文档文本内容
2021 年普通高等学校招生全国统一考
试（全国乙卷）
数学（文）
一选择题
､
1.已知全集
，集合
，
，则
（ )
A.
B.
C.
D.
2.设
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
3.已知命题
；命题
，则下列命题中为真命题的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
根据正弦函数的值域
，
，故
，
为真命题，而函数
为偶
函数，且
时，
，故
，
恒成立.则
也为真命题，所以
为真，选A.
4.函数
的最小正周期和最大值分别是（ ）
A.
和
B.
和
C.
和
D.
和
答案：
C
解析：
，
.
故选C.
5.若
满足约束条件
则
的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
根据约束条件可得图像如下，
的最小值，即
，
轴截距最小值.根据
图像可知
过点
时满足题意，即
.
6.
（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
∴选D.
7.在区间
随机取个数，则取到的数小于
的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
在区间
随机取个数，可知总长度
，取到的数小于
，可知取到的长度范围
，根据几何概型公式
，∴选B.
8.下列函数中最小值为
的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
对于A，
.不符合，
对于B，
，令
，∴
，
根据对勾函数
不符合，
对于C，
，令
，
∴
，
当且仅当
时取等，符合，
对于D，
，令
，
.
根据对勾函数
，不符合.
9.设函数
，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
，
向右平移一个单位，向上平移一个单位得到
为奇函数.
所以选B.
10.在正方体
中，
为
的中点，则直线
与
所成的角为
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
做出图形，
，所以
为异面直线所成角，设棱长为.
，
，
，
.
，即
，故选D.
11.设
是椭圆
:
的上顶点，点
在
上，则
的最大值为
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
方法一：由
，
则
的参数方程：
.
.
∴
，故选A.
方法二：设
，则
①，
.
因此
②
将①式代入②式化简得：
，当且仅当
时
的最大值为
，故选A.
12.设
，若
为函数
的极大值点，则
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
当
时，原函数先增再减后增.
原函数在
的较小零点时取得极大值.
即
，即
，∴
.
当
时，原函数先减再增后减.
原函数在
的较大零点时取得极大值.
即
，
，
，故选D.
二、填空题
13.已知向量
，
，若
，则
.
答案：
解析：
由已知
可得
.
14.双曲线
的右焦点到直线
的距离为 .
答案：
解析：
的右焦点为
，到直线
的距离
.
15.记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，面积为
，
,
，则
.
答案：
解析：
由面积公式
，且
，解得
，
又由余弦定理
，
，且
解得
.
16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的
三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.
答案：
②⑤或③④
解析：
由高度可知，侧视图只能为②或③.
侧视图为②，如图（1），平面
平面
，
，
，
，
俯视图为⑤.
俯视图为③，如图（2），
平面
，
，
，
，俯视图为④.
17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用
一台旧设备和一台新设备各生产了
件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为
和
，样本方差分别记为
和
.
（1）求
，
，
，
；
（2 ）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果
，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不
认为有显著提高）.
答案：
见解析
解析：
；
.
.
（2）
.
∵则
，所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值
较旧设备有显著提高；
没有显著提高.
18.如图，四棱锥
的底面是矩形，
底面
，
为
的中点，且
.
（1）证明：平面
平面
﹔
（2）若
，求四棱锥
的体积.
答案：
见解析
解析：
19.设
是首项为的等比数列，数列
满足
.已知
，
，
，成等差数列.
（1）求
和
的通项公式；
（2）记
，和
分别为
和
的前
项和.证明：
.
答案：
见解析
解析：
设
的公比为
，则
，
因为
，
，
成等差数列，所以
，解得
，
故
，
.
又
，则
，
两边同乘
，则
，
两式相减，得
，
即
，
整理得
，
，
故
.
20.已知抛物线
：
的焦点
到准线的距离为
.
（1）求
的方程，
（2）已知
为坐标原点，点
在
上，点
满足
，求直线
斜率的最大值.
答案：
见解析
解析：
（1）由焦点到准线的距离为
，则
.
抛物线
的方程：
.
（2）设点
，
，
.
∵
.
∴
则
.
∴直线
斜率的最大值为
.
21.已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）求曲线
过坐标原点的切线与曲线
的公共点的坐标.
答案：
见解析
解析：
（1）
（i）当
，即
时，
恒成立，即
在
在
上单调递
增.
（ii）当
，即
时，
解得，
，
.
∴
在
，
单调递增，在
单
调递减，综上所述：当
时，
在
上单调递增；当
时，
在
单调递减.
（2）设可原点切线的切点为
，切线斜率
.又
，可得
.化简得
，即
.∴切点为
，斜率
，切线方程为
，将
，
联立可得
，化简得
，解得
，
.∴过原点的切线与
公共点坐标为
，
.
22.在直角坐标系
中，
的圆心为
，半径为.
（1）写出
的一个参数方程;
（2）过点
作
的两条切线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，求
这两条切线的极坐标方程.
答案：
见解析
解析：
（1）
的参数方程为
（
为参数）
（2）
的方程为
①当直线斜率不存在时，直线方程为
，此时圆心到直线距离为
，舍去；
②当直线斜率存在时，设直线方程为
，化简为
，
此时圆心
到直线的距离为
，
化简得
，
两边平方有
，所以
代入直线方程并化简得
或
化为极坐标方程为
或
.
23.已知函数
.
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）若
，求
的取值范围.
答案：
见解析
解析：
当
时，
，
当
时，不等式
，解得
；
当
时，不等式
，解得
；
当
时，不等式
，解得
.
综上，原不等式的解集为
.
（2）若
，即
，
因为
（当且仅当
时，
等号成立），所以
，所以
，即
或
，解得
.
