难点03全等三角形的应用常考题型（5大热考题型）（解析版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2025中考复习资料_2025年中考数学一轮知识梳理

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 难点 03 全等三角形的应用常考题型 （5 大热考题型） 题型一：全等三角形的性质 题型二：添加条件证明三角形全等 题型三：全等三角的综合问题 题型四：角平分线性质定理 题型五：线段垂直平分线的性质与判定 题型一：全等三角形的性质 【中考母题学方法】 【典例1】（2024·山东济南·中考真题）如图，已知 ，则 的度数 为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等 成为解题的关键． 先根据三角形内角和定理求得 ，然后根据全等三角形的对应角相等即可解答． 【详解】解：∵在 中， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 故选C． 【变式1-1】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在 中， ， ，点 ， 分 别是边 ， 上的动点，且 ，连接 ， ，当 的值最小时， 的度数为 （ ） 1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质．将 拼接到 ，连接 交 于点 ，推出 ，当点 与点 重合时， 的值最小，据此求解即可． 【详解】解：如图，将 拼接到 ，连接 交 于点 ， 则 ， ， ， ， ， 当A， ， 三点共线，即点 与点 重合时， 的值最小， ， ， ， ， ， ， 即 最小时， 的度数为 ． 故选：C． 【变式1-2】（2024·河北秦皇岛·二模）如图， ，有以下结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的个数是（ ） 2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是全等三角形的性质；掌握三角形全等的性质是解题的关键． 根据已知找准对应关系，运用三角形全等的性质“全等三角形的对应角相等，对应边相等”求解即可． 【详解】解： ， ， ，故③正确； ， 即 ，故④正确； 与 不是对应边，不能求出二者相等，也不能求出 ， 故①、②错误； ∴正确的有③④共2个． 故选：B． 【变式1-3】（2024·四川成都·模拟预测）如图， ， ，且 ，则 的 度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题 的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 故答案为： ． 5．（2024·江苏镇江·中考真题）如图， ， ． (1)求证： ； (2)若 ，则 __________°． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解 题的关键． （1）利用 即可证得 ； （2）先根据三角形内角和定理求出 的度数，再根据全等三角形的性质即可得出 的度数． 【详解】（1）证明：在 和 中， ， ； （2）解： ， ， ， 由（1）知 ， ， 故答案为：20． 【中考模拟即学即练】 1．（2024·江苏南通·模拟预测）下面四个几何体中，主视图、左视图、俯视图是全等图形的几何图形是（ ） A．圆柱 B．正方体 C．三棱柱 D．圆锥 【答案】B 【分析】本题考查简单几何体的三视图及全等图形的概念，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键． 4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 根据简单几何体的三视图逐个判断即可． 【详解】解：A．圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆形，故此选项不符合题意； B．正方体的三视图都是正方形，且大小一样，即全等，故此选项符合题意； C．三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故此选项不符合题意； D．圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，在四边形 中，对角线 平分 ， ，点 在 上， ．若 ， ， ，则 的长为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，解 题关键是注意探究题中的隐含条件，通过适当添加辅助线构造全等三角形和相似三角形； 根据角平分线的特点，在 上截取 ，连结 ，构造全等三角形和相似三角形，由相似三角形 的性质求出 的长； 【详解】解：如图，在 上取一点 ，使 ，连接 ， 平分 ， ， ， ， 5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， ， ， ， 即 ， ，即 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 3．（2024·上海·模拟预测）如图，已知点A，B，C在同一直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线 同侧， ， ， ，连接DE，设 ， ， ，下列结 论正确的数量为（ ） （1） （2） （3） 6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，过点 作 , 则四边形 、 是 矩形，即可判断（1）；根据 可以得 ，然后根据勾股定理即可判断（3）；根据全等 三角形得到 ，然后利用勾股定理判断（2）． 【详解】（1）过点 作 , 交 于点 ,过点 作 , 交 于点 . ∵ , ∴ , 又∵ , ∴ , ∴四边形 为矩形， 同理可得，四边形 也为矩形， ∴ , ∴在 中, 直角边 . 故（1）正确，符合题意； （2）∵ , ∴ , 在 中， , , 故（2）正确，不符合题意； ， ， 又 ， 7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， ， ， ， ， ， ， ，故（3）正确，符合题意； 故选: . 4．（2024·广东汕头·一模）如图， 和 都是等腰直角三角形， ， ， ，连接 ． (1)求证： ； (2)直接写出 和 的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，对顶角相等，证明 是解答本题的关键． （1）先证明 ，然后根据 即可证明 ； （2）延长 交 于点F，交 于点N，由全等三角形的性质得 ，由 可证 ，进而可证结论成立． 【详解】（1）∵ ， ∴ ， 8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∵ ， ， ∴ ； （2）延长 交 于点F，交 于点N ∵ ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ． 5．（2024·山西·模拟预测）综合与实践 【问题情境】 “综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸 片，表示为 和 ，其中 ， ，将 和 按图2所示方式 摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当 时，延长 交 于点G，试判断四边形 的形状，并说明理由． 【数学思考】 （1）请你解答以上老师提出的问题； 9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【深入探究】 （2）老师将图2中的 绕点B逆时针方向旋转，使点E落在 内部，让同学们提出新的问题并请 你解答此问题． “善思小组”提出问题：如图3，当 时，过点A作 交 的延长线于点M， 与 交于点N．证明： ． 【拓展提升】 （3）如图4，当 时，过点A作 于点H，若 ， ，求 的长． 【答案】（1）正方形，见解析；（2）见解析；（3） 【分析】对于（1），先根据“三个角是直角的四边形是矩形”证明四边形 为矩形，再根据 得 ，即可得出答案； 对于（2），先根据“等角对等边”得 ，进而确定 ，再根据三角形面积相等得 ，然后由（1）得出答案； 对于（3），设 ， 的交点为 ，并作 ，根据 得出 ，再根据 “等角对等边”得 ，再根据勾股定理求 ， 进而求出 ，然后由 ，求出 ，可得 ，再证明 ，根据相似三 角形的对应边成比例得 ，即可得出答案． 【详解】（1）结论：四边形 为正方形． 理由如下： ， ， ， ， ， ， 四边形 为矩形． ， ． 矩形 为正方形； （2）证明： ， 10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， ． ，即 ， ， ， ． 由（1）得 ， ； （3）解：如图，设 ， 的交点为 ，过 作 于点 ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ． ， 点G是BD的中点， 由勾股定理得 ， ． ， ， 即 ， 11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ． ， ， ， ， ， ， 即 的长为 ． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，余弦 等，勾股定理是求线段的长的常用方法． 题型二：添加条件证明三角形全等 【中考母题学方法】 【典例1】（2024·山东德州·中考真题）如图，C是 的中点， ，请添加一个条件 ，使 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键． 要使 ，已知 ， ，则可以添加一对边 ，从而利用 来判定其全等， 或添加一对夹角 ，从而利用 来判定其全等（填一个即可，答案不唯一）． 【详解】解：∵C是 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴添加 或 ， 可分别根据 判定 （填一个即可，答案不唯一）． 故答案为： 或 ． 12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【典例2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图， 中，D是 上一点， ，D、E、F三点 共线，请添加一个条件 ，使得 ．（只添一种情况即可） 【答案】 或 （答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答． 根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一． 【详解】解：∵ ∴ ， ， ∴添加条件 ，可以使得 ， 添加条件 ，也可以使得 ， ∴ ； 故答案为： 或 （答案不唯一）． 【变式2-1】（2024·湖南株洲·模拟预测）如图，锐角三角形 中， ，点 ， 分别在 边 ， 上，连接 ， ．下列命题中，假命题是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．由 ，可得 ，再分别利用全等三角形的判定和性质即可得出结论． 【详解】解：∵ ， 13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， 若 ，又 ， ， ∴ ， ∴ ，则原命题是真命题，故选项A不符合题意； 若 ，∴ ，又 ， ， ∴ ， ∴ ，则原命题是真命题，故选项B不符合题意； 若 ，又 ， ， 不能证明 与 全等，则 与 不一定相等， 则原命题是假命题，故选项C符合题意； 若 ，又 ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，则原命题是真命题，故选项D不符合题意； 故选：C． 【变式2-2】（2024·四川成都·模拟预测）如图，已知 与 相交于点O， ．只添加一个条件， 能判定 的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法， ， ， ， ， ．根据全等三角形的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ． A．添加 不能判断 ，故此选项错误； 14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 B．添加 可以根据 或 能够判断 ，故此选项错误； C．添加 ，不能判断 ，故此选项错误； D．添加 ，不能判断 ，故此选项错误． 故选：B． 【变式2-3】（2024·贵州黔东南·一模）如图，点A，B，C，D在同一直线上， ， ， ______． 求证： ． 在① ；② 这两个条件中任选一个作为已知条件，补充在上面的横线上，并加以解答． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，选择①利用 证明 ，即可；选择②，利用 ，证明 ，即可． 【详解】证明：选条件①， ， 在 和 中， ． 选条件②， ， 15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 在 和 中 ， ． 【中考模拟即学即练】 1．（2024·北京西城·二模）如图，点 为线段 的中点， ，点 分别在射线 上， 与 均为锐角，若添加一个条件一定可以证明 ，则这个条件不能是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪 一种方法，取决于题目中的已知条件． 由于 ， ，则可根据全等三角形的判定方法可对各选项进行判断． 【详解】解：如图： 点 为线段 的中点， ， ， A、当添加 时， ，故本选项不符合题意； B、当添加 时，不能确定 ，故本选项符合题意； C、当添加 时， ，故本选项不符合题意； 16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 D、当添加 时， ，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（2024·黑龙江鸡西·二模）如图，已知 ， ，请你添加一个条件（一个即可）： ，使 ． 【答案】 (合理即可） 【分析】本题是开放性题目，考查了全等三角形的判定，由已知条件： ， ，再添加一组 角相等或 即可证明全等． 【详解】添加条件： ； 证明：∵ ， ， ∴ ， 故答案为： (合理即可）． 3．（22-23八年级上·福建福州·期中）如图， ，点D，E分别在 与 上， 与 相交于点 F．只填一个条件使得 ，添加的条件是： ． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理添加条件即可． 【详解】添加的条件是： ∵ ， ， ∴ 故答案为： （答案不唯一）． 4．（2024·北京·模拟预测）如图， ， 是 的两条高线，只需添加一个条件即可证明 17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （不添加其它字母及辅助线），（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是 ．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等，添加 ，通过“ ”即可证明 ．熟 练掌握三角形全等的判定是解此题的关键． 【详解】解：添加 ， 是 的两条高线， ， 在 和 中， ， ， 故答案为： （答案不唯一）． 5．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在 和 中， 与 相交于点 ， ，添加一 个条件可以证明 ． (1)① ；② ；③ ；④ ，上面四个条件可以添加的是______（填序 号）． (2)请你选择一个条件给出证明． 【答案】(1)①③ (2)详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定： （1）添加①或③，即可； （2）添加①，根据等腰三角形的判定可得 ，从而得到 ，可证明 ，即可； 18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 添加③，可得 ，可证明 ，即可． 【详解】（1）解：上面四个条件可以添加的是①； 故答案为：①③ （2）若添加① ； ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ； 若添加③ ； ∵ ， ， ∴ ， 在 和 中， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ． 6．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上， ， ． 若________，则 ． 请从① ；② ；③ 这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立， 并说明理由． 【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出 ，再 由全等三角形的判定和性质得出 ，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形 19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 的判定得出 ，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：选择① ； ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ； 选择② ； 无法证明 ， 无法得出 ； 选择③ ； ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ； 故答案为：①或③（答案不唯一） 7（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知 ，点 ， 在线段 上，且 ． 请从① ；② ；③ 中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得 ． 你添加的条件是：__________（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明 ． 【答案】①（或②） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定 20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 理与性质并灵活运用．利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解，再根据全等三角 形的性质及平行线的判定证明即可． 【详解】解：可选取①或②（只选一个即可）， 证明：当选取①时， 在 与 中， ， ， ， ， ， ， 在 与 中， ， ， ， ； 证明：当选取②时， 在 与 中， ， ， ， ， ， ， 在 与 中， 21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， ， ； 故答案为：①（或②） 题型三：全等三角的综合问题 【中考母题学方法】 【典例1】（2024·山东·中考真题）【实践课题】测量湖边观测点 和湖心岛上鸟类栖息点 之间的距离 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点 ．测量 ， 两点间的距离以及 和 ，测量三次取平均值，得到数据： 米， ， ．画出示意图， 如图 【问题解决】（1）计算 ， 两点间的距离． （参考数据： ， ， ， ， ） 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图2，选择合适的点 ， ， ，使得 ， ， 在同一条直线上，且 ， ，当 22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， 在同一条直线上时，只需测量 即可． （2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号） ①解直角三角形 ②三角形全等 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案． 【答案】（1） ， 两点间的距离为 米；（2）② 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，解直角三角形的应用，灵活应用知识点是解本题 的关键； （1）如图，过 作 于 ，先求解 ， ，再求解 及 即可； （2）由全等三角形的判定方法可得 ，可得 ，从而可得答案. 【详解】解：如图，过 作 于 ， ∵ 米， ， ， ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∴ （米）； 即 ， 两点间的距离为 米； （2）∵ ， ，当 ， ， 在同一条直线上时， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴只需测量 即可得到 长度； ∴乙小组的方案用到了②； 【典例2】（2024·重庆·中考真题）在 中， ，点 是 边上一点（点 不与端点重合）． 点 关于直线 的对称点为点 ，连接 ．在直线 上取一点 ，使 ，直线 与直线 交于点 ． (1)如图1，若 ，求 的度数（用含 的代数式表示）； (2)如图1，若 ，用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证明； (3)如图2，若 ，点 从点 移动到点 的过程中，连接 ，当 为等腰三角形时，请直 接写出此时 的值． 【答案】(1) (2) (3) 或 【分析】（1）由三角形内角和定理及外角定理结合 即可求解； 24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）在 上截取 ，连接 ， 交 于点H，连接 ，先证明，再证明四边形 是平行四边形，可得 ，记 与 的交点为点N，则由轴对称可知： ， ，再解 即可； （3）连接 ，记 与 的交点为点N，由轴对称知 ， ， ， ，当点G在边 上时，由于 ，当 为等腰三角形时，只能是 ，同（1）方法得 ， ， 中， ，解得 ，然后 ，解直角三角形，表示出 ， ，即可求解；当点G在 延长线上时，只能是 ， 设 ，在 中， ，解得 ，设 ， 解直角三角形求出 ，即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵ ， ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）解： ， 在 上截取 ，连接 ， 交 于点H， 25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵点 关于直线 的对称点为点 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 记 与 的交点为点N， 则由轴对称可知： ， ， 26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3）解：连接 ，记 与 的交点为点N， ∵ ， ∴ ， 由轴对称知 ， 当点G在边 上时，由于 ， ∴当 为等腰三角形时，只能是 ， 同（1）方法得 ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 中， ，解得 ， ∴ ，而 ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， 设 ， ∵ ， ∴ ， 27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∴在 中， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 当点G在 延长线上时，只能是 ，如图： 设 ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ∴在 中， ， 解得 ， ∴ ， 设 ，则 ， ， 28关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 在 中， ，由勾股定理求得 ， 在 中， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 综上所述： 或 ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，外角定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质， 解直角三角形，等腰三角形的分类讨论，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是 解题的关键． 【变式3-1】（2023·湖南岳阳·一模）如图，在 中， ， 、 是 边上的点．请从以下三 个条件：①BDCE；②BC；③BADCAE中，选择一个合适的作为已知条件，使得AD AE． (1)你添加的条件是______（填序号）； (2)添加了条件后，请证明AD AE． 【答案】(1)①（答案不唯一） (2)见解析 【分析】（1）利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解即可； （2）结合（1）进行求解即可． 【详解】（1）解：可选取①或③（只选一个即可）， 故答案为：①（答案不唯一）； （2）证明：当选取①时，  ABAC， 29关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 BC， 在△ABD与△ACE中， AB AC  BC ，  BDCE △ABD≌△ACESAS ， AD AE； 当选取③时，  ABAC， BC， 在△ABD与△ACE中， BADCAE  AB AC ，  BC ABD≌ACEASA ， AD AE． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活 运用． 【变式3-2】（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在VABC和DEF 中，点A、E、B、D在同一条直线 上，AC∥DF ，AC DF，只添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ） A．AEDB B．C F C．BC EF D．ABC DEF 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明AD，再根据三角形全等的判定方法做出选择即 可． 【详解】解：∵AC∥DF ， 30关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴AD， ABC≌DEFSAS A、∵ AE＝DB ， AD ， AC DF ，∴AEEBDBEB，∴ ，该选项不符合题 意； C F AC DF AD ABC≌DEFASA B、∵ ， ， ，∴ ，该选项不符合题意； C、BC EF ，AD，AC DF不能判断△ABC≌△DEF，该选项符合题意； ABC DEF AD AC DF ABC≌DEFAAS D、∵ ， ， ，∴ ，该选项不符合题意． 故选：C． 【变式3-2】（2024·四川南充·模拟预测）如图，在VABC中，ACB90，CAB35，将VABC沿 AB边所在直线翻折得△ABC，连接CC交AB于点D，则BCC的度数为（ ） A．35 B．45 C．55 D．65 【答案】A 【分析】本题考查由翻折，全等三角形的性质，由翻折得到ABC≌ABC，ABCC即可得到BC BC， ABC ABC，ACBACB90，然后根据余角的性质得到BCC CAB90ACC 35即 可． 【详解】∵将VABC沿AB边所在直线翻折得△ABC， ∴ABC≌ABC，ABCC， ∴BC BC，BDCACB90，CABCAB35， ∴BCC CAB90ACC 35， 故选：A． 【变式3-3】（2023·四川成都·二模）如图，OB是AOC内的一条射线，D、E、F分别是射线OA、射线 OB、射线OC上的点，D、E、F都不与O点重合，连接ED、EF ，添加下列条件，能判定DOE≌FOE 的是（ ） 31关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．DOEEOF ，ODEOEF B．ODOF ，EDOA，EF OC C．DE OF ，ODEOFE D．ODOF ，ODEOFE 【答案】B 【分析】运用全等三角形的判定方法逐项判定即可． 【详解】解：A. DOEEOF ，ODEOEF 不符合对应边、对应角相等，故不能证明 DOE≌FOE，故不符合题意； B. ODOF ，EDOA，EF OC，运用HL可证DOE≌FOE，故符合题意； C. DE OF ，ODEOFE不符合对应边、对应角相等，故不能证明DOE≌FOE，故不符合题意； D. ODOF ，ODEOFE再加上隐含条件OEOE,运用SSA不能证得DOE≌FOE，故不符合题 意． 故选B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，知道SSA不能判定三角形全等是解答本题的关键． 【变式3-4】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，C 90，BAC的平分线交BC于点 D，过点D作DEAB于点E． (1)求证：AC  AE； (2)若AC 4，BC 3，求CD的长． 【答案】(1)证明见解析； 4 (2) 的长为 ． CD 3 【分析】（1）根据角平分线的性质得到DECD，再证明Rt△ACD≌Rt△AED即可得到AC  AE； （2）根据勾股定理求得AB5，设CDx，则DECDx，BD3x，再应用勾股定理即可求解． 32关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 本题考查了解平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：BD是BAC的角平分线，C 90，DEAB， ∴DECD， DECD  ∵AD AD， RtACD≌RtAEDHL ∴ ， ∴AC  AE； （2）解：∵C 90，AC 4，BC 3，AC  AE， AB AC2BC2  4232 5 AE  AC 4 ∴ ， ， ∴BE ABAE 1， 设CDx，则DECDx，BD3x， 在RtBED中，DE2BE2 BD2， x212 3x2 即 ， 4 解得：x ， 3 4 ∴ 的长为 ． CD 3 【变式3-5】（2024·浙江宁波·三模）如图，在66的方格纸中，有VABC，仅用无刻度的直尺，分别按要 求作图： (1)在图1中，找到一格点D，使VABC与ACD全等； (2)在图2中，在 BC 上找一点 E ，使得 S ABE :S ACE 2:3 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识， 33关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）构造平行四边形ABCD即可； P Q PQ BC E AE PCE∽QBE （2）取格点 ， ，连接 交 于点 ，连接 即可（利用相似三角形的性质 ,证明: BE:EC BQ:PC 2:3 ）． 【详解】（1）解：如图1中，点D即为所求； （2）如图2中，点E即为所求． 【中考模拟即学即练】 1．（2024·山东烟台·中考真题）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如 下，其中射线OP为AOB的平分线的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质 和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可． 【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，OP为AOB的平分线； 34关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 OC OD,OAOB 第二个图，由作图可知： ， ∴AC BD， ∵AODBOC， ∴△AOD≌△BOC， ∴OADOBC， ∵AC BD，BPDAPC， ∴BPD≌APC， ∴APBP， ∵OAOB,OPOP， ∴△AOP≌△BOP， ∴AOPBOP， ∴OP为AOB的平分线； 第三个图，由作图可知ACPAOB,OC CP， ∴CP∥BO，COPCPO， ∴�CPO� BOP ∴COPBOP， ∴OP为AOB的平分线； 第四个图，由作图可知：OPCD，OC OD， ∴OP为AOB的平分线； 故选D． 2．（2024·湖南·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，线段CD绕点C逆时针旋转到CE处，旋转角为， 点F在直线DE上，且ADAF，连接BF． 090 EF  2BF (1)如图1，当 时，求证： ． (2)如图2，取线段EF的中点G，连接AG，已知AB2，请直接写出在线段CE旋转过程中（0360 ）△ADG面积的最大值． 35关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】(1)见解析 △ADG 1 2 (2) 面积的最大值为 【分析】（1）连接BE，计算得到BCE90BAF，利用SAS证明△BCE≌△BAF ，推出EBF EF  2BF 是等腰直角三角形，据此即可证明 ； （2）过点G作AD的垂直，交直线AD于点H，连接AC，BD相交于点，连接OG，利用直角三角形的 性质推出点G在以点O为圆心，OB为半径的一段弧上，得到当点H、O、G在同一直线上时，GH 有最 大值，则ADG面积的最大值，据此求解即可． 【详解】（1）解：连接BE． ， DCE  BCE90BAF， CDCE  AD AF BC， BCE≌BAFSAS ， BF BE，ABF CBE． ABC 90， EBF 90 EBF 是等腰直角三角形， EF  2BF ； （2）解：过点G作AD的垂线，交直线AD于点H，连接AC，BD相交于点，O，连接OG， 由（1）得EBF 是等腰直角三角形，又点G为斜边EF的中点， 36关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 BGEF ，即BGD90， 四边形ABCD是正方形， OBOD． OBODOG， 点G在以点O为圆心，OB为半径的一段弧上， 当点H、O、G在同一直线上时，GH 有最大值，则ADG面积的最大值， 1 1 1 1 1 GH  ABOG AB BD 2 2 2 1 2． 2 2 2 2 2 1 面积的最大值为 ADGH 1 2． ADG 2 【点睛】本题考查的是正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、 直角三角形的性质、勾股定理，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键． k 3．（2024·湖北·一模）如图，一次函数y 1 k 1 xbk 1 0的图象与反比例函数y 2  x 2 k 2 0 的图象在第 S 4 一象限内交于点A，与y轴交于点C，与x轴交于点B，C为 AB 的中点， VAOC ． k (1)求 2的值； OB2 y  y 0 (2)当 ， 1 2 时，求x的取值范围． k 16 【答案】(1) 2 (2)x2 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识 解决问题， （1）过点A作y轴的垂线，垂足为D，证明VADC≌VBOC进而求出结论； A2,8 （2）先求出 ，根据图象写出结论即可． 37关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【详解】（1）解：过点A作y轴的垂线，垂足为D． 点C为AB的中点， BC  AC， 又BOC ADC 90；BCOACD， ∴VADC≌VBOC， ∴DC OC， Ax,y 设 ，点A在第一象限， 1 1 1 1 则 x  y  x y4，即 ， 2 2 2 2 xy16 k 16 ∴ 2 ． （2）因为OB2， 所以B(−2,0)， 由VADC≌VBOC，得ADOB2， A2,8 所以， ． y  y 0 x2 当 1 2 时，x的取值范围是： ． 4．（2023·北京门头沟·二模）如图，在VABC中，ACB90，点D在BC延长线上，且DC  AC，将 VABC延BC方向平移，使点C移动到点D，点A移动到点E，点B移动到点F ，得到EFD，连接CE， 过点F 作FGCE于G． (1)依题意补全图形； 38关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (2)求证：CGFG； (3)连接BG，用等式表示线段BG，EF的数量关系，并证明． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 EF  2BG (3) ，理由见详解 【分析】（1）按要求作图即可； （2）根据平移的性质可求ECD45，再求CFG90ECD45，即可得证； （3）连接AG、DG，可证ACG≌DCG，从而可得AGDG，AGC DGC ，再证BCG≌DFG， 从而可得BGDG，BGC DGF，从而可证AGB90，即可得证． 【详解】（1）解：如图 （2）证明：由平移得： DACB90，AC ED，  DC  AC， DC DE， 1 ECD 9045， 2  FGCE， CGF 90， CFG90ECD45， CGFG． EF  2BG （3）解： ． 理由：如图，连接AG、DG， 39关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ACF ACB90 ACGDCG45， 在ACG和△DCG中 AC DC  ACGDCG ，  CGCG ACG≌DCG(SAS)， AGDG，AGC DGC； BCGACBACG135， DFG180CFG135， BCGDFG； 由平移得：BCDF； 在BCG和DFG中 BC DF  BCGDFG ，  CGFG BCG≌DFG(SAS)， BGDG，BGC DGF， BG AG， AGCBGC DGCDGF， AGBCGF 90， AB 2BG ， EF  2BG ． 【点睛】本题考查了平移的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握相关的判定方法及性质，并 会根据题意作出辅助线是解题的关键． 5．（2024·浙江宁波·模拟预测）在等边三角形ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连 接CD，交AP于点E，连接BE． 40关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)依题意补全如图； (2)若PAB20，求ACE； (3)若0PAB60，用等式表示线段DE，EC，CA之间的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)40 CA2 DE2EC2CE·DE (3) ，理由见解析 【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等边三角形的性质等 知识点，灵活运用这些知识点是解题的关键． （1）依题意补全图形； （2）由等腰三角形的性质和外角性质即可求解； （3）连接AD、BE，BE交AC于点F ，证明CEF BAF 60，过点C作CM BE于点M ，设 EM m BM n CE 2m BE mn CM  3m Rt△ BMC ， ，则 ， ，根据勾股定理求出 ，在 中，由勾股定 理得出BC2 BM2CM2 ，代入相关数据得出 BC2 nm22m22mmn BE2CE2CEBE ， 由BC CA，BEDE可得出结论． 【详解】（1）解：过点B作直线AP的垂线，交于点O，取点D，使得ODOB，连接CD，交AP于点E， 连接BE，则点D为点B关于直线AP的对称点，图1为所求的图： （2）如图2：连接AD， 41关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵点D与点B关于直线AP对称， ∴AD AB，DEBE， ∴ADBABD，EDBEBD， ∴ADBEDBABDEBD，即EDAEBA， ∵AB AC，AB AD， ∴ADAC， ∴ADCACD， ∴∠ABE ∠ACE， 在FAC与FEB中， AFCEFC，∠ABE ∠ACE， ∴BACBEC， ∵VABC是等边三角形， ∴BAC60， ∴∠BEC ∠BAC 60， ∵PAB20，BD AP， ∴ABO90PAB70， ∵EDBEBD， 1 1 ∴EBD BEC  6030， 2 2 ∴ABEABOEBD703040， ∴ACEABE40； CA2 DE2CE2CEDE （3）解： ，理由如下： 如图，连接AD、BE，BE交AC于点F ， 42关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵点D与点B关于直线AP对称， ∴AD AB，DEBE， ∴ADPABP，EDPEBP， ∴EDPADPEBPABP，即EDAEBA， ∵AB AC，AB AD， ∴ADAC， ∴ADEACE， ∴∠ABE ∠ACE， ∵AFBCFE， ∴在FAB与FEC中， FCEFBA,CFEBFA ∴BAF CEF ∵VABC是等边三角形 ∴BAC60 ∴CEF BAF 60， 过点C作CM BE于点M ， 设EM m，BM n，则CE 2m，BE mn， Rt△CEM CM  CE2EM2  3m 在 中， ， 在Rt△ BMC中，BC2 BM2CM2， BC2 n23m2 ∴ nm2 2m2 2mmn BE2CE2CEBE ， ∵BC CA，BEDE， 43关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 CA2 DE2CE2CEDE ∴ 6．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图①，在Rt△ABC中，AB AC 3，BAC 90，点D在BA边上， 连接CD，点E在射线CD上，连接AE． (1)如图，将AE绕点A逆时针旋转90得到AF ，连接BE，CF．求证：VABE≌VACF； (2)若点D是AB的中点，连接EF，求EF的最小值； BECE E,AE  2 BE (3)如图②，若 于点 ，求 的值． 【答案】(1)证明见解析； 3 10 (2) 5 ； BE2 21 (3) ． 【分析】（1）利用旋转的性质得到AEAF，EAF 90，利用等式的性质得到BAE CAF，再利用 全等三角形的判定定理解答即可； （2）利用勾股定理求得DC，利用旋转的性质得到△AEF 是等腰直角三角形，则当AE最小时，EF最小； 利用垂线段最短可知：当AE CD时，AE最小，利用三角形的面积公式求得AE，则结论可求； （3）过点A作AF  AE交CD于点F ，利用全等三角形的判定与性质得到BECF ，设BECF x，则 EC  x2，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）证明： AE绕点A逆时针旋转90得到AF ， AE AF，EAF 90. BAC 90， BACEAF， BACEACEAFEAC. BAECAF . 在ABE和△ACF中， 44关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 AB AC  BAECAF,  AE AF ABE≌ACFSAS ； （2）解：在Rt△ABC中，AB AC 3，点D是AB的中点， 1 3 ADBD AB ， 2 2 3 2 3 5 CD AD2AC2  32   ， 2 2 连接EF，则△AEF 是等腰直角三角形，如图， 则当EF最小时，AE最小， 垂线段最短， 当AE CD时，AE最小， 1 1  当 AE CD 时，S △ADC  2 ADAC  2 CDAE， 3 3 ADAC 2 3 5 AE    CD 3 5 5 ， 2 3 10 EF  2AE  5 ． 3 10 EF 的最小值为 5 ． （3）解：过点A作AF  AE交CD于点F ，如图， 45关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 EAF 90. BAC 90， EAF BAC， EABFAC .  BECD， BEC 90， BECBAC90， EDBADC， EBS FCA. 在ABE和△ACF中， EABFAC   AB AC ，  EBAFCA ABE≌ACFASA ， AE AF，BECF ． AEF为等腰直角三角形， EF  2AE  2 2 2 . 设BECF x，则EC  x2， 在RtBEC中， BE2CE2 BC2 2AB2 ， x2 (2x)2 BC2 232 ， x12 2 解得： ，  x>0，  负数不合题意，舍去， BE  x2 21 ． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，线段中点的意 义，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短的性质，熟练掌握性质的性质是解题的关键． 7．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，在VABC中，AB AC，作BC的中点D，过D作EDF 90， 46关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 分别交AB、AC于E、F ，我们称DEF 为等腰VABC的“内接直角三角形”．设BE a，CF b． (1)如图①，当A90时，若a=2，b1时，求内接直角三角形DEF 的斜边EF的长． A60 DEF EF2 a2abb2 (2)如图②，当 时，求证：内接直角三角形 的斜边满足： ； (3)拓展延伸：如图③，当A90时，若E、F 分别在BA、AC的延长线上，EF与a，b还满足（2） 的关系式吗？若满足，证明你的结论；若不满足，请探索EF与a，b满足的数量关系式，并证明你的结论． 5 【答案】(1) (2)见解析 EF2 a2b2 (3) ，理由见解析 【分析】（1）过点C作AC的垂线交ED的延长线于点E，连接EF，根据平行线的性质，则 BECD，根据对顶角相等，全等三角形的判定和性质，则BED≌CED，得DEDE， CEBE 2，根据勾股定理的应用，即可； （2）过点C作AC的平行线交ED的延长线于点E，连接EF，过点F 作EC的垂线，交EC的延长线于 点G，根据等腰三角形的性质，则BDCF 60，根据全等三角形的判定和性质，则BDE≌CED， DEDE，CEBE a，根据勾股定理，则EF2 EG2GF2，即可； （3）过点C作AC的垂线交ED的延长线于点E，连接EF，根据平行线的性质，则BECD，根据 对顶角相等，全等三角形的判定和性质，则BED≌CED，根据勾股定理，则EF2 CE2CF a2b2， 进行解答，即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作AC的垂线交ED的延长线于点E，连接EF， ∵A90， ∴ABCE， ∴BECD， ∵点D是BC的中点， ∴BDCD， 又∵BDECDE， 47关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴BED≌CED， ∴DEDE，CEBE 2， 又∵EDF 90， ∴EF EF， RtEFC EF  CE'2CF2  5 在 中，由勾股定理得： ． （2）如图，过点C作AC的平行线交ED的延长线于点E，连接EF，过点F 作EC的垂线，交EC的延 长线于点G， ∵AB AC，A60， ∴BDCF 60， ∵点D是BC的中点， ∴BDCD， 又∵ECDB60，BDECDE， ∴BDE≌CED， ∴DEDE，CEBE a， 又∵GCF 180ECDDCF 60，CF b，G90， 1 b 3 3 GC CF  GF  CF  b ∴ 2 2 ， 2 2 ， b ∴EGECGC a ， 2  b 2  3  2 在 Rt△EFG 中， EF2 EG2GF2   a 2      2 b   a2abb2 ， 即EF2 a2abb2． 48关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （3）如图，过点C作AC的垂线交ED的延长线于点E，连接EF， ∵A90， ∴BECD， ∵点D是BC的中点， ∴BDCD， 又∵BDECDE， ∴BDE≌CDE， DE DE CEBE a ∴ ， ， ∵EDF 90， ∴EF EF， 在RtEFC中，EF2 CE2CF a2b2， 【点睛】本题考查等腰三角形，全等三角形，勾股定理的知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，全 等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，进行解答，即可． 题型四：角平分线性质定理 【中考母题学方法】 49关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【典例1】（2024·山东德州·中考真题）如图Rt△ABC中，ABC90，BD AC，垂足为D，AE平分 BAC，分别交BD，BC于点F，E．若AB:BC 3:4，则BF:FD为（ ） A．5:3 B．5:4 C．4:3 D．2:1 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌 握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．设AB3x，BC 4x，利用勾股定理求得 AB AC 5x 5 ， ，再证明 得到    ，再利用角平分线的性质 AC 5x ABDCBD90 ACB∽ABD AD AB 3x 3 S BF AB 5 ABF    和三角形的面积得到S FD AD 3即可求解． ADF 【详解】解：∵AB:BC 3:4， 设AB3x，BC 4x， ∵ABC90， AC  AB2BC2 5x ABDCBD90 ∴ ， ， ∵BD AC， ∴ADBABC 90，CBDC90， ∴C ABD， ∴ACB∽ABD， AB AC 5x 5 ∴    ， AD AB 3x 3 ∵AE平分BAC， ∴点F到AB、AC的距离相等，又点A到BF、DF的距离相等， S BF AB 5 ABF    ∴S FD AD 3，即BF:FD5:3， ADF 故选：A． 【典例2】（2024·山东青岛·中考真题）已知：如图，四边形ABCD，E为DC边上一点． 50关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 EPBC AB,AD 求作：四边形内一点P，使 ，且点P到 的距离相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，解题的关键是掌握作角平分线和作一个角等于已知角 的尺规作图方法．作DAB的平分线AM ，以E为顶点，ED为一边作DEN C，EN 交AM 于P，点 P即为所求． 【详解】解：作DAB的平分线AM ，以E为顶点，ED为一边作DEN＝C，EN 交AM 于P，如图， 点P即为所求． 【变式4-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，C 90，BAC的平分线AE交BC于 点E，ED AB于点D，若VABC的周长为12，则VBDE的周长为4，则AC为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的性质与判定，根据角平分线的性质可得DE EC ， ADEACE 90 ，证得 RtADE≌RtACEHL ，可得ADAC，再根据三角形周长可得 42AC =12 ， 即可求解． 【详解】解：∵AE平分BAC，ED AB，EC  AC， ∴DE EC ，ADEACE 90， 51关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 又∵AEAE， RtADE≌RtACEHL ∴ ， ∴ADAC， ∵VBDE 的周长为 4 ，VABC 的周长为12， ∴BDDEBE =BDECBE =BDBC =4， ABACBC = ADBDACBC =BDBC2AC =12， ∴42AC =12， ∴AC 4， 故选：B． 【变式4-2】（2025·湖南·模拟预测）如图，在VABC中，AB AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC 右侧作BF∥AC，且BF  AE，连接CF．若AC 13，BC 10，则四边形EBFC的面积为 ． 【答案】60 【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点C作CM AB， CN BF，根据等边对等角结合平行线的性质，推出ABC CBF，进而得到CM CN ，得到 S S EBFC S AM x CM CBF ACE，进而得到四边形 的面积等于 ABC，设 ，勾股定理求出 的长，再利用面 积公式求出VABC的面积即可． 【详解】解：∵AB AC， ∴∠ABC ACB， ∵BF∥AC， ∴ACBCBF ， ∴ABC CBF， ∴BC平分ABF， 过点C作CM AB，CN BF， 52关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 则：CM CN ， 1 1 ∵S  AECM,S  BFCN，且 ， ACE 2 CBF 2 BF  AE S S ∴ CBF ACE， EBFC S S S S S ∴四边形 的面积 CBF CBE ACE CBE CBA， ∵AC 13， ∴AB13， 设AM x，则：BM 13x， CM2  AC2AM2 BC2BM2 由勾股定理，得： ， 132x2 10213x2 ∴ ， 119 解：x ， 13 119 2 120 ∴ CM  132   ，  13  13 1 ∴S  ABCM 60， CBA 2 ∴四边形EBFC的面积为60． 故答案为：60． 【变式4-3】如图，VABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB 的距离为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 53关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质．如图，过P作PF  AC于F ，PG AB于G，PH BC 于H，则 PF 3，由VABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，可得PGPH PF 3，然后作答即可． 【详解】解：如图，过P作PF  AC于F ，PG AB于G，PH BC于H，则PF 3， ∵VABC的外角的平分线BD与CE相交于点P， ∴PGPH PF 3， ∴点P到AB的距离为3， 故选：B． 【变式4-4】（2024·陕西西安·三模）如图，已知锐角VABC，C 70，请用尺规作图法，在VABC内部 求作一点P．使PAPC．且PCA35．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图—复杂作图，先作C的平分线CD，再作AC的垂直平分线l，直线l交BD于点 P，则点P即为所求，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂 作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了等腰三角形的性质． 【详解】解：如图，点P即为所求， ． 44．（2024·四川乐山·一模）如图，在Rt△ ABC中，C 90，BD是Rt△ ABC的一条角平分线，点O、 E、F 分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF 是正方形． 54关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求证：OA平分BAC； (2)若AC 5，BC 12，求OE的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查角平分线的判定及性质，直角三角形的两锐角互余以及正方形的性质，掌握角平分线的 判定及性质是本题的解题关键． （1）过点O作OM  AB于点M ，根据角平分线定理的性质及正方形的性质得OM OEOF，利用角平 分线的判定即可得证； （2）利用全等得到线段AM BE，AM  AF ，利用正方形OECF ，得到四边都相等，从而利用OE与 BE、AF 及AB的关系求出OE的长． 【详解】（1）证明：过点O作OM  AB于点M ∵正方形OECF ， ∴OE EC CF OF ，OE BC于E，OF  AC于F ∵BD平分ABC，OM  AB于M ，OE BC于E ∴OM OEOF ∵OM  AB于M ，OF  AC, ∴点O在BAC的平分线上,即OA平分BAC； （2）解：∵RtABC中，C 90，AC 5，BC 12 ∴AB13 ∵BO平分ABC， 55关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴OBM OBE， ∵OE AB，OE BC， ∴BOE 90OBE90OBM BOM ， ∴BEBM ， 同理得AM  AF 由（1）得CE CF OE ∵BE BCCE，AF  ACCF， ∴BE 12OE，AF 5OE ∵BM AM  AB ∴BEAF 13即12OE5OE13 解得OE 2 【变式4-5】（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，BAD的平分线交BC于点E， EFAD于点F ，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O． (1)判断四边形ABEF的形状，并说明理由； (2)若AD AE，AF 1，求DG的长． 【答案】(1)正方形；理由见解析 (2)1 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质， 熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据矩形性质及EFAD得DABBEFA90，则四边形ABEF为矩形，再根据AE是BAD的 平分线得BEEF ，由此即可得出结论； ABEF AF 1 BE AF 1 △ADG AEB DGBE （2）根据四边形 为正方形， 得 ，证明 和 全等得 ，由此可 得DG的长． 【详解】（1）解：四边形ABEF为正方形．理由如下： 四边形ABCD为矩形， DABB90．  EF  AD， 56关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 DABBEFA90， ∴四边形ABEF为矩形， ∵AE是BAD的平分线， BEFE．  四边形ABEF为正方形． （2）解∶∵四边形ABEF为正方形，AF 1， BE AF 1．  DG AE， AGDB90． ∵AE是BAD的平分线， DAEEAB． 在△ADG和AEB中， DAEEAB  AGDB90  AD AE AGD≌AEBAAS  ， DGBE1． 【中考模拟即学即练】 1．如图，在Rt△ABC中，C 90，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD5，P为AB 上一动点，则PD的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查基本作图——作角平分线，角平分线的性质定理，垂线段最短．当DP AB时，根据垂 线段最短可知，此时DP的值最小．再根据角平分线的性质定理可得DPCD，即得． 【详解】解：当DP AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小． 由作图知：AE平分BAC， 57关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵C 90， ∴DC  AC， ∵DP AB， ∴DPCD5． ∴PD的最小值为5， 故选：D． AOEBOE15 EF OF EC OB EC  6 2 2．（2024·广东中山·模拟预测）如图， ， ， ，若 ， 则OE ． 【答案】4 【分析】作EH OA于H，根据角平分线的性质求出EH ，根据含30角直角三角形的性质求出 OF EF 2EH 2 62 2 ，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作EH OA于H． ∵AOEBOE15，EC OB，EH OA， EH EC  6 2 AOB30 ∴ ， ． ∵EF OF ， ∴FEOFOE 15， ∴EFAFOEFEO30 OF EF 2EH 2 62 2 ∴ ， FH  FE2EH2 3 2 6 ∴ 58关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 OH OFFH 2 62 23 2 6  6 2 ∴ OE OH2EH2 4 ∴ ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的性质、等边对等角、含30角的直角三角形的性质， 勾股定理等知识，掌握角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解题的关键． 3．（2023·北京·模拟预测）如图，在VABC中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧， 1 分别交 于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于 MN 的长为半径作弧，两弧交于点P；③作 AB，AC 2 射线AP交BC于点D．若AB:AC2:3，△ABD的面积为4，则ACD的面积为 ． 【答案】6 【分析】利用基本作图得到AD平分BAC，再根据角平分线的性质得点D到AB、AC的距离相等，于 是利用三角形面积公式得到△ABD的面积：ACD的面积 AB:AC 2:3，从而可计算出ACD的面积． 【详解】解：由作法得AD平分BAC，则点D到AB、AC的距离相等， ∴△ABD的面积：ACD的面积 AB:AC 2:3， ∵△ABD的面积为4， ∴ACD的面积是6． 故答案为：6． ( 【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图 作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作 ). 已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线 也考查了角平分线的性质． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在RtABC中，C 90，A30，按以下步骤作图：①以点A 1 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交 ， 于点D，E；②分别以D，E为圆心，以大于 DE的长为 AC AB 2 59关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 BAC O AO BC CF  3 AB 半径作弧，两弧在 内交于点 ；③作射线 ，交 于点F，若 ，则 的长为 ． 42 3 2 34 【答案】 / FM  AB M AO A FM CF  3 【分析】作 于点 ，根据作图轨迹可知射线 为 的角平分线，可得 ，再求 出B的度数，根据解直角三角形求出FB的长，从而可得BC的长，根据AB2BC即可解题． 【详解】解：由作图轨迹可知：射线AO为A的角平分线， 如图，作FM  AB于点M ， ， FMB90 射线AO为A的角平分线，C 90， FM CF  3 ， A30， B903060， FM FB 2， sin60 BC CFFB2 3 ， AB2BC 42 3 ， 42 3 故答案为： ． 【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线性质，含30角的直角三角形，解直角三角形，解题的关键是 熟练掌握并运用相关知识． 5．（2024·青海·一模）如图，在VABC中，C 90，AD平分CAB，交CB于点D，过点D作 DEAB于点E． 60关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求证：AC  AE； (2)若BC 4，AB5，求BE的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理， DC DE Rt△ADC≌Rt△ADEHL （1）由角平分线的性质得到 ，证明 ，由全等三角形的性质即可得证； （2）由勾股定理求出AC，由（1）知AC  AE，由BE  ABAE  ABAC ，即可得解； 掌握角平分线的性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵C 90， ∴DC  AC， ∵AD平分CAB，DEAB， ∴DC DE， 在RtADC和RtADE中， DC DE  AD AD， Rt△ADC≌Rt△ADEHL ∴ ， ∴AC  AE； （2）解：∵C 90，BC 4，AB5， AC  AB2BC2  5242 3 ∴ ， 由（1）知：AC  AE， ∴BE  ABAE  ABAC 532， ∴BE的长为2． 6．（2024·广东·模拟预测）如图，已知矩形ABCD，AB AD，BAD的平分线交BC的延长线于点E． 61关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)尺规作图：过点B作AE的垂线交AE于点G（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）所作的图形中，连接BF，若BF平分GBE，求证：AE2AD． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）以点B为圆心，画弧交AE于两点，再以这两个交点为圆心画弧交于一点，连接B与这点， 并延长交于AE于一点，即为G； GF CF RtGBF≌RtCBFHL， （2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得出 ，再证明 因为四 边形ABCD是矩形，所以 ABF  BFC，用等角对等边，得AB AF ，结合DAF BAF 45，则结 AE 2AB AF  2AD AF  AB AE 2AF 2AD 合勾股定理，得 ， ，因为 ，所以 ，即可作答． 本题考查了尺规作图——作垂线，角平分线的性质，勾股定理，矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解 题的关键． 【详解】（1）解：如图（1）所示，BG即为所求． （2）证明：如图（2）， ∵BF平分GBE，BGF BCF 90， ∴GF CF 62关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 又∵BF BF， RtGBF≌RtCBFHL， ∴ ∴BFGBFC． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴ABF  BFC， ∴BFGABF ， ∴AB AF ． ∵AE平分DAB，DAB90， ∴DAF BAF 45． 又∵DABE90， AE AB2BE2  AB2AB2  2AB ∴ ， AF  AD2DF2  AD2AD2  2AD ， ∵AF  AB， AE 2AF 2AD ∴ 7．（2024·江苏南京·三模）我们知道：三角形的三条角平分线交于一点（内心）、三条中线交于一点（重 心）、… 1 （1）如图1， 的中线 相交于点 ，连接 ，易证 ，可得DG AG．如 VABC AD、BE G DE DEG∽ABG 2 图2．VABC的中线AD、CF相交于点G，同理易证① ．于是，点G与点G重合，三角形的三条中线交 于一点．这样证明两个点（G与G）是同一点的方法也称为“同一法”． AB BD （2）如图3， 是 的角平分线，求证：  ． AD VABC AC CD 63关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 由此，得到结论：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． （3）根据（2）中得到的结论用“同一法”证明：VABC的三条角平分线交于一点． 8 （4）在 中， ， ， 是 的角平分线，且AD ，则 ． VABC AB10 AC 5 AD VABC 3 BC  1 AB BD 【答案】（1）DG AG ；（2）① ；②  ；（3）见解析；（4） 2 DM DN AC CD BC  193 【分析】本题考查了三角形的中位线性质、相似三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、勾股定理 等知识，理解题中“同一法”是解答的关键． （1）利用三角形的中位线性质和相似三角形的判定和性质可得结论； （2）利用角平分线的性质和三角形的面积公式求解即可； （3）利用角平分线的判定与性质和“同一法”的证明方法解答即可； BD AB 10 （4）过A作 于H，由（2）中结论，得   2，设 ，则 ，设 ， AH BC CD AC 5 CDx BD2x DH  y 209 161 则 ， ，由勾股定理可得xy x2 ，2xy x2 ，然后列方程求解x值即可． BH 2x y CH  x y 9 9 【详解】解：（1）如图1，VABC的中线AD、BE相交于点G，连接DE， ∴DE是VABC的中位线， 1 ∴ ，DE AB， DE∥AB 2 ∴DEG∽ABG， 64关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 DG DE 1 1 ∴   ，则DG AG． AG AB 2 2 如图2．VABC的中线AD、CF相交于点G，连接DF， 则DF是VABC的中位线， 1 ∴ ，DF  AC， DF∥AB 2 ∴DFG∽ACG， DG DF 1 1 ∴   ，则DG AG ． AG AC 2 2 则点G与点G重合，即三角形的三条中线交于一点． 1 故答案为：DG AG ； 2 AB BD （2）根据所给证明过程，结合角平分线的性质得① ，再根据等量代换可得②  ， DM DN AC CD AB BD 故答案为：① ；②  ； DM DN AC CD （3）证明：如图，AD、BE分别是VABC的平分线，设AD、BE相交于点O，过O分别作OP AB于 OQBC OH  AC P， 于Q， ， 则OPOQ，OPOH ， ∴OQOH ，又OQBC，OH  AC， ∴OC平分ACB，即VABC的三条角平分线交于点O； 如图，AD、CE分别是VABC的平分线，设AD、CE相交于点O，过O分别作OP AB于P， OQBC OH  AC 于Q， 于H， 65关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 OPOH OQOH 则 ， ， OPOQ OQBC OP AB ∴ ，又 ， ， ∴OB平分ABC，即VABC的三条角平分线交于点O， 综上，点O和点O重合， 故可得结论：VABC的三条角平分线交于一点； （4）过A作AH BC于H， ∵AD是VABC的角平分线，AB10，AC 5， BD AB 10 ∴由（2）中结论，得   2， CD AC 5 设CDx，则BD2x， DH  y BH 2x y CH  x y 设 ，则 ， ， AH2  AB2BH2 1022xy2 由勾股定理得 ， AH2  AC2CH2 52xy2 ， 8 2 AH2  AD2DH2   y2 3 ， 1022xy2    8  2 y2 xy 209 x2 由 3 得 9 ， 66关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 52xy2    8  2 y2 2xy x2 161 由 3 得 9 ， 209  161 193 2 x2 x2 x2  ∴  9  9 ，则 9 ， 193 x 解得 3 （负值已舍去）， BC 3x 193 ∴ ． 8．（2023·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在 y 轴的正半轴上，点A 与点C关于 y 轴对称． (1)如图1，OAOB，AF 平分BAC交BC于F ，BEAF 交AC于E，请直接写出EF与EC的数量关 系为________； (2)如图2，AF 平分BAC交BC于F ，若AF 2OB，求ABC的度数； (3)如图3，OAOB，点G在BO的垂直平分线上，作∠GOH 45交BA的延长线于H，连接GH ，试探 究OG与GH 的数量和位置关系． 【答案】(1)相等 (2)108 OGHG,HGOG (3) 【分析】（1）根据角平分线的性质和判定证明全等直接求解即可； （2）根据中线倍长模型构造全等，然后证明二次全等找到角度之间的关系，列方程求解即可； （3）作出手拉手模型构造全等，说明线段的数量和位置关系即可． 【详解】（1） AF 平分BAC交BC于F ，BEAF 交AC于E， ABEAEB  AB AE 在△ABF和△AEF 中, 67关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 AB AE  BAF EAF  AF  AF ABF≌AEF(SAS) ABF AEF  OAOB，点A与点C关于 y 轴对称 OCOB ABC90，BCA45 EF EC （2）取B关于横轴的对称点D，连接CD， 延长BC至H，使得CH BF，连接DH ． 在ABO和CDO中, OBOD  BOACOD  OAOC ABO≌CDO(SAS)  ABCD,BAOACD  AB∥CD ABF DCH 在△ABF和DCH中, ABCD  ABF DCH  BF CH ABF≌DCH(SAS) H AFB,DH  AF  AF 2OB DH 2OBBD H DBF  AF 2OB DH 2OBBD  AF 平分BAC交BC于F 在△ABF中，x902x902x902x180 68关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 则ABOOBC BFA902x 在△ABF中，x902x902x902x180 解得x18， ABC 2(902x)108 （3）过B作BF BA交HG延长线于点F ，连接OF  ABF 90,AOH FOB90FOA  OAOB  OBAOAB45 OAH 135,OBF 135 在△OAH 和OBF 中, AOH FOB  OAOB  OAH OBF OAH≌OBF(AAS)  OF OH  RtHOF 是等腰三角形 1 GOH  HOF 45  2 1 OGHG,HGGF OG HF  2 OG与GH 的数量和位置关系是OGHG,HGOG 【点睛】此题考查全等三角形的综合题型，解题关键是巧妙作出合适的辅助线，意在利用已知的条件推论 全等而得到角等或边等的关系． 69关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 10．【思维启迪】 （1）如图1，AD是VABC的中线，延长AD到点E．使DE AD，连接BE，则AC与BE的数量关系为 ________，位置关系为________． 【思维应用】 （2）如图2，在VABC中，ACB90，点D为VABC内一点，连接AD，DC，延长DC到点E，使 CECD，连接BE，若ADBE，请用等式表示AB，AD，BE之间的数量关系，并说明理由； 【思维探索】 VABC ACB90 AC BC D AB E DB E B （3）如图3，在 中， ， ，点 为 中点，点 在射线 上（点 不与点 ， D CE B BF CE F FD CB 29 BF 2 点 重合），连接 ，过点 作 ，垂足为点 ，连接 ．若 ， ，请直接写出 FD的长． 3 7 【答案】（1）相等，平行；（2） ；（3） 的长为 2或 2． AD2BE2  AB2 FD 2 2 SAS AC BD,AB AC∥BD 【分析】（1）直接利用 即可求证全等，继而得到 ，故 ； （2）①延长BC至点F，使得CF BC，连接DF，AF ，则AC是BF的垂直平分线，得到AF  AB，可证 明△FCD≌△BCE，则BEFD，DF∥BE，在RtADF 中，由勾股定理得：AD2DF2  AF2，则等量 代换出AD2BE2  AB2； （3）当点E在线段DB上时，延长FD至点H，使得DH DF ，连接AH 并延长交CF于点G，同上可得： △ADH≌△BDF,AH∥BF CAG≌BCF AGCF，CGBF  AH 2 HGFG ，可证明 ，则 ，故 ，在 Rt△BFC中，由勾股定理求得CF 5，那么HGFG523，Rt△HGF中，由勾股定理求得 1 3 ，则DF  HF  2；当点 在 延长线上时，构造上述辅助线，同理可求 HF 3 2 2 2 E DB 1 7 DF  HF  2 2 2 70关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1 7 DF  HF  2． 2 2 【详解】解：（1）由题意得BDCD，ADDE， ∵ADC EDB， ADC≌EDBSAS ∴ ， ∴AC BE，CADE， ∴AC∥BE， 故答案为：相等，平行； （2）延长BC至点F，使得CF BC，连接DF，AF ， ∵ACB90，即AC BF， ∴AC是BF的垂直平分线， ∴AF  AB， ∵CEDC，FCDBCE， ∴△FCD≌△BCE， ∴BEFD，12， ∴DF∥BE， ∵ADBE， ∴ADFD， ∴在RtADF 中，由勾股定理得：AD2DF2  AF2， ∴AD2BE2  AB2； （3）当点E在线段DB上时，延长FD至点H，使得DH DF ，连接AH 并延长交CF于点G， 71关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 同上可得：△ADH≌△BDF，AH∥BF， ∵BF CE， ∴AGCE， ∵ACB90， ∴CAGACGACGBCF 90， ∴CAGBCF ， ∵AGC CFB90，CACB， ∴CAG≌BCF ， ∴AGCF，CGBF  AH 2， ∴HGFG， 在Rt△BFC中，  2 由勾股定理求得CF  CB2BF2  29 22 5， ∴HGFG523， Rt△HGF HF 3 2 ∴ 中，由勾股定理求得 ， 1 3 ∴DF  HF  2； 2 2 当点E在DB延长线上时，构造上述辅助线， 同上可得：△ADH≌△BDF，AH∥BF， ∵BF CE， 72关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴AGCE， ∵ACB90， ∴CAGACGACGBCF 90， ∴CAGBCF ， ∵AGC CFB90，CACB， ∴CAG≌BCF ， ∴AGCF，CGBF  AH 2， ∴HGFG， 在Rt△BFC中，由勾股定理求得CF 5， ∴HGFG527， Rt△HGF HF 7 2 ∴ 中，由勾股定理求得 ， 1 7 ∴DF  HF  2， 2 2 3 7 综上所述， 的长为 2或 2． FD 2 2 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，线段垂直平分线的性质， 熟练掌握知识点，正确构造全等三角形是解决本题的关键． 题型五：线段垂直平分线的性质与判定 【中考母题学方法】 1 【典例1】（2024·山东济南·中考真题）如图，在正方形 中，分别以点A和 为圆心，以大于 AB ABCD B 2 的长为半径作弧，两弧相交于点E和F ，作直线EF，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF 于点G（点G在正方形ABCD内部），连接DG并延长交BC于点K．若BK 2，则正方形ABCD的边长 为（ ） 73关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 5 3 5 A． 21 B．2 C． 2 D． 31 【答案】D 【分析】连接AG，设EF交AB于点H，正方形边长为2x，由作图知，AG AD2x，EF垂直平分AB， AH BH x AHG90 GH  3x ADGH BC DGGK 得到 ， ，由勾股定理得到 ，证明 ，推出 ，推出 GH x1 3xx1 2x 31 ，得到 ，即得 ． 【详解】连接AG，设EF交AB于点H，正方形边长为2x， 由作图知，AG AD2x，EF垂直平分AB， 1 ∴AH BH  ABx， ， 2 AHG90 GH  AG2AH2  3x ∴ ， ∵BAD90， ∴AD∥GH， ∵AD∥BC， ADGH BC ∴ ， DG AH ∴  1， GK HB ∴DGGK ， ∵BK 2， 1 ∴GH  ADBKx1， 2 74关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 3xx1 ∴ ， 31 ∴x ， 2 2x 31 ∴ ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形和线段垂直平分线综合．熟练掌握正方形性质，线段垂直平分线性质，勾 股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理，梯形中位线性质，是解决问题的关键． 【典例2】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，VABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若 AC 8，CD5，则BD ． 【答案】3 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出BD AD． 求出AD853，由线段垂直平分线的性质推出BD AD3． 【详解】解： AC 8，CD5， AD853， D在AB的垂直平分线上， BD AD3． 故答案为：3． 【典例3】（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别交边 AB、CD于点E、F．若AD8，BE10，则tanABD ． 75关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1 【答案】2 【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关 键．设EF与BD相交于点O，证明△BOE∽△BAD，根据相似的性质进行计算即可； 【详解】解：BD的垂直平分线分别交边AB、CD于点E、F． 1 ，BO BD， EF BD 2 BOEA90， ABDABD， △BOE∽△BAD， BE OE   ， BD AD 1 ， ，BO BD，  AD8 BE10 2 10 OE   ， 2BO 8 OEBO40， OE2OB2 BE2 100 ， OEx,OB y 令 ， xy40  x2y2 100，  x2 5  x4 5   解得 或 （舍去）， y4 5 y2 5 OE 2 5 1 tanABD   BO 4 5 2． 76关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1 故答案为：2 ． 【变式5-1】（2024·陕西渭南·二模）如图，点A为VABC和VADE的公共顶点，已知C E， AC  AE，请你添加一个条件，使得AB AD．（不再添加其他线条和字母） (1)你添加的条件是______； (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 【答案】(1)CADEAB (2)过程见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定； （1）根据题意添加的条件即可； （2）根据全等三角形的判定定理即可得到证明． 【详解】（1）解：CADEAB． （2）证明：∵CADEAB， ∴CADBADEABBAD， 即BACDAE． 在VABC和VADE中，BACDAE， AC  AE，C E， ∴△ABC≌△ADE（ASA）， ∴AB AD． 【变式5-2】（2023·四川眉山·模拟预测）如图，在VABC中，BC边的垂直平分线交BC于D，交AB于E， 若CE平分ACB，B40，则A 度． 77关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】60 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点 的距离相等是解题的关键．由线段垂直平分线和角平分线的定义可得BECBACE40，在 VABC中由三角形内角和定理可求得A． 【详解】解： E在线段BC的垂直平分线上， BECE， ECBB40， CE平分ACB， ACD2ECB80， 又ABACB180， A180BACB60， 故答案为：60． 【变式5-3】（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长与CD延 长线交于点G，则BGC的度数为 ． 【答案】18/18度 ABE≌CBDSAS 【分析】连接 BD ，BE，根据正多边形的性质可证 ，得到 BEBD ，进而得到 BG 是 DE的垂直平分线，即DFG90，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到 FDG72，再根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：连接BD，BE， 78关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴ABBC CD AE，AC ABE≌CBDSAS ∴ ， ∴BEBD， ∵点F是DE的中点， ∴BG是DE的垂直平分线， ∴DFG90， 52180 ∵在正五边形 中，CDE 108， ABCDE 5 ∴FDG180CDE72， ∴G180DFGFDG180907218． 故答案为：18 【点睛】本题考查正多边形的性质，内角，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，三角形的内角 和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 【变式5-4】（2024·四川南充·中考真题）如图，在VABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交 AD的延长线于点E． (1)求证：BDE≌CDA． (2)若ADBC，求证：BABE 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质： 79关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 BDCD BE∥AC EDAC,DBEC （1）由中点，得到 ，由 ，得到 ，即可得证； （2）由全等三角形的性质，得到ED AD，进而推出BD垂直平分AE，即可得证． 【详解】（1）证明：D为BC的中点， BDCD．  BE∥AC, EDAC,DBEC ；  EDAC  DBEC 在 和 中，  BDE CDA  BDCD BDE≌CDAAAS ； △BDE≌△CDA, （2）证明： ED AD  ADBC, BD垂直平分AE， BABE． 【中考模拟即学即练】 1．（2024·福建莆田·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，ACB90，B=60，求作ACB的三等分线． 阅读以下作图步骤： 1 （1）分别以点A，C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，作直线 交 于点 2 DE AB F，交AC于点H，画射线CF； （2）以点C为圆心，适当的长为半径画弧，交BC于点M，交CF于点N； 1 （3）分别以点M，N为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在 的内部交于点G，画射线 ， 2 BCF CG 则射线CF,CG即为所求． 下列说法不正确的是（ ） 80关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1 FH  CH A．AF CF B． 2 C．CG AB D．VBCF 为等边三角形 【答案】B 【分析】由DE垂直平分线段AC可判断A，由30度角的性质可判断B，由等边三角形的判定可判断D， 由三线合一可判断C． 【详解】解：∵ACB90，B=60， ∴A906030， 由作图可知DE垂直平分线段AC， ∴FAFC，故选项A正确， ∴AFCA30， ∵FHC 90， 1 ∴FH  CF，故选项B错误， 2 ∴FCB903060， ∴FCBBCFB60， ∴VBCF 是等边三角形，故选项D正确， 由作图可知CG平分BCF ， ∴CG AB，故选项C正确， 故选：B． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线，含30度的直角三角形等知识， 解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 1 2．（2025·贵州·模拟预测）如图， 的周长为20， ，分别以点B和点C为圆心，大于 BC的 VABC BC8 2 MN AB CD △ADC 长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线 ，交边 于点D，连接 ，则 的周长为 ． 81关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】12 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图，线段垂直平分线的性质，正确理解线段垂直平分线的作图及 线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据VABC的周长为20，可得ABAC 12，根据作图可知MN垂 直平分BC，再由线段垂直平分线的性质得到BDCD，即可求得答案． 【详解】ABC的周长为20， ABBCAC20， ABAC20812， 由已知作图可知MN垂直平分BC， BDCD， ADC的周长ADCDACADBDACABAC12． 故答案为：12． ABCD AB3 CD2 2 A105 D120 E 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）四边形 中， ， ， ， ， 为AD 的中点，若BEC 90，则BC的长度为 ． 29 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，延长 BE至点 M ，使EM EB，证明 ABE≌DMESAS ，根据性质得 MDAA105 ， MD AB3 ，过 点M 作MN CD交CD的延长线于点N ，证明MND为等腰直角三角形，最后由勾股定理，垂直平分线 的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，延长BE至点M ，使EM EB， 82关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵E是AD中点， ∴AEDE， 在ABE和DME中， AEDE  AEBMED ，  EM EB ABE≌DMESAS ∴ ， ∴MDAA105，MD AB3， ∴MDC 360EDM ADC 360120105135， 过点M 作MN CD交CD的延长线于点N ， ∴MDN 18013545， ∴MND为等腰直角三角形， ∴MN DN ， 由勾股定理得：MN2DN2 MD2， 3 ∴MN DN  2， 2 3 2 7 2 CN CDDN 2 2  ∴ 2 2 ， 2 2 7 2 3 2 ∴由勾股定理得：MC CN2MN2           29， 2 2     ∵BEC 90， ∴CEBM ， 83关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵EM EB， BC MC  29 ∴ ， 29 故答案为： ． 1 4．（2024·湖北宜昌·一模）如图，分别以点B和点C为圆心，大于 BC为半径作弧，两弧相交于A、M 2 两点；作直线AM ；连接AB、AC； (1)VABC是什么三角形？说明理由； (2)在VABC中，CE是ACB平分线，BF是ABC平分线．求证：BF CE． 【答案】(1)VABC是等腰三角形，见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质， 全等三角形的判定和性质． （1）由作图知AM 是BC的垂直平分线，据此可证明VABC是等腰三角形； （2）证明BCF≌CBE，即可得到BF CE． 【详解】（1）解：VABC是等腰角形， 理由如下： 根据作图，AM 是BC的垂直平分线， ∴AB AC． ∴VABC是等腰三角形； （2）证明：∵VABC是等腰三角形，AB AC， ∴∠ABC ACB， 又∵CE是ACB平分线，BF是ABC平分线， 84关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1 1 ∴FBC  ABC，ECB ACB， 2 2 ∴FBC ECB， 又∵BC BC， BCF≌CBEASA ∴ ． ∴BF CE． 5．（2024·甘肃嘉峪关·二模）如图，已知ABC，ACB90，BAC 30． (1)尺规作图：作ABC的边AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若BC 3，求DE的长． 【答案】(1)见详解 3 (2) 【分析】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图（作已知线段的垂直平分线）是解决问题的关键． 也考查了线段垂直平分线的性质和解直角三角形、角平分线的性质． （1）利用基本作图作AB的垂直平分线即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到AEBE，根据角平分线的性质和正切定义即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，DE为所作； （2）解：连接BE， ∵DE是AC的垂直平分线， AE BE,DE  AB， ACB90,BAC 30 ， ABEA30,ABC60 ， CBE30， 85关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 CBEABE， 又ACBBDE 90， 3 DECEBCtanCBE BC  3 3 ， DE 3 故 的长为 ． 6．（2024·广东·模拟预测）如图，在 VABC中，AD是VABC的角平分线． (1)实践与操作：用尺规作图法，在AB上找到一点E使得VADE为以AD为底边的等腰三角形；(保留作图 痕迹，不写作法) (2)应用与计算：在（1）的条件下，过点D作DF∥AB交AC于点F，求证：DEDF 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作垂直平分线，角平分线的定义，三角形全等的判定及性质，解题的关键是作出相应 的辅助线； （1）理解是需要作线段AD的垂直平分线即可； （2）利用垂直平分线的性质，角平分线的定义，平行线的性质证明出△AOE≌△DOF，再通过等量代换即 可证明． 【详解】（1）解：作图如下： （2）证明：作图如下： 86关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 是 的角平分线， 的垂直平分线交 于点 ，  AD VABC AD AB E AEDE,AODO EADFAD ， ，  DF∥AB， EADFDA， AOEDOF， AOE≌DOF(ASA) ， AEDF，  AEDE， DEDF ． ACB90,CBCA ACB 7．（2024·湖南·二模）已知直角三角板 中， ，将该三角板绕点C旋转 (090) RtVDCE AD BD ，得到 ，连接 ， ． (1)如图1，将直角三角板ACB逆时针旋转，45，写出ADB的度数（不需要说明理由）； (2)若将直角三角板ACB顺时针旋转，请在图2中补全图形，并求出ADB的度数； BCD CF BD AD BF 2BF  2CF  AD (3)若 的平分线 交 于点G，交直线 于点F，连接 ，试证明： ． 【答案】(1)135 (2)补全图形见解析，ADB45 87关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (3)见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性 质，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）由旋转的性质可知，ACD45，CACD，CBCE，再根据等边对等角的性质和三角形内角 和定理求解即可； （2）根据题意补全图形，再根据旋转的性质以及等边对等角的性质求解即可； （3）分两种情况讨论：①当将直角三角板ACB逆时针旋转时；②当将直角三角板ACB顺时针旋转时， 过点C作CH CF，证明CF是线段BD的垂直平分线，进而得出VFCH是等腰直角三角形，得到 HF  2CF ，再利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知，ACD45，CACD，CBCE， 180ACD CADCDA 67.5 ， 2 ACB90,CBCA， BCD45，CDCB， 180BCD CDBCBD 67.5 ， 2 ADBCDACDB135； （2）解：补全后的图形如图①所示． 由旋转的性质可知，CACDCB,ACD． 180  ADC  90 ． 2 2 18090  在等腰三角形 中，BDC  45 ， BCD 2 2    ADBADCBDC90 45 45 2  2 ． 88关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （3）解：①当将直角三角板ACB逆时针旋转时，如图②， 过点C作CH CF，交DA的延长线于点H． 由旋转的性质可知，CDCACB， △BCD是等腰三角形， CF 是BCD的平分线， CF 垂直平分BD， BF DF,FGD90． 由（1）知ADB135， DFG45． △FCH 是等腰直角三角形． CHF DFG45,CF CH ． HF  2CF ． 又CDCA， CDACAD， CDF CAH ． CDF≌CAHAAS ． DF  AH BF ， DF AH  AD2BF ADHF ， 2BF  2CF AD 即 ； ②当将直角三角板ACB顺时针旋转时，如图③， 89关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 过点C作CH CF，交AD的延长线于点H． 同理可证，CF是线段BD的垂直平分线． BF DF,FGD90． 由（2）知ADB45， DFG45． △FCH 是等腰直角三角形． CHF DFG,CF CH ， HF  2CF ． 又CDCA， CADCDA， CAF CDH ． CAF≌CDHAAS ， AF DH． AF DFADBFAD， FH 2AFAD2BFADAD2BFAD 2BF  2CF  AD 即 ． 2BF  2CF  AD 综上所述， ． 90