专题02：函数（答案）_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_高考数学冲刺笔记猫老师猫老师2026版高考数学冲刺笔记+猫老师2026年高考数学考点一遍过全套(完整版)

函数——题型01～03
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
答案
D
D
C
⼀．选择题（共3 ⼩题）
1．已知集合A＝{x|y＝lg（3﹣x）}，
，则A∩B＝（
）
A．（﹣∞，3]
B．（﹣∞，3）
C．[0，3]
D．[0，3）
【分析】根据集合的定义，函数的性质即可得．
【解答】解：A 中，3﹣x＞0，x＜3，则A＝（﹣∞，3），
B 中，y＝
＝
≤3，
则B＝[0，3]，则A∩B＝[0，3）．
故选：D．
【点评】本题考查集合的运算，函数的性质，属于基础题．
2．函数
的定义域为（
）
A．（0，2）
B．[0，1）∪（1，2）
C．（1，+∞）
D．（0，1）∪（1，2）
【分析】找到x 的范围使得函数有意义即可．
【解答】解：若函数有意义需满⾜
，得
，
得定义域为（0，1）∪（1，2）．
故选：D．
【点评】本题考查函数的定义域，属于基础题．
3．若函数
的定义域为R，则实数m 的取值范围为（
）
A．（0，4）
B．[0，4]
C．[0，4）
D．（﹣∞，0]∪（4，+∞）
【分析】根据解析式的特点列出限定条件，求解可得答案．
【解答】解：因为f（x）的定义域为R，所以mx2+2mx+4＞0 恒成⽴，
当m＝0 时，显然成⽴；
当m≠0 时，有Δ＝4m2﹣16m＜0，解得0＜m＜4，
综上，实数m 的取值范围为[0，4）．
故选：C．
【点评】本题主要考查⼆次函数的图象与性质，考查学⽣归纳推理与数学运算的能⼒，属于中档题．
⼆．填空题（共8 ⼩题）
4．已知函数
的定义域为R，则实数k 的取值范围是
．
【分析】由已知可得对任意的x∈R，
，可得出Δ＜0，即可解得实数k 的取值范围．
【解答】解：由题意可知，对任意的x∈R，
，
则
，解得
．
所以，实数k 的取值范围是
．
故答案为：
．
【点评】本题考查函数的定义域，属于基础题．
5．函数
的定义域为R（常数a＞0，a≠1），则实数k 的取值范围是
（﹣∞，5）．
【分析】设t＝ax+9a﹣x﹣k，利⽤基本不等式算出t 的取值范围是[6﹣k，+∞），结合题意可知[6﹣k，+∞）
内的值都是正数，且不含元素1，因此不等式ax+9a﹣x﹣k＞1 在R 上恒成⽴，从⽽可得实数k 的取值范
围．
【解答】解：设t＝ax+9a﹣x﹣k，
因为ax+9a﹣x≥
，当且仅当ax＝9a﹣x 时，即x＝loga3 时等号成⽴，
所以t 的取值范围是[6﹣k，+∞），
函数
的定义域为R，所以[6﹣k，+∞）内的值都是正数，且不含元素1，
可得ax+9a﹣x﹣k＞1 在R 上恒成⽴，即k+1＜ax+9a﹣x 在R 上成⽴．
⽽故k+1＜6，即k 的取值范围是（﹣∞，5）．
故答案为：（﹣∞，5）．
【点评】本题主要考查函数定义域求法、不等式恒成⽴、基本不等式的性质等知识，考查了计算能⼒、
逻辑推理能⼒，属于中档题．
6．若函数f（x）的定义域是[1，2024]，则函数
的定义域是
（0，1）∪（1，2023]
．
【分析】根据函数y＝f（x）的定义域，列不等式组求出函数g（x）的定义域．
【解答】解：函数y＝f（x）的定义域是[1，2024]，
由函数
知，
，
解得0＜x≤2023 且x≠1，
∴g（x）的定义域是（0，1）∪（1，2023]．
故答案为：（0，1）∪（1，2023]．
【点评】本题考查函数定义域问题，属于基础题．
7．已知函数f（x）的定义域为（﹣2，10），则函数f（3x+1）的定义域为
（﹣1，3）．
【分析】利⽤抽象函数的定义域求法计算即可．
【解答】解：f（x）的定义域为（﹣2，10），则有3x+1∈（﹣2，10），得x∈（﹣1，3），
所以函数f（3x+1）的定义域为（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
【点评】本题考查抽象函数的定义域，属于基础题．
8．已知函数y＝f（x）的定义域为[﹣3，2]，则函数
的定义域为
．
【分析】根据复合函数定义域的定义可知，﹣3≤2x+1≤2 且x+1≠0，即可求解．
【解答】解：若函数有意义需满⾜：
，
解得：
，且x≠﹣1，
故函数的定义域是
．
故答案为：
．
【点评】本题考查函数的定义域，属于基础题．
9．已知函数f（x）的定义域和值域均为[﹣3，3]，则函数g（x）＝2f（2x+1）的定义域和值域分别为
[﹣
2，1]，[﹣6，6]
．
【分析】根据抽象函数的定义域的求法及函数值域的概念求解即可．
【解答】解：由函数f（x）的定义域和值域均为[﹣3，3]，
所以g（x）＝2f（2x+1）要有意义，则需﹣3≤2x+1≤3，解得﹣2≤x≤1，
所以函数g（x）的定义域为[﹣2，1]，
因为﹣3≤2x+1≤3，所以﹣3≤f（2x+1）≤3，
所以g（x）＝2f（2x+1）∈[﹣6，6]，即值域为[﹣6，6]．
故答案为：[﹣2，1]，[﹣6，6]
【点评】本题考查抽象函数的定义域及值域问题，属于中档题．
10．函数f（x）＝2x+1 的定义域为[﹣2，2]，则y＝f（x﹣1）+f（x+1）的定义域为
[﹣1，1]
．
【分析】利⽤抽象函数的定义域可得出关于x 的不等式组，即可求得函数y＝f（x﹣1）+f（x+1）的定义
域．
【解答】解：因为函数f（x）＝2x+1 的定义域为[﹣2，2]，
对于函数y＝f（x﹣1）+f（x+1），则有
，解得﹣1≤x≤1．
因此，函数y＝f（x﹣1）+f（x+1）的定义域为[﹣1，1]．
故答案为：[﹣1，1]．
【点评】本题的考点是抽象函数的定义域的求法，以函数的定义为平台，求集合的交集的基础题，也是
⾼考常会考的题型．
11．函数f（﹣2x+1）的定义域为[﹣2，1]，则f（x﹣1）的定义域为
[0，6]
．
【分析】根据抽象函数的定义域求f（x﹣1）的定义域即可．
【解答】解：由于函数f（﹣2x+1）的定义域为[﹣2，1]，
则﹣2x+1∈[﹣1，5]，所以函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，
则函数f（x﹣1）中x﹣1∈[﹣1，5]，所以x∈[0，6]，
即f（x﹣1）的定义域为[0，6]．
故答案为：[0，6]．
【点评】本题考查抽象函数的定义域，属于基础题．
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函数——题型04
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
答案
B
D
C
⼀．选择题（共3 ⼩题）
1．函数
的值域是（
）
A．（﹣∞，2]
B．
C．
D．[2，+∞）
【解答】解：因为
＝﹣2（1﹣x）+
+2，
设t＝
，则t≥0，
则
＝﹣2（1﹣x）+
+2，等价于g（t）＝﹣2t2+t+2（t≥0），
⼜g（t）＝﹣2（t﹣）2+
，（t≥0）
当t＝时，g（t）取最⼤值
，
即函数g（t）的值域为（﹣∞，
]，
故选：B．
2．函数
的值域是（
）
A．[1，+∞）
B．（﹣∞，1]
C．（﹣∞，0]
D．[0，+∞）
【解答】解：∵当x＞1 时，函数y＝
＝
＝（x﹣1）﹣2+
≥
2
﹣2＝0，
当且仅当且x﹣1＝1 时，等号成⽴，
∴y≥0，即函数的值域为[0，+∞），
故选：D．
3．下列函数中，值域为（0，1]的是（
）
A．y＝x2﹣2x+1（0≤x≤2）
B．
C．
D．
【解答】解：A：y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
x∈[0，2]在[0，1]上递减，在（1，2]上递增，值域为[0，1]，错误；
B：
在（1，+∞）上递增，值域为（0，1），错误；
C：
在x＝1 取等号，
结合对勾函数性质知，在（0，+∞）上的值域为（0，1]，正确；
D：
在（0，1]上递增，值域为（﹣∞，1]，错误．
故选：C．
⼆．多选题（共1 ⼩题）
（多选）4．以下结论正确的是（
）
A．函数
最⼩值为4
B．函数
值域为
C．函数
值域为
D．函数
值域为（0，1）
【解答】解：对于A，当sinx＝﹣1 时，f（x）＝﹣5，A 错误；
对于B，
，则
在[1，+∞）上单调递增，
，B 正确；
⽽
，当
时，
，则原函数值域为
，C 正确；
对于D，2x+1＞1，则0
，因此函数
值域为（0，1），D 正确．
故选：BCD．
三．解答题（共2 ⼩题）
5．求下列函数的值域：
（1）
；
（2）
；
（3）
．
【解答】解：（1）因为x＞1，则x﹣1＞0，
可得
，
当且仅当
，即x＝2 时，等号成⽴，
所以函数的值域为[0，+∞）．
（2）令
，则x＝t2﹣1，
可得
，
当
时，等号成⽴，
所以函数的值域为
．
（3）因为
，则2﹣3x＞0，
可得
，
当且仅当
，即
时，等号成⽴，
即f（x）≤﹣3，所以函数的值域为（﹣∞，﹣3]．
6．（1）求函数
的值域；
（2）求函数
的值域．
【解答】解：（1）
，x≠0，
当x＞0 时，
，当且仅当x＝1 时等号成⽴；
当x＜0 时，
，当且仅当x＝﹣1 时等号成⽴．
故函数值域为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）；
（2）函数定义域为x≤2，令
，则y＝2﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+3≤3，故函数值域为（﹣∞，
3]．
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函数——题型05～07
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
C
B
A
C
D
D
D
C
C
B
题号
12
答案
B
⼀．选择题（共12 ⼩题）
1．函数
的值域为（
）
A．（2lg2，+∞）
B．（0，+∞）
C．（﹣1，+∞）
D．[lg2，+∞）
【解答】解：令t＝3x，因为3x＞0 所以t＞0．则
2，
根据均值不等式，对于t＞0，
，当且仅当
，即t＝2 时取等号，
，
因为函数y＝lgu 在u＞0 时是单调递增函数，⽽
，
所以
，即函数f（x）的值域是[lg2，+∞）．
故选：D．
2．函数
的值域是（
）
A．[﹣1，2]
B．
C．
D．
【解答】解：因为函数
，
令
＝2sin（x+
），0
，
则
x+
，
则
sin（x+
）≤1，
则﹣1≤2sin（x+
）≤2，
则f（x）＝
的值域为[
]．
故选：C．
3．若函数y＝f（x）的值域是
，则函数
的值域是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为函数y＝f（x）的值域是
，
所以函数f（2x+1）的值域是
，
令
，则
，
由对勾函数的性质可知：函数
在
上单调递减，在（1，4]上单调递增，
⼜
，g（1）＝2，
，
所以
，
所以函数F（x）的值域是
．
故选：B．
4．函数
的值域为（
）
A．
B．
C．（0，1）
D．[1，2]
【解答】解：根据题意，令
，则
，
则t∈
，
则
在
上单调递减，
∴
，⼜
，
∴
的值域为
．
故选：A．
5．函数y＝4x﹣3•2x+2+1（x∈（﹣∞，3））的值域是（
）
A．[﹣31，1）
B．[﹣35，﹣31]
C．[﹣35，1）
D．（﹣∞，﹣31]
【解答】解：函数y＝4x﹣3•2x+2+1＝（2x）2﹣12•2x+1，
由x∈（﹣∞，3），
设2x＝t（0＜t＜8），
则f（t）＝t2﹣12t+1（0＜t＜8），
因为对称轴为t＝6，
则ymin＝f（6）＝﹣35，y＜f（0）＝1，
所以函数y＝4x﹣3•2x+2+1（x∈（﹣∞，3））的值域是[﹣35，1）．
故选：C．
6．函数
的值域为（
）
A．（﹣∞，1]
B．（0，1]
C．
D．
【解答】解：令t＝10﹣2x2，当x＝0 时，t 有最⼤值为10，
则
，
∴函数
的值域为（﹣∞，]．
故选：D．
7．若函数f（x）＝ln（x2﹣2mx+m+2）的值域为R，则m 的取值范围是（
）
A．（﹣1，2）
B．[﹣1，2]
C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
【解答】解：函数f（x）＝ln（x2﹣2 m x+m+2）的值域为R，
则函数y＝x2﹣2mx+m+2 的值域应包含（0，+∞），
则有Δ＝（﹣2m）2﹣4（m+2）≥0，解得m≤﹣1 或m≥2，
所以m 的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．
故选：D．
8．已知函数f（x）＝lg[4ax2+（8﹣4a）x+1]的值域为R，则实数a 的取值范围是（
）
A．（0，4）
B．[1，4]∪{0}
C．（0，1]∪[4，+∞）
D．[0，1]∪[4，+∞）
【解答】解：令u＝4ax2+（8﹣4a）x+1，由于函数f（x）＝lg[4ax2+（8﹣4a）x+1]的值域为R，
所以，函数u＝4ax2+（8﹣4a）x+1 的值域包含（0，+∞）．
①当a＝0 时，函数u＝8x+1 的值域为R，符合题意；
②当a≠0 时，若函数u＝4ax2+（8﹣4a）x+1 的值域包含（0，+∞），
则
，解得0＜a≤1 或a≥4．
综上所述，实数a 的取值范围是[0，1]∪[4，+∞）．
故选：D．
9．若函数f（x）＝
的值域是[2，+∞），则实数a 的值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．
【解答】解：由函数
的值域是[2，+∞）可得，函数g（x）＝ax2﹣4x+3 的值域为[1，+
∞），
当a＝0 时，g（x）＝﹣4x+3 的值域为R，不符合题意；
当a≠0 时，则函数g（x）＝ax2﹣4x+3 应满⾜
，可得
，解得a＝2．
故选：C．
10．若函数
的值域为R．则f（a）的取值范围是（
）
A．（﹣∞，4]
B．（﹣∞，4）
C．[4，+∞）
D．（4，+∞）
【解答】解：依题意可得x2﹣ax+a 要取遍所有正数，
则需要求Δ＝a2﹣4a≥0，因为a＞0，解得a≥4；
故
．
故选：C．
11．已知函数
的值域为M．若（1，+∞）⊆M，则实数a 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为f（x）的值域为M 且（1，+∞）⊆M，
当a＝0 时，f（x）＝21﹣x＞0，符合题意，
当a＞0 时，y＝ax2﹣x+1≥
，
≥
，
所以
≤1，解得0
，
当a＜0 时，y＝ax2﹣x+1≤
，
≤
，显然不符合题意，
故0
．
故选：B．
12．已知函数
的值域为M．若（1，+∞）⊆M，则实数a 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，1）
B．（﹣∞，1]
C．（1，+∞）
D．[1，+∞）
【解答】解：因为x2+2x+a＝（x+1）2+a﹣1≥a﹣1，
所以
≥2a﹣1，
所以M＝[a﹣1，+∞），
因为（1，+∞）⊆M，
所以a﹣1≤0，即a≤1．
故选：B．
⼆．填空题（共1 ⼩题）
13．已知函数f（x）＝ax2+（2a﹣1）x﹣3（a≠0）在区间[﹣，2]上的最⼤值为1，则a＝
或a＝﹣（3+2
）．
【解答】解：a＝0 时，f（x）＝﹣x﹣3，f（x）在[﹣，2]上不能取得1，故a≠0．
故f（x）＝ax2+（2a﹣1）x﹣3（a≠0），它的对称轴⽅程为x0＝
，
①令f（﹣）＝1，解得a＝﹣
，此时x0＝﹣
，
∵a＜0，∴f（x0）最⼤，所以f（﹣）＝1 不合适．
②令f（2）＝1，解得a＝，此时x0＝﹣∈[﹣，2]．
因为a＝，x0＝﹣∈[﹣，2]且距右端2 较远，所以f（2）最⼤，满⾜条件，合适．
③令f（x0）＝1，得a＝﹣（3+2
），经验证a＝﹣（3+2
），满⾜条件．
综上，a＝或a＝﹣（3+2
），
故答案为：或a＝﹣（3+2
）．
三．解答题（共2 ⼩题）
14．已知函数f（x）＝x2﹣2ax+2，x∈[﹣2，3]．
（1）当a＝﹣2 时，求函数f（x）的最⼤值和最⼩值；
（2）求y＝f（x）在区间[﹣2，3]上的最⼩值．
【解答】解：（1）当a＝﹣2 时，f（x）＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣2，
当﹣2≤x≤3 时，﹣4≤x﹣2≤1，∴0≤（x﹣2）2≤16，∴﹣2≤（x+2）2≤14，
∴函数f（x）的最⼤值和最⼩值分别为4 和﹣2；
（2）函数f（x）＝x2﹣2ax+2 的对称轴为：x＝a，
当a＜﹣2 时，函数f（x）在[﹣2，3]上单调递增，∴函数f（x）最⼩值为f（﹣2）＝（﹣2）2﹣2a•（﹣2）
+2＝4a+6；
当﹣2≤a≤3 时，函数f（x）最⼩值为f（a）＝a2﹣2a•a+2＝﹣a2+2；
当a＞3 时，函数f（x）在[﹣2，3]上单调递减，∴函数f（x）最⼩值为f（3）＝32﹣2a•3+2＝11﹣6a．
综上，f（x）min＝
．
15．已知函数f（x）＝ax2﹣2ax+b（a＞0）在区间[2，3]上的最⼤值为4，最⼩值为1，
（1）求实数a，b 的值；
（2）求函数f（x）在[0，t]上的最⼩值g（t）．
【解答】解：（1）⼆次函数f（x）＝ax2﹣2ax+b 的对称轴为x＝1，
∵a＞0，∴f（x）在[2，3]上单调递增，
∴x＝2 时，f（x）在区间[2，3]上取最⼩值；x＝3 时，f（x）在区间[2，3]上取最⼤值，
⼜f（x）在区间[2，3]上的最⼤值为4，最⼩值为1，
∴
，解得a＝1，b＝1；
（2）f（x）＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴0＜t≤1 时，x＝t 时，f（x）在[0，t]上取最⼩值g（t）＝（t﹣1）2；
t＞1 时，x＝1 时，f（x）在[0，t]上取最⼩值g（t）＝0；
∴
．
声明：试题解析著作权属菁优⽹所有，未经书⾯同意，不得复制发布⽇期：2025/2/1816:03:55；⽤户：13659236337；邮箱：13659236337；学号：33232166
函数——题型08～12
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
B
B
B
C
B
D
B
C
D
A
题号
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
答案
B
B
C
D
C
C
C
B
B
A
⼀．选择题（共21 ⼩题）
1．函数f（x）满⾜若f（g（x））＝9x+3，g（x）＝3x+1，则f（x）＝（
）
A．f（x）＝3x
B．f（x）＝3
C．f（x）＝27x+10
D．f（x）＝27x+12
【解答】解：因为f（g（x））＝9x+3，g（x）＝3x+1，
所以f（3x+1）＝9x+3＝3（3x+1），则f（x）＝3x
.故选：A．
2．已知函数f（x）的定义域为R，且对∀x∈R，f（x）+xf（﹣x）＝x2，则f（3）＝（
）
A．
B．
C．
D．2
【解答】解：已知函数f（x）的定义域为R，且对∀x∈R，f（x）+xf（﹣x）＝x2，
分别令x＝3 和x＝﹣3 得到：
，解得：
．
故选：B．
3．已知⼀次函数f（x）满⾜2f（x）+f（x+1）＝9x+6，则f（4）＝（
）
A．12
B．13
C．14
D．15
【解答】解：设f（x）＝ax+b（a≠0），
则2f（x）+f（x+1）＝2ax+2b+a（x+1）+b＝3ax+a+3b，
因为2f（x）+f（x+1）＝9x+6，
所以
，解得a＝3，b＝1，
所以f（x）＝3x+1，则f（4）＝13．
故选：B．
4．已知函数f（2x+1）＝3x﹣1，则f（2）＝（
）
A．﹣3
B．﹣1
C．2
D．5
【解答】解：根据题意，函数f（2x+1）＝3x﹣1，
令x＝0，可得f（1+1）＝0﹣1＝﹣1，即f（2）＝﹣1．
故选：B．
5．若函数f（x）满⾜f（x﹣1）＝x2﹣1，则f（x）的解析式为（
）
A．f（x）＝﹣x2﹣2x
B．f（x）＝﹣x2+2x
C．f（x）＝x2+2x
D．f（x）＝x2﹣2x
【解答】解：f（x﹣1）＝x2﹣1，∴令x﹣1＝t，x＝t+1，
f（t）＝（t+1）2﹣1＝t2+2t，因此f（x）＝x2+2x．
故选：C．
6．已知函数
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：令t＝3﹣2x，则
，
可得
，
所以
．
故选：B．
7．函数
的增区间为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设t＝2﹣x﹣x2（﹣2＜x＜1），
函数
即为y＝log t，
由y＝log t 在t∈（0，+∞）递减，
可得函数
的增区间即为t＝2﹣x﹣x2（﹣2＜x＜1）的减区间，
⽽设t＝2﹣x﹣x2在（﹣，1）上递减，
故选：D．
8．函数f（x）＝ln（x2﹣4x+5）的减区间为（
）
A．（﹣∞，﹣1）
B．（﹣∞，2）
C．（2，+∞）
D．（5，+∞）
【解答】解：令t＝x2﹣4x+5＞0，可得x∈R，且函数f（x）＝ln（x2﹣4x+5）＝lnt，
函数f（x）＝ln（x2﹣4x+5）的减区间，即函数t 的减区间．
再根据⼆次函数的性质可得t＝x2﹣4x+5 的减区间为（﹣∞，2]．
故选：B．
9．函数
的单调递增区间（
）
A．（﹣1，+∞）
B．（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣4）
D．（﹣∞，﹣1）
【解答】解：由x2+2x﹣8＞0，解得x＜﹣4 或x＞2．
∴函数
的定义域为（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）．
令t＝x2+2x﹣8，该函数在（﹣∞，﹣4）上是减函数，
由y＝
是定义域内的减函数，
则函数
的单调递增区间是（﹣∞，﹣4）．
故选：C．
10．若函数
在区间（3m﹣2，m+2）内单调递增，则实数m 的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意，函数
，设t＝﹣x2+6x﹣5，
则y＝
t，
⼜由t＝﹣x2+6x﹣5＞0，解可得1＜x＜5，即函数的定义域为（1，5），
在区间（3，5）上，t＝﹣x2+6x﹣5 为减函数且t＞0 恒成⽴，y＝
t 为减函数，则函数f（x）在区间
（3，5）上为增函数，
同理：函数f（x）在区间（1，3）上为增函数，
若函数f（x）在区间（3m﹣2，m+2）内单调递增，则有3≤3m﹣2＜m+2≤5，
解可得：≤m＜2，即m 的取值范围为[
，2）．
故选：D．
11．已知函数f（x）＝lg（x2﹣6x﹣7）在（a，+∞）上单调递增，则a 的取值范围是（
）
A．[7，+∞）
B．[3，+∞）
C．（﹣∞，3]
D．（﹣∞，﹣1]
【解答】解：由题意得x2﹣6x﹣7＞0，解得x＞7 或x＜﹣1，
∴函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（7，+∞），
⼜y＝x2﹣6x﹣7 在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（7，+∞）上单调递增，
∴函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（7，+∞）上单调递增，
⼜函数f（x）＝lg（x2﹣6x﹣7）在（a，+∞）上单调递增，
∴a≥7，即实数a 的取值范围为[7，+∞）．
故选：A．
12．已知函数f（x）＝log2|x2﹣ax|在区间（0，1]上单调递增，则实数a 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，0）
B．（﹣∞，0]∪[2，+∞）
C．（2，+∞）
D．（﹣∞，0）∪（1，2）
【解答】解：因为函数f（x）＝log2|x2﹣ax|在区间（0，1]上单调递增，
所以函数y＝|x2﹣ax|在区间（0，1]上单调递增，
由⼆次函数的图象与性质可得a≤0 或
≥1，则a≤0 或a≥2，
即实数a 的取值范围是（﹣∞，0]∪[2，+∞）．
故选：B．
13．设函数
在（2，3）上单调递减，则a 的取值范围是（
）
A．
B．
C．[4，+∞）
D．[6，+∞）
【解答】解：令u＝x2﹣ax+3，因为函数
在（0，+∞）上为减函数，
且函数
在（2，3）上单调递减，
所以，函数u＝x2﹣ax+3 在（2，3）上为增函数，所以
，解得a≤4，
且u＞0 在（2，3）上恒成⽴，则u|x＝2＝4﹣2a+3＝7﹣2a≥0，解得
．
所以，a 的取值范围是
．
故选：B．
14．若函数f（x）＝lg（1﹣ax）在区间（0，1）内单调递减，则实数a 的取值范围为（
）
A．（0，+∞）
B．（0，1）
C．（0，1]
D．（﹣∞，0）
【解答】解：函数f（x）＝lg（1﹣ax）在区间（0，1）上单调递减，
由函数y＝lgu 在定义域内单调递增，
则函数u＝1﹣ax 在区间（0，1）上单调递减，且1﹣ax＞0 恒成⽴，可得0＜a≤1．
故选：C．
15．已知函数f（x）＝
（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上单调递减，则a 的取值范围为（
）
A．（﹣∞，4]
B．[4，+∞）
C．[﹣4，4]
D．（﹣4，4]
【解答】解：令g（x）＝x2﹣ax+3a，
∵f（x）＝log0.5（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）单调递减
∴函数g（x）在区间[2，+∞）内单调递增，且恒⼤于0．
a≤2 且g（2）＞0，∴a≤4 且4+a＞0，∴﹣4＜a≤4．
故选：D．
16．若函数f（x）＝ln（x2﹣ax）在区间（2，5）上单调递增，则实数a 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，5]
B．（﹣∞，2）
C．（﹣∞，2]
D．[5，+∞）
【解答】解：因为函数f（x）＝ln（x2﹣ax）在区间（2，5）上单调递增，
即y＝x2﹣ax 在（2，5）上为增函数且函数值⼤于0，
由函数
，则
，故a≤2，
则a 的取值范围是（﹣∞，2]．
故选：C．
17．若函数f（x）＝x2﹣x+m（2x+1）在（1，+∞）上是增函数，则实数m 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：函数
的单调增区间为
，
∴
，
∴
．
故实数m 的取值范围为
．
故选：C．
18．若函数y＝x2+2mx 在区间（﹣∞，3]上是减函数，则实数m 的取值范围是（
）
A．m≤3
B．m≥3
C．m≤﹣3
D．m≥﹣3
【解答】解：∵函数y＝x2+2mx 的单调递减区间为（﹣∞，﹣m]，函数y＝x2+2mx 在区间（﹣∞，3]上是
减函数，
∴（﹣∞，3]⊆（﹣∞，﹣m]，
∴﹣m≥3，解得m≤﹣3，
∴实数m 的取值范围是m≤﹣3．
故选：C．
19．函数f（x）＝x2﹣4x+3 在区间[a，+∞）上单调递增，则a 的取值范围是（
）
A．（2，+∞）
B．[2，+∞）
C．（﹣∞，2）
D．（﹣∞，2]
【解答】解：f（x）＝x2﹣4x+3 的对称轴为：
，开⼝向上，
要使函数在区间[a，+∞）上单调递增，则a≥2，
即a∈[2，+∞）．
故选：B．
20．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（
）
A．
B．f（x）＝lg（x﹣1）2
C．
D．
【解答】解：A，f（x）＝
为偶函数，A 错误；
B，由题意可得，x≠1，函数为⾮奇⾮偶函数，B 正确；
C，f（x）+f（﹣x）＝ln（
+x）+ln（
﹣x）＝ln1＝0，且函数定义域为R，即f（x）为奇函
数，C 错误；
D，函数定义域为R，f（﹣x）＝
＝
＝f（x），即f（x）为偶函数，D 错误．
故选：B．
21．下列函数是偶函数的是（
）
A．y＝cosx﹣x2
B．y＝ex﹣x2
C．
D．y＝sinx+4x
【解答】解：f（x）的定义域为R，
且f（﹣x）＝cos（﹣x）﹣（﹣x）2＝cosx﹣x2＝f（x），
故f（x）＝cosx﹣x2为偶函数，A 正确；
B 选项，g（x）的定义域为R，
，
g（﹣x）≠g（x），故g（x）＝ex﹣x2不为偶函数，B 错误；
C 选项，h（x）的定义域为R，
，
故
是奇函数，C 错误；
D 选项，t（x）的定义域为R，且t（﹣x）＝sin（﹣x）﹣4x＝﹣（sinx+4x）＝﹣t（x），
故t（x）＝sinx+4x 为奇函数，D 错误．
故选：A．
⼆．解答题（共8 ⼩题）
22．已知函数
．
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）求函数f（x）的值域．
【解答】解：（1）f（x）为奇函数，证明如下：
函数
的定义域为R，
且
＝
，
所以f（x）为奇函数；
（2）因为
，
⼜22x＞0，
则
，即
，
所以
，即﹣1＜f（x）＜1，
故函数f（x）的值域为（﹣1，1）．
23．判断下列函数的奇偶性．
（1）f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|；
（2）
；
（3）
．
【解答】解：（1）f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|的定义域为R，
⼜f（﹣x）＝|﹣x+1|﹣|﹣x﹣1|＝|x﹣1|﹣|x+1|＝﹣（|x+1|﹣|x﹣1|）＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数；
（2）函数
的定义域为{﹣1，1}，关于原点对称，且f（x）＝0，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），f（﹣x）＝f（x）．
则f（x）既是奇函数⼜是偶函数；
（3）
的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），
当x＞0 时，﹣x＜0，则f（﹣x）＝﹣（﹣x）+1＝x+1＝f（x）；
当x＜0 时，﹣x＞0，f（﹣x）＝（﹣x）+1＝﹣x+1＝f（x）．
综上可知，对于x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），都有f（﹣x）＝f（x），故f（x）为偶函数．
24．已知函数f（x）＝x+
．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）⽤单调性的定义证明函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．
【解答】解：（1）函数f（x）＝x+
为奇函数，理由如下：
，
⼜因为定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），所以该函数为奇函数．
（2）证明：任取x1，x2∈（1，+∞），令x1＜x2，
则f（x2）﹣f（x1）＝
＝
＝
，
因为1＜x1＜x2，
所以x2﹣x1＞0，x1x2＞1，
所以f（x2）﹣f（x1）＞0，
所以函数f（x）在（1，+∞）上单调递增．
25．已知函数
．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数g（2x﹣1）的定义域为（﹣1，2]，求函数
的定义域．
【解答】解：（1）f（x）为奇函数，理由如下：
函数
的定义域为{x|x≠0}，定义域关于原点对称，
因为
＝
，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数；
（2）因为函数g（2x﹣1）的定义域为（﹣1，2]，
所以﹣1＜x≤2，所以﹣2＜2x≤4，即﹣3＜2x﹣1≤3，
所以g（x）的定义域为（﹣3，3]，
由（1）知函数的定义域为{x|x≠0}，
要使函数
有意义，应满⾜
，
解得：﹣3＜x＜0 或0＜x＜1 或2＜x≤3，
所以函数
的定义域为（﹣3，0）∪（0，1）∪（2，3]．
26．已知函数f（x）＝（a2+a﹣5）ax 是指数函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）的奇偶性．
【解答】解：（1）根据题意，∵函数f（x）＝（a2+a﹣5）ax 是指数函数，
∴a2+a﹣5＝1 且a＞0，解得，a＝2，
故f（x）＝2x；
（2）F（x）为奇函数，证明如下：
F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）＝2x﹣2﹣x 的定义域为R，
且对∀x∈R，﹣x∈R，
F（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣F（x），
故F（x）为奇函数．
27．对于函数
．
（1）是否存在实数a 使函数f（x）为奇函数？
（2）探索函数f（x）的单调性．
【解答】解：（1）假设存在实数a 使函数f（x）为奇函数，
因为f（x）的定义域为R，
则有
，
即
，解得a＝﹣1，
故
，
故存在实数a＝﹣1，使得f（x）为奇函数；
（2）令x1＞x2，
则
＝
＝
，
由x1＞x2，则
，
，
故当a﹣1＞0，即a＞1 时，f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在R 上单调递减，
当a﹣1＝0，即a＝1 时，f（x1）﹣f（x2）＝0，即f（x1）＝f（x2），
所以f（x）为常函数，不具单调性；
当a﹣1＜0，即a＜1 时，f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在R 上单调递增，
综上所述：
当a＝1 时，f（x）为常函数，不具单调性；
当a＞1 时，f（x）在R 上单调递减；
当a＜1 时，f（x）在R 上单调递增．
28．设函数f（x）＝ln（x+2）+ln（2﹣x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝ln（x+2）+ln（2﹣x），
∴
，可得﹣2＜x＜2，
∴函数f（x）的定义域为：（﹣2，2）；
（2）f（x）为偶函数；
∵定义域关于原点对称，
且f（﹣x）＝ln（2﹣x）+ln（2+x）＝f（x），
所以f（x）为偶函数．
29．已知函数f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性．
【解答】解：（1）由题意得，
，解得﹣2＜x＜2．
∴函数f（x）的定义域为{x|﹣2＜x＜2}；
（2）由上题，可知函数f（x）的定义域为{x|﹣2＜x＜2}，关于原点对称，
⼜∵f（﹣x）＝lg（2﹣x）+lg（2+x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x）＝f（x），
∴函数f（x）为偶函数．
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函数——题型13～19
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
D
C
D
B
B
A
C
A
C
C
题号
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
答案
B
D
C
D
A
D
A
D
A
B
A
题号
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
答案
C
B
C
A
B
D
C
A
D
D
B
题号
34
35
36
37
38
答案
D
B
A
B
D
⼀．选择题（共38 ⼩题）
1．已知函数f（x）是定义域为R 的奇函数，当x≤0 时，f（x）＝3x2+2x+2，则
的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为函数f（x）是定义域为R 的奇函数，
．
故选：D．
2．已知f（x）是定义在R 上的奇函数，x≥0 时f（x）＝2x﹣1，则
＝（
）
A．2
B．
C．
D．﹣2
【解答】解：因为f（x）是定义在R 上的奇函数，x≥0 时f（x）＝2x﹣1，
所以
．
故选：D．
3．若
是奇函数，则ab＝（
）
A．
B．
C．
D．2
【解答】解：根据题意，已知f（x）是奇函数，
由
，变形可得（1﹣x）[1﹣a（1﹣x）]≠0，所以x≠1，根据奇函数的定义域关于原点对称，
可得1﹣a（1﹣x）＝0 的根为﹣1，解可得
，故
，
⼜因为f（x）为奇函数，则有f（﹣x）+f（x）＝0，即
，即
，所以
，即﹣2b﹣1＝0，故
．所
以
．
故选：C．
4．若
为偶函数，则a＝（
）
A．
B．
C．1
D．2
【解答】解：若
为偶函数，
则g（x）＝
﹣a 为奇函数，
则g（0）＝2﹣a＝0，即a＝2，
所以f（x）＝x（
）＝
，经检验符合题意．
故选：D．
5．若函数f（x）＝ax2+bx+1 是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，则a＝（
）
A．﹣1
B．1
C．2
D．﹣2
【解答】解：函数f（x）＝ax2+bx+1 是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，
则﹣1﹣a+2a＝0，解得a＝1．
故选：B．
6．若
为奇函数，则实数a＝（
）
A．1
B．3
C．4
D．6
【解答】解：因为f（x）为奇函数，
所以f（﹣1）＝﹣f（1），即
，
解得a＝3，此时
，其定义域为{x|x≠0}，
且
，
即f（x）为奇函数，所以a＝3 满⾜题意．
故选：B．
7．已知
是奇函数，则a＝（
）
A．2
B．﹣1
C．1
D．﹣2
【解答】解：∵函数是奇函数，∴满⾜f（﹣x）＝﹣f（x），
即
，化简为
，得a﹣1＝1，a＝2，
此时
，函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），成⽴．
故选：A．
8．已知函数f（x）＝x3（aex﹣e﹣x）为偶函数，则a＝（
）
A．﹣1
B．0
C．1
D．e
【解答】解：因为f（x）＝x3（aex﹣e﹣x）为偶函数，
所以f（﹣x）＝f（x）恒成⽴，
所以﹣x3（ae﹣x﹣ex）＝x3（aex﹣e﹣x）恒成⽴，
整理得，（a﹣1）（e﹣x+ex）＝0，
所以a＝1．
故选：C．
9．已知函数
是偶函数，则m＝（
）
A．3
B．0
C．﹣1
D．2
【解答】解：∵函数
是偶函数，y＝x 为奇函数，
∴y＝lg
为奇函数，
∴lg
+lg
＝lg（
•
）＝lg
＝lg1＝0，
∴m2＝9，
∴m＝±3．
经检验，m＝3．
故选：A．
10．若f（x）＝log2（9x+1）﹣kx 是偶函数，则k＝（
）
A．1
B．
C．log23
D．2
【解答】解：若f（x）＝log2（9x+1）﹣kx 是偶函数，
则f（﹣x）＝f（x），
即log2（9﹣x+1）+kx＝log2（9x+1）﹣kx，
即log2（9﹣x+1）﹣log2（9x+1）＝﹣2kx，
所以log2
＝log2
＝﹣2kx，
所以﹣2xlog23＝﹣2kx，
所以k＝log23．
故选：C．
11．已知f（x）＝ln（ex+1）﹣ax 是偶函数，则a 的值是（
）
A．﹣2
B．
C．
D．2
【解答】解：由函数f（x）＝ln（ex+1）﹣ax 是偶函数，则f（﹣x）＝f（x），
可得ln（e﹣x+1）+ax＝ln（ex+1）﹣ax，即2ax＝ln（ex+1）﹣ln（e﹣x+1）＝lnex＝x，
所以2a＝1，解得
．
故选：C．
12．若函数
为奇函数，则f（0）+f（1）＝（
）
A．0
B．
C．
D．ln2
【解答】解：
，
因为f（x）为奇函数，所以f（x）+f（﹣x）＝0，
即
，
所以a＝1，
经检验，a＝1 满⾜题意，
所以
，
所以
．
故选：B．
13．已知函数h（x）是奇函数，且f（x）＝h（x）+2，若x＝2 是函数y＝f（x）的⼀个零点，则f（﹣2）＝
（
）
A．﹣4
B．0
C．2
D．4
【解答】解：因为x＝2 是函数y＝f（x）的⼀个零点，则f（2）＝0，于是f（2）＝h（2）+2＝0，即h（2）
＝﹣2，
⽽函数h（x）是奇函数，则有h（﹣2）＝﹣h（2）＝2，
所以f（﹣2）＝h（﹣2）+2＝4．
故选：D．
14．已知函数f（x）＝ax5+bsinx+c，若f（﹣1）+f（1）＝2，则c＝（
）
A．﹣1
B．0
C．1
D．
【解答】解：因为f（﹣1）+f（1）＝2，
所以﹣a﹣bsin1+c+a+bsin1+c＝2，
所以c＝1．
故选：C．
15．已知
，且f（﹣5）＝m，f（5）＝（
）
A．m
B．﹣m
C．4﹣m
D．8﹣m
【解答】解：∵f（x）关于（0，4）对称，
∴
＝4，
即m+f（5）＝8，得f（5）＝8﹣m，
故选：D．
16．已知定义在R 上的函数f（x）满⾜
，且f（2）＝﹣1，则f（100）＝（
）
A．﹣3
B．1
C．﹣1
D．3
【解答】解：因为
，
所以f（x+4）＝
＝f（x），即函数的周期T＝4，
因为f（2）＝﹣1，
所以f（0）＝
＝﹣3，
则f（100）＝f（0）＝﹣3．
故选：A．
17．已知y＝f（x）是定义在R 上的函数，且f（x+4）＝﹣f（x），如果当x∈（0，4]时，f（x）＝﹣3x，则f
（985）＝（
）
A．9
B．﹣9
C．3
D．﹣3
【解答】解：∵y＝f（x）是定义在R 上的函数，且f（x+4）＝﹣f（x），
∴f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），
∵当x∈（0，4]时，f（x）＝﹣3x，
∴f（985）＝f（123×8+1）＝f（1）＝﹣31＝﹣3．
故选：D．
18．已知定义在R 上的函数f（x）满⾜f（x+3）＝f（x），且当x∈（1，3]时，f（x）＝log4x，则f（2021）＝
（
）
A．
B．0
C．log43
D．1
【解答】解：根据题意，定义在R 上的函数f（x）满⾜f（x+3）＝f（x），则f（x）是周期为3 的周期函
数，
则f（2021）＝f（2+2019）＝f（2），
⼜由当x∈（1，3]时，f（x）＝log4x，则f（2）＝log42＝，
故f（2021）＝，
故选：A．
19．已知函数y＝f（x+1）的图象关于直线x＝﹣3 对称，且对∀x∈R 都有f（x）+f（﹣x）＝2 当x∈（0，2]
时，f（x）＝x+2．则f（2022）＝（
）
A．﹣1
B．1
C．2
D．﹣2
【解答】解：函数y＝f（x+1）的图象关于直线x＝﹣3 对称，可得f（x）的对称轴x＝﹣2；
对∀x∈R 都有f（x）+f（﹣x）＝2 可得f（x）的对称中⼼为（0，1）；
由上述对称轴和对称中⼼可得函数周期T＝8，
所以f（2022）＝f（8×252+6）＝f（6）＝f（﹣2）＝2﹣f（2）＝2﹣4＝﹣2，
故答案选：D．
20．已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则
f（2021）+f（2022）的值为（
）
A．1
B．2
C．﹣1
D．0
【解答】解：因为f 函数（x）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，所以f（﹣x）＝f（x）①，
⽽f（1﹣x）＝f（1+x），可得f（x）＝f（2﹣x）②，
由①②可得f（﹣x）＝f（﹣x+2），所以可得周期T＝2，
所以f（2021）+f（2022）＝f（1010×2+1）+f（1011×2+0）＝f（1）+f（0），
⽽x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，所以f（1）+f（0）＝21﹣1+20﹣1＝1，
故选：A．
21．已知f（x）是定义在R 上的奇函数，且满⾜f（2+x）＝f（2﹣x），当x∈（0，2]时，f（x）＝x2+a，若f
（2022）＝0，则a＝（
）
A．﹣8
B．﹣4
C．0
D．4
【解答】解：因为f（x）是定义在R 上的奇函数，
所以f（2+x）＝f（2﹣x）＝﹣f（x﹣2），
所以f（4+x）＝﹣f（x），
所以f（8+x）＝f（x），
所以f（x）的周期为8，
所以f（2022）＝f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣4﹣a＝0，
所以a＝﹣4，
故选：B．
22．已知f（x）是定义在R 上的奇函数，且f（x+2）＝f（x），当x∈（0，1）时，f（x）＝3x﹣1，则f（log34）
＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由已知得：f（x+2）＝f（x），
∴f（x）是周期为2 的函数，
∴
，
⼜f（x）是定义在R 上的奇函数，
∴
，
当x∈（0，1）时，f（x）＝3x﹣1，
∴
．
故选：A．
23．已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x）的图像关于直线x＝1 对称，当x∈[﹣1，0）时，
，则f（2020）+f（2021）＝（
）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
【解答】解：由f（x）的图像关于直线x＝1 对称得f（1﹣x）＝f（1+x），⼜因为合函数f（x）是（﹣∞，
+∞）上的奇函数，
所以﹣f（x﹣1）＝f（1+x），所以f（x）＝﹣f（x+2），所以f（x+2）＝﹣f（x+4），所以﹣f（x）＝﹣f（x+4），
所以f（x）＝f（x+4），所以4 是函数f（x）的周期，⼜因为当x∈[﹣1，0）时，
，
则f（2020）+f（2021）＝f（0）+f（1）＝0﹣f（﹣1）＝﹣1+（）﹣1＝1．
故选：C．
24．定义在R 上的偶函数f（x）满⾜f（x+2）＝f（x），且当0≤x≤1 时，
，则f（﹣2021）
＝（
）
A．lg9
B．2
C．3
D．lg8
【解答】解：由f（x）＝f（x+2），故f（x）为周期为2 的偶函数，
所以f（﹣2021）
＝f（2021）
＝f（2×1010+1）＝f（1）＝log39＝2．
故选：B．
25．若f（x）为定义在R 上的奇函数，且f（x+4）＝f（﹣x），当x∈（0，2]时，f（x）＝2x，则f（0）+f（1）
+…+f（2021）＝（
）
A．0
B．2
C．6
D．8
【解答】解：根据题意，f（x）为定义在R 上的奇函数，且f（x+4）＝f（﹣x），则有f（x+4）＝﹣f（x），
则有f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），即函数f（x）是周期为8 的周期函数，
⼜由f（x+4）＝﹣f（x），即f（x+4）+f（x）＝0，
则有f（0）+f（4）＝0，f（1）+f（5）＝0，f（2）+f（6）＝0，f（3）+f（7）＝0，
则有f（0）+f（1）+f（2）+…+f（7）＝0，
所以f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2021）
＝[f（0）+f（1）+f（2）+…+f（7）]×252+f（2016）+f（2017）+f（2018）+f（2019）+f（2020）+f（2021）
＝f（2016）+f（2017）+f（2018）+f（2019）+f（2020）+f（2021）
＝f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）
＝f（2）+f（3）
＝f（2）+f（1）＝22+2＝6．
故选：C．
26．定义在R 上的偶函数y＝f（x）满⾜f（x﹣1）＝﹣f（x），且在[0，1]上单调递增，
，b＝f
（ln
），c＝f（2024），则a，b，c 的⼤⼩关系是（
）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞c＞a
D．c＞b＞a
【解答】解：由f（x﹣1）＝﹣f（x），得f（x﹣2）＝﹣f（x﹣1）＝f（x），
∴f（x）的周期为2，
∵f（x）为偶函数，
∴
＝f（1012﹣）＝f（﹣）＝f（），c＝f（2024）＝f（0），
∵0＜1n
＜ln
＝＜1，且f（x）在[0，1]上单调递增，
∴c＜b＜a．
故选：A．
27．已知函数f（x）对于任意x∈R 都有f（x）＝f（﹣x），f（x+1）＝﹣f（x），且f（x）在区间[0，1]上是单
调递增的，则f（﹣6.5），f（﹣1），f（0）的⼤⼩关系是（
）
A．f（﹣1）＜f（0）＜f（﹣6.5）
B．f（0）＜f（﹣6.5）＜f（﹣1）
C．f（﹣1）＜f（﹣6.5）＜f（0）
D．f（﹣6.5）＜f（0）＜f（﹣1）
【解答】解：∵函数f（x）对于任意x∈R 都有f（x）＝f（﹣x），∴f（x）为偶函数，
∵f（x+1）＝﹣f（x），∴f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），∴f（x）的周期为2，
则f（﹣6.5）＝f（6.5）＝f（0.5），f（﹣1）＝f（1），
∵f（x）在区间[0，1]上是单调递增的，
∴f（0）＜f（0.5）＜f（1），即f（0）＜f（﹣6.5）＜f（﹣1），
故B 正确，ACD 错误，
故选：B．
28．设函数f（x）定义在实数集上，f（1+x）＝f（1﹣x），且当x≥1 时，
，则有（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由f（1+x）＝f（1﹣x），得函数f（x）关于x＝1 对称，
当x≥1 时，
，为减函数，
则当x≤1 时，函数f（x）为增函数，
∵f（2）＝f（1+1）＝f（1﹣1）＝f（0），
∴f（0）＜f（）＜f（），
即f（2）＜f（）＜f（），
故选：D．
29．设函数f（x）定义在实数集上，有f（﹣1+x）＝f（3﹣x），且当x≥1 时，f（x）＝lnx，则有（
）
A．f（）＜f（2）＜f（）
B．f（）＜f（2）＜f（）
C．f（）＜f（）＜f（2）
D．f（2）＜f（）＜f（）
【解答】解：根据题意，函数f（x）定义在实数集上，有f（﹣1+x）＝f（3﹣x），则函数f（x）的图象关
于直线x＝1 对称，
则f（）＝f（），f（）＝f（），
⼜由当x≥1 时，f（x）＝lnx，f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，
则有f（）＜f（）＜f（2），
故有f（）＜f（）＜f（2）；
故选：C．
30．已知函数f（x）的图象关于直线x＝﹣2 对称，且f（x）在[﹣2，+∞）上单调递增，则不等式f（x）≥f
（x﹣2）的解集为（
）
A．[﹣1，+∞）
B．[3，+∞）
C．（﹣∞，﹣1]
D．（﹣∞，3]
【解答】解：∵f（x）的图象关于直线x＝﹣2 对称，且f（x）在[﹣2，+∞）上单调递增，
∴由不等式f（x）≥f（x﹣2），得|x﹣（﹣2）|≥|x﹣2﹣（﹣2）|，
解得x≥﹣1．
故选：A．
31．函数f（x）是定义在R 上的奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，f（1）＝0，则不等式xf（x﹣1）＜0
的解集为（
）
A．（﹣∞，0）∪[2，+∞）
B．（0，1）
C．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
D．（1，2）
【解答】解：因为函数f（x）是定义在R 上的奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，f（1）＝0，
则不等式xf（x﹣1）＜0 可转化为
或
，
即1＜x＜2．
故选：D．
32．已知f（x）是定义在R 上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝ex﹣2，则不等式f（lnx）＞0 的解集
为（
）
A．
B．（2，+∞）
C．
D．
【解答】解：根据题意，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝ex﹣2，易得f（x）在（0，+∞）上为增函数，
若f（x）＝ex﹣2＞0，解可得x＞ln2，
⼜由f（x）是定义在R 上的奇函数，则f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，且当﹣ln2＜x＜0 时，f（x）＞0，
对于f（lnx）＞0，则有
或
，解可得
＜x＜0 或x＞2，
即不等式的解集为（，1）∪（2，+∞）．
故选：D．
33．若f（x）＝ex﹣ae﹣x 为奇函数，则满⾜f（x﹣1）＞
﹣e2的x 的取值范围是（
）
A．（﹣2，+∞）
B．（﹣1，+∞）
C．（2，+∞）
D．（3，+∞）
【解答】解：若f（x）＝ex﹣ae﹣x 为奇函数，则f（0）＝1﹣a＝0，于是a＝1，则f（x）＝ex﹣e﹣x，
﹣
e2＝f（﹣2），
不等式f（x﹣1）＞
﹣e2可化为f（x﹣1）＞f（﹣2），由于f（x）＝ex﹣e﹣x 在R 上单调递增，
故x﹣1＞﹣2，即x＞﹣1，
故选：B．
34．已知函数f（x）是定义在R 上的奇函数，若当x∈（﹣∞，0]时，f（x）＝x2+3﹣x+m，则满⾜f（x﹣1）
+f（m）＜0 的x 的取值范围为（
）
A．（﹣∞，0）
B．（0，+∞）
C．（﹣∞，2）
D．（2，+∞）
【解答】解：∵f（x）是定义在R 上的奇函数，
∴f（0）＝0，即m+1＝0，解得m＝﹣1，
⼜当x∈（﹣∞，0]时，y＝x2、y＝3﹣x 均为减函数，则f（x）＝x2+3﹣x﹣1 为（﹣∞，0]上的减函数，
根据奇函数对称性可得当x∈（0，+∞）时，f（x）也是减函数，则f（x）在R 上为减函数．
∵f（x﹣1）+f（m）＜0，∴f（x﹣1）＜﹣f（﹣1），即f（x﹣1）＜f（1），
∵f（x）在R 上为减函数，
∴x﹣1＞1，解得x＞2，即x∈（2，+∞），
故选：D．
35．已知函数y＝f（x）在R 上是奇函数，当x＞0 时，f（x）＝2x﹣2，则不等式x[f（x）﹣2f（﹣x）]＜0 的
解集是（
）
A．（﹣1，1）
B．（﹣1，0）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）
【解答】解：根据题意，函数y＝f（x）在R 上是奇函数，则f（0）＝0，
⼜由当x＞0 时，f（x）＝2x﹣2，则f（x）的草图如图：
⽽x[f（x）﹣2f（﹣x）]＜0⇔x[f（x）+2f（x）]＜0⇔xf（x）＜0，则有
或
，
分析可得：﹣1＜x＜0 或0＜x＜1，
即不等式的解集为（﹣1，0）∪（0，1）．
故选：B．
36．已知f（x）是定义在R 上的奇函数，当x＞0 时，
，则不等式（x﹣1）f（x）＞0
的解集为（
）
A．（﹣2，0）∪（1，2）
B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）
D．（﹣2，0）∪（2，+∞）
【解答】解：根据题意，当x＞0 时，
，
函数y＝在（0，+∞）上为减函数，y＝log2x 在（0，+∞）上为增函数，
故函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，
同时，f（2）＝2﹣1﹣1＝0，
故在区间（0，2）上，f（x）＞0，在区间（2，+∞）上，f（x）＜0，
⼜由f（x）为奇函数，
则在区间（﹣2，0）上，f（x）＜0，在区间（﹣∞，﹣2）上，f（x）＞0，
对于不等式（x﹣1）f（x）＞0，等价于
或
，
解可得：﹣2＜x＜0 或1＜x＜2，即不等式的解集为（﹣2，0）∪（1，2）．
故选：A．
37．设函数f（x）是R 上的奇函数，当x＜0 时，f（x）＝﹣x2﹣7x，则不等式f（x）﹣f（x﹣1）＜0 的解集
为（
）
A．（﹣2，4）
B．（﹣3，4）
C．（﹣2，3）
D．（﹣3，3）
【解答】解：根据题意，设x＞0，则﹣x＜0，
因为x＜0 时，f（x）＝﹣x2﹣7x，
所以f（﹣x）＝﹣x2+7x，
因为f（x）是定义在R 上的奇函数，
所以f（﹣x）＝﹣x2+7x＝﹣f（x），
所以f（x）＝x2﹣7x，
即x≥0 时，f（x）＝x2﹣7x，
此时函数在
上单调递减，在
单调递增；
当x＜0 时，f（x）＝﹣x2﹣7x，此时函数在
上单调递增，在
单调递减；
所以函数f（x）在
上单调递减，
若f（x）﹣f（x﹣1）＜0，即f（x﹣1）＞f（x），
⼜由x﹣1＜x，且f（﹣3）＝f（﹣4），f（3）＝f（4），
必有
时，f（x）﹣f（x﹣1）＜0，
解得：﹣3＜x＜4，所以不等式f（x）﹣f（x﹣1）＜0 的解集为（﹣3，4）．
故选：B．
38．定义在R 上的奇函数f（x）满⾜：∀x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有
，f（3）＝
0，则满⾜不等式xf（x）＞0 的实数x 的取值范围为（
）
A．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
B．（﹣3，0）∪（3，+∞）
C．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
D．（﹣3，0）∪（0，3）
【解答】解：因为∀x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有
，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，⼜f（x）是定义在R 上的奇函数，
根据奇函数的对称性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
⼜f（3）＝0，所以f（﹣3）＝﹣f（3）＝0，
所以当x＜﹣3 或0＜x＜3 时f（x）＞0，当﹣3＜x＜0 或x＞3 时f（x）＜0，
不等式xf（x）＞0，即
或
，
解得0＜x＜3 或﹣3＜x＜0．
故选：D．
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函数——题型20～22
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
A
A
C
D
A
A
D
B
A
B
题号
12
13
14
15
16
17
18
19
答案
A
C
A
B
C
C
B
B
⼀．选择题（共19 ⼩题）
1．已知f（x）是定义在R 上的偶函数，且当x≥0 时，f（x）＝
，若对任意实数t∈[
，2]，都有f（t+a）
﹣f（t﹣1）＞0 恒成⽴，则实数a 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）
B．（﹣1，0）
C．（0，1）
D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）
【解答】解：∵当x＞0 时，f（x）＝
＝1﹣
，∴f（x）在（0，+∞）单调递增．
∵对任意实数t∈[
，2]，都有f（t+a）﹣f（t﹣1）＞0 即f（t+a）＞f（t﹣1）恒成⽴，
⼜f（x）是定义在R 上的偶函数，
∴|t+a|＞|t﹣1|，
∴（2a+2）t+a2﹣1＞0，
∴
，
解得a＞0 或a＜﹣3
则实数a 的取值范围是a＞0 或a＜﹣3．
故选：A．
2．已知函数f（x）＝2sinx﹣2x，若对任意m∈[﹣2，2]，f（ma﹣8）+f（a2）＞0 恒成⽴，则a 的取值范围是
（
）
A．（﹣2，2）
B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（﹣1，1）
D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
【解答】解：由题意得函数定义域为R，
f（﹣x）＝2sin（﹣x）+2x＝﹣2（sinx﹣x）＝﹣f（x），即f（x）是奇函数，
f'（x）＝2（cosx﹣1）≤0，即f（x）在R 上单调递减，
对任意m∈[﹣2，2]，f（ma﹣8）+f（a2）＞0 恒成⽴，即f（ma﹣8）＞﹣f（a2）＝f（﹣a2），
∴ma﹣8＜﹣a2对任意m∈[﹣2，2]恒成⽴，即ma﹣8+a2＜0，
令g（m）＝ma﹣8+a2，m∈[﹣2，2]，
∴
，即
，解得﹣2＜a＜2，
∴a 的取值范围是（﹣2，2）．
故选：A．
3．已知函数
，不等式f（a2）+f（3a﹣4）≥2 恒成⽴，则a 的取值范围为（
）
A．[﹣4，1]
B．[﹣4，﹣1]
C．[﹣1，4]
D．[1，4]
【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣1＝ln（
﹣x）﹣x3，x∈R，
则g（﹣x）＝ln（
+x）+x3＝ln
+x3＝﹣ln（
﹣x）+x3＝﹣g（x），
∴g（x）是奇函数，
∵y＝﹣ln（
+x）＝ln（
﹣x）在[0，+∞）上单调递减，y＝﹣x3在[0，+∞）上单调递减，
∴g（x）在[0，+∞）上单调递减，
⼜g（x）是奇函数，
∴g（x）在R 上单调递减，
不等式f（a2）+f（3a﹣4）≥2 恒成⽴，即f（a2）﹣1+f（3a﹣4）≥﹣f（3a﹣4）+1＝﹣[f（3a﹣4）﹣1]，
∴g（a2）≥﹣g（3a﹣4）＝g（4﹣3a）恒成⽴，
∴a2≤4﹣3a，解得﹣4≤a≤1，即a 的取值范围为[﹣4，1]．
故选：A．
4．已知函数
，若不等式f（3x﹣9x）+f（a•3x﹣2）＜0 对任意实数x 恒成⽴，则
a 的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：函数
可知函数是增函数，也是奇函数，
不等式f（3x﹣9x）+f（a•3x﹣2）＜0 对任意实数x 恒成⽴，
等价于f（3x﹣9x）＜﹣f（a•3x﹣2）＝f（2﹣a•3x），
可得3x﹣9x＜2﹣a•3x，
即a＜
，因为
≥
＝2
，当且仅当x＝
时，取等号，
所以a∈
．
故选：C．
5．已知函数
，若当
时，f（tsin2θ）+f（4t﹣sinθ）＞0 恒成⽴，
则实数t 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：f（x）的定义域为R，
∵f（﹣x）＝﹣x3+lg（﹣x+
）＝﹣x3﹣lg（x+
）＝﹣[x3+lg（x+
）]＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，
∵函数
在[0，+∞）上均为增函数，
∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，所以f（x）在R 上为增函数，
由f（tsin2θ）+f（4t﹣sinθ）＞0，得f（tsin2θ）＞﹣f（4t﹣sinθ），
∴f（tsin2θ）＞f（﹣4t+sinθ），
∴tsin2θ＞﹣4t+sinθ，即tsin2θ﹣sinθ+4t＞0，
当
时，sinθ∈[0，1]，
令g（x）＝tx2﹣x+4t，x∈[0，1]，
当t＝0 时，g（x）＝﹣x≤0，舍去；
当t≠0 时，对称轴为
，
当
，即
时，则有
，即（4t﹣1）
（4t+1）＞0，解得
，所以
；
当
，即t＜0 时，有g（1）＝t﹣1+4t＞0，得
，不满⾜t＜0，所以t∈∅；
当
，即
时，有g（1）＝t﹣1+4t＞0，得
，所以
，
综上，
．
故选：D．
6．已知f（x）是定义在R 上的奇函数，且当x＞0 时，f（x）＝x﹣a．若∀x∈R，f（x﹣a2）≤f（x），则a 的
取值范围为（
）
A．（﹣∞，0]∪[2，+∞）
B．（﹣∞，2]
C．[0，2]
D．（﹣∞，0]
【解答】解：因为当x＞0 时，f（x）＝x﹣a，且f（x）是定义在R 上的奇函数，
所以当x＜0 时，f（x）＝x+a，且f（0）＝0，
所以
，
当a≤0 时，f（x）在R 上单调递增，⽽x﹣a2≤x 恒成⽴，所以f（x﹣a2）≤f（x）成⽴，即a≤0 符合题意；
当a＞0 时，f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）分别单调递增，但在R 上不具有单调性，
若f（x﹣a2）≤f（x）且x﹣a2≤x 恒成⽴，则x﹣a2+a≤x﹣a，
即a2≥2a，解得a≤0 或a≥2，所以a≥2，
综上a∈（﹣∞，0]∪[2，+∞）．
故选：A．
7．设函数f（x）的定义域为R，且f（x+4）＝2f（x），当x∈（0，4]时，f（x）＝2x2﹣8x，若对于∀x∈（﹣∞，
t]，都有f（x）≥﹣恒成⽴，则t 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，﹣11]
B．（﹣∞，﹣7]
C．（﹣∞，﹣5]
D．（﹣∞，﹣3]
【解答】解：f（x+4）＝2（x）表示函数f（x）每向左移动4 个单位⻓度，f（x）的函数值减少为移动前
的⼀半，
则当x∈（0，﹣4]时，f（x）的最⼩值为﹣8，
当x∈（﹣4，0]时，f（x）的最⼩值为﹣4，
.....．
当x∈（﹣16，﹣12]时，f（x）的最⼩值为
＜
，
故当x∈（﹣12，﹣8]时，令
，
则x1＝﹣11，x2＝﹣9，
因为对于∀x∈（﹣∞，t]，都有f（x）≥﹣恒成⽴，
故t≤﹣11．
故选：A．
8．若存在正数x 使ex（x﹣a）＜1 成⽴，则实数a 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，+∞）
B．[﹣2．+∞）
C．[0，+∞）
D．（﹣1，+∞）
【解答】解：由ex（x﹣a）＜1，得x•ex﹣a•ex＜1，
∴a＞x﹣
，
设f（x）＝x﹣
，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴当x＞0 时，
f（x）＞f（0）＝﹣1，
∴若存在正数x，使ex（x﹣a）＜1 成⽴，
则a＞﹣1．
故选：D．
9．设函数f（x）为|x|﹣1 与x2﹣2ax+a+3 中较⼤的数，若存在x 使得f（x）≤0 成⽴，则实数a 的取值范围
为（
）
A．
B．
C．
D．[﹣1，1]
【解答】解：因为f（x）＝max{|x|﹣1，x2﹣2ax+a+3}，
所以f（x）代表|x|﹣1 与x2﹣2ax+a+3 两个函数中的较⼤者，
不妨假设g（x）＝|x|﹣1，h（x）＝x2﹣2ax+a+3，
g（x）的函数图像如下图所示：
h（x）＝x2﹣2ax+a+3 是⼆次函数，开⼝向上，对称轴为直线x＝a，
①当a＜﹣1 时，
h（x）＝x2﹣2ax+a+3 在[﹣1，1]上是增函数，
需要h（﹣1）＝（﹣1）2﹣2a（﹣1）+a+3＝3a+4≤0 即
，
则存在x 使得f（x）≤0 成⽴，
故
；
②当﹣1≤a≤1 时，
h（x）＝x2﹣2ax+a+3 在[﹣1，1]上是先减后增函数，
需要
，
即a2﹣a﹣3≥0，
解得
或
，
⼜
，
，
故﹣1≤a≤1 时⽆解；
③当a＞1 时，
h（x）＝x2﹣2ax+a+3 在[﹣1，1]上是减函数，
需要h（1）＝12﹣2a+a+3＝﹣a+4≤0 即a≥4，
则存在x 使得f（x）≤0 成⽴，
故a≥4．
综上所述，a 的取值范围为
．
故选：B．
10．已知定义在R 上的函数f（x）＝x2﹣2tx+1 在（﹣∞，1]上单调递减，且对任意的x1，x2∈[0，t+1]，总有
|f（x1）﹣f（x2）|≤2，则实数t 的取值范围是（
）
A．
B．[﹣1，1]
C．[0，1]
D．[1，3]
【解答】解：因为函数f（x）＝x2﹣2tx+1 的对称轴⽅程为x＝t，
所以函数f（x）在（﹣∞，t]上单调递减，在[t，+∞）上单调递增，
⼜因为函数f（x）＝x2﹣2tx+1 在（﹣∞，1]上单调递减，所以t≥1，
所以函数f （x ）在[0 ，t+1] 上的最⼤值为f （x ）max ＝f （0 ）＝1 ，最⼩值为
，
⼜因为对任意的x1，x2∈[0，t+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤2，
所以f（x）max﹣f（x）min≤2，即1﹣（﹣t2+1）≤2，所以﹣
≤t
，
⼜因为t≥1，所以1≤t≤
，所以实数t 的取值范围是[1，
]．
故选：A．
11．已知函数f（x）＝﹣x2+a，g（x）＝x2ex，若对任意的x2∈[﹣1，1]，存在
，使得f（x1）
＝g（x2），则实数a 的取值范围是（
）
A．[e+1，4]
B．[e，4]
C．
D．
【解答】解：因为f（x）＝﹣x2+a 在[﹣，2]的值域为[a﹣4，a]，
g（x）＝x2ex 的导数为g′（x）＝2xex+x2ex＝x（x+2）ex，
可得g（x）在[﹣1，0]递减，（0，1]递增，
所以g（x）在[﹣1，1]的最⼩值为g（0）＝0，最⼤值为g（1）＝e，即值域为[0，e]．
对任意的x2∈[﹣1，1]，存在x1∈[﹣，2]，使得f（x1）＝g（x2），
可得[0，e]⊆[a﹣4，a]，
可得a﹣4≤0＜e≤a，
解得e≤a≤4，
即实数a 的取值范围是[e，4]．
故选：B．
12．已知函数f（x）＝x2﹣2x，g（x）＝ax+2（a＞0），若对任意x1∈R，都存在x2∈[﹣2，+∞），使得f（x1）
＞g（x2），则实数a 的取值范围是（
）
A．
B．（0，+∞）
C．
D．
【解答】解：∵函数f（x）＝x2﹣2x 的图象是开⼝向上的抛物线，且关于直线x＝1 对称
∴f（x）的最⼩值为f（1）＝﹣1，⽆最⼤值，
可得f（x1）值域为[﹣1，+∞），
⼜∵g（x）＝ax+2（a＞0），x2∈[﹣2，+∞），
∴g（x）＝ax+2（a＞0）为单调增函数，g（x2）值域为[g（﹣2），+∞），
即g（x2）∈[2﹣2a，+∞），
∵对任意的x1∈R 都存在x2∈[﹣2，+∞），使得f（x1）＞g（x2），
∴只需f（x）值域是g（x）值域的⼦集即可，
∴2﹣2a＜﹣1，解得：a＞，
故选：A．
13．已知函数f（x）＝x3﹣6x2+9x，g（x）＝x3﹣
x2+ax﹣（a＞1）若对任意的x1∈[0，4]，总存在x2∈[0，
4]，使得f（x1）＝g（x2），则实数a 的取值范围为（
）
A．（1，]
B．[9，+∞）
C．（1，]∪[9，+∞）
D．[
，]∪[9，+∞）
【解答】解：函数f（x）＝x3﹣6x2+9x，导数为f′（x）＝3x2﹣12x+9＝3（x﹣1）（x﹣3），
可得f（x）的极值点为1，3，
由f（0）＝0，f（1）＝4，f（3）＝0，f（4）＝4，
可得f（x）在[0，4]的值域为[0，4]；
g（x）＝x3﹣
x2+ax﹣（a＞1），
导数为g′（x）＝x2﹣（a+1）x+a＝（x﹣1）（x﹣a），
当1＜x＜a 时，g′（x）＜0，g（x）递减；
当x＜1 或x＞a 时，g′（x）＞0，g（x）递增．
由g（0）＝﹣，g（1）＝（a﹣1），g（a）＝﹣a3+
a2﹣，g（4）＝13﹣4a，
当3≤a≤4 时，13﹣4a≤
（a﹣1），
g（x）在[0，4]的值域为[﹣，（a﹣1）]，
由对任意的x1∈[0，4]，总存在x2∈[0，4]，使得f（x1）＝g（x2），
可得[0，4]⊆[﹣，（a﹣1）]，
即有4≤
（a﹣1），解得a≥9 不成⽴；
当1＜a＜3 时，13﹣4a＞（a﹣1），
g（x）在[0，4]的值域为[﹣，13﹣4a]，
由题意可得[0，4]⊆[﹣，13﹣4a]，
即有4≤13﹣4a，解得a≤
，即为1＜a≤
；
当a＞4 时，可得g（1）取得最⼤值，g（4）＜﹣3 为最⼩值，
即有[0，4]⊆[13﹣4a，（a﹣1）]，
可得13﹣4a≤0，4≤
（a﹣1），即a≥
，且a≥9，
解得a≥9．
综上可得，a 的取值范围是（1，]∪[9，+∞）．
故选：C．
14．已知函数
，∃x1∈[2，a]，∃x2∈[a，9]（2＜a＜9），使f（x1）f（x2）≥300 成⽴，则实数a
的取值范围是（
）
A．（2，3]
B．（2，4]
C．（4，6]
D．（4，9）
【解答】解：由已知当x∈[2，9]时，
≥2
＝12，当且仅当x＝
，即x＝6 时等号成⽴，
由对勾函数的性质可知
在[2，6）上单调递减，在（6，9]上单调递增，
⼜f（2）＝2+
＝20，f（9）＝9+
＝13＜20＝f（2），
所以
在[2，a]上的最⼤值为f（2）＝20，
⼜∃x1∈[2，a]，∃x2∈[a，9]，使f（x1）f（x2）≥300 成⽴，
即f（x1）maxf（x2）≥300，
所以∃x2∈[a，9]，使f（x2）＝15，
即f（x）在[a，9]上的最⼤值f（a）≥15，
即a+
≥15，解得a≤3 或a≥12，
⼜2＜a＜9，
所以a∈（2，3]．
故选：A．
15．已知函数f（x）＝﹣x2+a，g（x）＝x2ex，若对任意的x2∈[﹣1，1]，存在唯⼀的x1∈[﹣，2]，使得f（x1）
＝g（x2），则实数a 的取值范围是（
）
A．（e，4]
B．（e+
，4]
C．（e+
，4）
D．（，4]
【解答】解：f（x）＝﹣x2+a 在[﹣，2]的值域为[a﹣4，a]，
但f（x）在（，2]递减，此时f（x）∈[a﹣4，a﹣）．
g（x）＝x2ex 的导数为g′（x）＝2xex+x2ex＝x（x+2）ex，
可得g（x）在[﹣1，0]递减，（0，1]递增，
则g（x）在[﹣1，1]的最⼩值为g（0）＝0，最⼤值为g（1）＝e，即值域为[0，e]．
对任意的x2∈[﹣1，1]，存在唯⼀的x1∈[﹣，2]，使得f（x1）＝g（x2），
可得[0，e]⊆[a﹣4，a﹣），
可得a﹣4≤0＜e＜a﹣，
解得e+
＜a≤4．
故选：B．
16．已知函数
，若对任意的x1∈R ，总存在
，使得g（x1）＝ln|3m﹣2|+f（x2），则实数m 的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵
，g（x）＝ln（ex+e﹣x+e），
设
，
，
令
，则
，
可得
，当且仅当r＝1 时，等号成⽴，
则f（x）≥ln2，∴y＝ln|3m﹣2|+f（x）的值域为A＝[ln|3m﹣2|+ln2，+∞），
⼜∵
，当且仅当x＝0 时取等号，
可得g（x）≥ln（e+2），∴g（x）的值域为B＝[ln（e+2），+∞），
∵对任意的x1∈R，总存在
，使得g（x1）＝ln|3m﹣2|+f（x2），
∴B⊆A，则ln|3m﹣2|+ln2≤ln（e+2），
即
，解得
且
，
∴实数m 的取值范围
．
故选：C．
17．已知函数f（x）＝
，若∀x1，x1∈[0，2]，x1≠x2，都有
＞0 成⽴，
则a 的取值范围为（
）
A．（0，2]
B．（﹣∞，1]
C．（0，1]
D．（0，+∞）
【解答】解：因为对于∀x1x2∈[0，2]x1≠x2，都有
成⽴，所以函数f（x）是增函数，
则函数y＝ax+1﹣a 在[0，1]上单调递增，所以a＞0①；
同时，
在（1，2]上单调递增，则
，即a≤2②；
且有1•a+1﹣a≤21﹣a，即1﹣a≥0③；
联⽴①②③得0＜a≤1．
故选：C．
18．已知函数
，对∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x1）
＝f（x2）成⽴，则实数a 的取值范围是（
）
A．[﹣2，2]
B．[﹣1，1]
C．[0，4]
D．[1，3]
【解答】解：当x∈[﹣2，2]时，记g（x）和f（x）的值域分别为集合A，B．
当0≤x≤2 时，2x﹣1∈[0，3]，当﹣2≤x＜0 时，﹣x2∈[﹣4，0），
所以，函数f（x）的值域为B＝[﹣4，3]．
因为对∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x1）＝f（x2）成⽴，
所以，A⊆B．
当a＝0 时，A＝{1}，满⾜题意；
当a＞0 时，A＝[﹣2a+1，2a+1]，则
，解得0＜a≤1；
当a＜0 时，A＝[2a+1，﹣2a+1]，则
，解得﹣1≤a＜0．
综上，实数a 的取值范围是[﹣1，1]．
故选：B．
19．若函数f（x）＝x2﹣ax+a2对任意
，总存在t∈
，使得f（x）＝t 成⽴，
则实数a 的范围是（
）
A．
B．（1，2]
C．[
]
D．
【解答】解：由题意，只需f（x）在
上的值域为[
，2a]的⼦集即可，
因为a＞0，所以
，对称轴为x＝，由x∈[
]得a＞1，
①当
，即1＜a
时，f（x）在[
]上单调递增，此时f（x）∈[a2+
﹣1，a2]，
由题意得
，由
＝1（a＝1 时取等号），故第⼀个式⼦恒成
⽴，
由第⼆个式⼦得0＜a≤2，
故此时1＜a
；
②当
，即a
时，f（x）在[
）递减，在[
]上递增，
此时最⼩值为f（）＝
，最⼤值为f（a）＝a2，所以
，解得
≤a≤2，
故此时
；
综上，所求a 的范围为（1，2]．
故选：B．
⼆．填空题（共3 ⼩题）
20．已知函数f（x）＝
ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a∈R）．g（x）＝x2﹣2x，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈
（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），则a 的取值范围是
a＞ln2﹣1
．
【解答】解：由已知，在（0，2]上有fmax（x）＜gmax（x）．
由已知，gmax（x）＝0，
f′（x）＝
，（x＞0）；
当a≤0 时，x＞0，ax﹣1＜0，在区间（0，2]上，f′（x）＞0；f（x）在（0，2]上单调递增，
①当a≤
时，＞2，f（x）在（0，2]上单调递增，
故fmax（x）＝f（2）＝2a﹣2（2a+1）+2ln2＝﹣2a﹣2+2ln2，
所以，﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，故ln2﹣1＜a≤
．
②当a＞时，0＜＜2，f（x）在（0，]上单调递增，在[
，2]上单调递减，
故fmax（x）＝f（）＝﹣2﹣
﹣2lna．
由a＞可知lna＞ln
＞ln
＝﹣1，2lna＞﹣2，﹣2lna＜2，
所以，﹣2﹣2lna＜0，fmax（x）＜0，
综上所述a＞ln2﹣1．
故答案为：a＞ln2﹣1．
21．已知函数
，g（x）＝x2﹣2bx+4，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f
（x1）≥g（x2），则实数b 的取值范围是
[
，+∞）
．
【解答】解：∵函数
，
∴f′（x）＝
＝
＝
，
若f′（x）＞0，1＜x＜3，f（x）为增函数；
若f′（x）＜0，x＞3 或0＜x＜1，f（x）为减函数；
f（x）在x∈（0，2）上有极值，
f（x）在x＝1 处取极⼩值也是最⼩值f（x）min＝f（1）＝﹣
＝﹣；
∵g（x）＝x2﹣2bx+4＝（x﹣b）2+4﹣b2，对称轴x＝b，x∈[1，2]，
当b＜1 时，g（x）在x＝1 处取最⼩值g（x）min＝g（1）＝1﹣2b＝4＝5﹣2b；
当1＜b＜2 时，g（x）在x＝b 处取最⼩值g（x）min＝g（b）＝4﹣b2；
当b＞2 时，g（x）在[1，2]上是减函数，g（x）min＝g（2）＝4﹣4b+4＝8﹣4b；
∵对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），
∴只要f（x）的最⼩值⼤于等于g（x）的最⼩值即可，
当b＜1 时，﹣≥5﹣2b，解得b≥
，故b ⽆解；当b＞2 时，﹣≥8﹣4b，解得b≥
，
综上：b≥
，
故答案为：[
，+∞）．
22．已知函数f（x）＝
，若存在x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2），则实数
a 的取值范围是
（﹣∞，2）∪（
，+∞）．
【解答】解：依题意，x＞2 时，f（x）递增，
分情况讨论：
①x≤2 时，f（x）＝﹣x2+2ax 不是单调的，
对称轴为x＝a，则a＜2；
②x≤2 时，f（x）＝﹣x2+2ax 是单调递增，但f（x）在R 上不单调．
即有a≥2 且a+9＜﹣4+4a，解得a＞
．
综合得：a 的取值范围是（﹣∞，2）∪（
，+∞）．
故答案为：（﹣∞，2）∪（
，+∞）．
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函数——题型23
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
B
D
D
B
C
C
A
D
B
⼀．选择题（共9 ⼩题）
1．若f（x）+f（y）＝f（xy+x+y）对任意x，y∈（0，+∞）恒成⽴，且f（3）＝2，则f（1）＝（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【解答】解：根据题意，f（x）+f（y）＝f（xy+x+y）对任意x，y∈（0，+∞）恒成⽴，
令x＝y＝1 可得：f（1）+f（1）＝f（3），
⼜由f（3）＝2，则f（1）＝1．
故选：B．
2．已知定义域为R 的函数f（x）满⾜：∀x，y∈R，f（x）﹣f（y）＝f（x﹣y）+2（x﹣y）y，且f（6）＝0，
则（
）
A．f（0）＝1
B．f（3）＝9
C．f（x）是奇函数
D．∀x∈R，f（x）+f（﹣x）≥0
【解答】解：选项A，令x＝y，则f（y）﹣f（y）＝f（0）+0，所以f（0）＝0，即选项A 错误；
选项B，令x＝6，y＝3，则f（6）﹣f（3）＝f（3）+2•3•3，即2f（3）＝f（6）﹣18＝﹣18，
所以f（3）＝﹣9，即选项B 错误；
选项C 和D，令x＝2y，则f（2y）﹣f（y）＝f（2y﹣y）+2（2y﹣y）y，即f（2y）﹣f（y）＝f（y）+2y2①，
令y＝2x，则f（x）﹣f（2x）＝f（x﹣2x）+2（x﹣2x）•2x，即f（x）﹣f（2x）＝f（﹣x）﹣4x2，
所以f（y）﹣f（2y）＝f（﹣y）﹣4y2②，
由①+②得，0＝f（y）+2y2+f（﹣y）﹣4y2，
所以f（y）+f（﹣y）＝2y2≥0，即选项C 错误，选项D 正确．
故选：D．
3．已知函数f（x）的定义域为R，f（a）f（b）﹣f（a）＝ab﹣b，则（
）
A．f（0）＝0
B．f（1）＝2
C．f（x）﹣1 为偶函数
D．f（x）﹣1 为奇函数
【解答】解：对于A，令b＝0，则f（a）f（0）﹣f（a）＝0，
得f（a）[f（0）﹣1]＝0，所以f（a）＝0 或f（0）＝1，
当f（a）＝0 时，f（a）f（b）﹣f（a）＝ab﹣b 不恒成⽴，
所以f（0）＝1，所以A 错误，
对于B，令a＝b＝1，则f（1）f（1）﹣f（1）＝0，得f（1）[f（1）﹣1]＝0，
所以f（1）＝0，或f（1）＝1，
由选项A 可知f（1）≠0，所以f（1）＝1，所以B 错误，
对于CD，令a＝0，b＝x，则f（0）f（x）﹣f（0）＝﹣x，
由选项A 可知f（0）＝1，所以f（x）＝1﹣x，
所以f（x）﹣1＝1﹣x﹣1＝﹣x，令g（x）＝f（x）﹣1＝﹣x，
则g（﹣x）＝x＝﹣g（x），所以g（x）为奇函数，
即f（x）﹣1 为奇函数，所以C 错误，D 正确，
故选：D．
4．已知函数f（x）满⾜条件：
，f（x+y）＝f（x）•f（y），f（x）在R 上是减函数，若∃x∈[1，4]，
使f（x2）≤16f（mx）成⽴，则实数m 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，5）
B．（﹣∞，5]
C．（﹣∞，4）
D．（﹣∞，4]
【解答】解：因为
，f（x+y）＝f（x）•f（y），所以f（2）＝f（1）•f（1）＝，f（4）＝f（2）•
f（2）＝
，
所以f（x2）≤16f（mx），可化为
，
因为f（x）在R 上是减函数，所以mx≤x2+4，
所以问题转化为∃x∈[1，4]，使mx≤x2+4 成⽴，
即
，则
，
因为对勾函数
在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增，
所以当x＝1 或x＝4 时，
取得最⼤值5，所以m≤5，即m∈（﹣∞，5]．
故选：B．
5．已知函数f（x）满⾜f（x+y）＝f（x）+f（y）+2xy，若f（1）＝1，则f（25）＝（
）
A．25
B．125
C．625
D．15625
【解答】解：解法⼀：由题意取x＝n（n∈N），y＝1，可得
f（n+1）＝f（n）+f（1）+2n
＝f（n﹣1）+2f（1）+2（n﹣1）+2n
＝f（n﹣2）+3f（1）+2（n﹣2）+2（n﹣1）+2n
＝（n+1）f（1）+2（1+2+⋯+n）
＝（n+1）f（1）+n（n+1）
即知f（n）＝nf（1）+n（n﹣1）＝n+n（n﹣1）＝n2，则f（25）＝625．
解法⼆：由f（x+y）＝f（x）+f（y）+2xy 可构造满⾜条件的函数f（x）＝x2，
可以快速得到f（25）＝625．
故选：C．
6．已知定义在R 上的函数f（x）满⾜：
，且f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），则下列结论正
确的是（
）
A．f（0）＝0
B．f（x）的周期为4
C．f（2x﹣1）关于
对称
D．f（x）在（0，+∞）单调递减
【解答】解：因为f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y）符合余弦函数模型，所以令f（x）＝cosax，
因为
，所以代⼊可得
或
，
取
，即
进⾏验证，
对于A，f（0）＝cos0＝1，故A 错误；
对于B，
，f（x）的周期为
＝6，故B 错误；
对于C，f（2x﹣1）＝cos（
），此时f（2×
﹣1）＝cos0＝1，取得最⼤值，故x＝为对称轴，
C 正确；
对于D，因为f（x）是周期函数，故f（x）在（0，+∞）不可能单调递减，D 错误．
故选：C．
7．已知函数f（x）满⾜f（x+y）＝f（x）+f（y）+4xy，f（1）＝﹣1，则f（201）＝（
）
A．80199
B．80200
C．81001
D．81002
【解答】解：因为f（x+y）＝f（x）+f（y）+4xy，f（1）＝﹣1，
所以令y＝1，可得f（x+1）＝f（x）+f（1）+4x，即f（x+1）﹣f（x）＝f（1）+4x＝4x﹣1，
所以f（2）﹣f（1）＝4×1﹣1＝3，f（3）﹣f（2）＝4×2﹣1＝7，
f（4）﹣f（3）＝4×3﹣1＝11，⋯⋯，f（201）﹣f（200）＝4×200﹣1＝799，
所以
，
所以f（201）＝80200+f（1）＝80199．
故选：A．
8．定义在R 上的函数f（x）满⾜对任意x，y∈R 都有f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），且f（1）＝0，f
（0）≠0，则下列命题错误的是（
）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）是周期函数
C．f（2024）＝1
D．f（x）的图象关于点（2，0）对称
【解答】解：令x＝y＝0，则f（0）+f（0）＝2f（0）•f（0），∵f（0）≠0，∴f（0）＝1，
再令x＝0，则f（0+y）+f（0﹣y）＝2f（0）•f（y）⇒f（﹣y）＝f（y），∴f（x）为偶函数，A 正确；
⼜令y＝1，则f（x+1）+f（x﹣1）＝2f（x）•f（1）＝0⇒f（x+1）＝﹣f（x﹣1）⇒f（x+2）＝﹣f（x）⇒（x+4）
＝f（x），
∴f（x）为周期是4 的周期函数，B 正确；
f（2024）＝f（0）＝1，C 正确；
若D 正确，
则f（x+4）+f（﹣x）＝0，⼜f（x）为周期是4 的周期函数，
∴f（x）＝﹣f（﹣x），f（x）为奇函数，则f（0）＝0 与已知中“f（0）≠0”⽭盾，D 错误．
故选：D．
9．定义在R 上的函数f（x）满⾜f（x+y）＝f（x）+f（y），当x＞0 时，f（x）＜0，则不等式f（5﹣x2）+f
（3x﹣x2）＜0 的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由f（x+y）＝f（x）+f（y），令x＝y＝0，可得f（0）＝2f（0），f（0）＝0，
由于函数f（x）的定义域为R，令y＝﹣x，可得f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，f（x2﹣x1）＜0，
所以f（x2）﹣f（x1）＝f（x2）+f（﹣x1）＝f（x2﹣x1）＜0，
所以f（x1）＞f（x2），则函数f（x）在R 上为减函数，
由f（5﹣x2）+f（3x﹣x2）＜0 可得f（5﹣x2+3x﹣x2）＜f（0），
则5﹣x2+3x﹣x2＞0，整理得2x2﹣3x﹣5＜0，解得﹣1＜x＜，
则不等式f（5﹣x2）+f（3x﹣x2）＜0 的解集为（﹣1，）．
故选：B．
⼆．多选题（共4 ⼩题）
（多选）10．已知定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）满⾜
，当x＜0
时，f（x）＜0，且f（1）＝2，则（
）
A．f（2）＝1
B．f（x）为偶函数
C．f（x）在（0，+∞）上单调递减
D．任意x1∈D，存在x2∈D，使得f（x1）+f（x2）＝x1+x2
【解答】解：对A：令x＝1，y＝2，则有
，⼜f（1）＝2，
故
，即f（2）＝1，故A 正确；
对B：由
，则有
，
即
，即有f（x）＝﹣f（﹣x），
⼜定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故f（x）为奇函数，故B 错误；
对C：令x＞y＞0，则有y﹣x＜0，xy＞0，﹣xy＜0，由当x＜0 时，f（x）＜0，
故f（y﹣x）＜0，f（﹣xy）＜0，则f（xy）＝﹣f（﹣xy）＞0，
即x＞y＞0 时，有
，故f（x）在（0，+∞）上单调递减，即C 正确；
对D：f（x1）+f（x2）＝x1+x2等价于f（x1）﹣x1＝﹣[f（x2）﹣x2]，
由f（x）为奇函数，设函数g（x）＝f（x）﹣x，
则对任意x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），
都有g（﹣x）＝f（﹣x）+x＝﹣f（x）+x＝﹣[f（x）﹣x]＝﹣g（x），
故函数g（x）＝f（x）+x 为奇函数，
故对任意x1∈D，存在x2＝﹣x1∈D，使f（x1）﹣x1＝﹣[f（x2）﹣x2]，
即任意x1∈D，存在x2∈D，使得f（x1）+f（x2）＝x1+x2，故D 正确．
故选：ACD．
（多选）11．已知函数f（x）满⾜（x+y）f（x）f（y）＝xyf（x+y），且f（1）＝2，则（
）
A．f（0）＝0
B．f（2）＝8
C．函数f（x）为奇函数
D．f（1）+f（2）+f（3）+…f（n）＝（n﹣1）2n+2
【解答】解：对于A，令x＝0，y＝1 时，则f（0）f（1）＝0，⼜f（1）＝2，所以f（0）＝0，故A 正确；
对于B，令x＝y＝1 时，则2f（1）f（1）＝f（2），⼜f（1）＝2，所以f（2）＝8，故B 正确；
对于C，当x＝﹣1，y＝2 时，则f（﹣1）f（2）＝﹣2f（1），⼜f（1）＝2，f（2）＝8，
所以
，所以函数f（x）不为奇函数，故C 错误；
对于D，当x＝1，y＝n 时，则（1+n）f（1）f（n）＝nf（n+1），⼜f（1）＝2，
所以2（1+n）f（n）＝nf（n+1），即
，
所以当n≥2 时，
，
即
，即f（n）＝8n×2n﹣3＝n×2n，n≥2，
当n＝1 时，代⼊上式，1×21＝2＝f（1），所以f（n）＝n×2n，
设Sn＝f（1）+f（2）+...+f（n），
则
①，
②，
①﹣②得
＝（1﹣n）×2n+1﹣2，
所以
，
故（1）+f（2）+f（3）+…f（n）＝（n﹣1）2n+2，故D 正确，
故选：ABD．
（多选）12．已知函数f（x）的定义域为R，f（xy）＝xf（y）+yf（x），则（
）
A．f（0）＝0
B．f（﹣1）＝0
C．f（x）是奇函数
D．x＝0 为f（x）的极⼤值点
【解答】解：因为f（xy）＝xf（y）+yf（x），
对于选项A：令x＝y＝0，
此时f（0）＝0f（0）+0f（0）＝0，故选项A 正确；
对于选项B：令x＝y＝1，
此时f（1）＝f（1）+f（1），
所以f（1）＝0，
令x＝y＝﹣1，
此时f（1）＝﹣f（﹣1）﹣f（﹣1）＝﹣2f（﹣1）＝0，
所以f（﹣1）＝0，故选项B 正确；
对于选项C：因为函数f（x）的定义域为R，
令y＝﹣1，
此时f（﹣x）＝xf（﹣1）﹣f（x）＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数，故选项C 正确；
对于D，不妨令f（x）＝0，符合题意，
此时函数f（x）⽆极值，故选项D 错误．
故选：ABC．
（多选）13．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）f（x﹣y）＝f2（x）﹣f2（y），f（1）＝1，f（2x+1）
为偶函数，则（
）
A．f（0）＝0
B．f（x）为偶函数
C．f（2+x）＝﹣f（2﹣x）
D．
【解答】解：对于A，由f（x+y）f（x﹣y）＝f2（x）﹣f2（y），令x＝y＝0，则f2（0）＝0，可知f（0）＝0，
故A 项正确；
对于B，因为f（x）的定义域为R，关于原点对称，令x＝0，则f（y）f（﹣y）＝f2（0）﹣f2（y）＝﹣f2
（y），
⽽f（y）不恒等于0，故f（﹣y）＝﹣f（y），可知f（x）为奇函数，故B 项错误；
对于C，因为f（2x+1）为偶函数，所以f（﹣2x+1）＝f（2x+1），
⽤
代换x，得f（﹣x+1）＝f（x+1），再⽤﹣x﹣1 代换x，可得f（2+x）＝f（﹣x），所以f（2﹣x）＝f（x），
由B 选项的结论，可得f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（2+x）＝﹣f（2﹣x），故C 项正确；
对于D，由选项C 的结论，可知f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），
所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），可知f（x）是周期为4 的周期函数，
因为f（1）＝1，所以f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，可得f（3）＝f（﹣1+4）＝f（﹣1）＝﹣1，
由f（x+2）＝f（﹣x），得f（2）＝f（0）＝0，结合f（4）＝f（0）＝0，
得f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝1+0+（﹣1）+0＝0，
所以
＝506[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]＝0，可得D 项正确．
故选：ACD．
三．解答题（共5 ⼩题）
14．已知函数f（x）对于任意实数x，y∈R 恒有f（x+y）＝f（x）+f（y），且当x＜0 时，f（x）＜0，⼜f（﹣
1）＝﹣1．
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）求f（x）在区间[﹣2，2]的最⼤值；
（3）解关于x 的不等式f（x2）﹣2f（x）＜f（ax）﹣f（2a）．
【解答】解：（1）f（x）为奇函数，理由如下；
函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，
令x＝y＝0 得：f（0）＝2f（0），解得：f（0）＝0，
令y＝﹣x 得：f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，
所以f（﹣x）＝﹣f（x）对任意x∈R 恒成⽴，所以f（x）为奇函数；
（2）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，
则x1﹣x2＜0 因为当x＜0 时，f（x）＜0，
所以f（x1﹣x2）＜0，即f（x1）+f（﹣x2）＜0，
由第⼀问知，f（x）为奇函数，所以f（﹣x2）＝﹣f（x2），
则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R 上单调递增，
所以f（x）在区间[﹣2，2]的最⼤值为f（2），
因为f（﹣1）＝﹣1，f（x）为奇函数，
所以f（1）＝1，令x＝y＝1，得：f（2）＝f（1）+f（1）＝2；
（3）因为f（x2）＝2f（x）＜f（ax）＝f（2a），
所以f（x2）﹣f（x）＜f（x）+f（ax）﹣f（2a）＝f（x+ax﹣2a），
所以f（x2）+f（﹣x）＜f（x+ax﹣2a），所以f（x2﹣x）＜f（x+ax﹣2a），
由（2）可知，f（x）在R 上单调递增，所以x2﹣x＜x+ax﹣2a，
整理得：x2﹣（a+2）x+2a＜0，即（x﹣2）（x﹣a）＜0，
当a＝2 时，⽆解，解集为∅，
当a＜2 时，解集为（a，2），
当a＞2 时，解集为（2，a）．
15．已知函数f（x）对于任意实数x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣2，且f（2）＝4．
（1）求f（1）的值；
（2）令g（x）＝f（x）﹣2，求证：函数g（x）为奇函数；
（3）求f（﹣2025）+f（﹣2024）+…+f（﹣1）+f（0）+f（1）+…+f（2024）+f（2025）的值．
【解答】解：（1）因为函数f（x）对于任意实数x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣2，且f（2）＝
4，
所以令x＝y，可得4＝f（2）＝2f（1）﹣2，所以f（1）＝3；
（2）证明：令x＝y＝0，可得f（0）＝2f（0）﹣2，所以f（0）＝2，
再令y＝﹣x，可得f（x）+f（﹣x）﹣2＝f（0）＝2，
所以f（﹣x）﹣2+f（x）﹣2＝0，
所以g（﹣x）+g（x）＝0，
所以g（x）为奇函数；
（3）由（2）可得f（x）+f（﹣x）＝4，f（0）＝2，
所以f（﹣2025）+f（﹣2024）+…+f（﹣1）+f（0）+f（1）+…+f（2024）+f（2025）
＝4×2025+2＝8102．
16．已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x，y∈R 都有f（xy）＝f（x）f（y），且x＜0 时，f（x）＜0，x
＞1 时，f（x）＞1．
（1）求f（1）的值并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）讨论f（x）的单调性并证明；
（3）若f（4）＝16，f（x）f（x+1）﹣4f（ax+6）≥0 对任意的a∈[0，1]成⽴，求实数x 的取值范围．
【解答】解：（1）当x＞1 时，令y＝1，则f（x）＝f（x）f（1），
因为f（x）＞1，所以f（1）＝1；
令x＝y＝﹣1，则f（1）＝f（﹣1）f（﹣1），即f2（﹣1）＝1，
因为f（﹣1）＜0，所以f（﹣1）＝﹣1，
令y＝﹣1，则f（﹣x）＝f（﹣1）f（x）＝﹣f（x），故y＝f（x）是奇函数．
（2）f（x）在R 上是增函数，证明过程如下：
当0＜x＜1 时，
，所以
，
因为
，所以当0＜x＜1 时，0＜f（x）＜1，
⼜f（1）＝1＞0，且当x＞1 时，f（x）＞1，
所以当x＞0 时，f（x）＞0，
因为f（x）是定义在R 上的奇函数，所以f（0）＝0，
任取x1＞x2＞0，则
，所以
，
所以
，
即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
⼜因为f（x）是R 上的奇函数，所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，且f（0）＝0，
综上所述，f（x）在R 上是增函数．
（3）在f（xy）＝f（x）f（y）中，令x＝y＝2，则f（4）＝f2（2）＝16，
因为f（2）＞0，所以f（2）＝4，
由f（x）f（x+1）﹣4f（ax+6）≥0，得f（x）f（x+1）≥f（2）f（ax+6），
即f（x2+x）≥f（2ax+12）
因为f（x）在R 上是增函数，所以x2+x≥2ax+12 对任意的a∈[0，1]恒成⽴，即﹣2xa+x2+x﹣12≥0，
设g（a）＝﹣2xa+x2+x﹣12，
则
，解得x≥4 或x≤﹣4，
所以实数x 的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．
17．已知函数f（x）是定义在R 上的增函数，并且满⾜f（x+y）＝f（x）+f（y），f（1）＝4．
（1）求f（0）的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）若f（2x+3）﹣f（x）＜8，求x 的取值范围．
【解答】解：（1）令x＝y＝0，得f（0）＝f（0）+f（0），解得f（0）＝0；
（2）因为函数f（x）的定义域为R，令y＝﹣x，
则有f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x），即f（x）+f（﹣x）＝0，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），
∴函数f（x）为奇函数；
（3）因为f（1）＝4，
所以f（2）＝f（1+1）＝4+4＝8，
⼜因为f（2x+3）﹣f（x）＜8，
即有f（2x+3﹣x）＜f（2），
即f（x+3）＜f（2），
⼜因为f（x）为增函数，
所以x+3＜2，解得x＜﹣1，
故x 的取值范围为{x|x＜﹣1}．
18．已知定义在R 上的函数f（x），满⾜对任意的x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣2．当x＞0 时，
f（x）＞2，且f（1）＝3．
（1）求f（2）；
（2）求证：f（x）在R 上是增函数；
（3）解关于x 的不等式f（ax2）+2＞f（x+2ax）．
【解答】解：已知定义在R 上的函数f（x），满⾜对任意的x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣2．
当x＞0 时，f（x）＞2，且f（1）＝3．
（1）令x＝y＝1，所以f（2）＝f（1）+f（1）﹣2＝6﹣2＝4．
（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
因为f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣2，
所以f（x2）＝f（（x2﹣x1）+x1）＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣2，
因为x＞0 时，f（x）＞2，所以f（x2﹣x1）﹣2＞0，
所以f（x1）﹣f（x2）＝﹣f（x2﹣x1）+2＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在R 上是增函数．
（3）f（x+2ax）＝f（x）+f（2ax）﹣2，
所以f（ax2）+2＞f（x）+f（2ax）﹣2，
则f（ax2）+4＞f（x）+f（2ax），
因为f（2）＝4，所以f（ax2）+f（2）＞f（x）+f（2ax），
所以f（ax2+2）+2＞f（x+2ax）+2，所以f（ax2+2）＞f（x+2ax），
由（2）得f（x）在R 上是增函数，
所以ax2+2＞x+2ax，即ax2﹣（1+2a）x+2＞0，
所以（ax﹣1）（x﹣2）＞0，
当a＜0 时，（ax﹣1）（x﹣2）＞0 解得
；
当a＝0 时，（﹣1）（x﹣2）＞0 解得x＜2；
当
时，（ax﹣1）（x﹣2）＞0 解得x＜2 或
；
当
时，
解得x≠2；
当
时，（ax﹣1）（x﹣2）＞0 解得
或x＞2；
综上所述：当a＜0 时，解集为
；
当a＝0 时，解集为（﹣∞，2）；
当
时，解集为
；
当
时，解集为（﹣∞，2）∪（2，+∞）；
当
时，解集为
．
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函数——题型24～25
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
4
5
答案
D
D
D
D
D
⼀．选择题（共5 ⼩题）
1．已知函数f（x）＝|x2﹣4x+3|在[m，n]上的值域为[0，1]，则n﹣m 的取值范围是（
）
A．[1，2]
B．
C．
D．
【解答】解：因为函数f（x）＝|x2﹣4x+3|＝|（x﹣2）2﹣1|＝
，
画出函数f（x）的图象，如图所示：
x≥3 时，令x2﹣4x+3＝1，解得x＝2+
，x≤1 时，令x2﹣4x+3＝1，解得x＝2﹣
，
1＜x＜3 时，令﹣x2+4x﹣3＝1，解得x＝2；
⼜f（1）＝f（3）＝0，且f（x）在[m，n]上的值域为[0，1]，
所以n﹣m 的最⼤值为（2+
）﹣（2﹣
）＝2
，
最⼩值为2+
﹣3＝
﹣1，
所以n﹣m 的取值范围是[
﹣1，2
]．
故选：D．
2．函数f（x）＝|x﹣3|在区间[﹣1，4]上的最⼤值和最⼩值分别是（
）
A．4，1
B．1，﹣4
C．4，﹣4
D．4，0
【解答】解：
，
可知函数图象关于直线x＝3 对称，在（3，+∞）上单调递增，在（﹣∞，3）上单调递减，
⼜f（﹣1）＝4，f（4）＝1，f（3）＝0．
故当x＝3 时，f（x）＝|x﹣3|取得最⼩值0，当x＝﹣1 时，f（x）＝|x﹣3|取得最⼤值4．
故选：D．
3．设x∈R，求⽅程|x﹣2|+|2x﹣3|＝|3x﹣5|的解集（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：当x＝3 时，满⾜|x﹣2|+|2x﹣3|＝|3x﹣5|，故A，C 错误，
当x＝2 时，满⾜|x﹣2|+|2x﹣3|＝|3x﹣5|，故B 错误．
故选：D．
4．已知函数f（x）＝|x|+sin2x，设x1，x2∈R，则f（x1）＞f（x2）成⽴的⼀个必要不充分条件是（
）
A．x1＞x2
B．x2＞x1
C．x1+x2＞0
D．|x1|＞x2
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝|x|+sin2x，其定义域为R，
有f（﹣x）＝|x|+sin2x＝f（x），则函数f（x）为偶函数，
在区间（0，+∞）上，f（x）＝x+sin2x，其导数f′（x）＝1+2sinxcosx＝（sinx+cosx）2≥0，
则函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
若f（x1）＞f（x2），必有|x1|＞|x2|，反之也成⽴，
故f（x1）＞f（x2）成⽴的充要条件为|x1|＞|x2|，
由此分析选项：
对于A，若|x1|＞|x2|，x1＞x2不⼀定成⽴，反之，x1＞x2成⽴，|x1|＞|x2|也不⼀定成⽴，则x1＞x2是f（x1）
＞f（x2）成⽴的既不充分也不必要条件，不符合题意；
对于B，同理A，x2＞x1是f（x1）＞f（x2）成⽴的既不充分也不必要条件，不符合题意；
对于C，若x1+x2＞0 即x1＞﹣x2成⽴，则x1＞x2不⼀定成⽴，反之，x1＞x2成⽴，x1+x2＞0 也不⼀定成⽴，
则x1+x2＞0 是f（x1）＞f（x2）成⽴的既不充分也不必要条件，不符合题意；
对于D，若|x1|＞|x2|，必有|x1|＞x2，反之不⼀定成⽴，故|x1|＞x2是f（x1）＞f（x2）成⽴的必要不充分条件，
符合题意；
故选：D．
5．若函数f（x）＝2|x﹣a|（a∈R）满⾜f（1+x）＝f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m
的最⼩值为（
）
A．0
B．3
C．2
D．1
【解答】解：因为函数f（x）满⾜f（1+x）＝f（1﹣x），
所以f（x）的图像关于直线x＝1 对称；
⽽函数f（x）＝2|x﹣a|可以看成函数y＝2|x|向右平移a 个单位，
所以f（x）＝2|x﹣a|的图像关于直线x＝a 对称，所以a＝1．
所以f（x）＝2|x﹣1|，其图像关于直线x＝1 对称，在（1，+∞）上单调递增．
因为f（x）在[m，+∞）上单调递增，所以m≥1．
故实数m 的最⼩值为1．
故选：D．
⼆．多选题（共1 ⼩题）
（多选）6．设函数f（x）＝||x|﹣1|，下列关于函数f（x）的叙述正确的是（
）
A．f（x）的单调递增区间是（﹣1，0）∪（1，+∞）
B．f（x）在（﹣∞，1]没有最⼤值
C．f（x）是偶函数
D．f（x）的零点是（﹣1，0）和（1，0）
【解答】解：先作出函数y＝
的图象，再向下平移1 个单位得到y＝
﹣1 的图象，再利⽤上下翻折
变换得到f（x）＝||x|﹣1|的图象，如图所示，
对于A，f（x）的单调递增区间是（﹣1，0）和（1，+∞），单调区间之间不能⽤并集，故A 错误；
对于B：当x→﹣∞时，f（x）→+∞，所以在（﹣∞，1]上没有最⼤值，故B 正确，
对于C：f（x）的图象关于y 轴对称，所以是偶函数，故C 正确；
对于D，f（x）的零点是﹣1 和1，零点是⽅程等于0 的根，不是点，故D 错误．
故选：BC．
三．填空题（共5 ⼩题）
7．已知f（x）＝（x+a）•|x+a|在R 上为严格增函数，则实数a 的取值范围是
R
．
【解答】解：当x≥﹣a 时，f（x）＝（x+a）•|x+a|＝（x+a）2，开⼝向上，对称轴右侧递增，
当x＜﹣a 时，f（x）＝（x+a）•|x+a|＝﹣（x+a）2 开⼝向下，对称轴x＝﹣a 左侧递增，
所以f（x）在R 上为严格增函数时，实数a∈R．
故答案为：R．
8．已知函数f（x）＝|x2﹣1|，若实数a＞b＞0，满⾜f（a）＝f（b），则ab 的取值范围是
（0，1）．
【解答】解：作出函数f（x）的图象，如图所示：
若实数a＞b＞0，满⾜f（a）＝f（b），
由图象可得1﹣a2＝b2﹣1，0＜a＜1，1＜b＜
，
所以a2+b2＝2，所以0＜ab＜
＝1，当且仅当a＝b 时等号成⽴，
所以ab 的取值范围是（0，1）．
故答案为：（0，1）．
9．已知函数f（x）＝
，x∈[0，2]的最⼤值为
，则实数m 的值为
﹣2
．
【解答】解：由已知得f（0）＝，
⼜f（x）max＝{f（0），f（2），f（﹣）}max，
∴
，
解得m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
10．设m（a）是函数f（x）＝|x2﹣a|在区间[﹣1，1]上的最⼤值，则m（a）的最⼩值为
．
【解答】解：由题意可得函数f（x）为偶函数，因此讨论M（a）的值域只需在x∈[0，1]这⼀范围内进
⾏；
①当a≤0 时，f（x）＝x2﹣a，函数f（x）在[0，1]单调递增，M（a）＝f（1）＝1﹣a≥1．
②当1＞a＞0 时，函数f（x）在[0，
]上单调递减，在[
，1]上单调递增，
所以f（x）在[0，
]内的最⼤值为M（a）＝f（0）＝a，
⽽f（x）在[
，1]上的最⼤值为M（a）＝f（1）＝1﹣a．
若f（1）＞f（0）得，则1﹣a＞a，求得0＜a＜．
故当a∈（0，）时，M（a）＝f（1）＝1﹣a＞；
若f（1）≤f（0）得，则1﹣a≤a，求得1＞a≥
．
故当a∈[
，1）时，M（a）＝f（0）＝a，
③当a≥1 时，函数在[0，1]上为减函数，所以M（a）＝f（0）＝a≥1．
综上，M（a）＝1﹣a，（当a＜时）；或
M（a）＝a，（当a≥
时）．
所以M（a）在[0，]上为减函数，且在[
，1]为增函数，
易得M（a）的最⼩值为M（）＝．
故答案为：．
11．已知f（x）＝（x+1）•|x﹣1|，若关于x 的⽅程f（x）＝x+m 有三个不同的实数解，则实数m 的取值范
围
．
【解答】解：由f（x）＝（x+1）|x﹣1|＝
得函数y＝f（x）的图象（如图）．
由
得x2+x+m﹣1＝0，
∴Δ＝1﹣4（m﹣1）＝5﹣4m，
由Δ＝0，得m＝，
∴由其图象可知f（x）＝x+m 有三个不同的实数解，就是直线y＝x+m 与抛物线
f（x）＝
有三个交点，由图可知﹣1＜m＜，
∴实数m 的取值范围是﹣1＜m＜．
故答案为：﹣1＜m＜．
四．解答题（共10 ⼩题）
12．已知函数f（x）对于任意实数x，y∈R 恒有f（x+y）＝f（x）+f（y），且当x＜0 时，f（x）＜0，⼜f（﹣
1）＝﹣1．
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）求f（x）在区间[﹣2，2]的最⼤值；
（3）解关于x 的不等式f（x2）﹣2f（x）＜f（ax）﹣f（2a）．
【解答】解：（1）f（x）为奇函数，理由如下；
函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，
令x＝y＝0 得：f（0）＝2f（0），解得：f（0）＝0，
令y＝﹣x 得：f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，
所以f（﹣x）＝﹣f（x）对任意x∈R 恒成⽴，所以f（x）为奇函数；
（2）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，
则x1﹣x2＜0 因为当x＜0 时，f（x）＜0，
所以f（x1﹣x2）＜0，即f（x1）+f（﹣x2）＜0，
由第⼀问知，f（x）为奇函数，所以f（﹣x2）＝﹣f（x2），
则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R 上单调递增，
所以f（x）在区间[﹣2，2]的最⼤值为f（2），
因为f（﹣1）＝﹣1，f（x）为奇函数，
所以f（1）＝1，令x＝y＝1，得：f（2）＝f（1）+f（1）＝2；
（3）因为f（x2）＝2f（x）＜f（ax）＝f（2a），
所以f（x2）﹣f（x）＜f（x）+f（ax）﹣f（2a）＝f（x+ax﹣2a），
所以f（x2）+f（﹣x）＜f（x+ax﹣2a），所以f（x2﹣x）＜f（x+ax﹣2a），
由（2）可知，f（x）在R 上单调递增，所以x2﹣x＜x+ax﹣2a，
整理得：x2﹣（a+2）x+2a＜0，即（x﹣2）（x﹣a）＜0，
当a＝2 时，⽆解，解集为∅，
当a＜2 时，解集为（a，2），
当a＞2 时，解集为（2，a）．
13．已知函数
为偶函数．
（1）求m 的值；
（2）若f（x）＝log4g（x），判断g（x）在（0，+∞）上的单调性，并⽤定义法给出证明；
（3）若
在区间[1，3]上恒成⽴，求实数a 的取值范围．
【解答】解：（1）
定义域为R，
，
由于函数
为偶函数，
所以f（x）＝f（﹣x），
即
，
即
，
即（m﹣1）（4x﹣1）＝0 恒成⽴，
所以m＝1．
（2）证明：因为函数
，
由于函数y＝log4x 在（0，+∞）上单调递增，
由第（1）问可得m＝1，
因此
，
不妨设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则
＝
＝
，
因为x1＜x2，所以
，
⼜因为x1，x2∈（0，+∞），
因此
，所以
，
故g（x2）﹣g（x1）＞0，
所以函数g（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）由题得
在区间[1，3]上恒成⽴，
即
在区间[1，3]上恒成⽴，
因为x∈[1，3]，所以1≤2x﹣1≤7，
所以
在区间[1，3]上恒成⽴，
令t＝2x+1（3≤t≤9），
则
，
令
，
因为
在[3，9]单调递增，且y＞0，
所以函数h（t）在[3，9]上单调递减，
故
，
所以
，
因为a•2x﹣a＞0 对任意的x∈[1，3]恒成⽴，且1≤2x﹣1≤7，
所以a＞0，
所以实数a 的取值范围是
．
14．已知函数
，其中a＜0．
（1）证明：函数f（x）的图象是中⼼对称图形；
（2）设﹣2＜x＜0，证明：f（x）＞1；
（3）令g（x）＝2x+2﹣x+2a，若∀x1∈[﹣1，1]，∃x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）≤g（x2），求a 的取值范围．
【解答】解：（1）证明：函数
的定义域为（﹣2，2），
因为
，
所以，函数f（x）的图象关于点（0，1）对称，
所以，函数f（x）的图象是中⼼对称图形．
（2）证明：由已知，
，
设∀x1，x2∈（﹣2，0），且x1＜x2，
＝
，
因为（2+x1）（2﹣x2）﹣（2﹣x1）（2+x2）＝4（x1﹣x2）＜0，
即（2+x1）（2﹣x2）＜（2﹣x1）（2+x2），
⼜（2+x1）（2﹣x2）＞0，（2﹣x1）（2+x2）＞0，
所以
，
则
，⼜a（x1﹣x2）＞0，
所以f（x1）﹣f（x2）＞0，f（x1）＞f（x2），
所以，f（x）在区间（﹣2，0）上单调递减，
所以f（x）＞f（0）＝1；
（3）由已知，∀x1∈[﹣1，1]，∃x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）≤g（x2），
则只需[f（x）]max≤[g（x）]max 即可，
由（2）可知，f（x）在区间（﹣2，0）上单调递减，根据（1）知，函数f（x）的图象是中⼼对称图形，
所以f（x）在区间（﹣2，2）上单调递减，f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减，
则x∈[﹣1，1]时，f（x）max＝f（﹣1）＝﹣a+1+ln3．
函数g（x）＝2x+2﹣x+2a，x∈[﹣1，1]，
令t＝2x，x∈[﹣1，1]，则
．
令
．设t1，
，且t1＜t2，
则
．
当t1，
时，h（t1）﹣h（t2）＞0，故h（t）在区间
单调递减；
当t1，t2∈（1，2]时，h（t1）﹣h（t2）＜0，故h（t）在区间
单调递增．
所以h（t）的最⼤值为
与h（2）中的最⼤者，
因为
，
所以，
，
即
，
由[f（x）]max≤[g（x）]max，
得
，
解得
，⼜a＜0，
所以，a 的取值范围是
．
15．已知函数f（x）＝lg（
）为奇函数．
（1）求m 的值，并求f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（3）若对于任意θ∈[0，
]，是否存在实数λ，使得不等式f（cos2θ+λsinθ﹣
）﹣lg3＞0．若存在，
求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝lg（
）为奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x）在定义域内恒成⽴，
即lg（
）＝﹣lg（
），
即lg（
）+lg（
）＝0，
则
•
＝1，即1﹣m2x2＝1﹣x2，在定义域内恒成⽴，
∴m＝﹣1 或m＝1，当m＝1 时，f（x）＝lg（
）＝lg
，
此时1﹣x≠0，即x≠1，即函数的定义域关于原点不对称性，不满⾜条件．，舍去，
∴m＝﹣1，此时f（x）＝lg
，
由
＞0，解得﹣1＜x＜1，
故m＝﹣1，且函数的定义域是（﹣1，1）．
（2）∵f（x）＝lg
，﹣1＜x＜1，任取﹣1＜x1＜x2＜1，
设u（x）＝
，﹣1＜x＜1，
则u（x1）﹣u（x2）＝
∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴u（x1）﹣u（x2）＜0，∴u（x1）＜u（x2），即lgu（x1）＜lgu（x2），
∴f（x1）＜f（x2），即f（x）在定义域内单调递增．
（3）假设存在实数λ，使得不等式不等式f（cos2θ+λsinθ﹣）﹣lg3＞0 成⽴，
即不等式f（cos2θ+λsinθ﹣）＞lg3＝f（），
由（1），（2）知：＜cos2θ+λsinθ﹣＜1 对于任意θ∈[0，
]，
即
，当θ＝0 时成⽴；
当θ∈（0，
]时，令sinθ＝t，则
，
即
，则
．
16．设函数f（x）＝ax﹣（k﹣1）a﹣x，（a＞0 且a≠1）是定义域为R 的奇函数，且f（1）＝．
（1）求k，a 的值；
（2）求函数f（x）在[1，+∞）上的值域；
（3）设g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2m•f（x），若g（x）在[1，+∞）上的最⼩值为﹣2，求m 的值；
（4）对于（3）中函数g（x），如果g（x）＞0 在[1，+∞）上恒成⽴，求m 的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝ax﹣（k﹣1）a﹣x，（a＞0 且a≠1）是定义域为R 的奇函数，
∴f（0）＝0，即1﹣（k﹣1）＝0，k＝2，
∵f（1）＝．∴a﹣＝，a＝2，
∴a＝2，k＝2，
（2）∵f（x）＝2x﹣2﹣x 在[1，+∞）单调递增，
∴f（1）＝，
∴在[1，+∞）上的值域为[
，+∞），
（3）g（x）＝22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x），
设t＝2x﹣2﹣x，x∈[1，+∞），t∈[
，+∞），
∴k（t）＝t2﹣2mt+2，t∈[
，+∞），
∵若g（x）在[1，+∞）上的最⼩值为﹣2，
∴k（t）＝t2﹣2mt+2，t∈[
，+∞），上的最⼩值为﹣2，
∴
或
即m＝2，或m＝
（舍去），
故m＝2
（4）k（t）＝t2﹣2mt+2，t∈[
，+∞），
∵g（x）＞0 在[1，+∞）上恒成⽴，
∴k（t）＞0 在t∈[
，+∞）上恒成⽴，
∴
或
，
解不等式得出∅或
，
∴m 的取值范围为
．
17．已知函数f（x）＝2x
（1）试求函数F（x）＝f（x）+af（2x），x∈（﹣∞，0]的最⼤值；
（2）若存在x∈（﹣∞，0），使|af（x）﹣f（2x）|＞1 成⽴，试求a 的取值范围；
（3）当a＞0，且x∈[0，15]时，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒成⽴，求a 的取值范围．
【解答】解：（1）∵x∈（﹣∞，0]，F（x）＝f（x）+af（2x）＝2x+a•4x，令2x＝t，（0＜t≤1），
即有g（t）＝at2+t，
当a＝0 时，F（x）有最⼤值为1；
当a≠0 时，对称轴为t＝﹣
，讨论对称轴和区间的关系，
若﹣
＞1，即﹣＜a＜0，F（x）max＝g（1）＝a+1；
若0＜﹣
≤1，即a≤﹣，F（x）max＝g（﹣
）＝﹣
；
若﹣
＜0，即a＞0，F（x）max＝g（1）＝a+1．
综上可得，F（x）max＝
．
（2）令2x＝t，则存在t∈（0，1）使得|t2﹣at|＞1
∴存在t∈（0，1）使得t2﹣at＞1，或t2﹣at＜﹣1．
即存在t∈（0，1）使得
，∴a＜0，或a＞2；
（3）由f（x+1）≤f[（2x+a）2]得x+1≤（2x+a）2恒成⽴
∵a＞0，且x∈[0，15]，∴问题即为
恒成⽴，∴
．
设m（x）＝
令
，
∴
．
∴当t＝1 时，m（x）max＝h（1）＝1，∴a≥1，
∴a 的取值范围为[1，+∞）．
18．已知函数f（x）＝4a•9x+（8a﹣3）•3x﹣1+
a﹣（a∈R）．
（1）若a＝，求f（x）的值域；
（2）若a＞，存在实数m，n（m＜n），当f（x）的定义域为[m，n]时，f（x）的值域为[3m+1，3n+1]，求
实数a 的取值范围．
【解答】解：（1）若a＝，f（x）＝9x﹣3x﹣1﹣
，令u＝3x，u∈（0，+∞），
则y＝u2﹣﹣
，u∈（0，+∞），则ymin＝（）2﹣×
﹣
＝﹣1，则f（x）的值城为[﹣1，+∞）；
（2）因为a＞，所以f（x）在R 上单调递增，
所以当f（x）的定义城为[m，n]时，f（x）的值城为[f（m），f（n）]，
则f（m）＝3m+1，f（n）＝3n+1，
即f（x）＝3x+1在R 上有两个不同的实数解，
即4a•9x+（
﹣4）•3x+
﹣＝0 在R 上有两个不同的实数解，
令t＝3x，t∈（0，+∞），所以4at2+（
﹣4）t+
﹣＝0 在（0，+∞）上有两个不同的实数解，
⼜a＞，即a＞0，所以，
，解得
＜a＜1，即实数a 的取值
范围为（
，1）．
19．设函数f（x）＝ax（a＞0 且a≠1）的图像经过点（2，4），记A＝{x|f2（x）﹣6f（x）+8≤0}．
（1）求A；
（2）设函数f（x）的反函数为
．当x∈A 时，求函数h（x）的最值．
【解答】解：（1）由题知，f（2）＝a2＝4，得a＝2，故f（x）＝2x，
由f2（x）﹣6f（x）+8≤0 可得（f（x）﹣2）（f（x）﹣4）≤0，
所以2≤f（x）≤4，即2≤2x≤4，
解得1≤x≤2，故A＝[1，2]；
（2）由（1）知，f（x）＝2x，则g（x）＝log2x，
＝
，
令t＝log2x，x∈[1，2]，则t∈[0，1]，
则令
，
当t＝0 或t＝1，即x＝1 或2 时，h（x）min＝H（t）min＝2，
当
，即
时，
，
即h（x）最⼤值
，最⼩值h（x）min＝2．
20．已知函数，h（x）＝ax（a＞0 且a≠1）．
（1）若函数的图像与函数f（x）的图像关于直线y＝x 对称，且点P（64，3）在函数f（x）的图像上，
求实数a 的值；
（2）已知a＞1，函数
．若g（x）的最⼤值为8，求实数a 的值．
【解答】解：（1）因为函数的图像与函数f（x）的图像关于直线y＝x 对称，且点P（64，3）在函数f（x）
的图像上，
故P′（3，64）在函数h（x）＝ax 的图象上，故64＝a3，解得a＝4．
（2）由已知得g（x）＝
＝（logax﹣loga2）（logax﹣3loga2），a＞1，
令t＝logax∈[
，3loga2]，
则g（x）可化为v（t）＝t2﹣4tloga2+3（loga2）2，t∈[
，3loga2]，
该函数开⼝向上，所以在区间[
，3loga2]的端点处取得最⼤值，
此时v（
）＝
，v（3loga2）＝0，
故
＝8，即loga2＝±1，⼜因为a＞1，得loga2＝1，
所以a＝2．
21．已知函数
为偶函数．
（1）求实数m 的值；
（2）若对任意的x∈R，总存在y∈R，使得
成⽴，求n 的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数
为偶函数，
∴函数定义域为R，且f（﹣x）＝f（x），
∴
＝
，即32mx＝9x，
∴2m＝2，解得m＝1；
（2）由（1）知f（x）＝3x+3﹣x，f（x）＞0，
对任意的x∈R，总存在y∈R，使得
成⽴，转化为对任意的x∈R，总存在y∈R，
使得2
≥
成⽴，即2
≥（
）max，
∵f（x）＞0，
∴f（x）＝3x+3﹣x≥2
＝2，当且仅当3x＝3﹣x，即x＝0 时，等号成⽴，
∴（
）max＝，
∴总存在y∈R，使得2
≥
＝2﹣1成⽴，即总存在y∈R，使得﹣y²﹣2y+n≥﹣1 成⽴，也即总存在
y∈R，使得n≥y²+2y﹣1 成⽴，
令g（y）＝y²+2y﹣1＝（y+1）²﹣2，⼆次函数g（y）的图象开⼝向上，且对称轴为直线y＝1，
∴g（y）min＝g（﹣1）＝﹣2，
∴n≥﹣2，
故实数n 的取值范围为[﹣2，+∞）．
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函数——题型26～33
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
D
C
A
B
D
B
D
C
D
C
题号
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
答案
D
A
D
D
B
D
D
C
D
C
D
题号
23
24
25
26
27
28
29
30
答案
B
B
A
D
C
B
C
D
⼀．选择题（共30 ⼩题）
1．已知幂函数f（x）＝xn，若函数f（x）的图象过点
，则n＝（
）
A．0
B．
C．
D．﹣2
【解答】解：幂函数f（x）＝xn，函数f（x）的图象过点
，
则
，解得n＝
．
故选：C．
2．若幂函数f（x）＝xa 的图象过点（4，2），则f（3）的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：幂函数f（x）＝xa 的图象过点（4，2），
则4a＝2，解得a＝，
故f（x）＝
，
f（3）＝
．
故选：D．
3．已知幂函数f（x）＝kxa 满⾜f（2）＝16，则k+a＝（
）
A．﹣3
B．4
C．5
D．9
【解答】解：幂函数f（x）＝kxa 满⾜f（2）＝16，
则k＝1，f（2）＝2a＝16，解得a＝4，
所以k+a＝1+4＝5．
故选：C．
4．已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点A（4，2），B（16，m），则m＝（
）
A．4
B．8
C．±4
D．±8
【解答】解：幂函数f（x）＝xα的图象经过点A（4，2），B（16，m），
则4α＝2，即22α＝2，所以2α＝1，解得
，
所以
，则
．
故选：A．
5．已知幂函数y1＝xa，y2＝xb，y3＝xc，y4＝xd 在第⼀象限的图象如图所示，则（
）
A．a＞b＞c＞d
B．b＞c＞d＞a
C．d＞b＞c＞a
D．c＞b＞d＞a
【解答】解：根据幂函数y1＝xa，y2＝xb，y3＝xc，y4＝xd 在第⼀象限的图象知，
b＞c＞1＞d＞0＞a，
即b＞c＞d＞a．
故选：B．
6．幂函数
在第⼀象限内的图象依次是如图中的曲线（
）
A．C1，C2，C3，C4
B．C1，C4，C3，C2
C．C3，C2，C1，C4
D．C1，C4，C2，C3
【解答】解：在第⼀象限内直线x＝1 的右侧，幂函数y＝xα的图象从上到下相应的指数α由⼤变⼩，即“指
⼤图⾼”，
所以幂函数y＝x2在第⼀象限内的图象为
在第⼀象限内的图象为C4，
在第⼀象限内的图象为
在第⼀象限内的图象为C3．
故选：D．
7．幂函数
的⼤致图像是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵n∈N* 时，n（n+1）为偶数且⼤于0，
∴
的定义域为[0，+∞），且在定义域上单调递增，结合选项可知，ACD 错误，B 正确．
故选：B．
8．已知幂函数f（x）＝（m2+m﹣5）•xm﹣1为偶函数，则m＝（
）
A．1
B．﹣1
C．3
D．﹣3
【解答】解：因为f（x）＝（m2+m﹣5）•xm﹣1为幂函数，
所以m2+m﹣5＝1 得m＝2 或﹣3，
⼜因为f（x）是偶函数，所以m＝﹣3．
故选：D．
9．已知幂函数
的图象关于y 轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，
则n 的值为（
）
A．﹣5
B．2
C．1
D．﹣5 或1
【解答】解：因为
为幂函数，
所以n2+4n﹣4＝1，得n＝﹣5 或n＝1，
当n＝﹣5 时，f（x）＝x40为偶函数关于y 轴对称，且在（0，+∞）上单调递增，不满⾜题意；
当n＝1 时，f（x）＝x﹣2，偶函数关于y 轴对称，且在（0，+∞）上单调递减，满⾜题意．
故选：C．
10．已知幂函数f（x）＝（k2﹣2k﹣14）xk 在（0，+∞）上单调递增，则k＝（
）
A．﹣3
B．3
C．﹣5
D．5
【解答】解：因为幂函数f（x）＝（k2﹣2k﹣14）xk 在（0，+∞）上单调递增，
所以
，解得k＝5．
故选：D．
11．已知幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣11）x2m+4在（0，+∞）上为减函数，则m 等于（
）
A．3
B．4
C．﹣3
D．﹣3 或4
【解答】解：因为f（x）＝（m2﹣m﹣11）x2m+4为幂函数，
所以m2﹣m﹣11＝1，即m2﹣m﹣12＝0，解得m＝﹣3 或m＝4，
因为幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣11）x2m+4在（0，+∞）上为减函数，
所以2m+4＜0，得m＜﹣2，
所以m＝﹣3．
故选：C．
12．已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）xm+1为偶函数，若函数y＝f（x）﹣2（a﹣1）x 在区间（﹣1，1）上为
单调函数，则实数a 的取值范围为（
）
A．（﹣∞，0]
B．[2，+∞）
C．[0，2]
D．（﹣∞，0]∪[2，+∞）
【解答】解：幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）xm+1为偶函数，
则m2﹣3m+3＝1 且m+1 为偶数，解得m＝1，
故f（x）＝x2，
y＝f（x）﹣2（a﹣1）x＝x2﹣2（a﹣1）x，对称轴为x＝a﹣1，
函数y＝f（x）﹣2（a﹣1）x 在区间（﹣1，1）上为单调函数，
则a﹣1≥1 或a﹣1≤﹣1，解得a≥2 或a≤0．
故选：D．
13．已知a+
＝2，则
等于（
）
A．2
B．4
C．±2
D．±4
【解答】解：
，
所以
．
故选：A．
14．已知实数m，n 满⾜2m+3n＝22m+32n，则2m+3n 的取值范围为（
）
A．（1，2]
B．
C．
D．（0，2]
【解答】解：
，
整理得（2m+3n）2﹣2（2m+3n）≤0，解得0＜2m+3n≤2，当且仅当2m＝3n＝1 时取等号，
所以2m+3n 的取值范围为（0，2]．
故选：D．
15．已知a＞0，化简：
＝（
）
A．
B．
C．
D．a
【解答】解：
＝
＝
＝a．
故选：D．
16．已知a＜1，则
＝（
）
A．﹣1
B．1
C．2a﹣1
D．1﹣2a
【解答】解：∵a＜1，∴原式＝|a﹣1|+a＝1﹣a+a＝1．
故选：B．
17．已知2m+1•5n＝5，23﹣n•5﹣m＝125，则m﹣n＝（
）
A．4
B．2
C．﹣2
D．﹣4
【解答】解：因为2m+1•5n＝5，23﹣n•5﹣m＝125，
所以2m+1•5n•23﹣n•5﹣m＝5×125，
所以2m﹣n+4•5n﹣m＝625，
所以
，
所以
＝
，
即
＝（）4＝（）﹣4，
所以m﹣n＝﹣4．
故选：D．
18．已知函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在f（x）的图象上，则下列各点
⼀定在f（x）的图象上的是（
）
A．（x1x2，y1y2）
B．（x1x2，y1+y2）
C．（x1+x2，y1+y2）
D．（x1+x2，y1y2）
【解答】解：f（x）＝ax，
点A（x1，y1），B（x2，y2）都在f（x）的图象上，
则
，
，
故
＝
＝f（x1+x2），
故⼀定在f（x）的图象上的是（x1+x2，y1y2）．
故选：D．
19．函数y＝ax+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，且点A 的坐标满⾜⽅程mx+ny+1＝0，其中m＞0，n
＞0，则
的最⼩值为（
）
A．7
B．6
C．
D．
【解答】解：在y＝ax+1﹣2（a＞0，a≠1）中，当x＝﹣1 时，y＝﹣1，故A（﹣1，﹣1），
将A（﹣1，﹣1）代⼊直线⽅程中，化简得m+n＝1，
故
，
当且仅当m2＝2n2时取等，⼜m+n＝1，即m＝2﹣
，n＝
﹣1 时
的最⼩值为
．
故选：C．
20．函数y＝2|x|的图象⼤致是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设f（x）＝2|x|，则f（﹣x）＝2|﹣x|＝f（x），所以f（x）为偶函数，
偶函数的图象关于y 轴对称，所以A、B 项错误．
⼜当x≥0 时，f（x）＝2x 为增函数，所以C 项错误，故D 项正确．
故选：D．
21．函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx 的图象如图所示，a，b，c，d 分别是下列四个数：，
，，
中的⼀个，则a，b，c，d 的值分别是（
）
A．，
，，
B．
，，，
C．，，
，
D．，，，
【解答】解：直线x＝1 与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，
由
＞＞＞，
故选：C．
22．已知函数f（x）＝mx﹣2（m＞0，且m≠1）恒过定点（a，b），则在直⻆坐标系中函数
的图象为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：函数f（x）＝mx﹣2（m＞0，且m≠1），
令x﹣2＝0，解得x＝2，
故f（2）＝1，即函数过定点（2，1），
由题意可知，a＝2，b＝1，
故
＝
，
函数g（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞）上单调递减，故D 选项符合．
故选：D．
23．已知函数
，x∈（2，5）当x＝a 时，f（x）取得最⼩值b，则在直⻆坐标系中函数
的图象为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：f（x）＝（x﹣2）+
﹣3≥2
﹣3＝1，
当且仅当x﹣2＝
即x＝4 时，取等号，
∴a＝4，b＝1，
∴g（x）＝（）|x+1|，
∴g（x）的图象关于直线x＝﹣1 对称，
且g（x）≤（）0＝1，
故选：B．
24．函数y＝x+a 与
在同⼀坐标系中的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：函数y＝x+a 单调递增；
⽽
是单调递减的减函数，
⼜a＞1，可知B 成⽴．
故选：B．
25．已知函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝ax+b 的图
象⼤致为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由⼆次⽅程的解法易得（x﹣a）（x﹣b）＝0 的两根为a、b；
根据函数零点与⽅程的根的关系，可得f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，即函数图象与x 轴交
点的横坐标；
观察f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x 轴的两个交点的横坐标分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，
1）上，
⼜由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；
在函数g（x）＝ax+b 可得，由0＜a＜1 可得其是减函数，
⼜由b＜﹣1 可得其与y 轴交点在x 轴的下⽅；
分析选项可得A 符合这两点，BCD 均不满⾜；
故选：A．
26．函数f（x）＝ax﹣b 的图像如图所示，其中a、b 为常数，则下列结论正确的是（
）
A．a＞1，b＜0
B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0
D．0＜a＜1，b＜0
【解答】解：由图象从左到右下降可知，
0＜a＜1；
由图象与y 轴的交点可知，
0＜a﹣b＜1，
故b＜0；
故0＜a＜1，b＜0；
故选：D．
27．函数f（x）＝4x﹣2x+2﹣5（x∈R）的值域为（
）
A．[1，+∞）
B．（﹣5，+∞）
C．[﹣9，+∞）
D．（3，+∞）
【解答】解：f（x）＝4x﹣2x+2﹣5＝（2x）2﹣4×2x﹣5，
设t＝2x，则t＞0，
则f（x）等价为y＝t2﹣4t﹣5＝（t﹣2）2﹣9，
∴当t＝2 时，y＝t2﹣4t﹣5＝（t﹣2）2﹣9≥﹣9，
即f（x）的值域为[﹣9，+∞），
故选：C．
28．函数f（x）＝4x﹣2x+1﹣1，x∈（﹣∞，2]的值域为（
）
A．（﹣1，7]
B．[﹣2，7]
C．（﹣2，23]
D．[﹣2，+∞）
【解答】解：令t＝2x，∵x≤2，∴0＜t≤4，
f（x）＝t2﹣2t﹣1＝（t﹣1）2﹣2，
∴t＝1 时，f（x）min＝﹣2，x＝4 时，f（x）max＝7，
∴f（x）∈[﹣2，7]
故选：B．
29．已知t∈R，函数f（x）＝|2|x﹣2|﹣t|+t 在[0，4）上的最⼤值不超过4，则t 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，5]
B．[5，+∞）
C．
D．
【解答】解：⾸先分析g（x）＝2|x﹣2|，
因为|x﹣2|≥0，
故g（x）min＝g（2）＝1，g（x）max＝g（0）＝g（4）＝4，
故g（x）∈[1，4]．
（1）当t≤1 时，2|x﹣2|≥t，故f（x）＝2|x﹣2|≤4 满⾜题意．
（2）当t＞1 时：
①2|x﹣2|＝t⇒f（x）＝t≤4；
②2|x﹣2|＝1⇒f（x）＝2t﹣1≤4⇒
；
③2|x﹣2|＝4⇒f（x）＝|4﹣t|+t≤4⇒⽆解；
综上：
．
故选：C．
30．已知函数f（x）＝ln（ax﹣b）的单调区间是（1，+∞），那么函数g（x）＝a（ax+b）（x+1）在区间（﹣1，2）
上（
）
A．当a＞1 时，有最⼩值⽆最⼤值
B．当a＞1 时，⽆最⼩值有最⼤值
C．当0＜a＜1 时，有最⼩值⽆最⼤值
D．当0＜a＜1 时，⽆最⼩值也⽆最⼤值
【解答】解：因为函数f（x）＝ln（ax﹣b）的定义域是（1，+∞），
即不等式ax﹣b＞0 的解集为（1，+∞），
所以a＞0 且a﹣b＝0，即a＝b＞0，
令h（x）＝（ax+b）（x+1），
所以h（x）＝（ax+b）（x+1）＝a（x+1）（x+1），
函数开⼝向上，对称轴为x＝﹣1，在（﹣1，2）上单调递增，
所以h（x）没有最⼤值也没有最⼩值，
当a＞1 时，g（x）＝a（ax+b）（x+1）在区间（﹣1，2）上单调递增，
所以g（x）没有最⼤值也没有最⼩值，
当0＜a＜1 时，g（x）＝a（ax+b）（x+1）在区间（﹣1，2）上单调递减，
所以g（x）没有最⼤值也没有最⼩值，
故选：D．
⼆．多选题（共1 ⼩题）
（多选）31．已知函数f（x）＝ax+1（a＞0，且a≠1），若f（x）在[0，1]上的最⼤值为M，最⼩值为N，且
，
则实数a 的值可以是（
）
A．
B．
C．
D．2
【解答】解：当a＞1 时，f（x）＝ax+1单调递增，此时M＝a2，N＝a，
所以
，解得
，
当0＜a＜1 时，f（x）＝ax+1单调递减，此时M＝a，N＝a2，
所以
，解得
，
所以实数a 的值可以是
或
．
故选：AC．
三．填空题（共2 ⼩题）
32．使函数f（x）＝|ex﹣a|的值域为[0，+∞）的⼀个a 的值为
1（答案不唯⼀）
．
【解答】解：令f（x）＝|ex﹣a|，由题意得f（x）的值域为[0，+∞），
⼜y＝ex 的值域为（0，+∞），所以﹣a＜0，解得a＞0，
所以a 的取值范围为（0，+∞）．
故答案为：1（答案不唯⼀）．
33．函数y＝|2x﹣m|+m 在（﹣∞，2]上的最⼤值为4，则m 的取值范围是
（﹣∞，2]
．
【解答】解：如图①，当m≤0 时，函数y＝|2x﹣m|+m＝2x，在（﹣∞，2]上的最⼤值为4，满⾜题意，
如图②，当0＜m≤2 时，函数y＝|2x﹣m|+m 图象是由y＝2x 向下平移m 个单位后，
再把x 轴下⽅的图象对称到上⽅，再向上平移m 个单位，根据图象可知0＜m≤2 满⾜题意，
如图③，m＞2 时不合题意．
综上，m 的取值范围是（﹣∞，2]．
故答案为：（﹣∞，2]．
四．解答题（共10 ⼩题）
34．已知函数f（x）＝ax（a＞0 且a≠1）在区间[1，2]上的最⼤值⽐最⼩值⼤
，求实数a 的值．
【解答】解：当a＞1 时，函数f（x）＝ax 在区间[1，2]上是增函数，
∴f（x）min＝f（1）＝a，f（x）max＝f（2）＝a2，
由题意知a2﹣a＝
，解得a＝，或a＝0（舍去）；
当0＜a＜1 时，函数f（x）＝ax 在区间[1，2]上是减函数，
∴f（x）min＝f（1）＝a2，f（x）max＝f（2）＝a，
由题意知a﹣a2＝
，解得a＝，或a＝0（舍去）；
综上可知，a 的值为
或
35．已知函数
是定义域为R 的偶函数．
（1）求a 的值；
（2）若g（x）＝9x+9﹣x+mf（x）+m2﹣1，求函数g（x）的最⼩值．
【解答】解：（1）由偶函数定义知f（﹣x）＝f（x），即
，
所以（a﹣3）（3x﹣3﹣x）＝0 对∀x∈R 成⽴，所以a＝3．
（2）由题意知g（x）＝9x+9﹣x+mf（x）+m2﹣1＝32x+3﹣2x+m（
）+m2﹣1，
令u＝3x+3﹣x，u≥2，所以u2＝（3x+3﹣x）2＝32x+3﹣2x+2，所以32x+3﹣2x＝u2﹣2，
所以y＝g（x）＝u2﹣2+3mu+m2﹣1＝u2+3mu+m2﹣3，u≥2，
当
，即
时，y＝u2+3mu+m2﹣3 在[2，+∞）上单调递增，
所以
，即
，
当
即
时，y＝u2+3mu+m2﹣3 在
上单调递减，在
上单
调递增，
所以
，即
，
综上，
．
36．已知
是定义在R 上的奇函数．
（1）求f（x）；
（2）求函数g（x）＝f（x）•（3x+1）+9x﹣1 在x∈[0，1]上的值域．
【解答】解：（1）
是定义在R 上的奇函数．
则
，解得a＝3，即
，
由
得，b•3x+1＝3x+b，
∴b＝1，
经检验得a＝3，b＝1 时，f（x）是奇函数，
∴
．
（2）由（1）得，
，
令3x＝t，由x∈[0，1]得，t∈[1，3]，
函数可化为y＝t2﹣3t+2，对称轴为直线
，
当
时，
，当t＝3 时，ymax＝2，
∴函数值域为
．
37．已知函数f（x）＝4x﹣2x+1+3．
（1）当f（x）＝11 时，求x 的值；
（2）当x∈[﹣2，1]时，求f（x）的最⼤值和最⼩值．
【解答】解：（1）当f（x）＝11，即4x﹣2x+1+3＝11 时，（2x）2﹣2•2x﹣8＝0
∴（2x﹣4）（2x+2）＝0
∵2x＞0，2x+2＞2，
∴2x﹣4＝0，2x＝4，故x＝2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4 分）
（2）f（x）＝（2x）2﹣2•2x+3
（﹣2≤x≤1）
令∴f（x）＝（2x﹣1）2+2
当2x＝1，即x＝0 时，函数的最⼩值fmin（x）＝2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）
当2x＝2，即x＝1 时，函数的最⼤值fmax（x）＝3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12 分）
38．已知函数
的图像经过原点，且⽆限接近直线y＝1 但⼜不与该直线相交．
（1）求f（x）的解析式，
（2）函数
，x∈[0，2]，求g（x）的最⼩值．
【解答】解：（1）∵：函数
的图像⽆限接近直线y＝1 但⼜不与该直线相交，
∴n＝1，⼜∵函数
的图像经过原点，
∴f（0）＝m+1＝0，即m＝﹣1，
∴f（x）的解析式为
．
（2）由（1）易得
，
令
，
即
，
，
故当
，即x＝1 时，g（x）的最⼩值为
．
39．设函数f（x）＝（）10﹣ax，a 是不为零的常数．
（1）若f（3）＝，求使f（x）≥4 的x 值的取值范围；
（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最⼤值是16，求a 的值．
【解答】解：（1）由f（3）＝，即（）10﹣3a＝，
∴10﹣3a＝1，解得a＝3．
由f（x）＝（）10﹣3x≥4＝（）﹣2，
即10﹣3x≤﹣2，
解得：x≥4，故取值范围为[4，+∞）．
（2）当a＞0 时，函数f（x）＝（）10﹣ax 在x∈[﹣1，2]时为增函数，
则x＝2 时，函数取最⼤值（）10﹣2a＝16，即10﹣2a＝﹣4，解得a＝7
当a＜0 时，函数f（x）＝（）10﹣ax 在x∈[﹣1，2]时为减函数，
则x＝﹣1 时，函数取最⼤值（）10+a＝16，即10+a＝﹣4，解得a＝﹣14，
综上可得：a＝7，或a＝﹣14
40．已知函数y＝ax（a＞0，且a≠1）在[1，2]上的最⼤值与最⼩值之积等于8，设函数f（x）＝
．
（1）求a 的值，并证明g（x）＝f（x）﹣为奇函数；
（2）若不等式f（x）+f（1﹣x）﹣m＜1 对∀x∈R 恒成⽴，求实数m 的取值范围．
【解答】解：（1）因为函数y＝ax（a＞0，且a≠1）在[1，2]上的最⼤值与最⼩值之积等于8，且该函数是
单调函数，
所以a•a2＝a3＝8，解得a＝2；
g（x）＝f（x）﹣＝
＝
＝
，定义域为R，
g（﹣x）＝
＝
＝
＝﹣
＝﹣g（x），
所以g（x）＝f（x）﹣为奇函数．
（2）f（x）+f（1﹣x）＝
+
＝
+
＝1﹣
+
＝1+
＝1+
＝1+
≤1+
＝4﹣2
，当且仅当2x＝
＝
，即x＝时取等号；
因为不等式f（x）+f（1﹣x）﹣m＜1 对∀x∈R 恒成⽴，
所以4﹣2
﹣m＜1，即m＞3﹣2
．
所以实数m 的取值范围为（3﹣2
，+∞）．
41．已知函数f（x）＝ax，g（x）＝a2x+m，其中m＞0，a＞0 且a≠1．当x∈[﹣1，1]时，y＝f（x）的最⼤值
与最⼩值之和为
．
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）若a＞1，记函数h（x）＝g（x）﹣2mf（x），求当x∈[0，1]时，h（x）的最⼩值H（m）．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）在[﹣1，1]上为单调函数，f（x）的最⼤值与最⼩值之和为
，
∴
．
（Ⅱ）h（x）＝22x+m﹣2m•2x．
即h（x）＝（2x）2﹣2m•2x+m，
令t＝2x，
∵x∈[0，1]时，
∴t∈[1，2]，
h（t）＝t2﹣2mt+m，对称轴为t＝m
当0＜m＜1 时，H（m）＝h（1）＝﹣m+1；
当1≤m≤2 时，H（m）＝h（m）＝﹣m2+m；
当m＞2 时，H（m）＝h（2）＝﹣3m+4．
综上所述，
．
42．已知函数f（x）＝b•ax（其中a，b 为常数，a＞0 且a≠1）的图象经过点（1，6），（3，24）．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）若不等式
在（﹣∞，1]上恒成⽴，求实数m 的最⼤值．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝b•ax（其中a，b 为常数，a＞0 且a≠1）的图象经过点（1，6），（3，24），
∴
，解得a＝2，b＝3，
∴f（x）＝3•2x．
（2）∵a＝2，b＝3，不等式
在（﹣∞，1]上恒成⽴，
∴
≥m 在（﹣∞，1]上恒成⽴，
设g（x）＝
，
则g（x）在（﹣∞，1]上是减函数，
∴在（﹣∞，1]上，g（x）min＝g（1）＝
＝．
∴
，
故实数m 的最⼤值是
．
43．已知函数f（x）＝2﹣2ax﹣a2x（a＞0 且a≠1）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若x∈[﹣1，2]时，函数f（x）的最⼩值为﹣6，求a 的值并求函数f（x）的最⼤值．
【解答】解：（1）令ax＝t＞0，可得函数h（t）＝f（x）＝2﹣2t﹣t2＝3﹣（t+1）2．
由于（t+1）2＞1，∴f（x）＜2，故函数f（x）的值域为（﹣∞，2）．
（2）①当a＞1 时，由x∈[﹣1，2]可得，≤t≤a2，由于函数h（t）＝f（x）＝3﹣（t+1）2在
区间[
，a2]上是减函数，
故当t＝a2时，函数f（x）取得最⼩值为3﹣（a2+1）2＝﹣6，解得a＝
；
故当t＝＝
时，函数取得最⼤值为
﹣
．
②当0＜a＜1 时，由x∈[﹣1，2]可得，≥t≥a2，由于函数h（t）＝f（x）＝3﹣（t+1）2在
区间[a2，]上是减函数，
故当t＝时，函数f（x）取得最⼩值为3﹣
＝﹣6，解得a＝，
故当t＝a2＝时，函数取得最⼤值为3﹣
＝
．
综上可得，a 的值等于
，函数f（x）的最⼤值为
﹣
；或者是a＝，函数的最⼤值为
．
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函数——34～38
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
C
D
D
D
C
B
B
B
B
D
题号
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
答案
A
B
D
B
C
A
D
D
C
B
A
⼀．选择题（共22 ⼩题）
1．已知ab≠1，logam＝2，logbm＝3，则logabm＝（
）
A．
B．
C．
D．
E．均不是
【解答】解：因为logam＝2，logbm＝3
所以
，
，
所以
，
即
，
所以
．
故选：D．
2．设a，b，c 都是正数，且3a＝4b＝6c，那么下列关系正确的是（
）
A．a+2b＝c
B．ac+bc＝2ab
C．
D．
【解答】解：由3a＝4b＝6c＝k，得a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k，
，
，
，则
，
根据logk3+logk2＝logk6 可知，
．
故选：C．
3．已知x，y∈R*，若3x＝4y 且2x＝ay，则a＝（
）
A．2log32
B．log32
C．2log23
D．4log32
【解答】解：由3x＝4y＞0，故ln3x＝ln4y，即xln 3＝yln4，
⼜2x＝ay，故
，即
．
故选：D．
4．若lg2＝a，lg3＝b，则log4512 等于（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵lg2＝a，lg3＝b，
∴log4512＝
＝
＝
＝
，
故选：D．
5．已知ax＝2，loga6＝y，a＞0，且a≠1，则ax+y＝（
）
A．5
B．6
C．7
D．12
【解答】解：由loga6＝y，可得ay＝6，
⼜ax＝2，则ax+y＝x•ay＝12．
故选：D．
6．设a＞0，a≠1，已知m＝ax，n＝ay，
，则xyz 的值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．4
【解答】解：由m＝ax，得my＝（ax）y＝axy，
⼜∵n＝ay，∴nx＝（ay）x＝axy，
∴mynx＝axyaxy＝a2xy，
⼜
，则
，可得
，解得xyz＝2．
故选：C．
7．已知3a＝5b＝A，且
，则A 的值是（
）
A．
B．15
C．
D．8
【解答】解：由3a＝5b＝A，得A＞0，a＝log3A，b＝log5A，
所以由
，得
，
即logA3+logA5＝logA15＝1，解得A＝15．
故选：B．
8．若函数y＝logax+a2﹣3a+2 为对数函数，则a＝（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】解：∵函数
为对数函数，∴a2﹣3a+2＝0，则a＝1（舍去）或a＝2，
故选：B．
9．已知对数函数y＝f（x）的图象过点（2，1），则f（4）的值为（
）
A．1
B．2
C．
D．8
【解答】解：设对数函数y＝f（x）＝logax（a＞0 且a≠1），
∵对数函数y＝f（x）的图象过点（2，1），
∴loga2＝1，∴a＝2，
∴f（x）＝log2x，
∴f（4）＝log24＝2，
故选：B．
10．函数f（x）＝（a2+a﹣5）logax 为对数函数，则f（）等于（
）
A．3
B．﹣3
C．﹣log36
D．﹣log38
【解答】解：∵函数f（x）＝（a2+a﹣5）logax 为对数函数，
∴
，解得a＝2，
∴f（x）＝log2x，
∴f（）＝
＝﹣3．
故选：B．
11．对数式M＝log（a﹣3）（10﹣2a）中，实数a 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，5）
B．（3，5）
C．（3，+∞）
D．（3，4）∪（4，5）
【解答】解：根据题意，M＝log（a﹣3）（10﹣2a）中，则有
，
解得3＜a＜4 或4＜a＜5，
即实数a 的取值范围为（3，4）∪（4，5），
故选：D．
12．已知函数y＝ax 与y＝logax（a＞0 且a≠1）的图象只有⼀个交点，给出四个值：①
；②
；③
；
④
，则a 的可能取值为（
）
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
【解答】解：由于
，
，
，
；
根据函数y＝ax 与y＝logax（a＞0 且a≠1）的图象，
当0＜a＜1 时，函数y＝ax 与y＝logax 的图象只有⼀个交点，
如图所示：
根据选项只有①②符合．
故选：A．
13．已知函数y＝xa，y＝bx，y＝logcx 在同⼀平⾯直⻆坐标系的图象如图所示，则（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：结合图象可得0＜b＜1，c＞1，a＜0；
故0＜sinb＜1，ba＞b0＝1，lo
c＜lo
1＝0，
可得lo
c＜sinb＜ba．
故选：B．
14．若函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数与图象对应正确的为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，
∴loga4＝﹣2，解得a＝，
对于A，
是减函数，与图象不符，故A 错误；
对于B，y＝|x
，与图象不符，故B 错误；
对于C，
，与图象不符，故C 错误；
对于D，y＝
，与图象相符，故D 正确．
故选：D．
15．在同⼀平⾯直⻆坐标系中，函数y1＝a﹣x，y2＝﹣logax（其中a＞0 且a≠1）的图象只可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：当a＞1 时，函数y1＝a﹣x 是减函数，y2＝﹣logax，函数的图象也是减函数；选项B 满⾜题
意；
当a∈（0，1）时，函数y1＝a﹣x 是增函数，y2＝﹣logax 也是增函数；没有选项满⾜题意；
故选：B．
16．已知a＞0 且a≠1，则函数y＝loga（x+1）与
在同⼀直⻆坐标系中的图象⼤致是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：结合y＝loga（x+1）与y＝（）x+1 可知，两函数单调性⼀定相反，排除选项A；
因为y＝loga（x+1）恒过定点（0，0），y＝（）x+1 恒过定点（0，2），排除选项B，D．
故选：C．
17．函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（
）
A．f（x）＝|log2（x+1）|
B．f（x）＝log2（x+1）
C．f（x）＝|2x﹣1|
D．f（x）＝2x﹣1
【解答】解：结合图象可知f（x）的定义域为（﹣1，+∞），
对于C，D 选项，f（x）＝|2x﹣1|，f（x）＝2x﹣1 的定义域为R，故排除C，D；
对于B 选项，f（x）＝log2（x+1）定义域为（﹣1，+∞），
当x＝﹣时，f（x）＝log2（﹣+1）＝﹣1，不合题意，排除B；
对于A，f（x）＝|log2（x+1）|的定义域为（﹣1，+∞），
且其在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，故A 正确．
故选：A．
18．已知函数f（x）＝|log3x|，若a＜b，有f（a）＝f（b），则a+4b 的取值范围是（
）
A．
B．
C．[5，+∞）
D．（5，+∞）
【解答】解：因为f（x））＝|log3x|，如图，0＜a＜b，且f（a）＝f（b），
所以﹣log3a＝log3b 即log3a+log3b＝log3ab＝0，
所以ab＝1，0＜a＜1，
由对勾函数的单调性可知，a+4b＝a+
，在（0，1）上单调递减，则a+
＞5．
故选：D．
19．已知函数f（x）＝lg（ax﹣3）的图象经过定点（2，0），那么使得不等式2f（x）＞lg（kx2）在区间[3，4]
上有解的k 取值范围是（
）
A．（0，+∞）
B．
C．（0，1）
D．
【解答】解：由已知可得f（2）＝lg（2a﹣3）＝0，则2a﹣3＝1，解得a＝2，故f（x）＝lg（2x﹣3），
由2f（x）＞lg（kx2）得lg（2x﹣3）2＞lg（kx2），
则0＜kx2＜4x2﹣12x+9，因为x∈[3，4]，可得k＜
﹣
+4 在区间[3，4]上有解，
令t＝∈[
，]，g（t）＝9t2﹣12t+4，则函数g（t）在[
，]上单调递减，
所以，g（t）max＝g（）＝
，∴k＜
，⼜k＞0，
k 取值范围是（0，
）．
故选：D．
20．已知函数f（x）＝log2|x﹣1|，则（
）
A．f（x）在定义域上是增函数
B．f（4）+f（7）＜f（11）
C．f（x）关于x＝1 对称
D．f（x）零点的个数为1
【解答】解：对于A，当x＜1 时，易得u＝|x﹣1|单调递减，⽽y＝log2u 单调递增，
根据复合函数的单调性判定规则可知，f（x）＝log2|x﹣1|在（﹣∞，1）上单调递减，故A 错误；
对于B，f（4）+f（7）＝log2|4﹣1|+log2|7﹣1|＝log23+log26＝log218，
⽽f（11）＝log210，f（4）+f（7）＞f（11），故B 错误；
对于C，∵f（x）＝log2|x|为偶函数，其对称轴为x＝0，
⼜f（x）＝log2|x﹣1|的图象是由f（x）＝log2|x|的图象向右平移1 个单位得到，
故f（x）＝log2|x﹣1|的对称轴为x＝1，故C 正确；
对于D，令f（x）＝log2|x﹣1|＝0，则|x﹣1|＝1，所以x＝0 或x＝2，所以f（x）有两个零点，故D 错误．
故选：C．
21．若函数f（x）＝log0.5（x2﹣ax+2a）（a＞0）的值域为R，则f（a）的取值范围是（
）
A．（﹣∞，﹣3]
B．（﹣∞，﹣4]
C．[﹣4，+∞）
D．[﹣3，+∞）
【解答】解：依题意可得x2﹣ax+2a 要取遍所有正数，则Δ＝a2﹣8a≥0，
因为a＞0，所以a≥8，
所以f（a）＝log0.5（2a）≤log0.516＝﹣log216＝﹣4．
故选：B．
22．已知函数f（x）＝ln（ax2+2x+1），若f（x）的值域为R，则实数a 的取值范围是（
）
A．[0，1]
B．（0，1）
C．（1，+∞）
D．[0，+∞）
【解答】解：因为函数f（x）的值域为R，则u＝ax2+2x+1 要取遍所有的正数．
所以a＝0 或
，解得0≤a≤1，
即实数a 的取值范围是[0，1]．
故选：A．
⼆．填空题（共7 ⼩题）
23．已知函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）在
上的最⼤值和最⼩值的差为2，则实数a 的值为
或
．
【解答】解：当a＞1 时，函数f（x）在
上单调递增，
函数f（x）在
上的最⼤值和最⼩值的差为2，
则
，即loga3＝2，解得a＝
（负值舍去），
当0＜a＜1 时，函数f（x）在
上单调递减，
则
，解得a＝
（负值舍去），
综上所述，a＝
或
．
故答案为：
或
．
24．若函数f（x）＝logax（a＞0 且a≠1）在[
]上的最⼤值为2，最⼩值为m，函数g（x）＝（3+2m）
在[0，+∞）上是增函数，则a+m 的值是
1
．
【解答】解：当0＜a＜1 时，f（x）＝logax 是减函数，
，即
＝
＝2，
∴
，∴a＝
，
∴f（x）min＝f（4）＝m，即m＝
＝﹣4，
把m＝﹣4 代⼊g（x）可得：g（x）＝﹣5
，∴函数g（x）在[0，+∞）上是减函数，不符合题意，舍；
当a＞1 时，f（x）＝logax 是增函数，f（x）max＝f（4）＝2，即f（4）＝loga4＝2，∴a＝2，
∴f（x）min＝
＝m，即m＝
＝﹣1，
把m＝﹣1 代⼊g（x）可得：g（x）＝
，∴函数g（x）在[0，+∞）上是增函数，符合题意；
所以a＝2，m＝﹣1，
所以a+m＝1，
故答案为1．
25．若函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1）在区间[a，2a]上的最⼤值是最⼩值的3 倍，则a＝
或
．
【解答】解：f（x）＝logax（a＞0，a≠1），
当0＜a＜1 时，对数函数y＝logax 是减函数，
∴函数f（x）＝logax（0＜a＜1）在区间[a，2a]上的最⼤值是logaa，最⼩值是loga2a，
∴logaa＝3loga（2a），∴1＝3loga2+3，∴a＝
，
当a＞1 时，对数函数y＝logax 是增函数，
∴函数f（x）＝logax（a＞1）在区间[a，2a]上的最⼩值是logaa，最⼤值是loga2a，
∴3logaa＝loga（2a），∴3＝loga2+1，∴a＝
，
故答案为：
或
．
26．函数y＝
x•
（
x）+5 在区间[1，4]上的最⼤值为
10
，最⼩值为
5
．
【解答】解：函数y＝
x•
（
x）+5＝
+5＝
•（﹣
）+5＝
﹣
+5，
设t＝
，
∵x∈[1，4]，∴t∈[﹣2，0]
则y＝
，在[﹣2，0]上单调递减，
∴当t＝﹣2 时，ymax＝10；当t＝0 时，ymin＝5，
故答案为：10；5．
27．已知函数f（x）＝|log2x|，当0＜a＜b 时，f（a）＝f（b），且函数f（x）在[a2，b]上的最⼤值与最⼩值之
差为2，则
的值为
8
．
【解答】解：因为函数f（x）＝|log2x|，当0＜a＜b 时，f（a）＝f（b），
则|log2a|＝|log2b|，即﹣loga＝log2b，
所以b＝，即ab＝1，则0＜a2＜a＜1＜b，
因为函数f（x）在[a2，b]上的最⼤值与最⼩值之差为2，
因为f（x）max＝f（
）＝﹣2log2a，f（x）min＝f（1）＝0，
则2＝﹣2log2a，即a＝，b＝2，
所以
＝8．
故答案为：8．
28．已知函数y＝lg（ax2+x+1）的值域是R，则实数a 的取值范围是
[0，]
．
【解答】解：∵y＝lg（ax2+x+1）的值域是R，
∴t（x）＝ax2+x+1 的值域要取遍全体正实数，
当a＝0 时，符合题意；
当a≠0 时，必有
，解得0＜a≤
．
综上，得0≤a≤
．
故答案为：[0，]．
29．已知函数
的值域为R，则实数a 的取值范围是
（﹣∞，0]∪[4，+∞）
．
【解答】解：由函数
，令f（x）＝4x﹣a•2x+a，
令t＝2x＞0，可得g（t）＝t2﹣a•t+a，
要使得函数
的值域为R，
则g（t）＝t2﹣a•t+a，t＞0 的值域能取遍⼀切正实数，
当a＞0 时，则满⾜Δ＝（﹣a）2﹣4a≥0，解得a≥4；
当a＝0 时，可得g（t）＝t2≥0，符合题意；
当a＜0 时，则满⾜g（0）＝a＜0，此时函数g（t）的值域能取遍⼀切正实数，符合题意，
综上可得，实数a 的取值范围为（﹣∞，0]∪[4，+∞）．
故答案为：（﹣∞，0]∪[4，+∞）．
三．解答题（共10 ⼩题）
30．设f（x）＝loga（1+x）+loga（5﹣x）（a＞0，a≠1），且f（2）＝﹣2．
（1）求a 的值及f（x）的定义域；
（2）求f（x）在区间
上的最值．
【解答】解：（1）因为f（2）＝loga3+loga3＝﹣2，
则a＝，
由题意可得
，解得﹣1＜x＜5，
故函数定义域为（﹣1，5）；
（2）由（1）可得f（x）＝
[（1+x）（5﹣x）]，﹣1＜x＜5，
令t（x）＝（1+x）（5﹣x）＝﹣x2+4x+5，
根据⼆次函数的性质可得，当
时，5≤t≤9
故﹣2≤
t≤
5，
故函数的值域为[﹣2，
5]．
31．已知A＝{x|0≤x≤1}，函数f（x）＝log4（3x+a），g（x）＝log2（x+a），当且仅当x∈A 时，f（x）≥g（x）．
（1）求实数a 的值；
（2）设h（x）＝f（x）﹣g（x），当x∈A 时，求函数h（x）的值域．
【解答】解：（1）由f（x）≥g（x）得log4（3x+a）≥log2（x+a），
即
∴
，即
依题意知，该不等式组的解集为A＝{x|0≤x≤1}．
∴⽅程x2+（2a﹣3）x+a2﹣a＝0 的两根为0，1．
则3﹣2a＝1 且a2﹣a＝0，
解得a＝1．
（2）
令3x+1＝t，因0≤x≤1，则1≤t≤4 且
，
故
，
令G（t）＝t+
，
根据对勾函数单调性可得，G（t）min＝G（2）＝4，G（1）＝G（4）＝5，则4≤G（t）≤5，
故
，
故
∴函数h（x）的值域为
．
32．已知函数f（x）＝loga（x﹣1）+4，（a＞0 且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数图像过点M（3，3），求a 的值；
（3）若x∈[3，5]时，函数的最⼤值为6，求a 值．
【解答】解：（1）由x﹣1＞0 得x＞1，所以函数f（x）的定义域为{x|x＞1}；
（2）因为f（3）＝loga（3﹣1）+4＝3，所以
；
（3）因为x∈[3，5]时函数最⼤值为6，
所以a＞1 且x＝5 时取到最⼤值6，
由f（5）＝loga（5﹣1）+4＝6，解得a＝2．
33．已知函数f（x）＝logax（a＞0 且a≠1）．
（1）若f（x）在区间[a，2a]上的最⼤值与最⼩值之差为1，求a 的值；
（2）解关于x 的不等式
．
【解答】解：（1）因为y＝logax 在[a，2a]上为单调函数，
且函数y＝logax 在区间[a，2a]上的最⼤值与最⼩值之差为1，
所以|loga（2a）﹣logaa|＝|loga2|＝1，
解得a＝2 或
．
（2）因为函数
是（0，+∞）上的减函数，
所以
，即
，
当a＞1 时，
，原不等式解集为
．
当0＜a＜1 时，
，原不等式解集为∅．
34．已知函数f（x）＝loga（1﹣x）﹣loga（b+x）+m（a＞0 且a≠1）为奇函数．
（1）求函数f（x）的定义域及解析式；
（2）若
，函数f（x）的最⼤值⽐最⼩值⼤2，求a 的值．
【解答】解：（1）要使函数f（x）有意义，则
，可得：﹣b＜x＜1，
因为f（x）为奇函数，所以﹣b+1＝0，即b＝1，所以f（x）的定义域为（﹣1，1），
由f（0）＝0 可得：m＝0，所以f（x）＝loga（1﹣x）﹣loga（1+x），
此时f（﹣x）＝loga（1+x）﹣loga（1﹣x）＝﹣f（x），f（x）是奇函数，符合题意．
（2）
，
①当a＞1 时，函数y＝f（x）单调递减，
所以
，
，
所以
，
解得a＝3．
②当0＜a＜1 时，函数y＝f（x）单调递增，
所以
，
，
所以
，
解得
．
综上，
或a＝3．
35．已知函数
的图像关于y 轴对称．
（1）求k 的值；
（2）若函数
，x∈[0，log29]，m∈R，求g（x）的最⼤值．
【解答】解：（1）函数
的定义域为R，
由x∈R，且f（﹣x）＝f（x）恒成⽴，可知
恒成⽴，
化简得（2k﹣1）x＝0，对任意x∈R 恒成⽴，所以2k﹣1＝0，解得
；
（2）由（1）知：
，
∴
，x∈[0，log29]
令
，t∈[1，3]，问题转化为求h（t）＝t2﹣2mt，t∈[1，3]的最⼤值；
因为函数h（t）的图象是开⼝向上的抛物线，关于直线t＝m 对称，所以分两种讨论：
①当m≤2 时，g（m）＝h（3）＝9﹣6m；②当m＞2 时，g（m）＝h（1）＝1﹣2m．
综上所述，g（x）的最⼤值
．
36．已知函数
．
（1）若f（1）＝1，求不等式f（x）≤2 的解集；
（2）若函数y＝f（x）+x 有两个零点，求a 的取值范围；
（3）设a＞0，若对任意t∈[﹣1，0]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最⼤值与最⼩值的和不⼤于log23，
求a 的取值范围．
【解答】解：（1）f（1）＝1，则
，∵f（x）≤2，∴
，
∴
，即2x≤6，∴x≤log26．
故不等式f（x）≤2 的解集为（﹣∞，log26]；
（2）函数y＝f（x）+x 有两个零点，即⽅程
有两个不相等的实根，
∴
，∴1+a•2x＝2﹣x，
∴
，令
，则a＝u2﹣u，
即⽅程a＝u2﹣u 在（0，+∞）上只有两解，令g（u）＝u2﹣u，u∈（0，+∞），则
．
当
时，直线y＝a 和函数g（u）＝u2﹣u 的图象只有两个公共点，
即函数y＝f（x）+x 只有两个零点，∴实数a 的范围是
；
（3）∵a＞0，∴函数y＝1+a•2x 在R 上单调递增，
即函数
在定义域内单调递增，
∴函数f （x ）在区间[t ，t+1] 上的最⼩值为
，最⼤值为
，
∴
，
∴（1+a•2t）（1+a•2t+1）≤3 对t∈[﹣1，0]恒成⽴．令h＝2t，
，
∴2a2h2+3ah﹣2≤0 对
，a＞0 恒成⽴，
∵y＝2a2h2+3ah﹣2 在
上单调递增，∴
，∴2a2+3a﹣2≤0
解得
，⼜a＞0，∴
．
∴实数a 的取值范围是
．
37．已知函数f（x）＝loga（2x+1），a＞0 且a≠1．
（Ⅰ）若a＝2，解不等式f（x）＞2；
（Ⅱ）若f（x）在[1，3]上的最⼤值与最⼩值的差为1，求a 的值．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝2 时，f（x）＝log2（2x+1）＞2 化为：2x+1＞22，解得x
，
所以不等式的解集为（
）；
（Ⅱ）当a＞1 时，函数f（x）在[1，3]上为单调递增函数，
则当x＝1 时，f（x）min＝loga3，当x＝3 时，f（x）max＝loga7，
所以loga7﹣loga3＝lo
，解得a＝；
当0＜a＜1 时，函数f（x）在[1，3]上单调递减，
则f（x）min＝f（3）＝loga7，f（x）max＝f（1）＝loga3，
则lo
，解得a＝，
综上，实数a 的值为
或
．
38．已知函数
．
（Ⅰ）若函数f（x）是R 上的奇函数，求a 的值；
（Ⅱ）若函数f（x）的定义域是⼀切实数，求a 的取值范围；
（Ⅲ）若函数f（x）在区间[0，1]上的最⼤值与最⼩值的差不⼩于2，求实数a 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）是R 上的奇函数，则f（0）＝0，求得a＝0．……………………（2 分）
⼜此时f（x）＝﹣x 是R 上的奇函数．
所以a＝0 为所求．………………………………（4 分）
（Ⅱ）函数f（x）的定义域是⼀切实数，则
恒成⽴．
即
恒成⽴，由于
．……………………………………（6 分）
故只要a≥0 即可
………………………………………………………………（7 分）
（Ⅲ）由已知函数f（x）是减函数，故f（x）在区间[0，1]上的最⼤值是f（0）＝log2（1+a），
最⼩值是
．…………………………………（8 分）
由题设
………（11 分）
故
为所求．…………………………………………（12 分）
39．已知a∈R，函数f（x）＝log2[（a﹣3）x+3a﹣4]．
（1）当a＝2 时，解不等式
；
（2）若函数y＝f（x2﹣4x）的值域为R，求a 的取值范围．
【解答】解：（1）a＝2 时，f（x）＝log2（﹣x+2），
不等式
等价于
，
所以
，解得
，
所以不等式
的解集为
．
（2）因为函数y＝f（x2﹣4x）的值域为R，
即
的值域为R，
故（a﹣3）x2﹣4（a﹣3）x+3a﹣4 能取到⼀切正数，
当a＝3 时，（a﹣3）x2﹣4（a﹣3）x+3a﹣4＝5，不符合题意；
当a＜3 时，（a﹣3）x2﹣4（a﹣3）x+3a﹣4＝（a﹣3）（x﹣2）2+8﹣a≤8﹣a，不符合题意；
当a＞3 时，根据⼆次函数的图象和性质可得Δ＝16（a﹣3）2﹣4（a﹣3）（3a﹣4）≥0，解得a≤3 或a≥8，
所以a≥8；
综上所述：a 的取值范围是[8，+∞）．
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函数——题型39～41
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
B
C
D
C
C
A
D
D
D
A
题号
12
13
14
15
16
17
答案
B
A
A
D
B
B
⼀．选择题（共17 ⼩题）
1．函数y＝ax+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，且点A 的坐标满⾜⽅程mx+ny+1＝0，其中m＞0，n
＞0，则
的最⼩值为（
）
A．7
B．6
C．
D．
【解答】解：在y＝ax+1﹣2（a＞0，a≠1）中，当x＝﹣1 时，y＝﹣1，故A（﹣1，﹣1），
将A（﹣1，﹣1）代⼊直线⽅程中，化简得m+n＝1，
故
，
当且仅当m2＝2n2时取等，⼜m+n＝1，即m＝2﹣
，n＝
﹣1 时
的最⼩值为
．
故选：C．
2．已知函数f（x）＝2+a2x﹣4（a＞0 且a≠1）的图象恒过定点P，则P 点的坐标为（
）
A．（0，2）
B．（2，3）
C．（2，4）
D．（4，0）
【解答】解：函数f（x）＝2+a2x﹣4中，令2x﹣4＝0，解得x＝2，
所以f（2）＝2+a0＝3，即f（x）过定点（2，3）．
故选：B．
3．当a＞1 时，f（x）＝a|x﹣2|+5 的图像恒过点（
）
A．（2，5）
B．（3，5）
C．（2，6）
D．（3，6）
【解答】解：对于函数f（x）＝a|x﹣2|+5，令|x﹣2|＝0，解得x＝2，
则f（2）＝a0+5＝6，
所以f（x）＝a|x﹣2|+5 的图像恒过点（2，6）．
故选：C．
4．函数f（x）＝2a1﹣x+1（a＞0 且a≠1）的图象过定点（
）
A．（0，1）
B．（0，2）
C．（1，1）
D．（1，3）
【解答】解：由1﹣x＝0，得x＝1，此时y＝3．
故函数f（x）＝2a1﹣x+1（a＞0 且a≠1）的图象过定点（1，3）．
故选：D．
5．函数f（x）＝loga（2x﹣3）+5（0＜a＜1，a≠1）的图象过定点A，则A 的坐标为（
）
A．（1，0）
B．（1，5）
C．（2，5）
D．（2，6）
【解答】解：令2x﹣3＝1，解得x＝2，
当x＝2 时，有f（2）＝loga1+5＝5，
故其过定点A（2，5）．
故选：C．
6．函数y＝logax+1（a＞0 且a≠1）的图像必经过⼀个定点，则这个定点的坐标是（
）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（1，1）
D．（1，0）
【解答】解：对于函数y＝logax+1（a＞0 且a≠1），令x＝1，可得y＝1，
可得它的图像必经过⼀个定点（1，1）．
故选：C．
7．已知函数f（x）＝（3m﹣2）xm+2（m∈R）是幂函数，则函数g（x）＝loga（x﹣m）+1（a＞0，且a≠1）
的图象所过定点P 的坐标是（
）
A．（2，1）
B．（0，2）
C．（1，2）
D．（﹣1，2）
【解答】解：∵函数f（x）＝（3m﹣2）xm+2（m∈R）是幂函数，
∴3m﹣2＝1，∴m＝1，
∴g（x）＝loga（x﹣1）+1，
令x﹣1＝1 得x＝2，此时g（2）＝loga1+1＝1，
∴函数g（x）的图象所过定点P 的坐标是（2，1），
故选：A．
8．下列⽐较⼤⼩中正确的是（
）
A．log53＞log43
B．
C．
D．
【解答】解：对于A：因为
＞0，
＞0，
所以
，所以log53＜log43，故A 错误；
对于B：因为y＝x﹣1在（﹣∞，0）上单调递减，所以
，故B 错误；
对于C：因为ln
＜0＜
，故C 错误；
对于D：因为
，⼜
在（0，+∞）上单调递增，
所以
，即
，故D 正确．
故选：D．
9．已知a＝e0.8+1，
，c＝ln（0.8e3），则a，b，c 的⼤⼩关系为（
）
A．a＞c＞b
B．c＞b＞a
C．b＞a＞c
D．a＞b＞c
【解答】解：由题意设y1＝ex+1，y2＝x+2，y3＝lnx+3，
则f（x）＝y1﹣y2＝ex﹣x﹣1，x∈（0，1），
∴f'（x）＝ex﹣1＞0，
∴f（x）在（0，1）上单调递增，
∴f（0.8）＞f（0）＝0，即e0.8＞1.8，
∴e0.8+1＞2.8，即a＞b，
令g（x）＝y2﹣y3＝x﹣lnx﹣1，x∈（0，1），
∴g'（x）＝1﹣＜0，
∴g（x）在（0，1）上单调递减，
∴g（0.8）＞g（1）＝0，即0.8﹣ln0.8﹣1＞0，
∴0.8+2＞ln0.8+3，即b＞c，
∴a＞b＞c．
故选：D．
10．已知2021a＝2022，2022b＝2021，c＝ln2，则（
）
A．logac＞logbc
B．logca＞logcb
C．ac＜bc
D．ca＜cb
【解答】解：∵2021a＝2022，2022b＝2021，c＝ln2，
∴a＝log20212022＞log20212021＝1，
0＝log20221＜b＝log20222021＜log20222022＝1，
0＜ln1＜c＝ln2＜lne＝1，∴0＜c＜1，
∴logac＜loga1＝0，logbc＞logb1＝0，∴logac＜logbc，故A 错误；
∵a＞b，0＜c＜1，∴logca＜logcb，ac＞bc，ca＜cb，故BC 均错误，D 正确．
故选：D．
11．已知a＝
3，b＝lnπ，c＝
，则a，b，c 的⼤⼩关系为（
）
A．b＞c＞a
B．b＞a＞c
C．c＞b＞a
D．c＞a＞b
【解答】解：a＝
，b＝lnπ＞lne＝1，
0＜c＝
＜e0＝1，
所以a＜c＜b．
故选：A．
12．设a＝log3（log46），b＝log6（log43），c＝log6（log63），则（
）
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
【解答】解：∵log46＞1，∴a＝log3（log46）＞0，
∵0＜log63＜log43＜1，
∴c＝log6（log63）＜b＝log6（log43）＜0，
故c＜b＜a．
故选：B．
13．已知a＝
，
，
，则a，b，c 的⼤⼩关系为（
）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞a＞c
D．c＞b＞a
【解答】解：∵
，
，
，
∴a＞b＞c．
故选：A．
14．若指数函数f（x）经过点（2，4），则它的反函数g（x）的解析式为（
）
A．g（x）＝log2x
B．g（x）＝log0.5x
C．g（x）＝2x
D．g（x）＝x2
【解答】解：指数函数f（x）经过点（2，4），
则f（x）＝2x，
故它的反函数g（x）的解析式为log2x．
故选：A．
15．已知函数
与g（x）的图象关于y＝x 对称，则g（x2+1）的值域为（
）
A．（0，+∞）
B．[0，+∞）
C．（﹣∞，0）
D．（﹣∞，0]
【解答】解：因为
与g（x）的图象关于y＝x 对称，
所以f（x）与g（x）互为反函数，
即可得
，
因为x2≥0，所以x2+1≥1，
因为
，所以
在[1，+∞）上单调递减，
即可得
，即g（x2+1）的值域为（﹣∞，0]．
故选：D．
16．已知函数f（x）＝3x，函数g（x）是f（x）的反函数，若正数x1，x2，……，x2022满⾜x1•x2•……•x2022＝
81，则
+
的值等于（
）
A．4
B．8
C．16
D．64
【解答】解：∵函数f（x）＝3x，函数g（x）是f（x）的反函数，
∴g（x）＝log3x，
∵正数x1，x2，……，x2022满⾜x1•x2•……•x2022＝81，
∴
+
＝
+
+…+
＝2（log3x1+log3x2+…+log32022）
＝2log3（x1•x2•…•x2022）
＝2log381
＝
＝2×4
＝8．
故选：B．
17．已知函数y＝f（x）的图象与y＝log2（x+a）的图像关于直线y＝x 对称，且满⾜f（1）+f（2）＝2，则a
＝（
）
A．4
B．2
C．1
D．﹣1
【解答】解：函数y＝f（x）的图象与y＝log2（x+a）的图像关于直线y＝x 对称，
则（f（1），1），（f（2），2），满⾜y＝log2（x+a），
则有
，
所以
，⼜f（1）+f（2）＝2，
则a＝2．
故选：B．
⼆．填空题（共8 ⼩题）
18．函数g（x）＝﹣logax 的反函数为y＝f（x），若f（1）＝3，则f（g（a+1））＝
．
【解答】解：因为y＝g（x）＝﹣logax，
所以a﹣y＝x，
所以g（x）＝﹣logax 的反函数为y＝f（x）＝a﹣x，
因为f（1）＝3，所以a﹣1＝3，解得
，
所以f（g（a+1））＝f（g（）＝f（﹣lo
）＝
＝．
故答案为：．
19．若
的反函数为f﹣1（x），且f﹣1（a）+f﹣1（b）＝﹣4，则
的最⼩值为
．
【解答】解：因为y＝ax 和y＝logax（a＞0，a≠1）互为反函数，
若
，则
，
⼜因为f﹣1（a）+f﹣1（b）＝﹣4，所以
，所以ab＝16，且a＞0，b＞0，
⼜
，当且仅当a＝b＝4 时等号成⽴，所以
的最⼩值为
．
故答案为：．
20．已知函数g（x）与函数
互为反函数，g（e）＝
﹣1
．
【解答】解：根据对数函数与指数函数的关系得：
函数
的反函数为
，
即函数
，所以
．
故答案为：﹣1．
21．已知f（x）＝log2
，函数y＝g（x）的图像与y＝f﹣1（x+2）的图像关于直线y＝x 对称，则g（3）的
值为
﹣1
．
【解答】解：由y＝log2
，得：2y＝
，
解得：x＝
，
故f﹣1（x）＝
，
f﹣1（x+2）＝
，
故g（x）＝log2
﹣2，
故g（3）＝1﹣2＝﹣1，
故答案为：﹣1．
22．设y＝f﹣1（x）是函数f（x）＝
+
sinx+
，x∈[﹣
，
]的反函数，则函数y＝f（x）+f﹣1（x）
的最⼩值等于
．
【解答】解：因为函数f（x）＝+
sinx+
在x∈[﹣
，
]上是单调递增函数，
⼜y＝f﹣1（x）是函数f（x）的反函数，
所以f（x）与f﹣1（x）的单调性相同，
函数f（x）在x∈[﹣
，
]上的值域为[﹣
，
]，
函数y＝f（x）+f﹣1（x）的定义域为[﹣
，
]，
因为
，故
，
所以y＝f（x）+f﹣1（x）的最⼩值为
＝
．
故答案为：
．
23．若α+2α﹣1＝5，β+log2β＝4，则α+β＝
5
．
【解答】解：令γ＝α﹣1，
则α+2α﹣1＝γ+1+2γ＝5，β+log2β＝4，
所以γ+2γ＝4，β+log2β＝4，
所以2γ＝4﹣γ，log2β＝4﹣β，
令f（x）＝2x，g（x）＝log2x，h（x）＝4﹣x，
则γ，β可分别看作f（x），g（x）与h（x）交点的横坐标，
因为f（x）与g（x）互为反函数，图象关于y＝x 对称，
联⽴
可得x＝y＝2，
所以β+γ＝4，
则α+β＝β+γ+1＝5．
故答案为：5．
24．函数y＝f（x）的图象与y＝2x 的图象关于直线y＝x 对称，则函数y＝f（sinx）的递减区间是
．
【解答】解：∵函数y＝f（x）的图象与y＝2x 的图象关于直线y＝x 对称，
∴f（x）＝log2x，所以y＝f（sinx）＝log2sinx，
∵y＝log2x 为增函数，
∴y＝f（sinx）的递减区间为y＝sinx（y＞0）的递减区间，
∴
，
∴函数y＝f（sinx）的递减区间是
．
故答案为：
．
25．函数f（x）＝ex（其中e＝2.71828…为⾃然对数的底数）的反函数为g（x），则f（ln（log3e））•g（3）＝
1
．
【解答】解：因为函数f（x）＝ex 的反函数为g（x），
则g（x）＝lnx，
所以
．
故答案为：1．
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函数——题型42～44
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
D
C
A
B
B
C
B
A
B
A
题号
12
13
14
15
16
17
答案
B
C
C
D
D
D
⼀．选择题（共17 ⼩题）
1．若f（x）＝
，则f（﹣2）的值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．﹣2
【解答】解：∵f（x）＝
∴当x＜1 时，f（﹣2）＝f（0）＝f（2），
∴当x＝2 时即f（2）＝log22＝1
故选：B．
2．若函数
则f（﹣1）＝（
）
A．2
B．4
C．6
D．16
【解答】解：∵函数
，
∴f（﹣1）＝2f（1）＝4f（3）＝4×4log22＝16．
故选：D．
3．已知函数
，则
的值是（
）
A．﹣1
B．3
C．
D．
【解答】解：由题意可得，f（）＝
＝﹣1
∴f（f（））＝f（﹣1）＝3﹣1＝
故选：C．
4．在⾃然数集N 上定义的函数f（n）＝
则f（90）的值是（
）
A．997
B．998
C．999
D．1000
【解答】解：n＜1000 时，有f（n）＝f（n+7），
∴f（90）＝f（97）＝f（104）＝…＝f（1000）＝1000﹣3＝997
故选：A．
5．已知
，则f（log23）＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意的，∵2＝log24＞log23＞log22＝1，
∴f（log23）＝f（1+log23）＝f（2+log23）＝f（3+log23）＝（）3+log23＝
故选：B．
6．已知
，则f（f（6））等于（
）
A．
B．
C．1
D．2
【解答】解：函数
，则f（6）＝log55＝1，
所以
．
故选：B．
7．已知函数
且a≠1）的值域为R，则实数a 的取值范围是（
）
A．（0，1）
B．
C．（1，2]
D．（1，+∞）
【解答】解：当0＜x≤2 时，可知f（x）＝2log2x 的值域为（﹣∞，2]，
设f（x）＝ax﹣a（x＞2）的值域为A，依题意得（2，+∞）⊆A．
当0＜a＜1 时，f（x）在（2，+∞）上单调递减，
即当x＞2 时，A＝（﹣a，a2﹣a），不符合题意；
当a＞1 时，f（x）在（2，+∞）上单调递增，
即当x＞2 时，A＝（a2﹣a，+∞），可得a2﹣a≤2，解得1＜a≤2；
综上所述：实数a 的取值范围是（1，2]．
故选：C．
8．已知函数f（x）＝
的值域为R，则实数a 的取值范围是（
）
A．（﹣4，4）
B．[﹣4，4）
C．（﹣∞，﹣4]
D．{﹣4}
【解答】解：根据题意，y＝（4﹣a）x+2a（x＜1）是增函数，
∴4﹣a＞0，即a＜4，
∵函数f（x）的值域为R，
∴f（1）＝log31≤（4﹣a）×1+2a，解得a≥﹣4，
∴实数a 的取值范围是[﹣4，4）．
故选：B．
9．若函数f（x）＝
（a＞0 且a≠1）的值域是[3，+∞），则实数a 的取值范围
是（
）
A．
B．
C．（1，2]
D．[2，+∞）
【解答】解：（1）当﹣2≤x＜0 时，f（x）＝log
，所以，此时f（x）单调递增，所以f（x）∈[3，
+∞），
（2）当x＜﹣2 时，f（x）＝ax﹣1，只需此时f（x）的取值范围包含在[3，+∞）即可，
①当a＞1 时，f（x）＝ax﹣1 单调递增，f（x）∈（﹣1，a﹣2﹣1），不满⾜题意，舍去，
②当0＜a＜1 时，f（x）＝ax﹣1 单调递减，f（x）∈（a﹣2﹣1，+∞），只需a﹣2﹣1≥3，解得
，
综上所述，
，
故选：A．
10．已知函数
的值域为R，则实数a 的取值范围是（
）
A．（﹣2，4）
B．[﹣2，4）
C．（﹣∞，﹣2]
D．{﹣2}
【解答】解：当x≥1 时，f（x）＝2x﹣2≥21﹣2＝0，
即f（x）在[1，+∞）上的值域是[0，+∞），
若要使f（x）的值域为R，
则f（x）在（﹣∞，1）上的取值包含⼀切负数，
因此，f（x）＝（4﹣a）x+3a 在（﹣∞，1）上为增函数，且最⼤值⼤于等于0．
即
，解得﹣2≤a＜4，即a 的取值范围是[﹣2，4）．
故选：B．
11．给定函数
，⽤M（x）表示函数f（x），g（x）中的较⼤者，即M（x）
＝max{f（x），g（x）}，则M（x）的最⼩值为（
）
A．0
B．
C．
D．2
【解答】解：对于函数
，
若f（x）≥g（x），则
，即3x2﹣x﹣4≥0，解得x≤﹣1 或x≥
；
若f（x）＜g（x），则
，即3x2﹣x﹣4＜0，解得﹣1＜x＜．
所以M（x）＝max{f（x），g（x）}＝
，
根据y＝
在（﹣1，）上是增函数，y＝x2﹣1 在[
，+∞）上是增函数，
可得M（x）在（﹣1，+∞）上是增函数．
因为M（x）在（﹣∞，﹣1）上是减函数，在（﹣1，+∞）上是增函数，
所以M（x）的最⼩值为M（﹣1）＝0．
故选：A．
12．已知函数
的最⼩值为0，则实数a 的取值范围为（
）
A．（5，6）
B．（5，6]
C．[6，+∞）
D．（5，7]
【解答】解：当x≤5 时，f（x）＝x2，可知f（x）的最⼩值为f（0）＝0；
当5＜x＜a 时，f（x）＝﹣（x﹣5）3+1，在（5，a）上为减函数，最⼩值⼤于﹣（a﹣5）3+1，
若要f（x）在（﹣∞，a）上的最⼩值为0，
则﹣（a﹣5）3+1≥0，解得a≤6，结合a＞5，得5＜a≤6．
综上所述，实数a 的取值范围为（5，6]．
故选：B．
13．若函数
既⽆最⼤值也⽆最⼩值，则a 的取值范围是（
）
A．
B．
C．（，1）∪（1，）
D．
【解答】解：根据题意，可得a＞0 且a≠1，
①当0＜a＜时，f（x）＝logax 在（0，a]上是减函数，有最⼩值f（a）＝1．
根据1﹣2a＞0，可知f（x）＝（1﹣2a）x+4 在（a，+∞）上是增函数，
若要f（x）在定义域内⽆最⼩值，则（1﹣2a）•a+4＜1，解得a＞，不符合题意；
②当a＝时，f（x）＝
，存在最⼩值1，不符合题意；
③当
＜a＜1 时，f（x）＝logax 在（0，a]上是减函数，有最⼩值f（a）＝1．
根据1﹣2a＜0，可知f（x）＝（1﹣2a）x+4 在（a，+∞）上是减函数，
此时f（x）在定义域内既⽆最⼤值也⽆最⼩值，故
＜a＜1 符合题意；
④当a＞1 时，f（x）＝logax 在（0，a]上是增函数，有最⼤值f（a）＝1．
根据1﹣2a＜0，可知f（x）＝（1﹣2a）x+4 在（a，+∞）上是减函数，
若要f（x）在定义域内⽆最⼩值，则（1﹣2a）•a+4＞1，解得1＜a＜．
综上所述，＜a＜1 或1＜a＜，即实数a 的取值范围是（，1）∪（1，）．
故选：C．
14．若a，b∈R，记max
，则函数f（x）＝max{|3x|，﹣x2+4}的最⼩值为（
）
A．0
B．1
C．3
D．12
【解答】解：若|3x|≤﹣x2+4，即x2﹣4≤3x≤﹣x2+4，
解得﹣1≤x≤1，
∴若﹣1≤x≤1，则f（x）＝max{|3x|，﹣x2+4}＝﹣x2+4，
函数f（x）在[﹣1，0）单调递增，（0，1]单调递减，f（x）min＝f（﹣1）＝f（1）＝3，
若x＜﹣1，则f（x）＝max{|3x|，﹣x2+4}＝|3x|＝﹣3x，
函数f（x）单调递减，f（x）min＝f（﹣1）＝3，
若x＞1，则f（x）＝max{|3x|，﹣x2+4}＝3x，
函数f（x）单调递增，f（x）min＝f（1）＝3，
综上所述：f（x）min＝3．
故选：C．
15．f（x）＝|x+1|+|2x+a|的最⼩值为3，则实数a 为（
）
A．5 或8
B．﹣1 或5
C．﹣1 或﹣4
D．﹣4 或8
【解答】解：（1）当
＞﹣1，即a＜2 时，
，
f（x）在（﹣∞，
）上单调递减，在（
，+∞）上单调递增，
所以f（x）min＝f（
）＝3，解得a＝﹣4；
（2）当
＜﹣1，即a＞2 时，
，
f（x）在（﹣∞，
）上单调递减，在（
，+∞）上单调递增，
所以f（x）min＝f（
）＝3，解得a＝8；
（3）
＝﹣1，即a＝2 时，f（x）＝3|x+1|≥0，与题意不符；
综上，a＝﹣4 或8．
故选：D．
16．已知a＞0 且a≠1，函数
，若函数f（x）在区间[0，2]上的最⼤值⽐最⼩值⼤
，
则a 的值为（
）
A．或2
B．或2
C．2 或
D．或
【解答】解：①当0＜a＜1 时，函数f（x）在[0，1]上是减函数，在（1，2]上也是减函数．
∵f（0）＝a0＝1＞﹣1﹣a，∴函数的最⼤值为f（0）＝1，
⽽f（2）＝﹣2+a＜a＝f（1），∴函数f（x）的最⼩值为f（2）＝﹣2+a，
∴
，解得
，符合题意；
②当a＞1 时，函数f（x）在[0，1]上是增函数，在（1，2]上是减函数．
∵f（1）＝a＞﹣1+a，
∴函数f（x）的最⼤值为f（1）＝a，⽽f（2）＝﹣2+a，f（0）＝a0＝1，
当a∈（1，3）时，﹣2+a＜1，此时函数f（x）的最⼩值为f（2）＝﹣2+a，因此有
，⽆解；
当a∈[3，+∞）时，﹣2+a≥1，此时函数f（x）的最⼩值为f（0）＝1，因此有
，解得
，
符合题意；
综上所述，实数a 的值为
或
．
故选：D．
17．已知函数f（x）＝
的最⼩值为f（1），则a＝（
）
A．0
B．±1
C．1
D．﹣1
【解答】解：当x＞0 时，⼆次函数的对称轴为x＝a2≥0，
x≤0 时，f（x）单调递减，最⼩值f（0）＝1，
要使得函数f（x）在R 上最⼩值为f（1），
则需要满⾜：
，
解得：a＝﹣1，
故选：D．
⼆．填空题（共1 ⼩题）
18．若函数
的最⼩值为f（0），则实数a 的取值范围是
[0，2]
．
【解答】解：函数y＝（x﹣a）2在（﹣∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
若a＜0，则f（x）最⼩值为f（a）＜f（0），不满⾜题设，故a≥0．
在x∈（0，+∞）上，
，当且仅当x＝1 时等号成⽴，
所以
的最⼩值为f（0）＝a2≤a+2，即a2﹣a﹣2＝（a+1）（a﹣2）≤0，解得﹣1
≤a≤2．
综上所述，0≤a≤2，即实数a 的取值范围是[0，2]．
故答案为：[0，2]．
声明：试题解析著作权属菁优⽹所有，未经书⾯同意，不得复制发布⽇期：2025/2/2013:00:18；⽤户：13659236337；邮箱：13659236337；学号：33232166
函数——题型45～48
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
B
D
A
D
B
B
B
A
A
C
题号
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
答案
C
B
D
B
A
A
C
D
A
D
D
题号
23
24
25
26
27
28
29
答案
B
A
A
B
C
C
C
⼀．选择题（共29 ⼩题）
1．已知
是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：要使函数
在R 上为减函数，
需满⾜
，解得
．
故选：D．
2．已知函数f（x）＝
是R 上的减函数，则a 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为f（x）＝
是R 上的减函数，
所以
，解得1
．
故选：B．
3．已知函数
是R 上的增函数，那么a 的取值范围是（
）
A．（0，1）
B．（1，3]
C．（1，4）
D．[3，4）
【解答】解：因为
是R 上的增函数，
所以
，
解得3≤a＜4．
故选：D．
4．已知函数f（x）＝
，是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，﹣1]
B．
C．（﹣∞，0]
D．（﹣∞，1]
【解答】解：f（x）＝
，是R 上的减函数，
，解得a≤﹣1．
故选：A．
5．已知函数
是（﹣∞，+∞）上的增函数，则实数k 的取值范围是（
）
A．（﹣1，2）
B．[﹣1，2）
C．（1，2）
D．[1，2）
【解答】解：因为
是（﹣∞，+∞）上的增函数，
所以
，解得1≤k＜2．
故选：D．
6．已知函数f（x）＝
是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（
）
A．[
）
B．[
]
C．（0，]
D．[
）
【解答】解：①a＞1 时，f（x）在（1，+∞）上是增函数；
∴f（x）在R 上是增函数；
显然f（x）在（﹣∞，1]上不是增函数；
∴a＞1 的情况不存在；
②0＜a＜1 时，f（x）在（1，+∞）上是减函数；
∴f（x）在R 上是减函数；
∴
；
解得
；
综上得，实数a 的取值范围为
．
故选：B．
7．已知函数
在R 上单调递增，则a 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，0]
B．[0，1]
C．[﹣1，1]
D．[0，+∞）
【解答】解：根据题意，函数
在R 上单调递增，
因为函数y＝ex+ln（x+1）是增函数，
函数y＝﹣x2+2ax+a 的图象开⼝向下，对称轴为x＝a，
所以要使函数f（x）在R 上单调递增，
则
，解得0≤a≤1，
因此a 的取值范围是[0，1]．
故选：B．
8．已知f（x）＝
，满⾜对任意的实数x1，x2 且x1≠x2，都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1
﹣x2）＞0，则实数a 的取值范围是（
）
A．（0，）
B．（0，]
C．（，1）
D．（，1]
【解答】解：根据题意，[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0，可知函数f（x）是增函数，
要使函数
是（﹣∞，+∞）上的增函数，
需
，解得
．
故选：B．
9．要得到函数y＝8•2﹣x 的图象，只需将函数
的图象（
）
A．向右平移3 个单位⻓度
B．向左平移3 个单位⻓度
C．向右平移8 个单位⻓度
D．向左平移8 个单位⻓度
【解答】解：∵函数y＝（）x＝（2﹣1）x＝2﹣x，
函数y＝8•2﹣x＝23﹣x
将以y＝2﹣x 向右平移3 个单位⻓度后，得到函数y＝2﹣（x﹣3）＝23﹣x 的图象，
故将函数y＝（）x 的图象向右平移3 个单位可以得到函数y＝23﹣x 的图象，
故选：A．
10．要得到函数y＝23﹣x 的图象，只需将函数y＝（）x 的图象（
）
A．向右平移3 个单位
B．向左平移3 个单位
C．向右平移8 个单位
D．向作平移8 个单位
【解答】解：因为y＝（）x＝2﹣x，所以只需将y＝2﹣x 的图象向右移动3 个单位即可得到＝2﹣（x﹣3）＝
23﹣x 的图象，
故选：A．
11．将函数f（x）＝log2（2x）的图象向左平移1 个单位⻓度，那么所得图象的函数解析式为（
）
A．y＝log2（2x+1）
B．y＝log2（2x﹣1）
C．y＝log2（x+1）+1
D．y＝log2（x﹣1）+1
【解答】解：将函数f（x）＝log2（2x）的图象向左平移1 个单位⻓度，
得到的图象对应的函数解析式为：y＝log2[2（x+1）]．
∵
，
∴y＝log2（x+1）+1．
故选：C．
12．已知函数f（x）＝log3x，将函数y＝f（x）的图象向右平移1 个单位⻓度，再将所得的函数图象上的点
的横坐标缩短为原来的
，纵坐标不变，然后将所得的图象上的点的纵坐标伸⻓为原来的3 倍，横坐标
不变，得到函数y＝g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（
）
A．g（x）＝3log3（x﹣1）
B．g（x）＝log3（x﹣）
C．g（x）＝3log3（2x﹣1）
D．g（x）＝3log3（2x﹣2）
【解答】解：将函数y＝f（x）的图象向右平移1 个单位⻓度，可得y＝log3（x﹣1），
再将所得的函数图象上的点的横坐标缩短为原来的
，纵坐标不变，可得y＝log3（2x﹣1），
然后将所得的图象上的点的纵坐标伸⻓为原来的3 倍，横坐标不变，可得g（x）＝3log3（2x﹣1），
故选：C．
13．将函数f（2x）的图象向左平移1 个单位⻓度，所得图象与g（x）＝
x 的图象关于直线y＝x 对称，
则f（x）等于（
）
A．ex﹣1
B．
C．
D．e1﹣x
【解答】解：∵g（x）＝
x＝﹣lnx 关于直线y＝x 对称的函数为y＝e﹣x，
向右平移1 个单位可得y＝e﹣x+1，
由题意可得f（2x）＝e﹣x+1，
∴f（x）＝
．
故选：B．
14．函数f（x）的图象向右平移1 个单位⻓度，所得图象与曲线y＝ex 关于y 轴对称，则f（x）＝（
）
A．ex+1
B．ex﹣1
C．e﹣x+1
D．e﹣x﹣1
【解答】解：函数y＝ex 的图象关于y 轴对称的图象的函数解析式为y＝e﹣x，
⽽函数f（x）的图象向右平移1 个单位⻓度，所得图象与曲线y＝ex 的图象关于y 轴对称，
所以函数f（x）的解析式为y＝e﹣（x+1）＝e﹣x﹣1．即f（x）＝e﹣x﹣1．
故选：D．
15．在同⼀平⾯直⻆坐标系中，函数y＝g（x）的图象与y＝ex 的图象关于直线y＝x 对称．⽽函数y＝f（x）
的图象与y＝g（x）的图象关于y 轴对称，若f（m）＝﹣1，则m 的值是（
）
A．﹣e
B．
C．e
D．
【解答】解：∵函数y＝g（x）的图象与y＝ex 的图象关于直线y＝x 对称
∴函数y＝g（x）与y＝ex 互为反函数
则g（x）＝lnx，
⼜由y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象关于y 轴对称
∴f（x）＝ln（﹣x），
⼜∵f（m）＝﹣1
∴ln（﹣m）＝﹣1，
故选：B．
16．已知函数y＝f（x）的图象与函数y＝ax（a＞0 且a≠1）的图象关于直线y＝x 对称，且点P（4，2）在函
数y＝f（x）的图象上，则实数a 的值为（
）
A．2
B．
C．4
D．
【解答】解：∵函数y＝f（x）的图象与函数y＝ax（a＞0 且a≠1）的图象关于直线y＝x 对称，
∴函数y＝f（x）与函数y＝ax（a＞0 且a≠1）互为反函数，
由y＝ax（a＞0 且a≠1），得x＝logay，
则f（x）＝logax，
∵点P（4，2）在函数y＝f（x）的图象上
由f（4）＝2，得loga4＝2，
解得：a＝2．
故选：A．
17．已知函数f（x）＝logax（0＜a＜1），则函数y＝f（|x|+1）的图象⼤致为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意，x＝0，y＝f（1）＝0，排除C，D．
x＝1，y＝f（2）＜0，排除B，
故选：A．
18．函数f（x）＝loga|x|+1（a＞1）的图象⼤致为下图的（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：先画y＝logax，
然后将y＝logax 的图象关于y 轴对称得y＝loga|x|，
再保留y＝logax 的图象，将两个函数的图象向上平移1 个单位，
即得到函数y﹣loga|x|+1（a＞1）的⼤致图象．
故选：C．
19．函数f（x）＝lg（|x|﹣1）的⼤致图象是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由|x|﹣1＞0，解得x＜﹣1 或x＞1，
即函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
⼜f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）为偶函数，其图象关于y 轴对称，则排除选项AB；
当x＝2 时，f（2）＝0，当x＝3 时，f（x）＝lg2＞0，则排除选项C．
故选：D．
20．函数
的部分图象⼤致为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：f（x）的定义域为{x|x≠±1，且x≠0}，
且f（﹣x）＝
＝
＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，排除选项D；
由f（）＝
＜0，排除B，C 选项，
当x→1 时，y→﹣∞，A 选项正确．
故选：A．
21．函数
的⼤致图象是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
．
∴f（﹣x）＝（﹣x）2log3
＝﹣x2log3
＝﹣f（x）．
所以BC 错误．
令x＝1，代⼊f（x）得到f（1）＝log33＝1＞0，故A 错误．
故选：D．
22．如图中，图象对应的函数解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：对于A，f（x）＝
，其定义域为R，f（﹣x）＝
＝f（x），
所以f（x）为偶函数，对照图象可知A 项不符合题意；
对于B，f（x）＝
＝
，
因为x→0 时，2e|x|→2，且
→1，所以x→0 时，f（x）→2，对照图象可知B 项不符合题意；
对于C，
，当x＞0 时，随着x 的增⼤，|y|变⼩，对照图象可知C 项不符合题意；
对于D，
，满⾜f（﹣x）＝﹣f（x），函数为奇函数，图象关于原点对称．
当0＜x＜
时，f（x）＞0；当
＜x＜π时，f（x）＜0；当π＜x＜
时，f（x）＞0．
以上各性质都符合题意所给的图象，故D 项正确．
故选：D．
23．函数
在[﹣π，π]的图象⼤致为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
的定义域为[﹣π，π]，且
，
则函数为奇函数，可排除A 选项；
⼜
，则排除选项C 与D．
故选：B．
24．函数
的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：函数
是偶函数，排除B，
当x∈（0，
）时，y＞0，判断C、D，
故选：A．
25．已知函数
，当a＞1 时，⽅程f2（x）﹣（a2+a）f（x）+a3＝0 的根的个数是
（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
【解答】解：由对勾函数的性质可知：f（x）＝
在（0，）上单调递减，且从+∞减⼩到f（）＝1，
在[
，+∞）上单调递增，且从f（）＝1 增⼤到+∞，
当x＜0 时，f（x）＝ln（﹣x）是单调递减函数，且此时f（x）∈（﹣∞，+∞），
由⽅程f2（x）﹣（a2+a）f（x）+a3＝0 得f（x）＝a 或f（x）＝a2，结合a＞1，
故⽅程f（x）＝a 或f（x）＝a2，都有⼀个负根和两个正根，且这两个⽅程的不会重复，
故原⽅程共有6 个根．
故选：A．
26．已知函数
，若关于x 的⽅程[f（x）]2﹣（1+m）f（x）+m＝0 有三个实数解，
则实数m 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：[f（x）]2﹣（1+m）f（x）+m＝0 等价于（f（x）﹣1）（f（x）﹣m）＝0，
函数y＝f（x）的图象如图，
因为y＝f（x）的图象与y＝1 有且仅有⼀个交点，
即f（x）﹣m＝0 有两个实数解，所以m∈（
，0）∪（1，e）．
故选：B．
27．已知函数f（x）＝
，关于x 的⽅程[f（x）]2﹣2（a+1）f（x）+a2+2a＝0 ⾄少有三个互不相等的实
数解，则a 的取值范围是（
）
A．[1，+∞）
B．（﹣1，0）∪（1，+∞）
C．（﹣1，0）∪[1，+∞）
D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
【解答】解：已知函数f（x）＝
，x＞0 且x≠1，
f′（x）＝
，
令f′（x）＝0，则x＝e，
当x∈（0，1）和（1，e）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
f（e）＝
＝1，
当x∈（0，1）时，f（x）＜0，x∈（1，e）时，f（x）≥1，
[f（x）]2﹣2（a+1）f（x）+a2+2a＝0⇒[f（x）﹣a][f（x）﹣a﹣2]＝0，
∴f（x）＝a，或f（x）＝a+2，
要使[f（x）]2﹣2（a+1）f（x）+a2+2a＝0 ⾄少有三个互不相等的实数解，
则
，解得a＞1，有4 个根，
，解得a＝1，有3 个根，
，解得﹣1＜a＜0，有3 个根，
综上所述，a∈（﹣1，0）∪[1，+∞）．
故选：C．
28．已知函数
，则⽅程12[f（x）]2﹣7f（x）+1＝0 的实根个数为（
）
A．9
B．10
C．11
D．12
【解答】解：作出函数f（x）的部分图象如图所示：
由⽅程12[f（x）]2﹣7f（x）+1＝0，
即[3f（x）﹣1][4f（x）﹣1]＝0，
解得
或
，
当
时，有5 个实根；
当
时，有6 个实根，
故⽅程12[f（x）]2﹣7f（x）+1＝0 的实根个数为11．
故选：C．
29．已知函数f（x）＝
，若函数y＝f2（x）﹣2af（x）﹣3a2在[0，+∞）有6 个不同零
点，则实数a 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：令y＝f2（x）﹣2af（x）﹣3a2＝0，
即（f（x）﹣3a）（f（x）+a）＝0，
解得f（x）＝3a 或f（x）＝﹣a，
作出函数f（x）的图象，如图所示：
当a＝0 时，f（x）＝0 有⽆数个解；
当a＞0 时，则⽅程f（x）＝﹣a ⽆解，
因为函数y＝f2（x）﹣2af（x）﹣3a2在[0，+∞）有6 个不同零点，
所以⽅程f（x）＝3a 在[0，+∞）有6 个不同的实根，
即函数y＝f（x），y＝3a 的图象在[0，+∞）有6 个不同的交点，
由图可知，
，
所以
，
当a＜0 时，则⽅程f（x）＝3a ⽆解，
则⽅程f（x）＝﹣a 在[0，+∞）有6 个不同的实根，
即函数y＝f（x），y＝﹣a 的图象在[0，+∞）有6 个不同的交点，
由图可知，
，
所以
，
综上所述，实数a 的取值范围是
．
故选：C．
⼆．填空题（共1 ⼩题）
30．已知函数
，关于x 的⽅程
有三个解，则实
数a 的取值范围为
{a|a＝0 或a≥
}
．
【解答】解：由⽅程
，可得[f（x）﹣2a][f（x）﹣]＝0，
∴f（x）＝2a，或f（x）＝，
作出f（x）的图像，如图所示，
由图可知f（x）＝有2 个根，
∴f（x）＝2a 就只有⼀个根，
∴2a≥1 或者2a＝0，解得a≥
或a＝0．
故答案为：{a|a＝0 或a≥
}．
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函数——题型49
参考答案与试题解析
题号
1
2
答案
B
D
⼀．选择题（共2 ⼩题）
1．已知函数f（x）＝|ex﹣1|，g（x）＝f2（x）﹣tf（x）（t∈R），若关于x 的⽅程g（x）＝3﹣t2有三个不同实
数根，则实数t 的取值范围是（
）
A．（﹣2，2）
B．
C．
D．（2，+∞）
【解答】解：令f（x）＝m≥0，则g（x）＝f2（x）﹣tf（x）＝3﹣t2，
可化为m2﹣tm﹣3+t2＝0，
由题意知，⽅程m2﹣tm﹣3+t2＝0 有两个不等根，
且⼀根在（0，1）内，⼀根在[1，+∞）内，
令h（m）＝m2﹣tm﹣3+t2，
则
，
即
，解得
．
故选：B．
2．已知f（x）＝﹣x2+2|x|，若关于x 的⽅程[f（x）]2+mf（x）+n＝0（m，n∈R）恰好有三个互不相等的实根，
则实数m 的取值范围为（
）
A．m＜﹣1
B．m≤0
C．m＜﹣1 或m＞0
D．m＝0 或m＜﹣1
【解答】解：记⽅程t2+mt+n＝0 的两根为t1，t2（t1≤t2），
当t1≠t2时，[f（x）]2+mf（x）+n＝0（m，n∈R）恰好有三个互不相等的实根，
等价于f（x）与y＝t1和y＝t2共有三个不同的交点，
由图可知，此时有t1＝0，t2＞1，
即
，得m＜﹣1；
当t1＝t2时，[f（x）]2+mf（x）+n＝0（m，n∈R）恰好有三个互不相等的实根，
等价于f（x）与y＝t1有三个不同的交点，
由图可知，此时t1＝t2＝0，
即
，得m＝0，
综上，实数m 的取值范围为{m|m＝0 或m＜﹣1}．
故选：D．
⼆．填空题（共3 ⼩题）
3．已知函数
，若
的零点个数为3，则实
数a 的取值范围为
．
【解答】解：作出函数f（x）的图象，如图所示：
令t＝f（x），
则当t＜0 时，⽅程f（x）＝t ⽆解；
当t＝0 时，⽅程f（x）＝t 有1 个实数解；
当0＜t≤1 时，⽅程f（x）＝t 有3 个实数解；
当t＞1 时，⽅程f（x）＝t 有2 个实数解．
因为
有3 个不同的零点，
则关于t 的⽅程
有解，
设此关于t 的⽅程的解为t1、t2，不妨设t1≤t2，
由题设可得关于x 的⽅程f（x）＝t1和f（x）＝t2共有3 个不同的解，
可分为以下⼏类情况：
（1）当⽅程
有两个相等的实数根，即t1＝t2时，
且f（x）＝t1有3 个实数根．
此时，由
，
解得
，
当
时，
，
由函数f（x）图象可知，
⽆解，
即函数
⽆零点，故不合题意；
当
时，
，
由函数f（x）图象可知，函数y＝f（x）的图象与直线
有两个交点，
即函数
有2 个零点，也不合题意；
（2）当⽅程
有两个不等的实数根，即t1＜t2时，
此时，由Δ＝2（2a2﹣3a﹣1）＞0，
解得
，或
，
设
，
①关于x 的⽅程f（x）＝t1没有实数根，且⽅程f（x）＝t2有3 个实数根．
由f（x）＝t1没有实数根，得t1＜0，f（x）＝t2有3 个实数根，得0＜t2≤1，
即⼆次⽅程
⼀根在（﹣∞，0），另⼀根在（0，1]，
由⼆次函数y＝φ（t）的图象开⼝向上，结合图象可得，
解得
，
满⾜
，则
满⾜题意；
②关于x 的⽅程f（x）＝t1有1 个实数根，且⽅程f（x）＝t2有2 个实数根．
由⽅程f（x）＝t1有1 个实数根，得t1＝0，
⽅程f（x）＝t2有2 个实数根，得t2＞1，
即⼆次⽅程
⼀根为0，另⼀根在（1，+∞），
则
，解得
，
此时，⽅程为
，解得
，不合题意．
综上所述，函数
的零点个数为3，则a 的取值范围为
．
故答案为：
．
4．设函数
，若关于x 的函数g（x）＝f2（x）﹣（a+2）f（x）+3 恰好有六个零
点，则实数a 的取值范围是
．
【解答】解：作出函数f（x）的⼤致图象如下图所示，
令f（x）＝t，则f2（x）﹣（a+2）f（x）+3＝0 可化为t2﹣（a+2）t+3＝0，
依题意，要使函数g（x）恰好有六个零点，则⽅程t2﹣（a+2）t+3＝0 在（1，2]内有两个不同的实数根，
∴
，解得
，
∴实数a 的取值范围为
．
故答案为：
．
5．设函数
，若关于x 的函数g（x）＝f2（x）﹣（a+1）f（x）+1 恰好有五个
零点．则实数a 的取值范围是
．
【解答】解：作出函数
的图象如图，
令f（x）＝t，函数g（x）＝f2（x）﹣（a+1）f（x）+1 恰好有五个零点．
则⽅程f2（x）﹣（a+1）f（x）+1＝0 化为t2﹣（a+1）t+1＝0，
则t2﹣（a+1）t+1＝0 必有两个不同实根t1，t2，则t1t2＝1，
结合图形可知t1，t2＞0，则t1，t2必不为1，
故⽅程t2﹣（a+1）t+1＝0 的⼀根在区间（0，1）内，另⼀根在区间（1，2]内，
令g（t）＝t2﹣（a+1）t+1，
则
，解得：
，
综上：实数a 的取值范围为
．
故答案为：
．
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函数——题型50～53
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
D
D
B
D
D
D
C
C
C
D
题号
12
13
14
15
16
17
18
19
20
答案
B
D
A
D
C
C
C
C
D
⼀．选择题（共20 ⼩题）
1．已知函数f（x）＝x2﹣2|x|+a﹣1 有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是（
）
A．（0，1）
B．（﹣1，0）
C．（1，2）
D．（﹣2，﹣1）
【解答】解：令f（x）＝0 得x2﹣2|x|＝1﹣a，
函数f（x）＝x2﹣2|x|+a﹣1 有四个不同的零点，转化为函数y＝x2﹣2|x|与y＝1﹣a 的图象有四个交点，
y＝x2﹣2|x|＝
，作出函数图象，如图所示：
由图象得﹣1＜1﹣a＜0，解得1＜a＜2，
故实数a 的取值范围是（1，2），
故选：C．
2．已知函数f
，g（x）＝f（x）﹣a．若g（x）存在2 个零点，则a 的取值范围是（
）
A．（﹣1，0）
B．[﹣1，0）
C．（0，1）
D．（0，1]
【解答】解：依题意，函数y＝f（x）的图象与直线y＝a 有两个交点，
作出函数图象如图所示，
由图可知，要使函数y＝f（x）的图像与直线y＝a 有两个交点，则0＜a≤1，
故选：D．
3．已知函数f（x）＝
，若关于x 的⽅程f（x）＝a 有且仅有⼀个实数根，则实数a 的取
值范围为（
）
A．（0，1]
B．[1，+∞）
C．（﹣∞，1）
D．（﹣1，0）
【解答】解：作出函数f（x）＝
的图象如下，
由图可知，当﹣1＜a＜0 时，直线y＝a 与f（x）的图象仅有⼀个交点，
即关于x 的⽅程f（x）＝a 有且仅有⼀个实数根，
所以﹣1＜a＜0．
故选：D．
4．已知函数
，其中m＜0，若存在实数k，使得关于x 的⽅程f（x）﹣k＝0
恰有三个不同的实数根，则m 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，﹣3）
B．
C．[﹣3，0）
D．
【解答】解：当m＜0 时，作出函数
的图象如下图所示，
当x＜m 时，f（x）＝x2﹣2mx+6＝（x﹣m）2+6﹣m2≥6﹣m2，
所以若要存在实数k，使得关于x 的⽅程f（x）﹣k＝0 恰有三个不同的实数根，
则必须6﹣m2＜m2（m＜0），
解得
，
所以m 的取值范围是
．
故选：B．
5．已知函数
有4 个零点，则k 的取值范围是（
）
A．[﹣1，0）
B．[﹣3，﹣1）
C．（﹣1，0）
D．（﹣3，﹣1]
【解答】解：令
，
令
，
作出g（x）与h（x）的⼤致图象，如图，
显然g（x）与y＝k+3 的图象⾄多有2 个零点，h（x）与y＝﹣k 的图象⾄多有2 个零点；
因为
有4 个零点，
所以
，解得﹣3＜k≤﹣1．
故选：D．
6．已知函数
，若关于x 的⽅程f（x）＝m（m∈R）有三个不相等的实数根x1，
x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1x2x3的取值范围是（
）
A．（﹣2，+∞）
B．（﹣∞，0]
C．（0，9）
D．（﹣2，0]
【解答】解：作出f（x）的图象：
则⽅程f（x）＝m（m∈R）有三个不相等的实数根x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），即为y＝m 与y＝f（x）图象
的三个交点，且0＜m≤8，
由4x+8＝0 得x＝﹣2，则﹣2＜x1≤0，
⼜﹣lnx2＝lnx3，得lnx2x3＝0，故x2x3＝1，
所以x1x2x3＝x1∈（﹣2，0]．
故选：D．
7．已知函数
，若存在x1＜x2＜x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1+x2+x3
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由函数y＝|x+1|与y＝x2﹣4x+1 的性质，作出图象：
其中：令x2﹣4x+1＝0，解得
，
令x2﹣4x+1＝3，解得xB＝
，
设f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝k，当满⾜x1＜x2＜x3时，
据图可知x1+x2＝﹣2，xA＜x3≤xB，即
，
故x1+x2+x3∈
．
故选：D．
8．已知函数f（x）的定义域为R，f（x）＝2﹣f（2﹣x），若函数g（x）＝2x﹣1﹣21﹣x+1 与函数f（x）的交点
为（x1，y1），（x2，y2），…，（x2025，y2025），则
＝（
）
A．0
B．
C．2025
D．4050
【解答】解：因为g（x）＝2x﹣1﹣21﹣x+1，
则g（x）+g（2﹣x）＝2x﹣1﹣21﹣x+1+22﹣x﹣1﹣21﹣（2﹣x）+1＝2x﹣1﹣21﹣x+21﹣x﹣2x﹣1+2＝2，
故函数g（x）的图象关于点（1，1）对称，
因为f（x）＝2﹣f（2﹣x），所以f（x）+f（2﹣x）＝2，
所以函数f（x）的图象关于点（1，1）对称，
⼜函数f（x）的定义域为R，且g（x）和f（x）的交点有奇数个，
故（1，1）是两个函数的交点，即x1013＝1，
另外2024 个交点都关于点（1，1）对称，
即
，
故
．
故选：C．
9．已知f（x）的定义域为R，且f（x+1）是奇函数，当x＞1 时，
，函数g（x）
＝k（x﹣1），k＞0，则⽅程f（x）＝g（x）的所有的根之和为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【解答】解：因为f（x）的定义域为R，且f（x+1）是奇函数，
所以f（﹣x+1）＝﹣f（x+1），则f（x）的图象关于（1，0）对称，且f（1）＝0，
当x＞1 时，
，
⼜因为函数g（x）＝k（x﹣1），k＞0，
所以g（x）的图象关于（1，0）对称，
所以⽅程f（x）＝g（x）的所有的根之和即为两个函数图象交点的横坐标和，
f（x）和g（x）的图象，如图所示：
由图象知：f（x）和g（x）的图象有5 个交点，其中⼀个交点的横坐标为1，另外四个，两两分别关于（1，
0）对称，
所以5 个交点的横坐标之和为2×2+1＝5，
故选：C．
10．函数
在[﹣4，6]上的所有零点之和为（
）
A．4
B．4π
C．6
D．6π
【解答】解：令f（x）＝0，则2cos
x＝﹣
，分别画出y＝2cos
x，y＝﹣
的图象，如
图所示：
y＝2cos
x，y＝﹣
＝
的图象，两个函数图象都关于（1，0）对称，
在[﹣4，6]上有3 对交点，则所有零点之和为6．
故选：C．
11．已知函数f（x）（x∈R）满⾜f（x）＝f（4﹣x），若y＝|x﹣2|与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，
y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5），（x6，y6），则x1+x2+x3+x4+x5+x6＝（
）
A．﹣4
B．0
C．8
D．12
【解答】解：因为f（x）＝f（4﹣x），所以f（x）的图象关于直线x＝2 对称，
⽽y＝|x﹣2|的图象也关于直线x＝2 对称，
所以y＝|x﹣2|与y＝f（x）图象的6 个交点构成关于直线x＝2 对称的三对对称点，
由此可得x1+x2+x3+x4+x5+x6＝4×3＝12，
故选：D．
12．已知函数f（x+2）是偶函数，f（x﹣2）+f（4）＝f（x+2），f（x）在（0，2]上的解析式为f（x）＝x，g
（x）＝lg|（x﹣2）|，则f（x）与g（x）的图像交点个数为（
）
A．104
B．100
C．52
D．50
【解答】解：因为函数f（x+2）是偶函数，所以f（﹣x+2）＝f（x+2），
所以f（x）的图象关于x＝2 对称，
令x＝2，则f（0）+f（4）＝f（4），得f（0）＝0，
所以f（4）＝f（0）＝0，所以f（x﹣2）＝f（x+2），
所以f（x）＝f（x+4），
所以f（x）是以4 为周期的周期函数，
因为f（x）在（0，2]上的解析式为f（x）＝x，
f（x）的图象关于x＝2 对称，
所以f（x）的图象如图所示，
g（x）＝lg|（x﹣2）|的图象关于x＝2 对称，
f（x）的值域为[0，2]，
当x＞2 时，g（x）＝lg（x﹣2），
令g（x）＝lg（x﹣2）＝2，得x＝102，
当x＜2 时，g（x）＝lg（2﹣x），
令g（x）＝lg（2﹣x）＝2，得x＝﹣98，
因为102﹣（﹣98）＝200＝4×50，
由图象可知两函数图象在每个周期内有2 个交点，
所以f（x）与g（x）的图象交点个数为50×2＝100 个．
故选：B．
13．已知函数
．若x1，x2，x3，x4是⽅程f（x）＝t 的四个互不相等的解，
则x1+x2+x3+x4的取值范围是（
）
A．[2，4）
B．（2，4]
C．
D．
【解答】解：根据题意，可得f（x）的图象如图所示，
设x1＜x2＜x3＜x4，结合图象可得：x1＜﹣1＜x2＜0，且x3+x4＝6，0＜t≤2．
由|log2（﹣x1）|＝|log2（﹣x2）|＝t，可得
，
故
，
设s＝2t∈（1，4]，⽽
在（1，4]为增函数，可得
．
综上所述，
，即x1+x2+x3+x4的取值范围是[
，4）．
故选：D．
14．已知函数f（x）＝xln（e2x+1）﹣x2+1 和g（x）的定义域均为R，若g（x）满⾜g（x）+g（﹣x）＝2，
且y＝f（x）与y＝g（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），⋯，（xm，ym），则（
）
A．m 必为奇数，且y1+y2+⋯+ym＝m
B．m 必为偶数，且y1+y2+⋯+ym＝m
C．m 必为奇数，且y1+y2+⋯+ym＝2m
D．m 必为偶数，且y1+y2+⋯+ym＝2m
【解答】解：由题意可得f（﹣x）＝﹣xln（e﹣2x+1）﹣x2+1，
且
，
因此y＝f（x）与y＝g（x）的图象都关于点（0，1）对称，即f（0）＝g（0）＝1，
若f（x0）＝g（x0）（x0≠0），则必有f（﹣x0）＝g（﹣x0），
因此m 必为奇数，且f（x0）+f（﹣x0）＝2，
因此可知
．
故选：A．
15．已知函数
（其中m∈R），若关于x 的⽅程f（x）＝0 有四个不等的实数
根，从⼩到⼤依次为x1，x2，x3，x4，则
的取值范围为（
）
A．（﹣5，+∞）
B．[﹣1，5）
C．（﹣∞，1]
D．（﹣5，1]
【解答】解：设
，则f（x）＝g（x）﹣m，故f（x）＝0 可转化为g（x）＝
m，
即y＝g（x）的图像与直线y＝m 有4 个不同的交点，
作出y＝g（x）与y＝m 的图象：
设它们交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，x4，
可知x1+x2＝﹣2，x3•x4＝1，且m∈（0，1]，x3∈[
，1），
则
，
令
，易知函数h（x）在
上单调递减，
所以
．
故选：D．
16．函数f（x）＝2x+3x﹣15 的零点所在区间为（
）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）
【解答】解：f（2）＝22+3×2﹣15＝﹣5＜0，f（3）＝23+3×3﹣15＝2＞0，
由零点存在定理，可知零点所在区间为（2，3）．
故选：C．
17．函数f（x）＝log3x+x﹣5 的零点所在的区间是（
）
A．（2，3）
B．（3，
）
C．（
，4）
D．（4，5）
【解答】解：∵函数f（x）＝log3x+x﹣5 在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）在（0，+∞）上只有⼀个零点，
f（
）＝log3
+
﹣5＝log3
﹣＝
，
∵
，
，∴
＜
，
则f（
）＝
＜0，f（4）＝log34+4﹣5＝log34﹣1＞0，
∴函数f（x）＝log3x+x﹣5 的零点所在的区间是（
，4）．
故选：C．
18．函数
的零点所在的区间是（
）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，5）
【解答】解：∵y＝2x 是R 上的增函数，y＝log2x 是（0，+∞）上的增函数，
∴
是（0，+∞）上的增函数，
∵
＝
，
＝
，
且
＝
，
∴f（2）•f（3）＜0，可得f（x）的零点属于区间（2，3）．
故选：C．
19．函数f（x）＝（）x﹣
x 的零点所在的区间是（
）
A．（0，）
B．（，）
C．（，1）
D．（1，2）
【解答】解：∵f（x）＝（）x﹣
x，
∴f（）＝
﹣
＜0，f（1）＝（）1﹣
1＞0，
∴在区间（，1）内函数f（x）存在零点，
故选：C．
20．函数
的零点⼀定位于区间（
）
A．（﹣1，0）
B．（0，1）
C．（1，2）
D．（2，3）
【解答】解：
在R 上单调递减，f（2）＝
，
，
所以f（x）的零点位于区间（2，3）．
故选：D．
⼆．解答题（共14 ⼩题）
21．已知函数f（x）＝log2（1﹣x）﹣log2（1+x）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数g（x）＝f（x）﹣x﹣1 是否存在零点，若g（x）存在零点x0，请写出⼀个区间（a，b），
满⾜x0∈（a，b），且
；若g（x）不存在零点，请说明理由．
【解答】解：（1）由
，得﹣1＜x＜1，所以f（x）的定义域为（﹣1，1），
⼜f（﹣x）＝log2（1+x）﹣log2（1﹣x）＝﹣f（x），
所以f（x）为奇函数；
（2）
，x∈（﹣1，1），
⼜g（0）＝log21﹣1＝﹣1＜0，
，
故由函数零点存在定理可知，函数g（x）在
上存在零点x0，此时区间
满⾜题意．
（其中x0≈﹣0.2532 或
，答案不唯⼀，写出满⾜题意的区间（a，b）均可．
22．已知常数a∈R，函数
．
（1）当a＝1 时，求不等式f（x）≤1 的解集（⽤区间表示）；
（2）若函数y＝f（x）+2x 有两个零点，求a 的取值范围．
【解答】解：（1）a＝1 时，f（x）＝log2（
+1），
由题意可得log2（
+1）≤log22，
可得
+1≤2，可得2x≥1，解得x≥0，
所以不等式的解集为[0，+∞）；
（2）因为函数y＝f（x）+2x 有两个零点，
即log2（
+a）+2x＝0，
即log2（
+a）+log2（22x）＝0，
可得log2[（
+a）•22x]＝0，
所以（
+a）•（2x）2＝1，
整理可得a（2x）2+2x﹣1＝0，
因为2x＞0，
所以a＝
﹣
，
令t＝
＞0，
可得a＝t2﹣t＝（t﹣）2﹣，
令y＝（t﹣）2﹣，
在t∈（0，）时，函数单调递减，在t∈（，+∞）时，函数单调递增，
当t→0 时，y→0，
t→+∞时，y→+∞
t＝时，y＝﹣，
要使函数有两个零点，则a 的范围为（﹣，0）．
23．已知函数f（x）＝ln（mx+2）﹣ln（x+2），其中m＜0 且f（1）+f（﹣1）＝0．
（1）求m 的值，判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）函数g（x）＝f（2x）+ln（2x+2a）有零点，求a 的取值范围．
【解答】解：（1）因为f（x）＝ln（mx+2）﹣ln（x+2），其中m＜0，
⼜f（1）+f（﹣1）＝ln（m+2）﹣ln3+ln（﹣m+2）﹣ln1＝0，
即ln（4﹣m2）＝ln3，整理得m2＝1，
⼜m＜0，故m＝﹣1；
所以f（x）＝ln（﹣x+2）﹣ln（x+2），为奇函数．
证明如下：依题意，得
，解得﹣2＜x＜2，
所以函数f（x）的定义域为（﹣2，2），令x∈（﹣2，2），则﹣x∈（﹣2，2），
且f（﹣x）+f（x）＝ln（x+2）﹣ln（﹣x+2）+ln（﹣x+2）﹣ln（x+2）＝0，
所以f（x）为奇函数；
（2）g（x）＝ln（﹣2x+2）﹣ln（2x+2）+ln（2x+2a），
有﹣2x+2＞0，2x+2＞0，2x+2a＞0，
因为函数g（x）有零点，
所以ln（﹣2x+2）﹣ln（2x+2）+ln（2x+2a）＝0 有根，
即
，
有
，
所以
，
令t＝﹣2x+2，0＜2x＜2，0＜2﹣2x＜2 得0＜t＜2，
所以
，
令
在区间（0，2）上单调递减．
所以
，
所以2a＞1 得a＞0，
综上，a 的取值范围是（0，+∞）．
24．已知函数
且a≠1）．
（1）若函数h（x）＝f（x）﹣x﹣a 有零点，求a 的取值范围；
（2）设函数g（x）＝ax（a＞0 且a≠1），在（1）的条件下，若∀x1∈[0，+∞），∃x2∈R，使得g（2x1）+mg
（x1）﹣f（2x2）+x2＞0，求实数m 的取值范围．
【解答】解：（1）若函数h（x）＝f（x）﹣x﹣a 有零点，
即
，即⽅程
有解，
令
，则函数y＝p（x）的图象与直线y＝a 有交点，
当0＜a＜1 时，
，故⽅程
⽆解，
当a＞1 时，
，
由⽅程
有解可知a＞0，所以a＞1，
综上，a 的取值范围是（1，+∞）；
（2）当x2∈R 时，
，
由（1）知
，当且仅当
，即x2＝0 时取等号，
所以f（2x2）﹣x2的最⼩值是loga2，
由题意，∀x1∈[0，+∞），∃x2∈R，使得g（2x1）+mg（x1）﹣f（2x2）+x2＞0 成⽴，
即
成⽴，
所以
对∀x1∈[0，+∞）恒成⽴，
设
，则
对n≥1 恒成⽴，
设函数
，
因为函数
和函数y＝﹣n 在[1，+∞）上都是减函数，
所以函数h（n）在[1，+∞）上是减函数，
所以h（n）≤h（1）＝loga2﹣1，所以m＞loga2﹣1，
即m 的取值范围是（loga2﹣1，+∞）．
25．设f（x）＝9x﹣3x+1﹣a．
（1）当a＝﹣2 时，求函数f（x）的零点；
（2）若函数f（x）有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝﹣2 时，f（x）＝9x﹣3x+1+2＝（3x）2﹣3•3x+2，
令（3x）2﹣3•3x+2＝0，解得3x＝1 或3x＝2，即x＝0 或x＝log32，
所以函数f（x）的零点是0 和log32．
（2）令t＝3x＞0，因为t＝3x 单调递增，
所以，要使函数f（x）有两个不同的零点，只需t2﹣3t﹣a＝0 有两个不相等的正根，
记t2﹣3t﹣a＝0 的两根为t1，t2，
则
，解得
，
即实数a 的取值范围为
．
26．已知函数
（a＞0 且a≠1）是奇函数，且f（1）＝2．
（1）求a，b 的值及f（x）的定义域；
（2）设函数g（x）＝kf（x）﹣2 有零点，求常数k 的取值范围．
【解答】解：（1）由f（1）＝2，可得
①，
⼜f（x）是奇函数，∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，
即
②，
联⽴①、②并注意到a＞0，解得a＝3，b＝﹣6，
所以
，要使函数有意义，则有3x﹣1≠0，解得：x≠0，
∴f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．
（2）∵a＝3，b＝﹣6，∴
，
∴g（x）有零点，即关于x 的⽅程
有实数解，
∴
有实数解，
∵
，3x+1＞1 且3x+1≠2，
∴
且
，
∴k 的取值范围是（﹣2，0）∪（0，2）．
27．已知函数f（x）＝1﹣
（a＞0 且a≠1）为定义在R 上的奇函数．
（1）利⽤单调性的定义证明函数f（x）在R 上单调递增；
（2）求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0 的解集．
（3）若函数g（x）＝kf（x）﹣1 有零点，求实数k 的取值范围．
【解答】（1）证明：因为函数f（x）＝1﹣
（a＞0 且a≠1）为定义在R 上的奇函数，
所以f（0）＝1﹣
＝0，解得a＝2，
所以f（x）＝1﹣
＝1﹣
，
设x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝（1﹣
）﹣（1﹣
）＝
，
因为x1＜x2，所以
＜
，
+1＞0，
+1＞0，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在R 上单调递增．
（2）解：由题意知，f（x）既是奇函数⼜是增函数，
所以f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0 等价于f（x2+2x）＞﹣f（x﹣4）＝f（4﹣x），
所以x2+2x＞4﹣x，解得x＜﹣4 或x＞1，
故原不等式的解集为{x|x＜﹣4 或x＞1}．
（3）解：函数g（x）＝kf（x）﹣1 有零点等价于函数y＝f（x）与y＝有交点，
因为f（x）在R 上单调递增，且2x＞0，
所以f（x）＝1﹣
∈（﹣1，1），
所以
∈（﹣1，1），即实数k 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
28．已知函数f（x）＝x2+bx+c，满⾜f（x）＝f（1﹣x），其⼀个零点为﹣1．
（1）当m≥0 时，解关于x 的不等式mf（x）≥2（x﹣m﹣1）；
（2）设h（x）＝3|f（x）+3x﹣1|，若对于任意的实数x1，x2∈[﹣2，2]，都有|h（x1）﹣h（x2）|≤M，求M 的最
⼩值．
【解答】解：（1）因为f（x）＝f（1﹣x），则x2+bx+c＝（1﹣x）2+b（1﹣x）+c，得b＝﹣1，
⼜其⼀个零点为﹣1，则f（﹣1）＝1+1+c＝0，得c＝﹣2，
则函数的解析式为f（x）＝x2﹣x﹣2，
则m（x2﹣x﹣2）≥2（x﹣m﹣1），即mx2﹣（m+2）x+2＝（mx﹣2）（x﹣1）≥0，
当m＝0 时，解得：x≤1，
当m＞0 时，①m＝2 时，解集为R，
②0＜m＜2 时，解得：x≤1 或
，
③m＞2 时，解得：
或x≥1，
综上：当m＝0 时，x∈（﹣∞，1]，
当m＞0 时，
①m＝2 时，解集为R，
②0＜m＜2 时，x∈（﹣∞，1]∪[
，+∞），
③m＞2 时，x∈（﹣∞，]∪[1，+∞），
（2）对于任意的x1，x2∈[﹣2，2]，都有|h（x1）﹣h（x2）|≤M，
即M≥h（x）max﹣h（x）min，
令t＝|x2+2x﹣3|＝|（x+1）2﹣4|，则h（t）＝3t，
因为x∈[﹣2，2]，则tmin＝0，tmax＝5，
可得
，
，
则h（x）max﹣h（x）min＝243﹣1＝242，
即M≥242，即M 的最⼩值为242．
29．已知函数
．
（1）⽤单调性的定义证明：f（x）在定义域上是减函数；
（2）证明：f（x）有零点；
（3）设f（x）的零点在区间
内，求正整数n．
【解答】（1）证明：因为f（x）的定义域为（0，+∞），
设x1，x2是（0，+∞）内的任意两个不相等的实数，且x1＜x2，
则
，
因为x2﹣x1＞0，x1x2＞0，所以
，
，
所以f（x1）＞f（x2），故f（x）在定义域（0，+∞）上是减函数．
（2）证明：因为
，
，
所以
，所以f（x）有零点．
（3）解：
，
，
所以
，
⼜f（x）在（0，+∞）上为减函数，
所以f（x）的零点在区间
内，故n＝10．
30．已知函数f（x）＝ax+ka﹣x（a＞0 且a≠1），f（x）为定义在R 上的奇函数，且
．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数
有零点，求t 的取值范围；
（3）若f（5×3x﹣3）+f（﹣9x﹣3）＜0，求实数x 的范围．
【解答】解：（1）f（x）是奇函数，则f（0）＝1+k＝0，k＝﹣1，
经检验f（x）＝ax﹣a﹣x 是奇函数，
则
，
解得a＝2（负值舍去），
所以
；
（2）由题意
有解，t＝2x﹣1，
因为2x＞0，所以t＝2x﹣1＞﹣1，
所以t 的取值范围是（﹣1，+∞）；
（3）x1＜x2时，
，
，
所以
，
是增函数，
⼜f（x）是奇函数，
不等式f（5×3x﹣3）+f（﹣9x﹣3）＜0 可转化为f（5×3x﹣3）＜f（9x+3），
所以5×3x﹣3＜9x+3，
即9x﹣5×3x+6＞0，
解集{x|x＞1 或x＜log32}．
31．已知函数f（x）＝loga（2x+1）﹣bx（a＞0 且a≠1，b∈R）．
（1）当a＝2 时，
①若f（1）＝f（﹣1），求b 的值；
②当b＝1 时，⽤定义证明函数f（x）是R 上的减函数；
（2）若f（x）为偶函数，且
+a＞3，求a 的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝2 时，f（x）＝log2（2x+1）﹣bx，
①若f（1）＝f（﹣1），则log23﹣b＝log2
+b，
则b＝；
②证明：b＝1 时，f（x）＝log2（2x+1）﹣x＝log2
＝log2（1+
），
任取x1＜x2，令t（x）＝1+
，
则t（x1）﹣t（x2）＝1+
﹣1﹣
＝
﹣
＝
＞0，
所以t（x1）＞t（x2），
所以f（x1）＞f（x2）；
（2）若f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），
即loga（2x+1）﹣bx＝loga（2﹣x+1）+bx，
所以loga
＝loga2x＝2bx，
所以xloga2＝2bx，
所以2b＝loga2，
则
＝
+a＝log2a+a＞3，
因为h（x）＝log2x+x 在（0，+∞）上单调递增且h（2）＝3，
故a＞2，
故a 的范围为{a|a＞2}．
32．已知f（x）＝logax（a＞0，a≠1）．
（1）若y＝f（x）过（4，2），求f（2x﹣2）＜f（x）的解集；
（2）存在x∈（0，+∞），使得f（x+1）+f（x+2）＝2f（ax），求a 的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）＝logax 的图像过点（4，2），则loga4＝2，
解可得a＝2，则f（x）＝log2x，其定义域为（0，+∞），
若f（2x﹣2）＜f（x），即log2（2x﹣2）＜log2x，则
，解可得1＜x＜2，
即不等式的解集为（1，2）；
（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝log2x，其定义域为（0，+∞），
⽅程f（x+1）+f（x+2）＝2f（ax），即log2（x+1）+log2（x+2）＝2log2（ax），
变形可得
，
则有（x+1）（x+2）＝a2x2，即
，
令
，x＞0，则有a2＝2t2+3t+1，
若存在实数x，使得f（x+1）+f（x+2）＝2f（ax），则⽅程a2＝2t2+3t+1 在t＞0 时有解，
⽽2t2+3t+1＞1，必有a2＞1，
⼜由a＞0 且a≠1，则有a＞1，
则a 的取值范围为（1，+∞）．
33．已知函数f（x）＝a•2x﹣2﹣x 是定义在R 上的奇函数．
（1）求a 的值，并证明：f（x）在R 上单调递增；
（2）求不等式f（3x2﹣5x）+f（x﹣4）＞0 的解集；
（3）若g（x）＝4x+4﹣x﹣2mf（x）在区间[﹣1，+∞）上的最⼩值为﹣2，求m 的值．
【解答】解：（1）因为f（x）是定义域为R 上的奇函数，
所以f（0）＝0，即a•20﹣2﹣0＝0，所以a﹣1＝0，解得a＝1，
所以f（x）＝2x﹣2﹣x，f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣f（x），
经检验，a＝1 符合题意；
所以函数的定义域为R，在R 上任取x1，x2，且x1﹣x2＜0，
，
所以函数在R 上单调递增，
（2）由（1）可知f（x）＝2x﹣2﹣x，且在R 上单调递增的奇函数，
由f（3x2﹣5x）+f（x﹣4）＞0，可得f（3x2﹣5x）＞f（4﹣x），
所以3x2﹣5x＞4﹣x，即3x2﹣4x﹣4＝（3x+2）（x﹣2）＞0，
解得x＞2 或
，
所以不等式的解集为{x|x＞2 或
；
（3）因为f（x）＝2x﹣2﹣x，g（x）＝4x+4﹣x﹣2mf（x），
所以g（x）＝22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）＝（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．
令t＝f（x）＝2x﹣2﹣x，因为x≥﹣1，所以
，
所以g（t）＝t2﹣2mt+2＝（t﹣m）2+2﹣m2，
当
时，当t＝m 时，
，则m＝2（m＝﹣2 舍去）；
当
时，当
时，
，解得
，符合要求，
综上可知m＝2 或
．
34．已知函数
，
，其中e 是⾃然对数的底数．
（1）求证：g（2x）＝[f（x）]2+[g（x）]2；
（2）求函数
的零点．
【
解
答
】
（
1
）
证
明
：
由
条
件
知
，
，
所以g（2x）＝[f（x）]2+[g（x）]2．
（2）解：因
，
令h（x）＝0，则
即4[g（x）]2﹣7g（x）﹣2＝0，
即[g（x）﹣2]•[4g（x）+1]＝0，解得g（x）＝2 或
，
⼜
，当且仅当ex＝e﹣x，即x＝0 时取等号，
所以g（x）＝2，于是
整理得e2x﹣4ex+1＝0，于是
或
，
解得
或
，
所以函数
的零点为
，
．
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