文档内容
专题02 勾股定理的逆定理重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 判断三边是否构成直角三角形
题型二 图形上与已知两点构成直角三角形的点
题型三 在网格中判断直角三角形
题型四 利用勾股定理的逆定理求解
题型五 利用勾股定理的逆定理证明
题型六 勾股定理逆定理的实际应用
题型七 勾股定理逆定理的拓展问题
题型八 勾股定理逆定理的综合运用
【知识梳理】
知识点1：勾股定理逆定理
1.定义：如果三角形的三条边长a，b，c，满足a2 b2 c2
，那么这个三角形是直角三角形.
注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为
直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1） 首先确定最大边（如c）.
（2）
验证c2 与a2 b2 是否具有相等关系.若c2 a2 b2
，则△ABC是∠C＝90°的直角三
角形；若c2 a2 b2
，则△ABC不是直角三角形.
注意：当a2 b2 c2 时，此三角形为钝角三角形；当a2 b2 c2
时，此三角形为锐角三角
形，其中c为三角形的最大边.
知识点2：勾股数
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数【经典例题一 判断三边是否构成直角三角形】
【例1】（2024上·四川成都·八年级统考期末） 的三边长a，b，c满足
，则 是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【分析】本题主要考查了非负性、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握非负数的和为0，每一个非负 数
均为0是解题的关键．由等式可分别得到关于a、b、c的等式，然后得到a、b、c的值，再根据勾股定理
逆定理即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，且 ，
∴ 为等腰直角三角形．
故选：A．
【变式训练】
1、（2023上·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考期中）下列由三条线段 构成的三角形：
①如果 ；② ；③如果 ；④
（ 为大于1的整数），其中能构成直角三角形的是（ ）
A．①④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
【答案】B
【分析】判断一组数能否成为直角三角形：①是否有一个角是直角；②是否满足两较小边的平方和等于最
大边的平方．将题目中的各题一一作出判断即可．
解题的关键是熟知直角三角形的判断方法.
【详解】①∵ , ,∴ ,则 ,故能构成直角三角形，符合题意；
②∵ , ,
故能构成直角三角形，符合题意；
③∵ ,
∴最大角 ,
故不能构成直角三角形，不符合题意；
④∵ ,且m为大于1的整数,
∴ 则
∴ ,则最长边为a
∴
故能构成直角三角形，符合题意；
综上所述,①②④正确.
故选：B
2．（2022上·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期末）在 中， 的对边
分别为a、b﹑c，下列条件中：① ；② ；③ ；④
．能判断 是符合条件的直角三角形的有 个．
【答案】3
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理．根据勾股定理的逆定理以及三角形内
角和定理，逐项判断即可．
【详解】解：①由题意知， ，则 是符合条件的直角三角形，符合题意；
②由题意知， ，则 是直角三角形，但不是符合 的条件形，故不符合题意；
③由题意知 ，则 是符合条件的直角三角形，符合题意；
④由题意知 ，则 是符合条件的直角三角形，符合题意；
即符合要求的只有3个，
故答案为：3．3．（2023上·江苏连云港·八年级校联考阶段练习）先阅读一段文字，再回答下列问题：
已知平面内两个点分别为 ， ，其两点间距离公式为 ．例如：
点 和 )的距离为 ．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于 轴或平行于
轴时，两点间的距离公式可简化成： 或 ．
(1)已知 、 两点在平行于 轴的直线上，点 的纵坐标为 ，点 的纵坐标为 ，则 、 两点的距离为
；
(2)线段 平行于 轴，且 ，若点 的坐标为 ，则点 的坐标是 ；
(3)已知 个顶点坐标为 ， ， ，请判断此三角形的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2) 或
(3)等腰直角三角形，见解析
【分析】此题考查了两点间的距离公式；
（1）根据平行于 轴的直线横坐标相同，利用两点间的距离公式求出 、 两点的距离即可；
（2）根据平行于 轴的直线坐标轴相同，由 的长，以及 的坐标，确定出 的坐标即可；
（3）利用两点间的距离公式求出三边长，即可作出判断．
【详解】（1）解：设 ， ，
则 ；故答案为： ；
（2）解：设 ，
， ，
，
解得： 或 ，则 或 ；
故答案为： 或 ；
（3）解： ， ， ，
，
，
，
，且 ，
则 为等腰直角三角形．
【经典例题二 图形上与已知两点构成直角三角形的点】
【例2】（2023下·浙江台州·八年级校考期中）在如图所示的 的方格图中，点A和点B均为图中格点．
点C也在格点上，满足 为以 为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可．
【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个，
故选D．【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·陕西榆林·八年级榆林市第一中学分校校考阶段练习）下列叙述中，正确的是
A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方
B．如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
C． 中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若 ，则∠A=90º
D． 中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90º，则
【答案】B
【分析】根据勾股定理及三角形对边与对角的知识求解．
【详解】解：∵由勾股定理知，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，而直角边应该都小于
斜边，所以直角三角形中，应该是较小两条边的平方和等于第三边的平方，∴A错误；
∵由勾股定理的逆定理可得：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直
角三角形，∴B正确；
∵ ，∴c为斜边，c的对角∠C=90º，∴C错误；
∵△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠B=90º，∴b为斜边，∴ ，D错误；
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理的简单应用，注意勾股定理是“两直角边的平方和等于斜边的平
方”，所以注意分清直角边和斜边及其所对角是解题关键．
2．（2021上·江西九江·八年级统考期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣2 ，0）、B（2，0）、C（0，
2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为
．【答案】（0，0），（ ，0），（﹣2，0）
【分析】因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC两种情
况进行分析即可．
【详解】解：∵点P、A、B在x轴上，
∴P、A、B三点不能构成三角形．
设点P的坐标为（m，0）．
当△PAC为直角三角形时，
①∠APC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠ACP＝90°时，如图，
∵∠ACP＝90°
∴AC2＋PC2＝AP2，
，
解得，m＝ ，
∴点P的坐标为（ ，0）；
当△PBC为直角三角形时，
①∠BPC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠BCP＝90°时，
∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，
∴PO＝BO＝2，
∴点P的坐标为（﹣2，0）．
综上所述点P的坐标为（0，0），（ ，0），（﹣2，0）．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗
漏的进行分类．
3．（2023·浙江温州·校考二模）在直角坐标系中，我们把横纵坐标都为整数的点叫作整点，顶点都是整点
的三角形称为整点三角形．如图，已知整点 ， ，请在所在的网格区域（含边界）画出符合要
求的整点三角形．
(1)在图1中画一个 ．
(2)在图2中画一个 ，使点Q的横纵坐标相等，且 的面积等于3．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）分类讨论 分别为直角边和斜边时，共3种情况；
（2）根据点Q的横纵坐标相等，可得点Q在第一象限的角平分线上，选择合适的点即可；
【详解】（1）解：如图，当 分别为直角边和斜边时，（2）解：如图：
点Q的横纵坐标相等，
点Q在直线 上，
根据割补法依次计算可得：点Q的位置如上图．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定，割补法求面积，根据面积确定点坐标等知识点，直角坐标系性质
的熟练运用是解题关键．
【经典例题三 在网格中判断直角三角形】
【例3】（2021上·广东深圳·八年级统考期末）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点
都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． 的面积为10 B．C． D．点 到直线 的距离是2
【答案】A
【分析】求出 ，根据三角形的面积公式可以判断A；根据勾股定理逆定理可以判断B；根据勾股
定理可以判断C；根据三角形的面积结合点到直线的距离的意义可以判断D．
【详解】解： ， ， ，
，
，故B、C正确，不符合题意；
，故A错误，符合题意；
设点 到直线 的距离是 ，
，
，
，
点 到直线 的距离是2，故D正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的面积公式、点到直线的距离，熟练掌握以上知
识点是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021下·安徽亳州·八年级校考期末）如图，在单位为1的正方形网格图中有 四条线段，从
中任取三条线段所构成的三角形中恰好是直角三角形的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】由图形和勾股定理可得 四条线段的长度，再根据勾股定理的逆定理，即可得到构成直
角三角形的个数．【详解】解：由图可得： ， ， ， ，
， ，
线段 和 可以构成直角三角形，
从中任取三条线段所构成的三角形中恰好是直角三角形的个数为2个，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理以及勾股定理逆定理是解题的关键．
2．（2023下·河北保定·八年级统考期末）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段 的两个
端点均在格点（正方形的顶点）上．
（1）线段 的长为 ；
（2）若 是直角三角形，则网格中满足条件的格点C共有 个．
【答案】 6/六
【分析】（1）构造直角三角形，利用勾股定理求解即可；
（2）根据直角三角形的概念，画出图形即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，
由勾股定理得 ，
故答案为： ；
（2）解：如图所示，共有6个，故答案为：6．
【点睛】此题考查了作图-应用与设计，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
3．（2024上·山西晋城·八年级统考期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，小正方形的
顶点叫做格点．
(1)在图1中，以格点为顶点画一个面积为13的正方形．
(2)在图2中，以格点为顶点画一个三边为 、 、 的三角形，并求出此三角形的面积是________．
(3)在图3中，以格点为顶点画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角三角形．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析，
(3)图见解析
【分析】本题考查勾股定理与网格问题，网格图中判断直角三角形．
（1）根据题意，画出一边长为 的正方形即可；
（2）根据题意，画出三角形，割补法求三角形的面积即可；
（3）根据题意画出直角三角形即可．
掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，正方形 即为所求；由勾股定理得：正方形的边长为 ；
（2）如图， 即为所求；
由勾股定理得： ；
由图可知： 的面积为： ．
（3）如图， 即为所求；
由勾股定理，得： ，
∴ ；
∴ 为直角三角形．
【经典例题四 利用勾股定理的逆定理求解】
【例4】（2023上·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）已知 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平方的非负性，算术平方根的非负性，绝对值的非负性，即可求出 ，
从而可得出 ，即证明 为直角三角形，且a，b为直角边，最后根据三角形面积公式求解即
可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
∵ ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，且a，b为直角边，
∴ 的面积为 ．
故选B．
【点睛】本题考查非负数的性质，勾股定理逆定理．熟练掌握非负数的性质和勾股定理逆定理是解题关键．
【变式训练】
1．（2022上·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图所示， ， ， ， ，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，连接 ，求解 ，证明 ，延长 至 ，使 ，
连接 ， 证明 为等边三角形，可得 ，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
延长 至 ，使 ，连接 ，而
∴ ，而 ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
故选C【点睛】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的三
线合一的应用，线段的垂直平分线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
2．（2023上·江苏连云港·八年级校考期中）如图， 中， ， ， ．将 沿射
线 折叠，使点 与 边上的点 重合， 为射线 上一个动点，当 周长最小时， 的长为
．
【答案】
【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理的逆定理，轴对称的性质，掌握相关性质是解答本题的关键．
根据翻折的性质和勾股定理的逆定理，得到 为直角三角形，设 ，则
，再利用勾股定理得到答案．
【详解】解：由题意得：
， 两点关于射线 对称，
，
为定值，要使 周长最小，
即 最小，
如图，当点 为 与射线 的交点时， 周长最小，
， ， ，
，
，
，
为直角三角形，
，
，
，设 ，则 ，
在 中，
，
即 ，
解得： ，
，
故答案为： ．
3．（2024上·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考期末）如图，在四边形 中， ，
， ．
(1)求证： ：
(2)如果 平分 ，且 ，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，从而可得 ，即可解答；
（2）过点A作 ，垂足为E，先利用角平分线的性质可得 ，然后在 中，利
用勾股定理求出 的长，再在 中，利用含30度角的直角三角形的性质求出 的长，从而求出
的长，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，根据题目的
逐一条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵ ， ， ，∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
∴ ．
（2）解：过点A作 ，垂足为E，，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为： ，
∴ 的面积为 ．
【经典例题五 利用勾股定理的逆定理证明】
【例5】（2023下·辽宁营口·八年级统考期末）三角形的三边长分别为 ，且满足等式，则此三角形是（ ）
A．以 为斜边的直角三角形 B．以 为斜边的直角三角形
C．以 为斜边的直角三角形 D．以 为腰的等腰三角形
【答案】B
【分析】将等式 进行化简得出 ，再由勾股定理逆定理即可得出结论．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
则是以 为斜边的直角三角形，
故选： ．
【点睛】此题考查了完全平方公式、勾股定理的逆定理，其中能正确化简等式是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ， ，点P
为直线 上一点，连接 ，则线段 的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，过 作 于 ，由题意知， 最小，根据 ，可得 是直角三
角形， ，根据 ，即 ，计算求解即可．
【详解】解：如图，过 作 于 ，由题意知， 最小，
∵ ， ， ，
∴ ，即 ，
∴ 是直角三角形， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，垂线段最短．解题的关键在于确定最小的线段 ．
2．（2023下·山西大同·八年级统考阶段练习）如图，在 中， ，中线 ， ，
则 长为 ．
【答案】
【分析】证明 为直角三角形，，延长延长 至点 ，使得 ，连接 ，证明
，可得 ， ， ，然后利用勾股定理即可解
决问题.
【详解】解：在 中, ，中线 ， ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ 为直角三角形，
∴ ，
如图，延长 至点 ，使得 ，连接 ，∵ 是 的中线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理得： ．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是得到 ．
3．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期末）如图所示，A城与C城的直线距离为60公里，B城与C城的
直线距离为80公里，A城与B城的直线距离为100公里．
(1)现需要在A，B，C三座城市所图成的三角形区域内建造一个加油站 ．使得这个加油站 到三座城市
A，B，C的距离相等，则加油站 点一定是 三条______的交点；（请在以下选项中选出正确答案并
将对应选项序号填写在横线上：①中线②高线③角平分线④垂直平分线）
(2)判断 形状，并说明理由．
【答案】(1)④
(2) 是直角三角形．理由详见解析【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理．掌握线段的垂直平分线上的点到线
段的两个端点的距离相等是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质解答即可．
（2）根据勾股定理的逆定理解答即可．
【详解】（1）解：∵加油站P到三个城A、B、C的距离相等，
∴ ，
∴点P在线段 的垂直平分线上，
同理，点P在线段 的垂直平分线上，
∴P点应设计在三条边的垂直平分线的交点，
故答案为：④．
（2）解： 是直角三角形．
理由：∵ ， ，
∴
∴
∴ 是直角三角形．
【经典例题六 勾股定理逆定理的实际应用】
【例6】（2023下·辽宁鞍山·八年级统考期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地 ，
测得 ， ， ， ，且 ，这块菜地的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在 中，利用勾股定理求出 的长，再由勾股定理逆定理判断 的形状，由三角形面
积公式求得菜地的面积．
【详解】解：连接AC
在 中， ， ， ，，在 中， ， ，
∴
∴ 是直角三角形，且 ．
∴
∴这块菜地的面积是
故选：B
【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式训练】
1．（2023上·江苏宿迁·八年级统考期中）李伯伯家有一块四边形田地 ，其中 ， ，
， ， ，则这块地的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理和三角形面积的应用，连接 ，运用勾股定理逆定理可证 为直角三
角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和．
【详解】解：连接 ，则在 中，，
，
在 中， ， ，
，
，
（平方米），
故答案为：C．
2．（2023下·黑龙江大庆·八年级校考期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其
中 ，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H
（A，H，B在同一直线上），并新修一条路 ，测得 千米， 千米， 千米．则原路线
千米．
【答案】 /
【分析】先根据勾股定理的逆定理说明 是直角三角形且 ，设 千米，则
千米，最后在 运用勾股定理即可解答．
【详解】解：
∵在 中， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形且 ；设 千米，则 千米，
在 中，由已知得 ，
由勾股定理得： ，
∴ ，解得x= ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，掌握勾股定理的逆定理和定理是解决本题的
关键．
3．（2024上·河南南阳·八年级统考期末）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针
政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八
（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地．
(1)当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为 ， ， 时，一边的小明很快给出这块试验
基地的面积．你求出的面积为______ ．
(2)八（2）班的劳动实践基地的三边长分别为 ， ， 如图），你能帮助他们求
出面积吗？
【答案】(1)30
(2)
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键．
（1）利用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，进而求解即可；
（2）过A作 交 于点D．设 ，则 ，利用勾股定理分别求得 、 、 即
可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴该三角形为直角三角形，其中13为斜边，∴这块试验基地的面积为 ，
故答案为：30；
（2）解：过A作 交 于点D．
设 ，则 ．
在 和
由勾股定理得
，
解得 ，
在 中，由勾股定理得 ,
∴ ．
【经典例题七 勾股定理逆定理的拓展问题】
【例7】（2021上·福建泉州·八年级统考期末）在 中， 的对边分别记为 下列
结论中不正确的是 （ ）
A．如果 那么 是直角三角形
B．如果 ，那么 是直角三角形
C．如果 ，那么 是直角三角形
D．如果 ，那么 是直角三角形
【答案】C
【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．【详解】选项A中如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角
形，选项正确；
选项B中如果 a2＝b2+c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；
选项C中如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝45°，∠B=60°，∠C
=75°，没有直角，不是直角三角形，故选项C错误，
选项D中如果 a：b：c＝3：4：5，满足a2+b2＝c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；
故选：C
【点睛】考查直角三角形的判定，学生熟练掌握勾股定理逆定理是本题解题的关键，并结合直角三角形的
定义解出此题．
【变式训练】
1．（2023上·河南洛阳·八年级偃师市实验中学校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．在直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5
B．三角形为直角三角形，三角形的三边长为a，b，c，则满足a2-b2＝c2
C．以任意三个连续自然数为三边长都能构成直角三角形
D．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC为直角三角形
【答案】D
【分析】根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案．
【详解】解：A、应为“直角三角形中，已知两直角边的边长为3和4，则斜边的边长为5”，故不符合题
意；
B、应为“三角形是直角三角形，三角形的直角边分别为b，c，斜边为a，则满足a2=b2+c2，即a2-b2=c2”，
故不符合题意；
C、比如：边长分别为3，4，5，有32+42=25=52，能构成直角三角形，故不符合题意；
D、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为15°，75°，90°，因而是直角三角形，故符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和判定，注意在叙述命题时要叙述准确．
2．（2021上·河北承德·八年级统考期末）阅读下列内容：设 ， ， 是一个三角形的三条边的长，且
最大，我们可以利用 ， ， 之间的关系来判断这个三角形的形状：①若 ，则该三角形是直角
三角形；②若 ，则该三角形是钝角三角形；③若 ，则该三角形是锐角三角形．例如：
若一个三角形的三边长分别是 ， ， ，则最长边是 ， ，故由③可知该三角形是锐角三角形．
（1）若一个三角形的三边长分别是 ， ， ，则该三角形是 ；
（2）若一个三角形的三边长分别是 ， ， ，且这个三角形是直角三角形，则 的值为 ；
（3）带一个三角形的三边长 ， ， ，其中 是最长边长，则该三角形是
三角形．
【答案】 锐角三角形 或 钝角
【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出x的值；
（3）直接利用已知结合三边关系得出答案．
【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，
∴三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角三角形；
（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，
∴52+122=x2，
∴x=13，
当12是斜边，
则52+x2=122，
解得：x= ，
综上所述：x=13或 ．
故答案为：13或 ；
（3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+ =(x- )2+(y-1)2+3z2+ ＞0，
∴a2＞b2+c2，
∴该三角形是钝角三角形．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键．
3．（2023上·江苏镇江·八年级丹阳市第八中学校考期中）【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多
种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三
角板 和直角三角板 ，顶点F在 边上，顶点C、D重合，连接 ．设 交于点G． ， ， ， ．请你回答以下问题：
（1） 与 的位置关系为______．
（2）填空： ______（用含c的代数式表示）．
（3）请尝试利用此图形证明勾股定理．
【问题再探】平移直角三角板 ，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时
三角形 是一个等腰直角三角形．
请你利用以上信息解决以下问题：
已知直线 及点P，作等腰直角 ，使得点A、B分别在直线a、b上且 ．（尺规作图，
保留作图痕迹）
【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题：
已知 中， ， ， ，则 的面积 ______．
【答案】问题初探：（1） ；（2） ；（3）见解析；问题再探：见解析；问题拓展：9
【分析】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理的证明，三角形的面积的计算，全等三角形的性质．
问题初探：（1）根据全等三角形的性质得到 ，求得 ，得到，根据垂直的定义得到 ；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）根据三角形的面积和梯形的面积公式用两种方法求得四边形 的面积，于是得到结论．
问题再探：如图，过点P作 直线 于点F交直线a于点E，截取 ， ，连接
即可；
问题拓展：过点B作 交 延长线于点E，过点C作 于点D，证明
，得 ，根据勾股定理得
，然后代入三角形面积公式即可解决问题．
【详解】解：问题初探：（1） ；
证明： ，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ；,
（2）∵ ，
，
故答案为： ；,（3）证明：∵四边形 的面积
，
∴四边形 的面积
，
∴ ，
即 ．
问题再探：解：如图， 即为所求；
问题拓展：解：如图，过点B作 交 延长线于点E，过点C作 于点D，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
，的面积
．
故答案为：9．
【经典例题八 勾股定理逆定理的综合运用】
【例8】（2023上·湖南长沙·八年级湖南师大附中校考期中）定义：a，b，c为正整数，若 ，则
称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如 ，则13是“完美勾股数”，5，12
是13的“伴侣勾股数”．
(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知 的三边a，b，c满足 ． 求证：c是“完美勾股数”．
(3)已知m， 且 ， ， ， ，c为“完美勾股数”，
a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式 有一个因式 ，求该多项式的另一个因式．
【答案】(1)是
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用．
（1）根据完美勾股数的定义可得答案；
（3）利用完全平方公式证明即可；（3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入 ，根据多项式 有一个因
式 ，求解即可．
【详解】（1）解： ，
数10是“完美勾股数”，
故答案为：是；
（2）证明：
，
，
是“完美勾股数”；
（3）解：由题意得： ，
，
，
，
，
，
又 ，
，即 ，
，
有一个因式为 ，
，
∴另一个因式为 ．【变式训练】
1．（2023上·江苏徐州·八年级统考期中）在 中， ，设 为最长边，当
时， 是直角三角形；当 时，利用代数式 和 的大小关系，探究
的形状（按角分类）．
(1)当 三边分别为6、8、9时， 为________三角形；当 三边分别为6、8、11时，
为________三角形；
(2)猜想：当 ________ 时， 为锐角三角形；当 ________ 时， 为钝角三角形；
（填“>”或“<”或“=”）
(3)判断：当 时，
当 为直角三角形时，则 的取值为________；
当 为锐角三角形时，则 的取值范围________；
当 为钝角三角形时，则 的取值范围________．
【答案】(1)锐角；钝角
(2)
(3)① ；② ；③
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，
反之为钝角三角形；
（2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
（3）当为直角三角形时，可求出 ，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围．
【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边
当 三边分别为6、8、9时， 为锐角三角形
当 三边分别为6、8、11时， 为钝角三角形
（2）解：由勾股定理逆定理可得，当 时， 为锐角三角形；
当 时， 为钝角三角形；
（3）解：当为直角三角形时， ；
当 为锐角三角形时， ，
；
当 为钝角三角形时， ，
则 的取值范围为 ，
两边之和大于第三边，
．
2．（2023上·河北衡水·八年级校考期中）勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀
算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整
数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如 ：等等都是勾
股数．
【探究1】
（1）如果 是一组勾股数，即满足 ，则 为正整数）也是一组勾股数．如；
是一组勾股数，则__ _也是一组勾股数；
（2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出
公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的 是一组勾
股数；
（3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当
， 为正整数， 时， 构成一组勾股数；请根据这一结
论直接写出一组符合条件的勾股数___ ．
【探究2】
观察 ；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从 起就没有间断过，并且勾为时股 ，弦 ；勾 为时，股 ，弦 ；
请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾为7，则股 ___ _；弦 ___ _；
（2）如果用 且 为奇数)表示勾，请用含有 的式子表示股和弦，则股 ___ ；弦 __ _；
（3）观察 ；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从 起也没有间断
过．
_；
请你直接用 为偶数且 ）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_ ；和弦的长_ _．
【答案】探究1（1）6，8，10；（2）详见解析；（3） ；探究2（1） ,
；（2） ， ；（3）①80，② ，弦
【分析】探究1：（1）根据勾股定理 ，令k＝2即可求解（答案不唯一）；
（2）根据完全平方公式求出 、 根据勾股定理逆定理即可求证；
（3）根据勾股定理逆定理计算，证明结论，根据题意写出勾股数；
探究2：（1）根据规律即求解；
（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝ ，弦＝ ；
（3）根据规律可得股比弦小2，根据规律可得，如果 是符合同样规律的一组勾股数， 为偶数
且 )，根据所给3组数据找出规律即可得结论．
【详解】探究1：（1）6,8,10（答案不唯一)；·
（2）证明：
，，
满足以上公式的 是一组勾股数；
（3）∵ ＝
∴满足以上公式的 是一组勾股数；
当 时， ，
∴ 构成一组勾股数．(答案不唯一）
探究2：（1）依据规律可得，如果勾为 ，
则股 ，
弦 ，
（2）如果勾用 ，且 为奇数）表示时，
则股 ，
弦
（3）①b＝80．
②根据规律可得，如果 是符合同样规律的一组勾股数， 为偶数且 )，
则另一条直角边
弦
【点睛】本题主要考查勾股数的定义、勾股定理及其逆定理，数字类规律问题，掌握完全平方公式、满足
的三个正整数均为勾股数是解题的关键．3．（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于
一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）下列四边形是勾股四边形的有 ．（填序号）
①长方形；②平行四边形；③正方形；
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（0，4），B（3，0），请你直接写出所有以格
点为顶点，OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标____________
（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD、DC，已知∠DCB＝30°．
求证：四边形ABCD是勾股四边形．
【答案】（1）①③；（2）（3，4）或（4，3）；（3）见解析
【分析】（1）根据定义和勾股四边形的性质，有矩形或正方形或直角梯形满足题意；
（2）OM＝AB知以格点为顶点的M共两个，分别得出答案；
（3）连接CE，证明△BCE是等边三角形，△DCE是直角三角形，继而可证明四边形ABCD是勾股四边
形．
【详解】（1）学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：矩形，正方形
故答案为：①③；
（2）如图1所示：M（3，4）或（4，3）；
故答案为（3，4）或（4，3）；（3）证明：如图2，连接CE，由旋转得：△ABC≌△DBE，
∴AC＝DE，BC＝BE，
∵∠CBE＝60，
∴△CBE为等边三角形，
∴BC＝CE，∠BCE＝60°，
∵∠DCB＝30°，
∴∠DCE＝∠DCB+∠BCE＝30°+60°＝90°，
∴DC2+EC2＝DE2，
∴DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了勾股定理、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、
全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．【拓展培优】
1．（2024上·山东泰安·七年级统考期末）已知 中， 所对的边的长分别是 ，根
据下列条件不能判定 为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及勾股定理逆定理等知识，根据三角形内角和定理以及勾股
定理逆定理分析判断即可求出答案．
【详解】解：A.由题意， ，
∴ 是锐角三角形，本选项符合题意．
B.∵ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，本选项不符合题意．
C.∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，本选项不符合题意．
D.∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，本选项不符合题意．
故选：A．
2．（2023上·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考期中）下列由三条线段 构成的三角形：
①如果 ；② ；③如果 ；④
（ 为大于1的整数），其中能构成直角三角形的是（ ）A．①④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
【答案】B
【分析】判断一组数能否成为直角三角形：①是否有一个角是直角；②是否满足两较小边的平方和等于最
大边的平方．将题目中的各题一一作出判断即可．
解题的关键是熟知直角三角形的判断方法.
【详解】①∵ , ,
∴ ,则 ,故能构成直角三角形，符合题意；
②∵ , ,
故能构成直角三角形，符合题意；
③∵ ,
∴最大角 ,
故不能构成直角三角形，不符合题意；
④∵ ,且m为大于1的整数,
∴ 则
∴ ,则最长边为a
∴
故能构成直角三角形，符合题意；
综上所述,①②④正确.
故选：B
3．（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1．点
A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． 的面积为5 D．点A到 的距离是1.5
【答案】D【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握
勾股定理及其逆定理是解题的关键．
利用勾股定理及其逆定理判定A，利用勾股定理求出 长可判定B；利用网格图计算三角形的面积可判定
C；利用面积公式求出 边 的高，即可利用点到直线的距离判定D．
【详解】解：A、 ， ， ，
，
，本选项结论正确，不符合题意；
B、∵ ，
∴ ，本选项结论正确，不符合题意；
C、 ，本选项结论正确，不符合题意；
D、点A到 的距离 ，本选项结论错误，符合题意；
故选：D．
4．（2023上·上海徐汇·八年级校联考阶段练习）如图，在四边形 中， ， ， ，
，且 ，下列结论中：① ；② ；③ ；④ ．
其中正确的结论是（ ）
A．② B．①② C．①④ D．①③④
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，四边形内角和定理，先根据勾股定理得到
，进而证明 ，推出 是直角三角形，且 ，由四边形
内角和定理得到 ，再由 得到，据此可判断①②④；根据现有条件无法得到 ，即可判断③．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，故①正确；
∴ ，故②正确；
，故④错误；
根据现有条件无法得到 ，故③错误；
故选B．
5．（2022上·四川南充·九年级校考阶段练习）如图，在四边形 中， ， ， ，
，且 ，则四边形 的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C【分析】连接 ，根据勾股定理可得 ，再由勾股定理的逆定理可得 ，
再根据四边形 的面积等于 ，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的面积是 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
6．（2023上·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期末）如图，在正方形网格，四边形 的四
个顶点都在格点上，则 的度数为 ．
【答案】 /45度
【分析】取格点E，连接 、 ，根据平行线的性质得出 ，根据勾股定理求出，根据等腰三角形的性质求出 ，证明 为直角三角形，
，根据等腰三角形性质求出 ，即可求出结果．
【详解】解：取格点E，连接 、 ，如图所示：
根据格点特点可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为直角三角形， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和网格问题，勾股定理逆定理的应用，等腰三角形的判定和性质，平行
线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟记勾股定理和逆定理．
7．（2024·全国·八年级竞赛）已知一个等腰 的底边 的长为 厘米，腰 上有一点 ，使得
厘米， 厘米，那么等腰 的腰长为 厘米．
【答案】 /
【分析】本题考查勾股定理及其勾股定理的逆定理，掌握等腰三角形的性质，利用勾股定理列方程是解题
关键.首先判定 ，然后利用勾股定理列方程计算求解.
【详解】解：如图，
由题意可得 ， ，即 ，
∴
∴ ，
设个等腰 的腰长为 厘米，
在 中， ，
解得 .
故答案为： .
8．（2024上·北京石景山·八年级统考期末）如图， 中， ， ． 平分 ．
则
（1） °；
（2）点 到 的距离为 ．
【答案】
【分析】（1）本题根据勾股定理逆定理得出 为等腰直角三角形，即可求解．
（2）本题过点 作 于点 ，根据 证明 ，再根据角平分线性质得到 ，设
，则 ， ，最后结合勾股定理即可求解．
【详解】（1）解： ， ，满足 ，，即 为等腰直角三角形，
，
故答案为： ．
（2）解：过点 作 于点 ，如图所示
，
，
，
，
平分 ，且 ，
，
设 ，则 ， ，
，有 ，
整理得 ，解得 （舍去）， ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查勾股定理逆定理、等腰直角三角形性质、角平分线的性质和勾股定理，解题的关键在于
利用勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形和利用勾股定理求线段长．
9．（2023上·河南平顶山·八年级统考期中）如图，点 是某景点所在位置，游客可以在游客观光车站 或
处乘车前往，且 ，因道路施工，点 到点 段现暂时封闭，为方便出行，在 这条路上的
处修建了一个临时车站，由 处亦可直达 处，若 ．则路线 的长为
．【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键．先根据勾股定理
逆定理判断 是直角三角形，再根据勾股定理计算求解．
【详解】解： 是直角三角形．
理由如下：
， ， ，
， ， ，
，
是直角三角形；
，
设 ，则 ，
由勾股定理得： ，
即 ，
解得 ，
．
故答案为： ．
10．（2023上·浙江温州·八年级校联考阶段练习）如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了
是完全固定的钢架外， ， ， 属于位置可变的定长钢架．如图1所示， ， ，
，伸缩杆 的两端分别固定在 ， 两边上，其中 ， ．当伸缩杆
打开最大时，如图2所示， 成 ，此时 ，则可变定长钢架 的长度为 ．当伸缩杆完全收拢时， ，则此时床高（ 与 之间的距离）为 ．
【答案】 8 12
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，平行线间的距离，理解题意将实际问题转化为数学模型
是解题的关键．
当伸缩杆 打开最大时，先证明 是直角三角形，由勾股定理，得 ，即可由
求得 长；当伸缩杆完全收拢时， ，过点C作 于H，过点D作
于F，由平行线间的距离，可得 ， ， ，再由勾股定理，得
，即 ，即可求得 ，即可由
求解．
【详解】解：如图2，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 成 ，
∴ 是直角三角形，由勾股定理，得
∴ ；
当伸缩杆完全收拢时， ，过点C作 于H，过点D作 于F，如图，
∵ ， 于H，过点D作 于F，
∴ ， ，
∴ ，
∴
由勾股定理，得
∴
∴
∴
故答案为：8；12．
11．（2024上·海南儋州·八年级统考期末）为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市
某中学现有一块四边形的空地 ，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课
外实践活动小组测量得到： ， ， ， ， ．根据你所学过的
知识，解决下列问题：(1)四边形 的面积；
(2)点D到 的距离．
【答案】(1)四边形 的面积为
(2)点D到 的距离 为
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．
（1）连接 ，在 中，利用勾股定理求出 ，再利用勾股定理的逆定理判断得到 ，最
后利用 即可解答．
（2）过点D作 于点E，利用等面积法计算即可．
【详解】（1）解：连结 ，
在 中，∵ ， ，
∴
在 中，∵ ，
∴
∴ 是直角三角形，且
∴
答：四边形 的面积为 ．
（2）过点D作 于点E
∵
∴ ；答：点D到 的距离 为 ．
12．（2024上·重庆沙坪坝·八年级统考期末）为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度，某小区进行
小范围绿化，要在一块如图所示的 地块内进行绿化改造，点D为 内一点， ，
米， 米， 米， 米．
(1)若将原来的 路段由水泥路改造成一条鹅卵石路，改造成本为每米 元，请问改造此路需要花费多少
元？
(2)若需要在阴影部分区域种植草皮，种植草皮的费用是每平方米 元，那么在阴影部分区域种植草皮共
需投入多少元？
【答案】(1) 元
(2) 元
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，有理数的乘法运算的应用．熟练掌握勾股定理，
勾股定理的逆定理的应用，有理数的乘法运算的应用是解题的关键．
（1）由勾股定理得 ，根据铺设这条鹅卵石路的最低花费为 ，计算求解即可；
（2）由 ，可得 ，则 ，根据阴影
部分区域种植草皮共需投入 ，计算求解即可．
【详解】（1）解：由勾股定理得 （米），
∴ （元），
∴铺设这条鹅卵石路的最低花费为 元；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ （平方米），
∴ （元），∴阴影部分区域种植草皮共需投入 元．
13．（2024上·山东淄博·七年级校联考期末）如图，在 中， ， ，P是 内
一点，且 ， ， ， ．
(1) 与 全等吗？请说明理由；
(2)求 的度数．
【答案】(1) 与 全等，理由见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理逆定理．
（1）根据 证明 与 全等即可；
（2）利用勾股定理的逆定理得出 是直角三角形，进而解答即可．
【详解】（1）解： 与 全等，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
∴ ．
14．（2023上·福建漳州·八年级漳州三中校考期中）先阅读下列一段文字，再回答问题：
已知平面内两点 ，这两点间的距离 同时当两点所在的直线
在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为 或 ．
(1)已知点 ，则 两点间的距离为______；已知点 在平行于 轴的直线上，点
的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，则 两点间的距离______；
(2)已知一个三角形的各顶点坐标分别为 ，你能判定此三角形的形状吗？请说明
理由．
(3)在（2）的条件下，在 轴上有一点 ，若 的值最小，请找出点 （不求坐标，画出图形即可），
求出 的最小值．
【答案】(1) ， ；
(2) 为等腰直角三角形；
(3) 的最小值为 ．【分析】（1）直接利用公式计算即可；
（2）根据两点之间的距离的定义计算及勾股定理的逆定理即可判断；
（3）根据两点之间、线段最短作出图形即可得解．
【详解】（1）解：∵
∴ ，
∵点 在平行于 轴的直线上，点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）解：∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ 为等腰直角三角形；
（3）解：如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，则此时 的值
最小，
∵ ， ，
∴ 的最小值为 ．【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形，坐标与图形的性质、两点之间，线段最短，熟练掌握勾股定理
及两点间距离公式是解题的关键．
15．（2024上·福建漳州·八年级统考期末）如图， 中， ， ， ，点 在直线
的左侧且 ．
(1)求证： 是直角三角形；
(2)若 在 边上，求 的长；
(3)若直线 的右侧存在一点 ，且 平分 ， ，当 最大时，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据勾股定理逆定理判断出 是直角三角形，
（2）根据三角形的面积，求出 的长即可．
（3）画出图像，证明 ，当A，B， 三点共线时， 最大，代入求值即可．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
（2）解：如图，过点 作 交 于点 ，
在 中，∵ ， ， ，∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（3）解：如图，过点 作 交 于点 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当A，B， 三点共线时， 最大，
由（2）知： ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ．
