7.1数系的扩充和复数的概念（原卷版）(1)_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_复数知识点题型分类PDF

7.1 数系的扩充和复数的概念
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：复数的引入..................................................................2
考点二：复数的概念..................................................................2
考点三：复数的表示................................................................... 2
考点四：复数的分类................................................................... 2
考点五：复数相等......................................................................2
模块二：题型分类.........................................................................2
题型一：复数的概念................................................................... 2
题型二：求复数的实部与虚部....................................................... 4
题型三：虚数单位i 及其性质........................................................4
题型四：复数相等的充要条件....................................................... 4
题型五：复数的分类及应用.......................................................... 5
题型六：复数中的比较大小.......................................................... 6
题型七：根据复数的概念求参数.................................................... 6
模块三：综合巩固.........................................................................7
7.1 数系的扩充和复数的概念
模块一：基础知识
考点一：复数的引入
为了解决
+1=0 这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定：
①
=-1，即i 是方程
+1=0 的根；
②实数可以和数i 进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.
在此规定下，实数a 与i 相加，结果记作a+i；实数b 与i 相乘，结果记作bi；实数a 与bi 相加，结果
记作a+bi.注意到所有实数以及i 都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.
考点二：复数的概念
我们把形如
, ,
a
bi a b
R


的数叫做复数,其中i 叫做虚数单位,满足
2
1
i .全体复数所构成的集合
{
| ,
}
C
a
bi a b
R



叫做复数集.
复数的表示:复数通常用字母z 表示,即
, ,
z
a
bi a b
R



,其中的a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部.
考点三：复数的表示
复数通常用字母z 表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi 都有a,b∈R，其中的a
与b 分别叫做复数z 的实部与虚部.
考点四：复数的分类
对于复数a+bi，当且仅当b=0 时，它是实数；当且仅当a=b=0 时，它是实数0；当b≠0 时，它叫做虚
数；当a=0 且b≠0 时，它叫做纯虚数.
显然，实数集R 是复数集C 的真子集，即R
C.
复数z=a+bi 可以分类如下：
复数
，
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示.
考点五：复数相等
在复数集
{
| ,
}
C
a
bi a b
R



中任取两个数a
bi

，c
di

，（
, , ,
a b c d
R

），我们规定
a
c
a
bi
c
di
b
d







.
模块二：题型分类
题型一：复数的概念
1．复数2i （
）
A．i
B．i

C．1
D．1

2.在2 +
7，
2
7 i，8 + 5i，(1 −
3)i，0.618 这五个数中，纯虚数的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
3．下列说法正确的是（
）
A．i 表示虚数单位，所以它不是一个虚数
B．1
的平方根是
i

C．


ib bR 是纯虚数
D．若


z
a a

R ，则复数z 没有虚部
4.写出复数4，2
3i

，0，
1
4 i
2
3


，5
2i

，6i 的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是
纯虚数．
5．复数
3
2
i
4
z










的虚部为（
）
A．2
B．
3
4

C．
3
2
4

D．
3
2
4









i
6.已知i 为虚数单位，下列说法正确的是（
）
A．若�2 + 1 = 0，则�= i
B．实部为零的复数是纯虚数
C．�= �2 + 1 i 可能是实数
D．复数�= 2 + i 的虚部是i
7．若复数
2
3
2 i
z
a
a


的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为
．
8．若
2
(1 i)
2 i(
n
n n


N 且
0)
n 
，则（
）
A．
4 (
n
k k

N 且
0)
n 
B．
4
1(
n
k
k


N 且
0)
n 
C．
4
2(
n
k
k


N 且
0)
n 
D．
4
3(
n
k
k


N 且
0)
n 
9.已知
1z ＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i ，
2z ＝2a＋(a2＋a)i，其中a
R

，
1
2
z
z

，则a 的值为（
）
A．0
B．－1
C．
3
2

D．1
6
10.下列四种说法正确的是（
）
A．如果实数a
b

，那么
(
)i
a
b
a
b


是纯虚数．
B．实数是复数．
C．如果
0
a 
，那么
i
z
a
b


是纯虚数．
D．任何数的偶数次幂都不小于零．
11.（多选）下列关于复数
i
x 的说法一定正确的是（
）
A．存在x 使得
i
x 小于0
B．存在x 使得

2023
i
1
x 

C．不是实数
D．实部和虚部均为1
题型二：求复数的实部与虚部
1．已知复数
2
i
z ，则z 的实部是（
）
A．
2

B．2
C．
1

D．i

2．设
6
2i
z 

，则复数z 的虚部为（
）
A．2

B．2
C．2i

D．2i
3．复数
sin
icos
6
6
π
π
z 

，则复数z 的虚部是（
）
A．
1
2

B．
3
2

C．1 i
2
D．
3 i
2

4．复数
1
2i
z 
，则（
）
A．z 的实部为1

B．z 的虚部为
2

C．z 的实部为1

D．z 的虚部为
2i

5．（多选）
cos
icos2 (0
2 π)
z







的实部与虚部互为相反数，则的取值可能是（
）
A．π
3
B．2π
3
C．π
D．5π
3
题型三：虚数单位i 及其性质
1.计算：
(1)
2
3
4
i i
i
i



；
(2)
2
3
4
5
6
7
8
i
i
i
i
i
i
i
i






．
2：
2
3
2023
1 i
i
i
i






.
3.计算下面式子：
2
3
2022
2023
i
2i
3i
2022i
2023i





．
5.已知i 为虚数单位，则2033
i
（
）
A．i
B．i

C．1
D．1

题型四：复数相等的充要条件
1．求适合下列各方程的实数x ，y 的值：
（1）

i
6
7i
x
y
xy




；
（2）


2
2
4
5
3
4 i
0
x
x
y
y






；
（3）




2
1
1 i
i
x
y
x
y
x
y






．
2.已知





2
i
2
5
3
i
x
y
x
y
x
x
y







，求实数x ，y 的值．
3.若
2
i
2i
2 i
x
y
y



，,
R
x y 
，则复数
i
x
y

等于（
）
A．2
i

B．4
2i

C．1
2i

D．1
2i

4．已知�
1
2 −
i
2 = 1 −�i，其中x，y 是实数，i 是虚数单位，则�−�=（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．若,
R
a b
，i 是虚数单位，
2020i
2
i
a
b



，则
2
i
a
b

＝（
）
A．2020
2i

B．2020
4i

C．2
2020i

D．4
2020i

6．已知
2
1
2
log (
)
(
3 )i
1
m
n
m
m



，且
*
N
n
，则m
n


.
7．（1）若




2
1
1 i
i
x
y
x
y
x
y





，则实数,x y 的值为多少？
（2）若



2
2
1
2
3
4i,
3
1
6 i
z
z
n
m
n
m








，且
1
2
z
z

，则实数,n m 的值分别为多少？
8.已知复数�1 = �+ 4 −�2 i, �2 = 2cos�+ �+ 3sin�i, �, �, �∈�，且�1 = �2，则�的取值范围是（
）
A．−
9
16 , 1
B．−
9
16 , 7
C．−
9
16 , + ∞
D．1,7
题型五：复数的分类及应用
1.当实数m 取什么值时，复数
2
2
(
2
8)
(
2 )i
m
m
m
m




是下列数？
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数.
2.若


2
2
2
3
2
2
k
k
k
k i




是纯虚数，则实数k 的值等于（
）
A．0 或2
B．2 或
1
2

C．
1
2

D．2
3．已知复数



2
2
3
28
16 i
z
m
m
m
m





R ．
（1）若z 为实数，求m 的值；
（2）若z 为纯虚数，求m 的值．
4．实数x 分别取什么值时，复数
2
2
6
(
2
15)i
3
x
x
z
x
x
x







是（1）实数？（2）虚数？
5．已知复数



2
2
1 i
z
m
m
m





（
R
m
，i 为虚数单位）为纯虚数，则m 的值是（
）
A．1
B．-1
C．2
D．-2
6．复数


2
2
i
z
a
b
a
a




，

,a bR 为实数的充要条件是（
）
A．a
b

B．a<0 且a
b

C．
0
a 
且a
b

D．
0
a 
7．（多选）下列命题不正确的是（
）
A．复数


i
,
R
a
b
a b


不可能是纯虚数
B．若
1
x ，则复数
(
1)
(
1)i
z
x
x




为纯虚数
C．若
2
2
(
4)
(
3
2)i
x
x
x




是纯虚数，则实数
2
x 
D．若复数
i
z
a
b


，则当且仅当
0
b 
时，z 为虚数
题型六：复数中的比较大小
1.已知



2
1
3
2 i
z
m
m
m





，



2
2
2
4
2 i
z
m
m
m





，且
1
2
z
z

，则实数m 
．
2．已知


2
2
1
4
5
6 i
z
k
k
k





，


2
2
3
5
6 i(
R)
z
k
k
k
k





．若
1
2
z
z

，则k 的值为（
）
A．2
B．3
C．2 或3
D．不存在
3．已知a ，bR ，若


2
2
a
b
a
b i




（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（
）
A．
2
a 
或
1
a 
B．
1
a 或
2
a 
C．1
2
a


D．2
1
a


4．已知复数
2
2
3
(
5
6)i
z
k
k
k
k





（k R ），且
0
z 
，求k 的值.
5．若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10 成立，求实数m 的值.
6.已知
2
1
2
log (
)
(
3 )i
1
m
n
m
m



，且
*
N
n
，则m
n


.
题型七：根据复数的概念求参数
1．已知复数


2
2
7
6
36 i
z
m
m
m





是纯虚数，则实数m 的值为（
）
A．6

B．1 或6
C．6

D．1
2．已知a，b 均为实数，复数：
2
(
2 )i
z
a
b
b
a




，其中i 为虚数单位，若
3
z 
，则a 的取值范围为（
）
A．

1,3

B．(
, 1)
(3,
)



C．(
, 3)
(1,
)



D．

3,1

3．若,
R
a b
，i 是虚数单位，
i
2021
2
i
a
b



，则
2
i
a
b

等于（
）
A．2021 2i

B．2021 4i

C．2
2021i

D．4
2021i

模块三：综合巩固
1．若aR ，则“
1
a ”是复数“
2
1 (
1)i
z
a
a



为纯虚数”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2.复数3i 1

的虚部是（
）
A．1
B．1

C．3
D．3

3.若a R ，则“
2
a 
”是复数“
2
4
(
2)i
z
a
a




”为纯虚数的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4.适合
3i
8
i
(
)
x
x
y



的实数x、y 的值为（
）
A．
0
x 
且
3
y 
B．
0
x 
且=
3
y 
C．
5
x 
且
3
y 
D．
3
x 
且
0
y 
5.已知i 为虚数单位，若复数
(
1)
2i
z
a



为纯虚数，则实数

a
（
）
A．1

B．0
C．1
D．i
6.如果复数


2
2
3
1 i
z
m
m
m




是纯虚数，
R
m
，i 是虚数单位，则（
）
A．
1
m 且
3
m 
B．
3
m 
C．
1
m 
D．
1
m 或
3
m 
7.已知纯虚数




2
1 i
4
i
3
z
m
m





，其中i 为虚数单位，则实数m 的值为（
）
A．1
B．3
C．1 或3
D．0
8.已知a，b 均为实数，复数：
2
(
2 )i
z
a
b
b
a




，其中i 为虚数单位，若
3
z 
，则a 的取值范围为（
）
A．

1,3

B．(
, 1)
(3,
)



C．(
, 3)
(1,
)



D．

3,1

9.已知复数
1z 和
2z ，则“
1
2
z
z

”是“
1
2
0
z
z

”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
10.已知a ，bR ，若


2
2
a
b
a
b i




（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（
）
A．
2
a 
或
1
a 
B．
1
a 或
2
a 
C．1
2
a


D．2
1
a


11.（多选）对于复数


i
,
z
a
b a b


R ，下列结论错误的是（
）
A．若
0
a 
，则
i
a
b

为纯虚数
B．若
i=3+2i
a
b

，则
3,
2
a
b


C．若
0
b 
，则
i
a
b

为实数
D．2i
1

12.（多选）下列命题不正确的是（
）
A．复数


i
,
R
a
b a b


不可能是纯虚数
B．若
1
x ，则复数
(
1)
(
1)i
z
x
x




为纯虚数
C．若
2
2
(
4)
(
3
2)i
x
x
x




是纯虚数，则实数
2
x 
D．若复数
i
z
a
b


，则当且仅当
0
b 
时，z 为虚数
13.已知i 为虚数单位，复数



2
2
 
2
3
12 i
z
a
a
a
a






，
R
a 
，若z 为纯虚数，则

a
.
14.已知复数






2
1
2
1
2 i
R ,
sin
2sin
4 i
z
m
m m
z
a









，


0,



，若
1
2
z
z

，求实数a 的取值范
围
.
15.当m 为何实数时，复数


2
2
2
1 i
z
m
m
m





分别是：
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数：
(4)0？
16.已知复数
1
sin2
i
z
x



，


2
3 cos 2
i
z
m
m
x



，（，m ，xR ），且
1
2
z
z

．
(1)若
0

且0
π
x


，求x 的值；
(2)设

f
x

，关于x 的方程

f x
k

在

0,π 上恰有3解，求实数k 的值以及方程的解集．