7.8 复数大题专项
模块一:题型分类.........................................................................2
题型一:复数的四则运算............................................................. 2
题型二:复数范围内方程的根的问题...............................................4
题型三:复数的四则运算与复数特征的综合应用................................ 6
题型四:复数与其他模块综合....................................................... 8
7.8 复数大题专项
模块一:题型分类
题型一:复数的四则运算
1.计算:
(1) 1 + 2i + 7 −11i −5 + 6i ;
(2)5i −
6 + 8i −−1 + 3i ;
(3) �+ �i −2�−3�i −3i �,�∈R .
2.已知复数�满足�+ 2i = 5,�= �+ 3 −�i �> 0 .
(1)求�;
(2)若复数�1满足�1 �1 + 2 = �+ 2i,求�1.
3.设�(�) = �−2�,�1 = 3 + 4�,�2 =−2 −�,
求:(1)�(�1 −�2)的值;
(2)�(�1 + �2)的值.
4.已知复数�1 + �1i,�2 + �2i,�3 + �3i �1, �2, �3, �1, �2, �3 ∈R ,分别记作�1,�2,�3,即�1 = �1 + �1i,
�2 = �2 + �2i,�3 = �3 + �3i,求证:
(1)�1�2 = �2�1;
(2) �1�2 �3 = �1 �2�3 ;
(3)�1 �2 + �3 = �1�2 + �1�3.
5.已知复数�1 = cos�+ isin�, �2 = cos�−isin�, �, �均为锐角,且�1 −�2 =
2 5
5 .
(1)求cos �+ �的值;
(2)若cos�=
4
5,求cos�的值.
6.已知复数�1 =−2 + i,�2 =−1 + 2i.
(1)求�1 −�2,�1 + �2
(2)比较|�1 −�2|与|�1 + �2|的大小.
7.计算.
(1)
1+i
1−i
6
+
2+ 3i
3−2i;
(2)
1
2 +
3
2 i
4
.
(3)
1−4i
1+i +2+4i
3+4i
;
(4)
1+i 5
1−i +
1−i 5
1+i ;
(5)
−2 3+i
1+2 3i +
2
1+i
2022
+
4−8i 2−−4+8i 2
11−7i
.
8.设复数�1 = �+ �i,�2 = �+ �i,其中�、�、�、�∈R.现在复数系中定义一个新运算⊗,规定:�1 ⊗�2 =
��+ ��+ ��+ ��i.
(1)已知2 −i ⊗�+ i
=
2,求实数x 的值;
(2)现给出如下有关复数新运算⊗性质的两个命题:
①�1 ⊗�2 = �1 ⊗�2;
②若�1 ⊗�2 = 0,则�1 = 0 或�2 = 0.
请判定以上两个命题是真命题还是假命题,并说明理由.
题型二:复数范围内方程的根的问题
1.设虚数�1、�2满足�1
2 = �2.
(1)若�1、�2又是一个实系数一元二次方程的两个根,求�1、�2;
(2)把(1)中虚部大于零的根记作�,对任意整数�,计算��+ ��+1 + ��+2;
(3)若�1 = 1 + �i(i 为虚数单位,�为实数),�1 ≤
2,复数�= �2 + 3,求�的取值范围.
2.关于�的实系数一元二次方程�2 + ��+ �= 0.
(1)若方程有一个根是2 −3i,求�+ �的值;
(2)当�= 3 时,方程的两个虚根�1, �2满足�1 −�2 = 2 2,求�的值.
3.已知虚数�1 = 4cos�+ 3sin�⋅i,�2 = 2 −3sin�⋅i,其中i 为虚数单位,�∈�,�1、�2是实系数一元二
次方程�2 + ��+ �= 0 的两根.
(1)求实数m、n 的值;
(2)若�−�1 + �−�2 = 3 3,求�的取值范围.
4.已知关于x 的方程�2 −2��+ �2 −4�+ 4 = 0(�∈�)在复数范围内的两根分别为�、�.
(1)若该方程没有实根,求实数a 的取值范围;并在复数范围内对�2 −2��+ �2 −4�+ 4 进行因式分解;
(2)若|�| + |�| = 3,求实数a 的值.
5.设�, �∈�,已知�1,�2为关于�的二次方程�2 + 2��+ �= 0 两个不同的虚根,
(1)若�= 2,求实数�的取值范围;
(2)若�1 −�2 = 2,
�1
�2 +
�2
�1 = 1,求实数�,�的值.
6.已知关于�的实系数一元二次方程�2 + ��+ �= 0 �, �∈�.
(1)若一根为1 −2i,求�,�的值;
(2)若存在模为1 的虚数根,求�,�满足的条件;
(3)设�= �= 2,�0是虚数根,记�0,�02,�0 −�02在复平面上对应点分别为�,B,�,求��
→
+ ��
→
⋅��
→
的值.
7.在①�2�2 = 10(�> 0);②复平面上表示
�1
�2的点在直线�+ 2�= 0 上;③�1(�−i) > 0 这三个条件中任选
一个,补充在下面问题中的横线上,并解答:
已知复数�1 = 1 + i,�2 = �+ 3i;(i 为虚数单位),满足.
(1)若�=
1
�1 +
1
�2,求复数�以及|�|;
(2)若�2是实系数一元二次方程�2 + ��+ 4 −3�= 0 的根,求实数�的值
8.已知关于�的实系数一元二次方程2�2 −4 �−1 �+ �2 + 1 = 0
(1)若�= 2,求方程的两个根;
(2)若方程有两虚根�1, �2,�1 + �2 = 4,求�的值;
(3)若方程的两根为�1, �2,其在复平面上所对应的点分别为�, �,点�关于�轴的对称点为�(不同于点�),
如果��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ≤−1,求�的取值范围.
题型三:复数的四则运算与复数特征的综合应用
1.已知z 为复数,�−6 和
i�
3+i均为纯虚数,其中i 是虚数单位.
(1)求复数z 的共轭复数�ത;
(2)若复数
1
2 �ത−
1
�−1 +
2
�−2 i 在复平面内对应的点位于实轴下方,求实数m 的取值范围.
2.复数�= (1 + i)�2 −(8 + i)�+ 15 −6i(�∈R),求实数m 的取值范围使得:
(1)z 为纯虚数;
(2)z 在复平面上对应的点在第四象限.
3.已知复数�1 = 1 + �2 −10 i,�2 = (2�−5)i(�> 0),�1 + �2 ∈�.
(1)求实数�的值;
(2)若�∈�,�−�2 = 2,求�的取值范围.
4.已知i 是虚数单位,复数z 的共轭复数是�,且满足�+ 2�= 3 −2i.
(1)求复数z 的模�;
(2)若复数�2 −�i 在复平面内对应的点在第二象限,求实数m 的取值范围.
5.已知复数�1 = �+ i,�2 = 1 −i,其中�是实数.
(1)若�1
2 =−2i,求实数�的值;
(2)若
�1
�2是纯虚数,求
�1
�2 +
�1
�2
2
+
�1
�2
3
+ ⋯+
�1
�2
2023
.
6.已知复数z 满足
1+i
�−1 =
1−i
2 (i 是虚数单位)
(1)求z 的值;
(2)若复数�−�2 −5�在复平面内对应的点在第三象限,求实数m 的取值范围.
7.在①复数z 满足�+ i 和
�
2−i均为实数;②�为复数z 的共轭复数,且�1 + i = �+ 1;③复数�= �+ �i �∈
�, �< 0 是关于x 方程�2 −4�+ 5 = 0 的一个根,这三个条件中任选一个(如果选择多个条件分别解答,
按第一个解答计分),并解答问题:
(1)求复数z;
(2)在复平面内,若�1 = �+
1
�+ �2 + �−3 i 对应的点在第四象限,求实数m 的取值范围.
8.已知i 是虚数单位,a,�∈�,设复数�1 = 2�−
3i,�2 = 2�+ i,�3 = �+ �i,且�3 = 1.
(1)若�1 −�2为纯虚数,求�3;
(2)若复数�1,�2在复平面上对应的点分别为A,B,且O 为复平面的坐标原点.
①是否存在实数a,b,使向量��Ԧ
ሬሬሬሬ逆时针旋转90°后与向量��Ԧ
ሬሬሬሬ重合,如果存在,求实数a,b 的值;如果不
存在,请说明理由;
②若O,A,B 三点不共线,记△���的面积为��, �,求��, �及其最大值.
题型四:复数与其他模块综合
1.已知:对于任意的多项式��与任意复数z,��= 0 ⇔�−�整除��.利用上述定理解决下列问题:
(1)在复数范围内分解因式:�2 + �+ 1;
(2)若�2 + �+ 1 = 0,求�21 + �22 + �23的值;
(3)求所有满足�2 + �+ 1 整除�2�+ ��+ 1 的正整数n 构成的集合A.
2.已知复数z 满足|z|= 2,z2 的虚部为﹣2,且z 所对应的点在第二象限.
(1)求复数z;
(2)若复数ω满足|ω﹣1|≤
�
�+�,求ω在复平面内对应的点的集合构成图形的面积.
3.(1)计算:
3 2−i
1+3 2i +
2
1−i
10
+ −
1
2 i +
3
2
10
;
(2)若复数z 满足
�−1
�
=
1
2,arg
�−1
�
=
�
3,求复数
3
2 (�−2|�| −�) +
3的三角形式.
(3)利用复数证明余弦定理.
4.对一般的实系数一元三次方程��3 + ��2 + ��+ �= 0 �≠0 ,由于总可以通过代换�= �−
�
3�消去其二
次项,就可以变为方程�3 + ��+ �= 0.在一些数学工具书中,我们可以找到方程�3 + ��+ �= 0 的求根
公式,这一公式被称为卡尔丹公式,它是以16 世纪意大利数学家卡尔丹(J.Cardan)的名字命名的.
卡尔丹公式的获得过程如下:三次方程�3 + ��+ �= 0 可以变形为�3 =−��+ −�,把未知数x 写成两数
之和�= �+ �,再把等式�3 = �+ �3的右边展开,就得到�3 = �3 + �3 + 3���+ �,即�3 = 3���+
�3 + �3 .将上式与�3 =−��+ −�相对照,得到
3��=−�
�3 + �3 =−�,把此方程组中的第一个方程两边同时
作三次方,�3�3 = −
�
3
3
�3 + �3 =−�
,并把�3与�3看成未知数,解得
�3 =−
�
2 +
�
2
2
+
�
3
3
�3 =−
�
2 −
�
2
2
+
�
3
3 ,于是,方程�3 + ��+
�= 0 一个根可以写成�=
3
−
�
2 +
�
2
2
+
�
3
3
+
3
−
�
2 −
�
2
2
+
�
3
3
.
阅读以上材料,求解方程�3 −3�2 −12�+ 10 = 0.
5.已知复数�0 = 1 −�i �> 0 , �= �+ �i 和�= �′ + �′i,其中�, �, �′, �′均为实数,i 为虚数单位,且对于
任意复数z,有�= �0 ⋅�ത, |�| = 2|�|.
(1)试求m 的值,并分别写出�′和�′用x、y 表示的关系式;
(2)将(�, �)作为点P 的坐标,�′, �′ 作为点Q 的坐标,上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换:它
将平面上的点P 变到这一平面上的点Q,已知点P 经该变换后得到的点Q 的坐标为
3, 2 ,试求点P 的
坐标;
(3)若直线�= ��上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上,试求k 的值.
6.对于一组复数�1,�2,�3,…,���∈�, �≥3 ,令��= �1 + �2 + �3 +⋅⋅⋅+ ��,如果存在���∈1,2,3, ⋅⋅⋅, �
,
使得��≥��−��,那么称��是该复数组的“�复数”.
(1)设��= �+ �−�i �∈1,2,3
,若�3是复数组�1,�2,�3的“�复数”,求实数�的取值范围;
(2)已知�1 = i,�2 = 1 + i,是否存在复数�3使得�1,�2,�3均是复数组�1,�2,�3的“�复数”?若存在,
求出所有的�3,若不存在,说明理由;
(3)若��=
5
9
�−1
+ i ⋅−1 ��∈�, �≥1 ,复数组�1,�2,�3,…,��是否存在“�复数”?给出你的结
论并说明理由.
7.利用平面向量的坐标表示,可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”,即可将有序复数对
�1, �2 (其中�1, �2 ∈�)视为一个向量,记作�Ԧሬ= �1, �2 .类比平面向量可以定义其运算,两个复向量�Ԧሬ=
�1, �2 ,�Ԧሬ= �1
' , �2
' 的数量积定义为一个复数,记作�Ԧሬ⋅�Ԧሬ,满足�Ԧሬ⋅�Ԧሬ= �1�1
' + �2�2
' ,复向量�Ԧሬ的模定义为�Ԧሬ
=
�Ԧሬ⋅�Ԧሬ.
(1)设�Ԧሬ= 1 −i,i ,�Ԧሬ= 3,4 ,i 为虚数单位,求复向量�Ԧሬ、�Ԧሬ的模;
(2)设�Ԧሬ、�Ԧሬ是两个复向量,
①已知对于任意两个平面向量�Ԧሬ= �1, �1 ,�Ԧሬ= �2, �2 ,(其中�1, �2, �1, �2 ∈�),�Ԧሬ⋅�Ԧሬ
≤�Ԧሬ
�Ԧሬ成立,证
明:对于复向量�Ԧሬ、�Ԧሬ,�Ԧሬ⋅�Ԧሬ
≤�Ԧሬ
�Ԧሬ也成立;
②当�Ԧሬ⋅�Ԧሬ
= �Ԧሬ
�Ԧሬ时,称复向量�Ԧሬ与�Ԧሬ平行.若复向量�Ԧሬ= 1 + i, 1 −2i 与�Ԧሬ= i, �平行(其中i 为虚数单
位,�∈�),求复数�.
8.通过平面直角坐标系,我们可以用有序实数对表示向量.类似的,我们可以把有序复数对�1, �2
�1, �2 ∈C
看作一个向量,记�Ԧሬ= �1, �2 ,则称�Ԧሬ为复向量.类比平面向量的相关运算法则,对于�Ԧሬ= �1, �2 ,�Ԧሬ= �3, �4 ,
�1、�2、�3、�4、�∈C,我们有如下运算法则:
①�Ԧሬ± �Ԧሬ= �1 ± �3, �2 ± �4 ;
②��Ԧሬ= ��1, ��2 ;
③�Ԧሬ⋅�Ԧሬ= �1�3 + �2�4;
④�Ԧሬ
=
�Ԧሬ⋅�Ԧሬ.
(1)设�Ԧሬ= (i, 1 + i),�Ԧሬ= (2,2 −i),求�Ԧሬ+ �Ԧሬ和�Ԧሬ⋅�Ԧሬ.
(2)由平面向量的数量积满足的运算律,我们类比得到复向量的相关结论:
①�Ԧሬ⋅�Ԧሬ= �Ԧሬ⋅�Ԧሬ
②�Ԧሬ⋅(�Ԧሬ+ �Ԧሬ) = �Ԧሬ⋅�Ԧሬ+ �Ԧሬ⋅�Ԧሬ
③(��Ԧሬ) ⋅�Ԧሬ= �Ԧሬ⋅(��Ԧሬ).
试判断这三个结论是否正确,并对正确的结论予以证明.
(3)若�Ԧሬ= (2i, 1),集合Ω = �Ԧሬ�Ԧሬ= (�, �), �= 2�+ 1, �, �∈C ,�Ԧሬ∈Ω.对于任意的�Ԧሬ∈Ω,求出满足条件(�Ԧሬ−
�Ԧሬ) ⋅(�Ԧሬ−�Ԧሬ) = 0 的�Ԧሬ,并将此时的�Ԧሬ记为�0Ԧ
ሬሬሬ,证明对任意的�Ԧሬ∈Ω,不等式�Ԧሬ−�Ԧሬ
≥�Ԧሬ−�0Ԧ
ሬሬሬ恒成立.
根据对上述问题的解答过程,试写出一个一般性的命题(不需要证明).