文档内容
微专题 23 锐角三角函数及其应用
考点精讲
构建知识体系
考点梳理
1. 锐角三角函数(6年5考)
图①
定义：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A为△ABC中的一锐角，则∠A的
对边 a 邻边
正弦：sin A＝ ＝ ，∠A的余弦：cos A＝ ＝ ① ，∠A的正切：
斜边 c 斜边
对边
tan A＝ ＝②
邻边
2. 特殊角的三角函数值(6年8考)
示意图
α 30° 45° 60°
1 √3
sin α ③
2 2
√2
cos α ④ ⑤
2
tan α ⑥ 1 ⑦
3. 锐角三角函数的实际应用(6年3考)
第 1 页 共 14 页(1)仰角、俯角：如图②，图中仰角是∠1，俯角是∠2
ℎ
(2)坡度(坡比)、坡角：如图③，坡角为α，坡度(坡比)i＝tan α＝
l
(3)方向角：如图④，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东
60°方向，C点位于O点的北偏西45°方向
练考点
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则cos B的值为
.
第1题图
1
2. 如图，AD是△ABC的高，AB＝4，∠BAD＝60°，tan ∠CAD＝ ，则BC的
2
长为 .
第2题图
3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)若∠A＝60°，则sin A＝ ，cos A＝ ；
(2)若tan A＝1，则∠A＝ °.
4. 如图，从热气球P看一面墙底部B的俯角是 .(用字母表示)
第 2 页 共 14 页第4题图
高频考点
考点1 锐角三角函数 (6年5考)
例1 (2024东莞一模)如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan A
的值是( )
3 4 4
A. B. C. D. 2
5 5 3
例1题图
变式1 (2024江西)将图①所示的七巧板，拼成图②所示的四边形ABCD，连接
AC，则tan ∠CAB＝ .
变式1题图
考点2 锐角三角函数及其应用 (6年3考)
例2 小明家与小华家住在同一栋楼，他俩对所住楼对面商业大厦的高MN进
行了测量.(结果均保留整数)
(1)如图①，小明与小华在楼下点A处测得点A到M的距离为50 m，测得商业
大厦顶部N的仰角为58°，试求商业大厦的高MN；
(参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60)
第 3 页 共 14 页例2题图①
(2)现在商场楼下停了一辆车，没办法直接测量出AM的长度，小华想了其他办
法也可以测量.
①如图②，小明与小华在楼顶的B处，测得商业大厦顶部N的仰角为37°，测
得商业大厦底部M的俯角为60°，已知BA⊥AM，MN⊥AM，AB＝56 m，试求
商业大厦的高MN；
(参考数据sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，√3≈1.73)
例2题图②
②如图③，小华站在点A处测得塔尖商业大厦顶部N的仰角为45°，向前走了
35 m到达点B处测得商业大厦顶部N的仰角为61°，已知小华眼睛到地面的高
度AC(BD)为1.6 m，点A，B，M在同一水平线上，MN⊥AB，试求商业大厦的
高MN；
(参考数据：sin 61°≈0.87，cos 61°≈0.48，tan 61°≈1.80)
例2题图③
(3)如图④，大厦楼顶上有一信号塔EF(F，E，H三点共线)，小明和小华想测得
塔尖F到地面的高度，小明在楼顶的B处，测得商业大厦顶部N的仰角为
37°，小华在大厦楼顶G处测得信号塔顶部F的仰角为60°，已知BA⊥AM，
MN⊥AM，EF⊥NE，AB＝56 m，AM＝50 m，GE＝10 m，试求塔尖F到地面
的高度.(结果保留整数)(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan
37°≈0.75，√3≈1.73)
第 4 页 共 14 页例2题图④
真题及变式
命题点 锐角三角函数及其应用 (6年9考)
模型分析
模型 模型分析 模型 模型分析
基础模型 基础模型
AB＝AD＋BD AD＝AC－CD
背
母
对
子
模型演变 模型演变
背
型
AB＝AD＋CE FG＝AD＋DC，BG＝
型
＋BF BC＋AF
1. (2022广东11题3分)sin 30°＝ .
2. (2019广东15题4分·人教九下例题改编)如图，某校教学楼AC与实验楼BD
的水平间距CD＝15√3米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是
30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是 米(结果保留根
号).
第 5 页 共 14 页第2题图
3. (2023广东18题7分)2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满
成功，3名航天员顺利进驻中国空间站.如图中的照片展示了中国空间站上机械
臂的一种工作状态.当两臂AC＝BC＝10 m，两臂夹角∠ACB＝100°时，求A，
B两点间的距离.(结果精确到0.1 m，参考数据sin 50°≈0.766，cos
50°≈0.643，tan 50°≈1.192)
第3题图
4. (2024广东18题7分)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作
出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩
形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位.经测量，∠ABQ
＝60°，AB＝5.4 m，CE＝1.6 m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有车
位的长宽相同，按图示并列划定.
根据以上信息回答下列问题：(结果精确到0.1 m，参考数据√3≈1.73)
(1)求PQ的长；
(2)该充电站有20个停车位，求PN的长.
第4题图
第 6 页 共 14 页拓展训练
5. (2024中山一模)中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，
其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为
各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务.如图，小敏一家准备自驾
到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶10千米
至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C
在A地的北偏东15°方向.
(1)求∠C的度数；
(2)求B，C两地的距离.(如果运算结果有根号，请保留根号)
第5题图
新考法
6. [项目式学习](2024兰州)单摆是一种能够产生往复摆动的装置.某兴趣小组
利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下.
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
如图①，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后
松手，摆球开始往复运动.(摆线的长度变化忽略不计)
实验说明 如图②，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，
BD⊥OA，∠BOA＝64°，BD＝20.5 cm；当摆球运动至点C时，
∠COA＝37°，CE⊥OA.(点O，A，B，C，D，E在同一平面内)
实验图示
第 7 页 共 14 页第6题图
解决问题：根据以上信息，求ED的长.(结果精确到0.1 cm)
参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin
64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05.
第 8 页 共 14 页考点精讲
b a √2 √3 1 √3
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦√3
c b 2 2 2 3
教材改编题练考点
2√5
1.
5
2. 2√3＋1
√3 1
3. (1) ， ；(2)45
2 2
4. ∠BPC
高频考点
BD 4
例1 C 【解析】如解图，连接格点BD，CD.在Rt△ABD中，tan A＝ ＝ .
AD 3
例1题解图
1
变式1 【解析】根据题意，易知AB＝CD.设AB＝2，则CD＝BD＝2，
2
∵∠ABD＝45°＋45°＝90°，∠BDC＝90°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是
1 BO
平行四边形.如解图，设AC，BD交于点O，∴BO＝ BD＝1，∴tan∠CAB＝
2 AB
1
＝ .
2
变式1解图
例2 解：(1)∵MN⊥AM，
MN
∴在Rt△AMN中，tan∠MAN＝ ，∠MAN＝58°，AM＝50，
AM
∴MN＝AM·tan 58°≈50×1.60＝80，
答：商业大厦的高MN约为80 m；
第 9 页 共 14 页(2)①如解图①，过点B作BC⊥MN于点C，
∴四边形ABCM是矩形，
∴BA＝CM＝56，
CM
在Rt△BCM中，tan∠MBC＝ ＝√3≈1.73，
BC
CM
∴BC＝ ≈32.4，
tan60°
NC
在Rt△BCN中，tan∠NBC＝ ，
BC
∴NC＝BC·tan 37°≈32.4×0.75＝24.3，
∴MN＝CM＋NC＝56＋24.3＝80.3≈80，
答：商业大厦的高MN约为80 m；
例题解图①
②如解图②，连接CD并延长交MN于点E，
由题意可知，四边形ABDC，BMED均为矩形，
AC＝BD＝ME＝1.6，CD＝AB＝35，
设EN＝x，
∵在Rt△CEN中，∠ECN＝45°，
∴EN＝CE＝x，
∴DE＝CE－CD＝x－35，
∵在Rt△DNE中，∠NDE＝61°，
EN x
∴tan∠NDE＝ ＝ ≈1.80，
DE x－35
解得x≈78.8，∴EN≈78.8，
∴MN＝EN＋ME≈78.8＋1.6＝80.4≈80，
答：商业大厦的高MN约为80 m；
第 10 页 共 14 页例题解图②
(3)如解图③，过点B作BC⊥EH于点C，交MN于点D，FH即为F到地面的高
度.
易得DN＝CE，AB＝DM＝CH＝56，
由题意得BD＝AM＝50，∠NBD＝37°，GE＝10，
在Rt△BDN中，DN＝BD·tan 37°≈37.5，
在Rt△EFG中，EF＝GE·tan 60°≈17.3，
∴FH＝EF＋CE＋CH＝EF＋DN＋AB≈17.3＋37.5＋56＝110.8≈111，
答：塔尖F到地面的高度约为111 m.
例题解图③
真题及变式
1
1.
2
2. (15＋15√3) 【解析】如解图，设过点B的水平线与AC交于点E，易得四边
形BDCE为矩形，则BE＝CD＝15√3，∵∠CBE＝45°，∴CE＝BE＝15√3，在
√3
Rt△ABE中，AE＝BE·tan 30°＝15√3× ＝15，∴AC＝AE＋EC＝(15＋15√3)米.
3
第2题解图
3. 解：如解图，连接AB，过点C作CD⊥AB于点D，
第 11 页 共 14 页∵AC＝BC，∠ACB＝100°，
1 1
∴∠ACD＝ ∠ACB＝ ×100°＝50°， (3分)
2 2
∴AD＝AC·sin 50°≈10×0.766＝7.66(m)，
∴AB＝2AD＝2×7.66≈15.3(m)，
答：A，B两点间的距离约为15.3 m.(7分)
第3题解图
4. 解：(1)由题意，得∠Q＝90°，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，
∴在Rt△ABQ中，∠BAQ＝30°，BQ＝5.4×cos 60°＝2.7 m，
27√3
AQ＝5.4×sin 60°＝ m， (1分)
10
∵四边形ABCD为矩形，CE＝1.6 m，
∴∠ABC＝90°，∠CBE＝180°－∠ABC－∠ABQ＝30°，
CE 8√3 CE
在Rt△CBE中，BC＝ ＝ m，BE＝ ＝3.2 m，
tan30° 5 sin30°
8√3
∴BC＝AD＝ m，
5
同理可得，在Rt△PAD中，∠PAD＝60°，
8√3 4√3
∴PA＝AD·cos 60°＝ ×cos 60°＝ m， (3分)
5 5
4√3 27√3 7√3
∴PQ＝PA＋AQ＝ ＋ ＝ ≈6.1 m，
5 10 2
答：PQ的长约为6.1 m； (4分)
(2)∵充电站有20个停车位，
∴QM＝QB＋20BE，
由(1)得，QB＝2.7 m，BE＝3.2 m，
∴QM＝2.7＋3.2×20＝66.7 m，
∵四边形PQMN为矩形，
∴PN＝QM＝66.7 m，
第 12 页 共 14 页答：PN的长为66.7 m.(7分)
5. 解：(1)如解图，由题意，得∠BAD＝45°，∠DAC＝15°，∠FBC＝60°，
EF∥DA，
∴∠ABE＝∠BAD＝45°，
∴∠ABC＝180°－∠ABE－∠FBC＝75°，
∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝60°，
∴∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°，
∴∠C的度数为45°；
第5题解图
(2)如解图，过点B作BG⊥AC，垂足为G，
在Rt△ABG中，AB＝10千米，∠BAC＝60°，
√3
∴BG＝AB·sin 60°＝10× ＝5√3(千米)，
2
在Rt△BGC中，∠C＝45°，
5√3
BG
∴BC＝ ＝ √2 ＝5√6(千米)，
sin45°
2
∴B，C两地的距离为5√6千米.
BD
6. 解：∵在Rt△OBD中，tan∠BOD＝ ，
OD
BD 20.5
∴OD＝ ≈ ＝10.
tan∠BOA 2.05
BD
∵在Rt△OBD中，sin∠BOD＝ ，
OB
BD 20.5
∴OB＝ ≈ ≈22.78.
sin∠BOA 0.9
∴OC＝OB＝22.78.
第 13 页 共 14 页OE
∵在Rt△OCE中，cos∠COE＝ ，
OC
∴OE＝OC·cos∠COE≈22.78×0.8＝18.224.
∴ED＝OE－OD＝18.224－10＝8.224≈8.2.
答：ED的长大约是8.2 cm.
第 14 页 共 14 页
