专题2-2费马点与加权费马点详细总结（解析版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料_专项复习资料_教师版（含答案解析）

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 专题 2-2 费马点与加权费马点详细总结 知识点梳理 【常规费马点】 【加权费马点】 题型一 普通费马点最值问题 题型二 加权费马点·单系数型 题型三 加权费马点·多系数型 知识点梳理 【常规费马点】 【问题提出】如图△ABC所有的内角都小于120度，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC， 当 的值最小时，求此时∠APB与∠APC的度数. A P B C 【问题处理】如图1，将△ACP绕着点C顺时针旋转60度得到△A’CP’，则△ACP≌△A’CP’，CP＝CP’， AP＝A’P’，又∵∠PCP’ ＝60°，∴△PCP’是等边三角形，∴PP’＝PC， ∴PA＋PB＋PC＝ P’A’＋PB＋ PP’， 如图2，当且仅当点B、P、P’、A’共线时，PA＋PB＋PC最小，最小值为A’B，此时∠BPC＝∠APC＝ ∠APB＝120° 资1 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A A A' A' P' P' P P B C B C 图1 图2 【问题归纳】如费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费马点结论： ① 对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，所以三角形的费马点也叫 三角形的等角中心； ② 对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点． 【如何作费马点】如图3，连接AA’，我们发现△ACA’为等边三角形，点P在A’B上，同理，我们可以得 到等边△BAB’，点P也在CB’上，因此，我们可以以△ABC三角形任意两边为边向外构造等边三角形，相 应连线的交点即为费马点。（最大角小于120°时） B' A A' P B C 图3 【例1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值． A P B C 【答案】 【分析】如图，以AC为边构造等边△ACD，连接BD，BD的长即为PA+PB+PC的最小值．至于点P的位 置？这不重要！ 资2 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 D A B C 如何求BD？考虑到△ABC和△ACD都是特殊的三角形，过点D作DH⊥BA交BA的延长线于H点，根据 勾股定理，BD2 BH2 DH2即可得出结果． H D A B C 【练习1】如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则 MA+MD+ME的最小值为______． A D M B C E 【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段． 分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG， F G A D M B E C 易证△AMD≌△AGF，∴MD=GF ∴ME+MA+MD=ME+EG+GF 过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值． 资3 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 F G A D M B E H C 【加权费马点】 如果所求最值中三条线段的系数有不为1的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，解决方法类似， 也是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择不同的旋转或放缩方法。 【类型一 单系数类】 当只有一条线段带有不为1的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段， 一种是旋转特殊角度： 对应旋转90°， 对应旋转120° 另一种是旋转放缩，对应三角形三边之比 【例3】在等边三角形ABC中，边长为4，P为三角形ABC内部一点，求 的最小值 A P B C 原图 【简析】本题有2种解题策略，旋转特殊角和旋转放缩 【策略一：旋转特殊角】如图1，△APC绕点C逆时针旋转90°，易知P’P＝ 2 PC， A’B即为所求 资4 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A P' A' P B C 图1 方法一：如图2，B，P，P’，A’共线时取最小，此时∠BPC＝∠APC＝135°，易知BP＝A’P’＝2 2 ， PC＝CH－PH＝2 32，∴PP’＝2 62 2 ，PB＋PP’＋A’P’＝2 62 2 A A' H 2 2 2 P' P 135° 2 2 135° B C 图2 方法二：作AH⊥BC于H，易知∠A’CH＝30°，∴AH＝2，CH＝2 3BH 42 3，由勾股可得A’B＝ 2 62 2 A A' P' P 2 30° B 4 C 2 3 H 图3 【策略二：旋转放缩】可按如下方法去旋转放缩（方法不唯一） 如图4，将三角形BPC绕点B旋转45°，再扩大为原来的 倍，得到 则 补充：也可以按图5方式旋转 资5 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A P B C PB A P' 2PC 2PC C' P' PB P B C C' 图4 原5 3 【练习2】在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝2 ，P为三角形ABC内部一点，求 的最小 值 A P B C 【策略一：旋转特殊角】如图1，△APC绕点C逆时针旋转120°，则有PP’＝ 3PC， P' A A‘ 3PC P 1 30° 30° B 2 3 C 3 H 图1 资6 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【策略二：旋转放缩】如图2，△APC绕点A逆时针旋转30°，再扩大为原来的 倍， 则 ，计算略 A C' P P' B C 图2 【类型二 多系数类】 其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的。 以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的，对于给定的系数，我们该如何选取旋转 中心呢？我们总结了以下方法： 1. 将最小系数提到括号外； 2. 中间大小的系数确定放缩比例； 3. 最大系数确定旋转中心（例如最大系数在PA前面，就以A为旋转中心），旋转系数不为1的两条线段 所在的三角形。 【例 3】如图，在△ABC 中， ， ， ，在△ABC 内部有一点 P，连接 ，则（1） 的最小值为________；（2） 的最小 值为________ A P B C 【简答】（1）将最小系数 提到括号外，得到 资7 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A P B C 2PC B' 3PB P' 图1 中间大小系数为 ，故放大倍数为 倍，最大系数在PC前面，故以点C为旋转中心，旋转△PBC． 如图1，将△PBC绕点C逆时针旋转90°，并放大为 倍， ， ． ． （2）将最小系数 提到括号外，得到 ， A A' 3PA P' 2PC P B C 图2 如图2，将△APB绕点C逆时针旋转90°，并放大为 倍， ， ． 资8 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【练习 3】如图，在△ABC 中， ， ， ，在△ABC 内部有一点 P，连接 ，则 的最小值为________． A P B C 【简答】将△PAC绕点C顺时针旋转90°并放大2倍，得到 ， A' A 2PA P' 5PB 6 P B 3 3 C 6 3 ， ， ， ， ， 由 勾 股 定 理 可 得 ， 的最小值为 . 资9 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型一 普通费马点最值问题 1．（2021滨州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P是△ABC内一 点，则 的最小值为_________． B P C A 【答案】 7 【解析】将△ABP绕点A顺时针旋转60°到△AB′P′，连接P′P，B′C． B' P' B P C A 则AB′＝AB＝2，PB＝P′B′，∠BAB′＝60°，PA＝P′A，∠PAP′＝60°， ∴△P′PA是等边三角形，∴PA＝P′P． ∵∠BAC＝30°，∴∠B′AC＝90°， 3 ∵∠ACB＝90°，∴AC＝ AB＝ ， 2 3 ∴B′C＝ AC2 BA2 ＝ 7 ． ∵PA＋PB＋PC＝P′P＋P′B′＋PC≥B′C， ∴PA＋PB＋PC的最小值为 7 ． 2．问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA ＋PC＝PE． 问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝4 2，点O是△MNG内一点，则点O到 △MNG三个顶点的距离和的最小值是______． E M A O B P C N G D 图1 图2 【解析】过点H作HQ⊥NM交NM延长线于Q点，根据∠NMG＝75°，∠GMH＝60°，可得∠HMQ＝ 资10料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 45°， ∴△MHQ是等腰直角三角形， ∴MQ＝HQ＝4， ∴NH＝ NQ2 HQ2  10016 2 29 Q 4 4 M H M H 6 N G N G 3． 资11料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 4．如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC＝2，P是△ABC内一点，求PA＋PB＋PC的最小值． A P B C 【解析】如图1，以AD为边构造等边△ACD，连接BD，BD的长即为PA＋PB＋PC的最小值． 考虑到△ABC和△ACD都是特殊的三角形，所以构造特殊直角三角形 如图2，过点D作DH⊥BA交BA的延长线于H点，根据勾股定理，BD2  BH2 DH2= 6+ 2 H D D A A B C B C 图1 图2 7(CBCA) 5．已知，在△ABC中，∠ACB＝30° ，AC＝4，AB＝ 点P是△ABC内一动点，则PA＋PB＋ PC的最小值为________ C' A A 4 P' 7 4 P P 2 B C B 3 H 2 3 C 原图 图1 如图1，将△APC逆时针旋转30°，得△AP’C’，BC’即PA＋PB＋PC最小值，考虑到 【解析】 3 43 ∠BCA＝30°，∴∠BCC’＝90°，作AH⊥BC，可得BC＝3 ，∴BC’＝ 资12料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 6．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD ＋ME的最小值为______． A D M B C E 【解析】如图1，依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．分别以 AD、AM为边构造等边 △ADF、等边△AMG，连接FG，易证△AMD≌△AGF，∴MD＝GF∴ME＋MA＋MD＝ME＋EG＋GF 如图2，过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．FG＝4＋2 3 F F G G A D A D M M B E C B E H C 7．A、B、C、D四个城市恰好为一个边长为2a正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市 之间都有公路相通，并使整个公路系统的总长度（AP＋BP＋PQ＋DQ＋CQ）最小，则应当如何修建？ 最小长度是多少？ A D Q P B C 【解析】如图1，△ABP绕点B逆时针旋转60°，得到△A’P’B；同样，将△DCQ绕点C顺时针旋转60°， 得到△D’CQ’，连结A’A、D’D，则△ABA’、 △DCD’均为等边三角形，连结PP’、QQ’，则△BPP’， 资13料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 QCQ’均为等边三角形， AP＋BP＋PQ＋DQ＋CQ＝A’P’＋PP’＋PQ＋QQ’＋DQ’ △ A D Q' Q A' D' P' P B C 图1 如图2，当点A’，P’，P，Q，Q’，D’共线时，整个公路系统的总长取到最小值，为线段A’D’的长，此时点   P，Q在A’D’上，最小值为 22 3 a． A D P' Q' A' D' P Q B C 图2 2023·随州中考真题 8．1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求 平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明， 该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择 填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④ 处填写该三角形的某个顶点） 当ABC的三个内角均小于120时， 如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60得到APC，连接PP， 资14料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 由PC PC，PCP60，可知△PCP为 ① 三角形，故PPPC，又PAPA，故 PAPBPC PAPBPP AB， 由 ② 可知，当B，P，P，A在同一条直线上时，PAPBPC取最小值，如图2，最小值为AB，此时 的P点为该三角形的“费马点”，且有APCBPCAPB ③ ； 已知当ABC有一个内角大于或等于120时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若 BAC120，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． ABC 120 AC 3，BC 4，ACB30 ABC (2)如图4，在 中，三个内角均小于 ，且 ，已知点P为 的 “费马点”，求PAPBPC的值； AC 4km，BC 2 3km，ACB60 (3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知 ．现欲 建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a km km 2a km 元/ ，a元/ ， 元/ ，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结 果用含a的式子表示） 【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③120；④A． (2)5 (3)2 13a 【解题思路】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论； （2）根据（1）的方法将△APC绕，点C顺时针旋转60得到APC，即可得出可知当B，P，P，A在 同 一 条 直 线 上 时 ， PAPBPC取 最 小 值 ， 最 小 值 为 AB， 在 根 据 ACB30可 证 明 资15料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ACAACPBCPPCP90，由勾股定理求AB即可， （3）由总的铺设成本a(PAPB 2PC)，通过将△APC绕，点C顺时针旋转90得到APC，得到等 腰直角PPC，得到 2PCPP，即可得出当B，P，P，A在同一条直线上时，PAPBPP取最小 值，即PAPB 2PC取最小值为AB，然后根据已知和旋转性质求出AB即可． 【详解】（1）解：∵PC PC，PCP60， ∴△PCP为等边三角形； ∴PPPC，PPC PPC 60， 又PAPA，故PAPBPC PAPBPP AB， 由两点之间线段最短可知，当B，P，P，A在同一条直线上时，PAPBPC取最小值， 最小值为AB，此时的P点为该三角形的“费马点”， ∴BPCPPC 180，APCPPC 180， ∴BPC 120，APC 120， 又∵APC APC， ∴APC APC 120， ∴APB360APCBPC 120， ∴APC BPC APB120； ∵BAC120， ∴BC  AC，BC  AB， ∴BCAB ACAB，BCAC  ABAC， ∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小． 又∵已知当ABC有一个内角大于或等于120时，“费马点”为该三角形的某个顶点． ∴该三角形的“费马点”为点A， 故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③120；④A． （2）将△APC绕，点C顺时针旋转60得到APC，连接PP， 由（1）可知当B，P，P，A在同一条直线上时，PAPBPC取最小值，最小值为AB， ∵ACPACP， ∴ACPBCPACPBCPACB30， 又∵PCP60 ∴BCAACPBCPPCP90， 由旋转性质可知：ACAC3， ∴AB BC2AC2  4232 5， ∴PAPBPC最小值为5， 资16料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （3）∵总的铺设成本PAaPBaPC 2aa(PAPB 2PC) ∴当PAPB 2PC最小时，总的铺设成本最低， 将△APC绕，点C顺时针旋转90得到APC，连接PP，AB 由旋转性质可知：PC PC，PCPACA90，PAPA，AC  AC 4km， ∴PP 2PC， ∴PAPB 2PC PAPBPP， 当B，P，P，A在同一条直线上时，PAPBPP取最小值，即PAPB 2PC取最小值为AB， 过点A作AH BC，垂足为H， ∵ACB60，ACA90， ∴ACH 30， 1 ∴AH  AC 2km， 2 ∴HC  AC2AH2  4222 2 3(km)， ∴BH BCCH 2 32 3=4 3(km)， ∴AB AH2BH2  (4 3)222 2 13(km) PAPB 2PC的最小值为2 13km 总的铺设成本PAaPBaPC 2aa(PAPB 2PC)=2 13a（元） 广东省江门市一模 ABC BAC 90,AB5,AC 2 3 P ABC P ABC 9．如图，在 中， ，点 为 内部一点，则点 到 三个顶点 之和的最小值是 ． 【答案】 67 【分析】将ABP绕着点A顺时针旋转60，得到△AEH，连接EP，CH ，过点C作CN  AH ，交HA的 资17料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 延长线于N，由旋转的性质可得BAPHAE，AE AP，AH  AB5，BAH 60，BPHE，易 得△AEP是等边三角形，可得AE APEP，进而得到APBPPC EPEH PC，当点H、E、P、C 共线时，APBPPC有最小值HC，再求出CN 和HN的长度，由勾股定理可求解． 【详解】解：将ABP绕着点A顺时针旋转60，得到△AEH，连接EP，CH ，过点C作CN  AH ，交 HA的延长线于N， ∴BAPHAE，AE AP，AH  AB5，BAH 60，BPHE， ∴HABEAP60， ∴△AEP是等边三角形， ∴AE APEP， ∴APBPPC EPEH PC， ∴当点H、E、P、C共线时，APBPPC有最小值HC． ∵NAC 180BAH BAC 180609030，AC 2 3， 1 ∴CN  AC  3， 2  2  2 ∴AN  AC2CN2  2 3  3 3， ∴HN  AH AN 538 ．  2 在 中，CH  HN2CN2  82 3  67， Rt△CNH 即点P到ABC三个顶点之和的最小值是 67 武汉中考 10．问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论： PA+PC=PE． 问题解决：如图 2，在△MNG 中，MN=6，∠M=75°，MG=4 2，点 O 是△MNG 内一点，则点 O 到 △MNG三个顶点的距离和的最小值是______． 资18料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 E M A O B P C N G D 图1 图2 【答案】 【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造60°的旋转，当然如果已经了解了费马点问题， 直接来解决就好了！ 如图，以MG为边作等边△MGH，连接NH，则NH的值即为所求的点O到△MNG三个顶点的距离和的 最小值．（此处不再证明） M H N G 过点H作HQ⊥NM交NM延长线于Q点， 根据∠NMG=75°，∠GMH=60°，可得∠HMQ=45°， ∴△MHQ是等腰直角三角形， ∴MQ=HQ=4， ∴NH= ． Q 4 4 M H 6 N G 2023·四川宜宾·中考真题 yax2bxc A3,0 M1,m y 0，2 11．如图，抛物线 经过点 ，顶点为 ，且抛物线与 轴的交点B在 和 0，3 之间（不含端点），则下列结论： 资19料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ①当3x1时，y0； 3 3 3 ②当 的面积为 时，a ； ABM 2 2 ③当ABM 为直角三角形时，在AOB内存在唯一点P，使得PAPOPB的值最小，最小值的平方为 189 3 ． 其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①② 【解题思路】根据条件可求抛物线与 x 轴的另一交点坐标，结合图象即可判断①；设抛物线为 yax1x3 ，即可求出点M的坐标，根据割补法求面积，判断②；分三种情况讨论，然后以点O为 旋 转 中 心 ， 将 AOB顺 时 针 旋 转 60至 AOA'， 连 接 AA'， PP'， A'B， 得 到 PAPOPBP'A+PP'PB A'B，判断③． 【详解】解：∵抛物线yax2bxc经过点A3,0 ，顶点为M1,m ， ∴对称轴x=1， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为 1,0 ， 由图象可得：当3x1时，y0； ∴①正确，符合题意； ∵抛物线与x轴的另一交点坐标为 1,0 ， ∴设抛物线为yax1x3 ， 当x=1时，y4a，当x=0时，y3a， ∴M1,4a ，B0,3a ， 如图所示，过点M作平行于y轴的直线l，过点A作AE l，过点B作BN l， 资20料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1 3 3 ∴S S S  MFAO= ， VABM VAMF VBMF 2 2 设直线AB的解析式为yk'xb'， 3k+b0 把 ， 代入得： ， B0,3a A3,0  b3a ka 解得： ， b3a ∴直线AB的解析式为yax3a， 当x=1是，y2a， ∴F1,2a ， ∴MF 2a， 1 3 3 ∴ 2a3= ， 2 2 3 解得：a ，故②正确； 2 ∵点B是抛物线与y轴的交点， ∴当x0时，y3a， ∴B0,3a ， ∵ABM 为直角三角形， 当AMB90时， ∴AM2BM2  AB2， ∵AM = 224a2  416a2 ，BM = 12a2  1a2 ，AB= 323a2  99a2 ， ∴416a21a2 99a2，整理得：8a2 4， 2 2 解得：a 或 （舍） 2 2  3 2 ∴B0, ，   2   当ABM 90时， ∴AB2BM2  AM2， ∴416a2 99a21a2，整理得：6a2 6 资21料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 解得：a1或1（舍） ∴B0,3 ， 当MAB90时， ∴AB2AM2 BM2， ∴416a21a2 99a2，无解； 以点O为旋转中心，将AOB顺时针旋转60至AOA'，连接AA'，PP'，A'B，如图所示， 则AOA'，POP'为等边三角形， ∴OP=PP'，AP AP'， ∴PAPOPBPA+PPPB AB， ∵AOA'为等边三角形，A3,0 3 3 3 3 ∴x = ，y = tan60= ， A' 2 A' 2 2 ∴A' 骣 琪 琪 琪  3 , 3 3 ， 琪桫2 2  3 2 当B0, 时，   2   ∵A'B2= 骣 琪 琪 琪桫 3 2 2 + 骣 琪 琪 琪 琪桫 3 2 3 + 3 2 2 2 = 5 4 4 + 9 2 6 ， 当B0,3 时， A'B2= 骣 琪 琪 琪桫 3 2 2 + 骣 琪 琪 琪 琪桫 3 2 3 +3 2 =18+9 3，此时不符合题意，故③错误； 故答案为：①②． 一题四问，从特殊到一般 12．背景资料：在已知 所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是 资22料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如 图1，当 三个内角均小于120°时，费马点P在 内部，当 时， 则 取得最小值． (1)如图2，等边 内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求 的度数，为 了解决本题，我们可以将 绕顶点A旋转到 处，此时 这样就可以利用旋转变换， 将三条线段 、 、 转化到一个三角形中，从而求出 _______； 知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三 角形并连接等边三角形的顶点与 的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下 问题． (2)如图3， 三个内角均小于120°，在 外侧作等边三角形 ，连接 ，求证： 过 的费马点． (3)如图4，在 中， ， ， ，点P为 的费马点，连接 、 、 ，求 的值． (4)如图5，在正方形 中，点E为内部任意一点，连接 、 、 ，且边长 ；求 资23料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 的最小值． 【答案】(1)150°；(2)见详解；(3) ；(4) ． 【分析】（1）根据旋转性质得出 ≌ ，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3， BP=CP′=4，根据△ABC 为等边三角形，得出∠BAC=60°，可证△APP′为等边三角形，PP′=AP=3， ∠AP′P=60°，根据勾股定理逆定理 ，得出 PP′C 是直角三角形， ∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°即可； △ （2）将 APB 逆时针旋转 60°，得到 AB′P′，连结 PP′，根据 APB≌ AB′P′，AP=AP′，PB=PB′， AB=AB′ ， 根 据 ∠ PAP′=∠ BAB′=60° ， APP′ 和 ABB′ 均 为 等 边 三 角 形 ， 得 出 PP′=AP ， 根 据 △ △ △ △ ，根据两点之间线段最短得出点 C，点 P，点 P′，点 B′四点共线时， △ △ =CB′，点P在CB′上即可； 最小 （3）将 APB逆时针旋转60°，得到 AP′B′，连结BB′，PP′，得出 APB≌△AP′B′，可证 APP′和 ABB′ 均为等边三角形，得出PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根据 ，可得点C， △ △ △ △ △ 点P，点P′，点B′四点共线时， =CB′，利用30°直角三角形性质得出AB=2AC=2，根据勾 最小 股定理BC= ，可求BB′=AB=2，根据∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在 Rt CBB′中，B′C= 即可； （△4）将 BCE逆时针旋转60°得到 CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，得出 BCE≌ CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，可证 ECE′与 BCB′均为等边三角形，得出 EE′=EC， △ △ BB′=BC，∠B′BC=60°， ，得出点 C，点 E，点 E′，点 B′四点共线时， △ △ △ △ =AB′，根据四边形ABCD为正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求 最小 ∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直角三角形性质得出BF= ，勾股 定 理 BF= ， 可 求 AF=AB+BF=2+ ， 再 根 据 勾 股 定 理 AB′= 即可． 【详解】（1）解：连结PP′， ∵ ≌ ， ∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC=60° ∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°， ∴△APP′为等边三角形， ,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°， 在 P′PC中，PC=5， ， △ ∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°， ∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°， ∴∠APB=∠AP′C=150°， 故答案为150°； 资24料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）证明：将 APB逆时针旋转60°，得到 AB′P′，连结PP′， ∵△APB≌ AB′P′， △ △ ∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′， △ ∵∠PAP′=∠BAB′=60°， ∴△APP′和 ABB′均为等边三角形， ∴PP′=AP， △ ∵ ， ∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时， =CB′， 最小 ∴点P在CB′上， ∴ 过 的费马点． （3）解：将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′， ∴△APB≌△AP′B′， ∴AP′=AP，AB′=AB， ∵∠PAP′=∠BAB′=60°， ∴△APP′和△ABB′均为等边三角形， ∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°， ∵ ∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时， =CB′， 最小 ∵ ， ， ， ∴AB=2AC=2，根据勾股定理BC= ∴BB′=AB=2， ∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°， ∴在Rt CBB′中，B′C= ∴ △ =CB′= ； 最小 资25料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （4）解：将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F， ∴△BCE≌△CE′B′， ∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′， ∵∠ECE′=∠BCB′=60°， ∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形， ∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°， ∵ ， ∴点C，点E，点E′，点B′四点共线时， =AB′， 最小 ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC=2，∠ABC=90°， ∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°， ∵B′F⊥AF， ∴BF= ，BF= ， ∴AF=AB+BF=2+ ， ∴AB′= ， ∴ =AB′= ． 最小 资26料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型二 加权费马点·单系数型 2023·武汉·慧泉中学校月考 13．如图， 中， ， ，点P为 内一点，连接 ，则 的最小值为 . 【答案】 【分析】作辅助线如详解图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求得 ，于是所求 的最小值转化为求 的最小值，根据两点之间线段最短可得 的 最小值即为线段 的长，然后求出 的长即可解决问题. 【详解】解：将 绕点A逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，过点E作 交 的延 长线于点F，过点A作 于点M，如图， 则 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 的最小值为 的长（当点E、D、P、B四点 共线时取最小值）， 资27料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ 中， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 则在直角三角形 中， ， ∴ ，∴ 西安市铁一中二模 14．已知，如图在 中， ， ， ，在 内部有一点D，连接DA、DB、 DC．则 的最小值是 ． 【答案】 ． 【分析】把△CDB顺时针旋转90°到△CD′B′，过B′作B′E⊥AC，交AC延长于E，则CD=CD′，BD=B′D′， ∠CDD′=∠CD′D=45°，可求DD′= ，在Rt CEB′中，可求CE ，AE= ，BE= ，当点A、 △ D、D′、B′四点在一直线时，AB′最短，可求AB′=BD+ +AD= ． 【详解】解：把 CDB顺时针旋转90°到 CD′B′，过B′作B′E⊥AC，交AC延长于E， 则CD=CD′，BD=B′D′，∠CDD′=∠CD′D=45°， △ △ ∴DD′=CD÷cos45°= ， ∵ ， ， ∴ ， 在Rt CEB′中， ∴CE△=B′C·cos60°=5 ， ∴AE=AC+CE=6+ ， ∴BE= B′C·sin60°=5 ， 资28料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 当点A、D、D′、B′四点在一直线时，AB′最短， ∴AB′ = ， 最短 AB′=B′D′+D′D+AD=BD+ +AD= ． 故答案为： ． 2023·成都市郫都区中考二模 15．如图，矩形ABCD中，AB2，BC 3，点E是AB的中点，点F 是BC边上一动点．将ABEF沿着 EF B B' P PB PC PD PB' 2PCPD 翻折，使得点 落在点 处，若点 是矩形内一动点，连接 、 、 ，则 的最小值为 ． 【答案】 261 【分析】将△CDP绕点C顺时针旋转90得到CDP，连接PP，连接ED'，由等腰三角形CPP'得出 PP' 2PC，再由折叠得出点B'的轨迹在点E为圆心，EB为半径的圆周上，所以EB'PB'PP'P'D' 的最小值为ED'，即PB' 2PCPD的最小值为ED'EB'，经计算答出答案即可． 资29料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【详解】解：将△CDP绕点C顺时针旋转90得到CDP'， 连接PP'，连接ED'， 则B，C，D'共线，PDP'D'， CD'CD AB2， PP' 2PC， 点E是AB的中点， 1 1 EB AB 21， 2 2  BD'BCCD'325， ED' BE2D'B2  1252  26， 由△BEF折叠成B'EF， EBEB'EA， 点B在以点E为圆心，EB为半径的圆上， EB'1， 两点间线段最短， ED'EB'PB'PP'P'D'， 即ED'EB'PB' 2PCPD  26 1PB' 2PCPD， PB' 2PCPD 261， 则PB' 2PCPD的最小值为 261． 故答案为： 261． 题型三 加权费马点·多系数型 1 5 16．在边长为4的正△ABC中有一点P，连接PA、PB、PC，求（2 AP＋BP＋ 2 PC）²的最小值 资30料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A P B C 原图 【解析】如图1，△APC绕点C逆时针旋转90°，取P’C，A’C的中点M，N 5 1 易知PM＝ PC， MN＝ P’A’＝ PA， 2 2 A A' P' P M N B C 图1 1 5 则 AP＋BP＋ PC＝MN＋BP＋PM≤BN，BN²＝20＋ 即为所求 2 2 8 3 17．在等边三角形ABC中，边长为 4，P为三角形ABC内部一点，求 3AP＋4BP＋5 PC的最小值 A P B C 原图 资31料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 3 3 【解析】如图1，△APC绕点C逆时针旋转90°，在P’C，A’C上取M，N，使CM＝ CP’，CN＝ CA’， 4 4 5 3 3 易知PM＝ PC， MN＝ P’A’＝ PA， 3AP＋4BP＋5PC＝4（MN＋BP＋PM）≤ BN 4 4 4 A P' A' M N P B C 图1 成都七中育才学校月考 18．在ABC中，AB3，AC 4，BAC的角平分线交BC于E，过C作射线AE的垂线，垂足为D，连 3PC4PD5PA 接 BD ，当S △ACE S △BED 取大值时，在 ACD 内部取点 P ，则 4 的最小值是 ． 【答案】 29 【分析】延长CD交AB于点F ，过点A作BC边上的高AH ，得出ADF≌ADC，则BF 1，根据AD是 BE 3 的角平分线，得出  ，设 ，则 ，过点 分别作 的垂线，垂足为 BAC EC 4 S BDE 3S S EDC 4S D AF,AC 1 ，得出S  S ， ，则当 最大时， 取得最大值，进而可得 M,N 42 ABC S △ACE S △BED 21S S ABC S △ACE S △BED 3 当 时， 取得最大值，则 ，延长 至 ，使得AC AC 3，作 ， CAB90 S ABC CAD45 BA C 4 PAPA 3 3PC4PD5PA AP AP，连接 ，构造 ，可得 PCPPPDCD，进而勾 4 PP,CP CAP∽CAP 4 资32料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长CD交AB于点F ，过点A作BC边上的高AH ， ∵BAC的角平分线交BC于E，ADCF ∴FADCAD,ADC ADF 又AD AD ∴ADF≌ADC， ∴AF  AC 4，DC DF 则BF 1 ∵AD是BAC的角平分线，设E到AB的距离为d，则E到AC的距离也为d， 1 1 BEAH ABd S 2 2 ∴ ABE   S 1 1 AEC ECAH ACd 2 2 BE 3 ∴  ， EC 4 设S 3S ，则S 4S BDE EDC ∵DC DF ∴S S 7S， BDF BDC 过点D分别作AF,AC的垂线，垂足为M,N 27S ∴ 14S ， DM DN  1 1 1 ∴S  314S 21S,S  414S 28S ABD 2 ADC 2 ∴S S S 28S4S 24S，S 2S S 228S27S 42S AEC ADC AEC ABC ADC FBC ∴S S 24S3S 21S △ACE △BED 资33料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1 ∵S  S 42 ABC ∴当S 最大时，S S 取得最大值， ABC △ACE △BED 设AB边上的高为CG ∴CG ACsinCAB 1 ∴S  ABACsinCAB ABC 2 ∴当CAB90时，S 取得最大值， ABC 2 则 ，则 是等腰直角三角形，则AD AC 2 2， CAD45 △ADC 2 3 3 如图所示，延长 至 ，使得AC AC 3，作 ，AP AP，连接 BA C 4 PAPA 4 PP,CP ∴CAPCAP ∴CAP∽CAP 3 ∴PC PC 4 5 在 中，PP AP2AP2  AP Rt△APP 4 3PC4PD5PA ∴ PCPPPDCD 4 当P,P,C三点共线时，CD最小，此时如图所示，过点C作CQDA于点Q， 资34料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵CAQBAD45，AC 3 3 ∴AQCQ 2 2 3 7 ∴DQ ADAQ2 2 2  2 2 2 3  2 7  2 在 中，DC QC2QD2   2  2  29 RtQDC 2  2  一题八问，练到位 19．如图，在 中， ，在 内部有一点P，连接 、 、 ．（加 权费马点）求： （1） 的最小值； （2） 的最小值 （3） 的最小值； 资35料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （4） 的最小值 （5） 的最小值； （6） 的最小值 （7） 的最小值； （8） 的最小值 【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6）26；（7） ； （8） 【分析】（1）将 绕点B顺时针旋转 得到 ，则 ， ， ，可以 资36料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 推出 为等边三角形，得到 ，则 ，即可得到A、P、 、 四 点共线时， 最小，最小值为 ，然后证明 ，由此利用勾股定 理求解即可； （ 2 ） 将 绕 点 C 逆 时 针 旋 转 得 到 ， 则 可 证 明 ， 从 而 得 到 ，则当A、P、 、 四点共线时 最小，最小值为 ，过 点A再作 的垂线，垂足为E，利用勾股定理求出 ， ，由 此即可得到答案； （ 3 ） 将 绕 点 C 逆 时 针 旋 转 得 到 ， 则 可 证 明 ， 则 ，故当A、P、 、 四点共线时 最小，最小值为 ， 过 点 A 再 作 的 垂 线 ， 垂 足 为 E ， 利 用 勾 股 定 理 求 出 ， ，由此即可得到答案； （4）将 绕点 C 顺时针旋转 ，得到 ，再将 以点 C 为位似中心放大 2 倍，得到 ，连接 ，先证明 ，则可以得到 ，故当 ， ， ， 共线时 最小，最小为 ，然后证明 ，即可利用勾 股定理求解； （5）将 绕点 C 顺时针旋转 ，得到 ，再将 以点 C 为位似中心缩小 2 倍，得到 ，同（4）原理可证得当 ， ， ， 共线时 最小，最小为 ，然后证明 ，由此求解即可； （6）由 可由（5）得： 的最小值为26； （7）由 可由（4）得 的最小值为 ； （8）将 绕点 C 顺时针旋转 ，得到 ，再将 以点 C 为位似中心缩小 倍，得到 ，同理可以证得当 A、P、 、 ，共线时 的值最小．在 中， ， ，过点 作 交BC延长线于E，然后求出 ， 的长，由此即可求解． 【详解】解：（1）如图3-2，将 绕点B顺时针旋转 得到 ， ∴ ， ， ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴A、P、 、 四点共线时， 最小，最小值为 同理可证 为等边三角形， 资37料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ， ∴ ， ∴ ； ∴ 的最小值为 ； （2）如图3-4，将 绕点C逆时针旋转 得到 ， ∴ ， ， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴当A、P、 、 四点共线时， 最小，最小值为 ∵∠ACB=30°， ∴ ∴ ， 过点A再作 的垂线，垂足为E， ∴∠AEC=90°，∠ACE=60°， ∴∠CAE=30°， ∴ ∴ ， ， ∴ ， ∴ 的最小值为 ； 资38料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （3）如图3-6，将 绕点C逆时针旋转 得到 ， ∴ ， ， ， ， ， ∴ ， 过点C作 于E， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴当A、P、 、 四点共线时， 最小，最小值为 ∵∠ACB=30°， ∴ ∴ ， 过点A再作 的垂线，垂足为E， ∴∠AEC=90°，∠ACE=3°， ∴ ∴ ， ∴ ∴ ， ∴ 的最小值为 ； 资39料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （4）如图3-8，将 绕点C顺时针旋转 ，得到 ，再将 以点C为位似中心放大2倍， 得到 ，连接 由旋转的性质得 ， ， ， ， ∴ ， ， ， 是等边三角形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴当 ， ， ， 共线时 最小，最小为 ， ∵ ， ∴ ， ∴ 的最小值为 ； 资40料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （5）如图3-10，将 绕点C顺时针旋转 ，得到 ，再将 以点C为位似中心缩小2倍， 得到 ， 同（4）原理可证得当 ， ， ， 共线时 最小，最小为 ， ∵ ，在 中， ， ， 最小为 ； （6）∵ ∴由（5）得： 的最小值为26； （7）∵ ∴由（4）得 的最小值为 ； 资41料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （8）如图3-12，将 绕点C顺时针旋转 ，得到 ，再将 以点C为位似中心缩小 倍， 得到 ， 同理可以证得当A、P、 、 ，共线时 的值最小． 在 中， ， ， 过点 作 交BC延长线于E， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 的最小值为 ． 资42料整理【淘宝店铺：向阳百分百】