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2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）
专题35 综合与实践探究类问题
1. （2024黑龙江绥化）综合与实践
问题情境
在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象．
纸片 和 满足 ， ．
下面是创新小组的探究过程．
操作发现
（1）如图1，取 的中点 ，将两张纸片放置在同一平面内，使点 与点 重合．当旋转 纸片
交 边于点 、交 边于点 时，设 ， ，请你探究出 与 的函数关
系式，并写出解答过程．
问题解决
（2）如图2，在（1）的条件下连接 ，发现 的周长是一个定值．请你写出这个定值，并说明理
由．
拓展延伸
（3）如图3，当点 在 边上运动（不包括端点 、 ），且始终保持 ．请你直接写出
纸片的斜边 与 纸片的直角边所夹锐角的正切值______（结果保留根号）．
【答案】（1） ，见解析；（2）2，见解析；（3） 或
【解析】【分析】（1）根据题意证明 ，得出关系式 ，进而求得
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，代入比例式，即可求解；
（2）方法一：勾股定理求得 ，将将（1）中 代入得 ，进而根据三角形的周长公
式，即可求解；
方法二：证明 ， ，过 作 交 于点 ，作
交 于点 ，作 交 于点 ．证明 ，
，得出 ，得出 ，进而根据三角形的周长公
式可得 的周长 ．
方法三：过 作 交 于点 ，作 交 于点 ，在 上截取一点 ，使
，连接 ．得出 ， ，则 ，
同方法二求得 ，进而即可求解；
（3）分两种情况讨论， 于 的夹角；①过点 作 于点 ，作 的垂直平分线
交 于点 ，连接 ，在 中，设 ，由勾股定理得，
，进而根据正确的定义，即可求解；②过点 作 于点 ，作
的垂直平分线交 于点 ，连接 ，在 中，设 ，同①即可求解．．
【详解】操作发现
解：（1）∵ ，且 ．
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ，
∵ 是 的中点，点 与点 重合，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
问题解决
（2）方法一：
解： 的周长定值为2．
理由如下：∵ ， ， ，
∴ ， ，
在 中，∴
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．
将（1）中 代入得：
∴ ．
∵ ，又∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 的周长 ，
∴ 的周长 ．
方法二：
解： 的周长定值为2．
理由如下：∵ 和 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵O为AB的中点，
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∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
， ，
∴过 作 交 于点 ，作 交 于点 ，作 交 于点 ．
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
∵ 的周长 ．
又∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
点 是 的中点，同理点 是 的中点．
∴ ，
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∴ 的周长 ．
方法三：
解： 的周长定值为2．
理由如下：过 作 交 于点 ，作 交 于点 ，在 上截取一点 ，使
，连接 ．
∵ 是等腰直角三角形， 为 的中点，
∴ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ 的周长 ．
又∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∵ 是 的中点， 点 是 的中点，同理点 是 的中点．
∴ ，
∴ 的周长 ．
拓展延伸
（3） 或
①解：∵ ， ，
∴ ，
过点 作 于点 ，作 的垂直平分线交 于点 ，连接 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ，
在 中，设 ，
∴ ，由勾股定理得，
，
∴ ，
∴在 中， ．
②解：∵ ， ，
∴ ，
过点 作 于点 ，作 的垂直平分线交 于点 ，连接 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，设 ，
∴ ，由勾股定理得， ，
∴ ，
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∴在 中， ．
∴ 或 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，旋转的性质，
函数解析式，熟练掌握相似三角形的性质与判定，解直角三角形是解题的关键．
2. （2024福建省）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸 ，要求大家利用它制作
一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中 ），恰好得到纸盒的展开图，并
利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
图1 图2 图3
（1）直接写出 的值；
（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选
择的纸盒展开图图样是（ ）
图4
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A． B．
C． D．
（3）
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
规格（单位：cm）
单价（单位：元） 3 5 20
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整 ， 的比例，制作棱长为 的正方
体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸
的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情
况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，
不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将
综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上
的卡纸仅供作草稿用）
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【答案】（1）2； （2）C； （3）见解析．
【解析】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关
知识是解题的关键．
（1）由折叠和题意可知， ， ，四边形 是正方形，得到 ，
即 ，即可求解；
（2）根据几何体的展开图即可求解；
（3）由题意可得，每张型号 卡纸可制作10个正方体，每张型号 卡纸可制作2个正方体，每张型号
卡纸可制作1个正方体，即可求解．
【小问1详解】
解：如图：
上述图形折叠后变成：
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由折叠和题意可知， ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的值为： ．
【小问2详解】
解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上
的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，
∴C选项符合题意，
故选：C．
【小问3详解】
解：
卡纸型号 型号 型号 型号
需卡纸的数量（单位：张） 1 3 2
所用卡纸总费用（单位：元） 58
根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为 ，则要制作一个边长为 的正方体的展开图形为：
∴型号 卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图：
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型号 卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图：
型号 卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图：
∴可选择型号 卡纸2张，型号 卡纸3张，型号 卡纸1张，则
（个），
∴所用卡纸总费用为：
（元）．
3. （2024甘肃威武）【模型建立】
（1）如图1，已知 和 ， ， ， ， ．用等式写出线段
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， ， 的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形 中，点E，F分别在对角线 和边 上， ， ．用等
式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形 中，点E在对角线 上，点F在边 的延长线上， ，
．用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由．
【答案】（1） ，理由见详解，（2） ，理由见详解，（3）
，理由见详解
【解析】
【分析】（1）直接证明 ，即可证明；
（2）过E点作 于点M，过E点作 于点N，先证明 ，可得
， 结 合 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 可 得 ： ，
，即有 ， ，
进而可得 ，即可证；
（3）过 A 点作 于点 H，过 F 点作 ，交 的延长线于点 G，先证明
，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明．
【详解】（1） ，理由如下：
∵ ， ， ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2） ，理由如下：
过E点作 于点M，过E点作 于点N，如图，
∵四边形 是正方形， 是正方形的对角线，
∴ ， 平分 ， ，
∴ ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∵ ， ， ， ，
∴四边形 是正方形，
∴ 是正方形 对角线， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
即有 ；
（3） ，理由如下，
过A点作 于点H，过F点作 ，交 的延长线于点G，如图，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∵在正方形 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线
的性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间
的数量关系，是解答本题的关键．
4. （2024广西）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度
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达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为 ，每次拧干后校服上都残留 水．
浓度关系式： ．其中 、 分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂
洗所加清水量（单位： ）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务：
（1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为 ，需要多少清水？
（2）如果把 清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
（3）比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
【答案】（1）只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为 ，需要 清水．
（2）进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
（3）两次漂洗的方法值得推广学习
【解析】
【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键；
（1）把 ， 代入 ， 再解方程即可；
（2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案；
（3）根据（1）（2）的结果得出结论即可．
【小问1详解】
解：把 ， 代入
得 ，
解得 ．经检验符合题意；
∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为 ，需要 清水．
【小问2详解】
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解：第一次漂洗：
把 ， 代入 ，
∴ ，
第二次漂洗：
把 ， 代入 ，
∴ ，
而 ，
∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
【小问3详解】
解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，
∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习．
5.（ 2024贵州省）综合与探究：如图， ，点P在 的平分线上， 于点A．
（1）【操作判断】
如图①，过点P作 于点C，根据题意在图①中画出 ，图中 的度数为______度；
（2）【问题探究】
如图②，点M在线段 上，连接 ，过点P作 交射线 于点N，求证：
；
（3）【拓展延伸】
点M在射线 上，连接 ，过点P作 交射线 于点N，射线 与射线 相交于
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点F，若 ，求 的值．
【答案】（1）画图见解析，90 （2）见解析 （3） 或
【解析】【分析】（1）依题意画出图形即可，证明四边形 是矩形，即可求解；
（2）过P作 于C，证明矩形 是正方形，得出 ，利用 证明
，得出 ，然后利用线段的和差关系以及等量代换即可得证；
（3）分M在线段 ，线段 的延长线讨论，利用相似三角形的判定与性质求解即可；
【小问1详解】
解：如图， 即为所求，
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
故答案为：90；
【小问2详解】
证明：过P作 于C，
由（1）知：四边形 是矩形，
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∵点P在 的平分线上， ， ，
∴ ，
∴矩形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
；
【小问3详解】
解：①当M在线段 上时，如图，延长 、 相交于点G，
由（2）知 ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当M在 的延长线上时，如图，过P作 于C，并延长交 于G
由（2）知：四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
∵
∴ ， ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上， 的值为 或 ．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与
性质，相似三角形的判断与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形，合
理分类讨论是解题的关键．
6. （2024河北省）情境 图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．
该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．
（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）
操作 嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．
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如图3，嘉嘉沿虚线 ， 裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉
嘉的剪拼过程，解答问题：
（1）直接写出线段 的长；
（2）直接写出图3中所有与线段 相等的线段，并计算 的长．
探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．
请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的 边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），
画出裁剪线（线段 ）的位置，并直接写出 的长．
【答案】（1） ；（2） ， ； 的长为 或 ．
【解析】【分析】本题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根
式的混合运算，本题要求学生的操作能力要好，想象能力强，有一定的难度．
（1）如图，过 作 于 ，结合题意可得：四边形 为矩形，可得 ，由拼
接可得： ，可得 ， ， 为等腰直角三角形， 为等腰直角
三角形，设 ，则 ，再进一步解答即可；
（2）由 为等腰直角三角形， ；求解 ，再分别求解 ；可
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得答案，如图，以 为圆心， 为半径画弧交 于 ，交 于 ，则直线 为分割线，或以
圆心， 为半径画弧，交 于 ，交 于 ，则直线 为分割线，再进一步求解 的长即可．
【详解】解：如图，过 作 于 ，
结合题意可得：四边形 为矩形，
∴ ，
由拼接可得： ，
由正方形的性质可得： ，
∴ ， ， 为等腰直角三角形，
∴ 为等腰直角三角形，
设 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵正方形的边长为 ，
∴对角线的长 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
（2）∵ 为等腰直角三角形， ；
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
，
∴ ；
如图，以 为圆心， 为半径画弧交 于 ，交 于 ，则直线 为分割线，
此时 ， ，符合要求，
或以 圆心， 为半径画弧，交 于 ，交 于 ，则直线 为分割线，
此时 ， ，
∴ ，
综上： 的长为 或 ．
7. （2024河南省）综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”
进行研究
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
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（1）操作判断
用分别含有 和 角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的
有________（填序号）．
（2）性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．
如图2，四边形 是邻等对补四边形， ， 是它的一条对角线．
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若 ， ， ，求 的长（用含m，n， 的式子表示）．
（3）拓展应用
如图3，在 中， ， ， ，分别在边 ， 上取点M，N，使四边形
是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出 的长．
【答案】（1）②④ （2）① ．理由见解析；②
（3） 或
【解析】【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可；
（2）①延长 至点E，使 ，连接 ，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出
，证明 ，得出 ， ，根据等边对等角得出
，即可得出结论；
②过A作 于F，根据三线合一性质可求出 ，由①可得 ，在
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中，根据余弦的定义求解即可；
（3）分 ， ， ， 四种情况讨论即可．
【小问1详解】
解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图2和图4中存在对角互补且邻边相等，
故图②和图④中四边形是邻等对补四边形，
故答案为：②④；
【小问2详解】
解：① ，理由：
延长 至点E，使 ，连接 ，
∵四边形 是邻等对补四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
②过A作 于F，
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∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；
【小问3详解】
解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵四边形 是邻等对补四边形，
∴ ，
∴ ，
当 时，如图，连接 ，过N作 于H，
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∴ ，
在 中 ，
在 中 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
当 时，如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，故不符合题意，舍去；
当 时，连接 ，过N作 于H，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
当 时，如图，连接 ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，故不符合题意，舍去；
综上， 的长为 或 ．
【点睛】本题考查了相似三角形 的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角
三角形，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解
题的关键．
8.（ 2024黑龙江齐齐哈尔）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》
时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如
图2，在 中， ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，作 交
的延长线于点 ．
（1）【观察感知】如图2，通过观察，线段 与 的数量关系是______；
（2）【问题解决】如图3，连接 并延长交 的延长线于点 ，若 ， ，求 的面
积；
（3）【类比迁移】在(2)的条件下，连接 交 于点 ，则 ______；
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（4）【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线 上找点 ，使 ，请直接写出线段 的长度．
【答案】（1） （2）10 （3） （4） 或
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得 ， ，进而证明 ，
即可求解；
（2）根据（1）的方法证明 ，进而证明 ，求得 ，则
，然后根据三角形的面积公式，即可求解．
（3）过点 作 于点 ，证明 得出 ，证明 ，
设 ，则 ，代入比例式，得出 ，进而即可求解；
（4）当 在 点的左侧时，过点 作 于点 ，当 在 点的右侧时，过点 作 交
的延长线于点 ，分别解直角三角形，即可求解．
【小问1详解】
解：∵将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，作 交 的延长线于点 ．
，
，
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，
，
，
又 且
，
；
【小问2详解】
解： ，
，
，
，
，
又 且 ，
，
，
，
，
，
，
，
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，
，
；
【小问3详解】
解：如图所示，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴
∴ ，
即 ，即 ，
又∵
∴
∴ ，
设 ，则 ，
解得：
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∴ ；
【小问4详解】
解：如图所示，当 在 点的左侧时，过点 作 于点
∵
∴ ，设 ，则 ，
又∵ ，
∴ ，
∴
∴
∴
∴ ，
解得：
在 中，
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∴
∴
如图所示，当 在 点的右侧时，过点 作 交 的延长线于点 ，
∵
∴
∵
∴
设 ，则 ， ，
∵ ，
∴
解得：
∴
∴
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综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，旋转的性质，
熟练掌握以上知识是解题的关键．
9. （2024黑龙江绥化）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与直线相交于 ， 两点，其中点 ，
．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）过点 作 轴交抛物线于点 ，连接 ，在抛物线上是否存在点 使
．若存在，请求出满足条件的所有点 的坐标；若不存在，请说明理由．（提
示：依题意补全图形，并解答）
（3）将该抛物线向左平移 个单位长度得到 ，平移后的抛物线与原抛物线
相交于点 ，点 为原抛物线对称轴上的一点， 是平面直角坐标系内的一点，当以点 、 、 、
为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．
【答案】（1）
（2）存在，点 坐标为 ， ，补图见解析
（3） 、 、 、
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【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据平行线的性质可得 ，求得 ，进而分别求得 ， ，根
据 可得 ，设直线 交 轴于点 ，则 ，
．进而可得 ， 的解析式为 ， ，连接 交抛物线
于 ，连接 交抛物线于 ，进而联立抛物线与直线解析式，解方程，即可求解．
（3）①以 为对角线，如图作 的垂直平分线 交 于点 交直线 于 ，设 ，
根据两点距离公式可得 ，根据中点坐标公式可得 ，②以 为边，如图以 为圆心，
为半径画圆交直线 于点 ， ；连接 ， ，根据勾股定理求得 ，进而得出
， ，根据平移的性质得出 ， ，③以 为边，
如图以点 为圆心， 长为半径画圆交直线 于点 和 ，连接 ， ，则
，过点 作 于点 ，则 ，在 和
中，由勾股定理得 ，则 、 ，根据 ，可
得 ，过点 作 ，过 作 ， 和 相交于点 ，
的中点 ．根据中点坐标公式可得 ；
【小问1详解】
解：∵把点 ， 代入 得
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，
解得 ，
∴ ．
【小问2详解】
存在．
理由：∵ 轴且 ，
∴ ，
∴ （舍去）， ，
∴ ．
过点 作 于点 ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
设直线 交 轴于点 ，
， ，
∴ ， ．
连接 交抛物线于 ，连接 交抛物线于 ，
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∴ ， 的解析式为 ， ，
∴ ，解得 ，
或 ，解得 ．
∴把 ， 代入 得 ， ，
∴ ， ．
综上所述，满足条件的点 坐标为 ， ．
【小问3详解】
、 、 、 ．
方法一：
①以 为对角线，如图作 的垂直平分线 交 于点 交直线 于
∵ ， ，
∴ ．
设 ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
．
②以 为边
如图以 为圆心， 为半径画圆交直线 于点 ， ；连接 ， ，
过点 作 ，过点 作 ， 和 相交于点 ，同理可得
， ，
，
．
过点 作 直线 于点 ，则 ；
在 和 中，由勾股定理得，
，
， ．
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点 是由点 向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度得到的，
， ，
③以 为边
如图以点 为圆心， 长为半径画圆交直线 于点 和 ，
连接 ， ，则 ，
过点 作 于点 ，则 ，在 和 中，由勾股定理得，
，
、 ，
，
，
、 、 三点共线，
过点 作 ，过 作 ，
和 相交于点 ，
∵ 、 ，
的中点 ．
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，点 为 的中点，
．
综上所述： 、 、 、 ．
10. （2024吉林省）综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构
特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的
部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．
【背景调查】
图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫
眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确
定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．
【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为 ，凳面的宽度为
，记录如下：
.
以对称轴为基准向两边各取相同的长度 16.5 198 23.1 26.4 29.7
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凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5
【分析数据】
如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．
【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题：
（1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对
应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．
（2）当凳面宽度为 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？
【答案】（1）在同一条直线上，函数解析式为： （2）
【解析】【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟
练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）将 代入函数解析式，解方程即可．
【小问1详解】
解：设函数解析式为： ，
∵当 ， ，
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∴ ，
解得： ，
∴函数解析式为： ，
经检验其余点均在直线 上，
∴函数解析式为 ，这些点在同一条直线上；
【小问2详解】
解：把 代入 得：
，
解得： ，
∴当凳面宽度为 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为 ．
11. （2024江苏盐城）请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案
◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样
式．
背景
◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1
1
件，或“正”服装1件．
◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.
生 产
背景
每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：
①“风”服装：24元/件；
背景
②“正”服装：48元/件；
2
③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平
均每件获利将减少2元．
现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下：
服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元）
风 y 2 24
信息整理
雅 x 1
正 1 48
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任务
探寻变量关系 求x、y之间的数量关系．
1
探 究 任务
建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
任务 2
任务
拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案．
3
【答案】任务1： ；任务2： ；任务3：安排17名工人加工
“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润
【解析】【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题
关键．
任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有
人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为： ，然后将2种服装的获利求和即可
得出结果；
任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可．
【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，
安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，
∵
加工“正”服装的有 人，
∴
“正”服装总件数和“风”服装相等，
∵
，
∴
整理得： ；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为： ，
，
∴
整理得：
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∴
任务3：由任务2得 ，
当 时，获得最大利润，
∴
，
，
∴
开口向下，
∵
取 或 ，
∴
当 时， ，不符合题意；
当 时， ，符合题意；
，
∴
综上：安排17名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获
得最大利润．
12. （2024江苏盐城）发现问题
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？
分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以
看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k
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个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数， ， ），如图1所示．
小明设计了如下三种铲籽方案．
方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径
总长为________；
方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．
解决问题
在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．
【答案】分析问题：方案1： ； ； ；方案2： ；方案3：
；解决问题：方案3路径最短，理由见解析
【解析】【分析】分析问题：方案1：根据题意列出代数式即可求解；方案2：根据题意列出代数式即可求
解；方案3：根据图得出斜着铲每两个点之间的距离为 ，根据题意得一共有 列，
行，斜着铲相当于有n条线段长，同时有 个，即可得出总路径长；
解决问题：利用作差法比较三种方案即可．
题目主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，理解题意是解题关键．
【详解】解：方案1：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d，
∴每行铲的路径长为 ，
∵每列有k个籽，呈交错规律排列，
∴相当于有 行，
∴铲除全部籽的路径总长为 ，
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故答案为： ； ； ；
方案2：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d，
∴每列铲 的路径长为 ，
∵每行有n个籽，呈交错规律排列，，
∴相当于有 列，
∴铲除全部籽的路径总长为 ，
故答案为： ；
方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为 ，
根据题意得一共有 列， 行，
斜着铲相当于有n条线段长，同时有 个，
∴铲除全部籽的路径总长为： ；
解决问题
由上得： ，
∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长；
，
∵ ，
当 时，
，
，
∴方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗．
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13.（ 2024内蒙古赤峰）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，
在 中， ，点D是 上的一个动点，过点D作 于点E，延长 交 延
长线于点F．
请你解决下面各组提出的问题：
（1）求证： ；
（2）探究 与 的关系；
某小组探究发现，当 时， ；当 时， ．
请你继续探究：
①当 时，直接写出 的值；
②当 时，猜想 的值（用含m，n的式子表示），并证明；
（3）拓展应用：在图1中，过点F作 ，垂足为点P，连接 ，得到图2，当点D运动到使
时，若 ，直接写出 的值（用含m，n的式子表示）．
【答案】（1）见解析 （2）① ② ，证明见解析
（3）
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【解析】【分析】（1）等边对等角，得到 ，等角的余角的相等，结合对顶角相等，得到
，即可得出结论；
（2）①根据给定的信息，得到 是 的2倍，即可得出结果；
②猜想 ，作 于点 ，证明 ，得到 ，三线合一
得到 ，即可得出结论；
（3）过点 作 ，角平分线的性质，得到 ，推出 ，等角的余角相等，得到
，进而得到 ，得到 ，根据 ，即可
得出结果．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，且 ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：①当 时， ；当 时， ，
∴总结规律得： 是 的2倍，
∴当 时， ；
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②当 时，猜想 ，
证明：作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（1）知 ，又 ，
∴ ，即 ，
∴ ；
【小问3详解】
，理由如下：
过点 作 ，
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∵ ， ，
∴ ，
由（2）知，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
由（1）知 ，
∴ ．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角
形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和相似三角形，是解题的关键．
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