ，�2 = �2 cos�2 + isin�2 ，则�1�2 = �1�2 cos �1 + �2 + isin �1 + �2
，由棣莫弗定理
导出了复数乘方公式：��= [�(cos�+ isin�)]�= ��(cos��+ isin��) �∈�∗，则( −1 +
3i)10 =（
）
A．1024 −1024 3i
B．−1024 + 1024 3i
C．512 −512 3i
D．−512 + 512 3i
【解题思路】先将�=−�+
��表示为三角形式，然后结合棣莫弗定理求得正确答案.
【解答过程】由题意，得当�=−�+
��时，�= �，�=
�π
�，
∴( −�+
��)��= ����
��
�+ ����
��
�
��
= ������
���
�+ ����
���
�
．
∵���
���
�= ����π −
π
�=−���
π
�=−
�
�, ���
���
�= ����π −
π
�= ���
π
�=
�
�，
∴������
���
�+ ����
���
�
= ���−
�
�+
�
��=−���+ �����，
故选：D.
4.棣莫弗公式(cos�+ isin�)�= cos��+ isin��（其中i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754 年）
发现的，根据棣莫弗公式可知，复数cos
�
6 + isin
�
6
7
在复平面内所对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解题思路】根据棣莫弗公式及诱导公式代入计算即可．
【解答过程】解：由已知得cos
�
�+ isin
�
�
�
= cos
��
�+ isin
��
�= cos �+
�
�+ isin �+
�
�=−cos
�
�−
isin
�
�=−
�
�−
�
�i，
∴复数cos
�
�+ isin
�
�
�
在复平面内所对应的点的坐标为−
�
�, −
�
�，位于第三象限．
故选：C．
模块三：综合巩固
1.已知i 为虚数单位，�1 =
2 cos60° + isin60° ，�2 = 2 2 sin30° −icos30° ，则�1 ⋅�2等于（
）
A．4 cos90° + isin90°
B．4 cos90° + isin90°
C．4 cos30° −isin30°
D．4 cos0° + isin0°
【解题思路】利用复数三角形式乘法运算法则计算即可.
【解答过程】∵��= ��(�����° −icos��°) = ��(������° + �������°)，
∴��⋅��=
�(�����° + isin��°) ⋅��(������° + isin���°)
= ������° + ���° + isin ��° + ���°
= �������° + isin���°
= �����° + isin�° .
故选：D.
2．欧拉公式
ie
cos
isin
x
x
x


是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立
了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，依据欧拉公式，下列选项正确的
是（
）
A．复数
πi
2
e
为实数
B．
ie 对应的点位于第二象限
C．
ie
sin
icos
2
x
x
x



D．
ie
3
i
x 

的最大值为1
【答案】C
【解析】由
ie
cos
isin
x
x
x


，可得
πi
2
π
π
e =cos
+isin
=i
2
2
，是纯虚数，故A 错误；
i
cos1
isin1
e 

，对应的点的坐标为(cos1,sin1) ，位于第一象限，故B 错误；
ie
sin
icos
cos
isin
sin
icos
(cos
sin )
(cos
sin )i
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x










，
ie
sin
icos
(cos
sin )
(cos
sin )i
x
x
x
x
x
x
x







2
2
(cos
sin )
(cos
sin )
2
x
x
x
x





，故C 正确；
ie
3
i
(cos
3)
(sin
1)i
x
x
x





，

ie
3
i
(cos
3)
(sin
1)i
x
x
x





2
2
2
2
(cos
3)
(sin
1)
cos
sin
4
2sin
2 3cos
x
x
x
x
x
x









1
3
π
5
4(
sin
cos )
5
4sin(
)
2
2
3
x
x
x






，

ie
3
i
x 
的最大值为3，故D 错误．故选：C．
3．（多选）已知复数
1
1
3i
z 
，其在复平面内对应点A ，下列说法中正确的是（
）
A．复数
1z 的三角形式为
1
π
π
2 sin
icos
6
6
z








B．在复平面内将点A 绕坐标原点O逆时针旋转π
3 后到达点B ，点B 所对应的复数
2
1
3i
z 
C．在复平面内将点A 绕坐标原点O顺时针旋转π
2 后到达点C ，点C 所对应的复数为
3z ，则
1
3
0
z
z


D．
2
3
3
1i
2
2
z
z 

【答案】BD
【解析】对于A，因为
1
1
3
1
3i=2
2
n
π
s
π
i
i
cos
i
2
2
3
3
z


















，故A 错误；
对于B，设A 点对应的向量为OA
，则OA
绕坐标原点O逆时针旋转π
3 后得到OB
对应的复数为




i
1
3
1
3
cos
sin
1
3
π
π
i
i
3
i
i
1
3
3
2
2




















，则点B 对应的复数
2
1
3i
z 
，故B 正
确；
对于C，设C 点对应的向量为OC
，则OA
绕坐标原点O顺时针旋转π
2 后得到OC
对应的复数为





0
1
3i
cos
sin
1
3i
3
π
i
2
π
i
2
i














，则点C 对应的复数
3
3
i
z 
，故C 错误；
对于D，由B，C 可知，






2
3
1
3
3
1
3
3
2
i
i
i
i
i
i
3
i
3
3
z
z











，故D 正确；故选：BD
4．已知复数



3
1 i
z
m
m




已在复平面内对应的点在第一象限，i 是虚数单位.
（1）求实数m 的取值范围
（2）当
2
m 时，求复数z 的三角表示
（3）若复平面内，向量OZ

对应（2）中的复数z ，把OZ

绕点O顺时针方向旋转60得到
1
OZ

，求向量
1
OZ

对应的复数
1z （结果用代数形式表示）
【答案】（1）

3, 1

；（2）
2 cos
sin
i
4
4
z










；（3）
1
1
3
1
3
2
2
i
z




【解析】（1）因为复数



3
1 i
z
m
m




已在复平面内对应的点在第一象限，
所以


3
0
1
0
m
m







，解得3 <
1
m

，所以实数m 的取值范围为：

3, 1

（2）当
2
m 时，
1
i
z ，所以
2
2
1
1
2
r 


，
1
2
cos
sin
2
2





，
所以
4


，所以
2 cos
sin
i
4
4
z










（3）根据题意得


1,1
OZ 

，设其旋转60后对应向量


1
,
OZ
a b


，
所以
2
2
2
2
2
1
2
2
a
b
a
b
a
b











，解得
1
3
2
1
3
2
a
b







或
1
3
2
1
3
2
a
b







，
又因为绕点O顺时针方向旋转60得到
1
OZ

，所以
1
OZ

对应的点在第四象限，
所以
1
3
2
1
3
2
a
b







，所以
1
1
3
1
3
2
2
i
z




.
定位
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