文档内容
2016 年北京市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共 8小题，每小题 5分，满分 40分）
1．（5分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（ ）
A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5} C．{x|2＜x＜3}
D．{x|x＜2或x＞5}
【考点】1E：交集及其运算．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5J：集合．
【分析】由已知条件利用交集的定义能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，
∴A∩B={x|2＜x＜3}．
故选：C．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义
的合理运用．
2．（5分）复数 =（ ）
A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i
【考点】A5：复数的运算．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．
【分析】将分子分线同乘2+i，整理可得答案．
【解答】解： = = =i，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度
不大，属于基础题．
第1页 | 共17页3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（ ）
A．8 B．9 C．27 D．36
【考点】EF：程序框图．
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【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变
量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，故S=0，k=1，
当k=1时，满足进行循环的条件，故S=1，k=2，
当k=2时，满足进行循环的条件，故S=9，k=3，
当k=3时，不满足进行循环的条件，
故输出的S 值为9，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可
采用模拟程序法进行解答．
4．（5分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（ ）
A．y= B．y=cosx C．y=ln（x+1） D．y=2﹣x
【考点】3E：函数单调性的性质与判断．
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【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．
第2页 | 共17页【分析】根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可
判断每个选项函数在（﹣1，1）上的单调性，从而找出正确选项．
【解答】解：A．x 增大时，﹣x减小，1﹣x减小，∴ 增大；
∴函数 在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；
B．y=cosx 在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误；
C．x 增大时，x+1 增大，ln（x+1）增大，∴y=ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函
数，即该选项错误；
D. ；
∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确．
故选：D．
【点评】考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法，以及余弦函
数和指数函数的单调性，指数式的运算．
5．（5分）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．2
【考点】IT：点到直线的距离公式；J1：圆的标准方程．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．
【分析】先求出圆（x+1）2+y2=2 的圆心，再利用点到到直线 y=x+3 的距离公式
求解．
【解答】解：∵圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），
∴圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为：
d= = ．
故选：C．
【点评】本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注
意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用．
6．（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）
第3页 | 共17页A． B． C． D．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．
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【专题】5I：概率与统计．
【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲
被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率．
【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，
基本事件总数n= =10，
甲被选中包含的基本事件的个数m= =4，
∴甲被选中的概率p= = = ．
故选：B．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件
概率计算公式的合理运用．
7．（5 分）已知 A（2，5），B（4，1）．若点 P（x，y）在线段 AB 上，则 2x﹣y
的最大值为（ ）
A．﹣1 B．3 C．7 D．8
【考点】7C：简单线性规划．
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【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．
【分析】平行直线z=2x﹣y，判断取得最值的位置，求解即可．
【解答】解：如图A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，
令z=2x﹣y，则平行y=2x﹣z当直线经过B时截距最小，Z 取得最大值，
可得2x﹣y的最大值为：2×4﹣1=7．
故选：C．
第4页 | 共17页【点评】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数经过的点，是解题的关键．
8．（5 分）某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛
两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．
学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
立定跳远 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60
（单位：
米）
30秒跳绳 63 a 75 60 63 72 70 a﹣1 b 65
（单位：
次）
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒
跳绳决赛的有6人，则（ ）
A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛
C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛
【考点】2K：命题的真假判断与应用．
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【专题】2A：探究型；5L：简易逻辑；5M：推理和证明．
【分析】根据已知中这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，同时进入立
定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，逐一分析四个答案的正误，可得结论．
【解答】解：∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，
故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，
第5页 | 共17页又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，
则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，
剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a﹣1有且只有3人
进入30秒跳绳决赛，
故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是推理与证明，正确利用已知条件得到合理的逻辑推
理过程，是解答的关键．
二、填空题（共 6小题，每小题 5分，满分 30分）
9．（5分）已知向量 =（1， ）， =（ ，1），则 与 夹角的大小为 ．
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．
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【专题】11：计算题；4O：定义法；5A：平面向量及应用．
【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．
【解答】解：∵向量 =（1， ）， =（ ，1），
∴ 与 夹角θ满足：
cosθ= = = ，
又∵θ∈[0，π]，
∴θ= ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的知识点是平面向量的夹角公式，熟练掌握平面向量的夹角公
式，是解答的关键．
10．（5分）函数f（x）= （x≥2）的最大值为 2 ．
第6页 | 共17页【考点】34：函数的值域．
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【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．
【分析】分离常数便可得到 ，根据反比例函数的单调性便可判断该
函数在[2，+∞）上为减函数，从而x=2时f（x）取最大值，并可求出该最大
值．
【解答】解： ；
∴f（x）在[2，+∞）上单调递减；
∴x=2时，f（x）取最大值2．
故答案为：2．
【点评】考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的
单调性，根据函数单调性求最值的方法．
11．（5分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为 ．
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
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【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，
进而可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱
柱，
棱柱的底面面积S= ×（1+2）×1= ，
第7页 | 共17页棱柱的高为1，
故棱柱的体积V= ，
故答案为：
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，
判断几何体的形状是解答的关键．
12．（5 分）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为 2x+y=0，一
个焦点为（ ，0），则a= 1 ，b= 2 ．
【考点】KC：双曲线的性质．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性
质与方程．
【分析】由双曲的一条渐近线为 2x+y=0，一个焦点为（ ，0），列出方程组，
由此能出a，b．
【解答】解：∵双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个
焦点为（ ，0），
∴ ，
解得a=1，b=2．
故答案为：1，2．
【点评】本题考查双曲线中实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意
双曲线的性质的合理运用．
13．（5分）在△ABC中，∠A= ，a= c，则 = 1 ．
【考点】HP：正弦定理．
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第8页 | 共17页【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；58：解三角形．
【分析】利用正弦定理求出C 的大小，然后求出B，然后判断三角形的形状，求
解比值即可．
【解答】解：在△ABC中，∠A= ，a= c，
由正弦定理可得： ，
= ，sinC= ，C= ，则B= = ．
三角形是等腰三角形，B=C，则b=c，
则 =1．
故答案为：1．
【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的判断，考查计算能力．
14．（5分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，
第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有 3种，
后两天都售出的商品有4种，则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有 16 种；
②这三天售出的商品最少有 29 种．
【考点】^7：容斥原理；18：集合的包含关系判断及应用．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5J：集合．
【分析】①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况
得到三天售出的商品最少种数．
【解答】解：①设第一天售出商品的种类集为 A，第二天售出商品的种类集为
B，第三天售出商品的种类集为C，
如图，
则第一天售出但第二天未售出的商品有19﹣3=16种；
②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3=29种，第三天售出但第二天未售
出的商品有18﹣4=14种，当这14种
第9页 | 共17页商品第一天售出但第二天未售出的 16 种商品中时，即第三天没有售出前两天的
商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．
故答案为：①16；②29．
【点评】本题考查集合的包含关系及其应用，考查了集合中元素的个数判断，考
查学生的逻辑思维能力，是中档题．
三、解答题（共 6小题，满分 80分）
15．（13 分）已知{a }是等差数列，{b }是等比数列，且 b =3，b =9，a =b ，
n n 2 3 1 1
a =b ．
14 4
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）设c =a +b ，求数列{c }的前n项和．
n n n n
【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．
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【专题】34：方程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）设{a }是公差为d的等差数列，{b }是公比为q的等比数列，运用
n n
通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式；
（2）求得 c =a +b =2n﹣1+3n﹣1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数
n n n
列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．
【解答】解：（1）设{a }是公差为d的等差数列，
n
{b }是公比为q的等比数列，
n
由b =3，b =9，可得q= =3，
2 3
b =b qn﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；
n 2
即有a =b =1，a =b =27，
1 1 14 4
则d= =2，
则a =a +（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；
n 1
（2）c =a +b =2n﹣1+3n﹣1，
n n n
则数列{c }的前n项和为
n
第10页 | 共17页（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）= n•2n+
=n2+ ．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查
数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于基础题．
16．（13分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调递增区间．
【考点】H1：三角函数的周期性；HM：复合三角函数的单调性．
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【专题】11：计算题；33：函数思想；4A：数学模型法；57：三角函数的图像
与性质．
【分析】（1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得 ω
的值；
（2）直接由相位在正弦函数的增区间内求解 x 的取值范围得 f（x）的单调递增
区间．
【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx
=sin2ωx+cos2ωx= = ．
由T= ，得ω=1；
（2）由（1）得，f（x）= ．
再由 ，得 ．
∴f（x）的单调递增区间为[ ]（k∈Z）．
【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了两角和的正弦，
属中档题．
17．（13分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的
部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市
第11页 | 共17页随机调查了 10000 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频
率分布直方图：
（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格
为4元/立方米，w至少定为多少？
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市
居民该月的人均水费．
【考点】B2：简单随机抽样；B8：频率分布直方图．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在
[1，1.5）的频率为 0.15，用水量在[1.5，2）的频率为 0.2，用水量在[2，
2.5）的频率为 0.25，用水量在[2.5，3）的频率为 0.15，用水量在[3，3.5）
的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率
为0.05，由此能求出为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，w至
少定为3立方米．
（2）当w=3时，利用频率分布直方图能求出该市居民的人均水费．
【解答】解：（1）由频率分布直方图得：
用水量在[0.5，1）的频率为0.1，
用水量在[1，1.5）的频率为0.15，
用水量在[1.5，2）的频率为0.2，
用水量在[2，2.5）的频率为0.25，
用水量在[2.5，3）的频率为0.15，
用水量在[3，3.5）的频率为0.05，
第12页 | 共17页用水量在[3.5，4）的频率为0.05，
用水量在[4，4.5）的频率为0.05，
∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，
∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，
∴w至少定为3立方米．
（2）当w=3时，该市居民的人均水费为：
（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×
10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5，
∴当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查当 w=3 时，该市居民该月的人
均水费的估计的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图
的合理运用．
18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．
（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；
（3）设点E 为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理
由．
【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；LQ：平面与平面之间的位置关
系．
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【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5Q：立体几何．
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明DC⊥平面PAC；
（2）利用线面垂直的判定定理证明 AB⊥平面 PAC，即可证明平面 PAB⊥平面
PAC；
第13页 | 共17页（3）在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．利用线面平行的判定定理证明．
【解答】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，
∴PC⊥DC，
∵DC⊥AC，PC∩AC=C，
∴DC⊥平面PAC；
（2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC，
∴AB⊥AC，
∵PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PC⊥AB，
∵PC∩AC=C，
∴AB⊥平面PAC，
∵AB⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAC；
（3）解：在棱PB 上存在中点F，使得PA∥平面CEF．
∵点E为AB的中点，
∴EF∥PA，
∵PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，
∴PA∥平面CEF．
【点评】本题考查线面平行与垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查学
生分析解决问题的能力，属于中档题．
19．（14分）已知椭圆C： + =1过点A（2，0），B（0，1）两点．
（1）求椭圆C的方程及离心率；
（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA与y轴交于点M，直线PB
与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．
【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合．
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【专题】15：综合题；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性
第14页 | 共17页质与方程．
【分析】（1）由题意可得a=2，b=1，则 ，则椭圆C的方程
可求，离心率为e= ；
（2）设 P（x ，y ），求出 PA、PB 所在直线方程，得到 M，N 的坐标，求得
0 0
|AN|，|BM|．由 ，结合P在椭圆上求得四边形ABNM的
面积为定值2．
【解答】（1）解：∵椭圆C： + =1过点A（2，0），B（0，1）两点，
∴a=2，b=1，则 ，
∴椭圆C的方程为 ，离心率为e= ；
（2）证明：如图，
设P（x ，y ），则 ，PA 所在直线方程为y= ，
0 0
取x=0，得 ；
，PB所在直线方程为 ，
取y=0，得 ．
∴|AN|= ，
|BM|=1﹣ ．
∴ =
=﹣ = =
第15页 | 共17页= ．
∴四边形ABNM的面积为定值2．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，考查计算能力与推
理论证能力，是中档题．
20．（13分）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；
（3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．
【考点】52：函数零点的判定定理；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
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【专题】34：方程思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；52：导数的概念
及应用．
【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的
方程；
（2）由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x，求得导数，单调区
间和极值，由﹣c 介于极值之间，解不等式即可得到所求范围；
（3）先证若 f（x）有三个不同零点，令 f（x）=0，可得单调区间有 3 个，求出
导数，由导数的图象与x 轴有两个不同的交点，运用判别式大于0，可得a2﹣3b
＞0；再由a=b=4，c=0，可得若a2﹣3b＞0，不能推出f（x）有3个零点．
【解答】解：（1）函数f（x）=x3+ax2+bx+c的导数为f′（x）=3x2+2ax+b，
第16页 | 共17页可得y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=f′（0）=b，
切点为（0，c），可得切线的方程为y=bx+c；
（2）设a=b=4，即有f（x）=x3+4x2+4x+c，
由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，
由g（x）=x3+4x2+4x的导数g′（x）=3x2+8x+4=（x+2）（3x+2），
当x＞﹣ 或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当﹣2＜x＜﹣ 时，g′（x）＜0，g（x）递减．
即有g（x）在x=﹣2处取得极大值，且为0；
g（x）在x=﹣ 处取得极小值，且为﹣ ．
由函数f（x）有三个不同零点，可得﹣ ＜﹣c＜0，
解得0＜c＜ ，
则c的取值范围是（0， ）；
（3）证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，
可得f（x）的图象与x轴有三个不同的交点．
即有f（x）有3个单调区间，
即为导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，
可得△＞0，即4a2﹣12b＞0，即为a2﹣3b＞0；
若a2﹣3b＞0，即有导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，
当c=0，a=b=4时，满足a2﹣3b＞0，
即有 f（x）=x（x+2）2，图象与 x 轴交于（0，0），（﹣2，0），则 f（x）的零点
为2个．
故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数的零
点的判断，注意运用导数求得极值，考考查化简整理的能力，属于中档题．
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