文档内容
专题 02 概率
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）事件的分类
（1）必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.
（2）不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.
（3）不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.
（二）概率的概念及其公式
（1）概率的概念及公式
①概率及公式：定义：表示一个事件发生的可能性大小的数．公式：P(A)＝ (m表示试验中事件A
出现的次数，n表示所有等可能出现的结果的次数)．
②用频率可以估计概率：在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数附近，那
么事件A发生的概率P(A)＝ .
③事件的类型及其概率
事件类型 概率
确定性事件（必然、不可能） 1或0
必然事件 1
不可能事件 0
随机事件（不确定事件） 0＜P＜1
（2）随机事件的概率计算：①列举法；②列表法；③树状图
模块三 考点一遍过
考点1：事件的分类典例1：诗词是中华文化的瑰宝，是中国文学的璀璨明珠，也是人类文明的共同财富．请指出所给
诗词描述的事件属于随机事件的是（ ）
A．锄禾日当午，汗滴禾下土 B．春眠不觉晓，处处闻啼鸟
C．白日依山尽，黄河入海流 D．离离原上草，一岁一枯荣
【答案】B
【知识点】事件的分类
【分析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．
必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，
不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性
大小判断相应事件的类型即可．
【详解】A. 锄禾日当午，汗滴禾下土，是必然事件，故选项不符合题意；
B. 春眠不觉晓，处处闻啼鸟是随机事件，故选项符合题意；
C. 白日依山尽，黄河入海流，是必然事件， 故选项不符合题意；
D. 离离原上草，一岁一枯荣，是必然事件， 故选项不符合题意；
故选：B．
【变式1】下列事件中、属于不可能事件的是（ ）
A．打开电视机、正在直接足球比赛 B．在只装有2个玻璃球球的袋中摸出一个球是黑球
C．掷一次骰子，向上的一面出现的点数大于7 D．当室外温度低于0℃时，一碗清水在室
外会结冰
【答案】C
【知识点】判断事件发生的可能性的大小、事件的分类
【分析】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，
一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．熟知这三类事件的区别是解题的关键．
根据这三类事件的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A．打开电视机，正在直播足球比赛是随机事件，故本选项不符合题意；
B．在只装有2个玻球的袋中摸出一个球是黑球是随机事件，故本选项不符合题意；
C．掷一次骰子，向上的一面出现的点数大于7是不可能事件，故本选项符合题意；
D．当室外温度低于0℃时，一碗清水在室外会结冰是必然事件，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式2】将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上．
①守株待兔；②水中捞月；③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；④任意画一个三角形，其内
角和为180°；⑤若|x|=3，则x=3；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数．(1)其中是必然事件的有______；
(2)其中是随机事件的有______；
(3)其中是确定事件的有______．
【答案】(1)④⑥
(2)①③⑤
(3)②④⑥
【知识点】事件的分类
【分析】本题考查确定事件和随机事件的概念．熟练应用确定事件和随机事件的概念进行判断是解
题的关键．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．
【详解】（1）解：是必然事件的有：④任意画一个三角形，其内角和为180°；⑥从1，3，5中任
选一个数，这个数是奇数；
故答案为：④⑥；
（2）解：是随机事件的有：①守株待兔；③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；⑤若|x|=3，
则x=3；
故答案为：①③⑤；
（3）解：是确定事件的有②水中捞月；④任意画一个三角形，其内角和为180°；⑥从1，3，5中
任选一个数，这个数是奇数；
故答案为：②④⑥．
【变式3】将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上．
①守株待兔；
②水中捞月；
③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；
④任意画一个三角形，其内角和为180°；
⑤若|x|=3，则x=3；
⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数．
（1）其中是必然事件的有______；
（2）其中是随机事件的有______；
（3）其中是确定事件的有______．
【答案】（1）④⑥；（2）①③⑤；（3）②④⑥
【知识点】事件的分类
【解析】略
考点2：可能性大小
典例2：下列事件中的百分率可能大于100%的是（ ）
A．油菜籽的出油率 B．某校学生的近视率C．某公司的销售额增长率 D．一批产品的合格率
【答案】C
【知识点】判断事件发生的可能性的大小
【分析】根据事件的意义解答即可．
本题考查了事件的可能性，熟练掌握意义是解题的关键．
【详解】解：A. 油菜籽的出油率最高是100%，不符合题意；
B. 某校学生的近视率最高是100%，不符合题意；
C. 某公司的销售额增长率可能高于100%，符合题意；
D. 一批产品的合格率最高是100%，不符合题意；
故选：C．
【变式1】从写有1~20的20张卡片中任意抽一张，抽到（ ）的可能性最大．
A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数
【答案】B
【知识点】判断事件发生的可能性的大小
【分析】根据质数，合数，奇数，偶数的意义计算判断即可．
【详解】根据题意，1~20中的奇数有1,3,5,7,9,11,13,15,17,19共有10个，偶数有
2,4,6,8,10,12,14,16,18,20共有10个，质数有3,5,7,11,13,17,19共有7个，合数有4,6,8,9,10,12,14，
15,16, 18,20共有11个，
故抽到合数的可能性最大，
故选B．
【点睛】本题考查了可能性，熟练掌握可能性的基本计算是解题的关键．
【变式2】一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意挪一次，黄色朝上的次数最多，
红色和绿色朝上的次数一样多，可能有 个面涂了黄色．
【答案】4
【知识点】判断事件发生的可能性的大小
【分析】本题考查可能性，可能性的大小与数量的多少有关，要黄色朝上的次数最多，所以涂黄色
面最多；红色和绿色朝上的次数一样多，所以涂红色和绿色的面一样多，据此解答即可．
【详解】解：一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意抛一次，黄色朝上的次数最
多，红色和绿色朝上的次数一样多．
如果每种颜色朝上的数量都一样多，则红、黄、绿各涂2个面，
但现在黄色朝上的次数最多，而红色和绿色朝上的次数要一样多，
因此只能是红色、绿色各1个面，黄色涂4个面．
故答案为：4．【变式3】用一副扑克牌中的10张设计一个翻牌游戏，要求同时满足以下三个条件；
（1）翻出“黑桃”和“梅花”的可能性相同；
（2）翻出“方块”的可能性比翻出“梅花”的可能性小；
（3）翻出黑颜色的牌的可能性比翻出红颜色牌的可能性小；
解：我设计的方案如下：
“红桃” 张，“黑桃” 张，“方块” 张，“梅花” 张
【答案】 5 2 1 2
【知识点】判断事件发生的可能性的大小
【分析】根据各种花色的扑克牌被翻到的可能性的大小，推断出各种花色的扑克牌的张数，再根据
总张数为10张，每一种都是整数，进而得出答案．
【详解】解：一共有10张扑克牌，
满足（1），说明“黑桃”和“梅花”的张数相同，
满足（2）说明“方块”的张数比“梅花”的少，
满足（3）说明黑颜色的牌（黑桃、梅花）的张数比红颜色牌（红桃、方块）的张数要少，
因此黑色的牌要少于5张，黑色的两种牌张数相同，
于是：①黑色的为4张，可以得到“黑桃”和“梅花”各2张，“方块”1张，剩下的为“红桃”5张．
∴“红桃”5张，“黑桃”2张，“方块”1张，“梅花”2张，
②黑色的为4张，可以得到“黑桃”和“梅花”各2张，“方块”0张，剩下的为“红桃”6张．
∴“红桃”6张，“黑桃”2张，“方块”0张，“梅花”2张，
③黑色的为2张，可以得到“黑桃”和“梅花”各1张，“方块”0张，剩下的为“红桃”8张．
∴“红桃”8张，“黑桃”1张，“方块”0张，“梅花”1张，
因此可能为：5，2，1，2或6，2，0，2或8，1，0，1（不唯一），
故答案为：5；2；1；2．
【点睛】本题考查等可能事件发生的概率，理解可能性的大小是正确解答的关键．
考点3：等可能事件
典例3：一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有（ ）
A．（男，女）（男，男）（女，女）
B．（男，女）（女，男）
C．（男，男）（男，女）（女，男）（女，女）
D．（男，男）（女，女）
【答案】C
【知识点】列举随机实验的所有可能结果
【分析】根据题意，列举出所有可能结果，注意“男、女”和“女、男”是两个基本事件，而不是
一个基本事件．【详解】一个家庭有两个小孩，给两个小孩编号为1号和2号，则所有可能的基本事件是：
（1）1号：男，2号：女；（2）1号：女，2号：男；（3）1号：男，2号：男；（4）1号：女，2
号：女；
即共有4个基本事件．
故选C．
【点睛】列举法求等可能试验结果，列举出所有可能是解题的关键．
【变式1】三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果
有（ ）
A．12种 B．6种 C．4种 D．3种
【答案】D
【知识点】列举随机实验的所有可能结果
【分析】本题考查了列举法求等可能结果，根据题意列举所有等可能结果，即可求解．
【详解】解：从中同时随机抽出两张，所有等可能结果为：1、2；1、3；2、3这3种结果，
故选：D．
【变式2】甲、乙、丙、丁4名同学参加中学生天文知识竞赛，成绩各不相同，根据成绩决出第1名
到第4名的名次．甲和乙去询问名次，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第1名．”对乙说：
“你不是第4名．”从这两个回答分析，4个人的名次排列可能有 种不同情况，其中甲是第4
名有 种可能情况．
【答案】 8 4
【知识点】列举随机实验的所有可能结果、逻辑推理与论证
【分析】本题考查了列举法求所有可能结果数，根据题意分析分别讨论，即可求解．
【详解】解：依题意，甲和乙不是第1名，乙不是第4名，有以下8种情况，
第1名 第2名 第3名 第4名
① 丙 乙 丁 甲
② 丙 丁 乙 甲
③ 丁 丙 乙 甲
④ 丁 乙 丙 甲
⑤ 丁 甲 乙 丙
⑥ 丁 乙 甲 丙
⑦ 丙 甲 乙 丁
⑧ 丙 乙 甲 丁其中①②③④四种情况是甲为第4名，
故答案为8，4．
【变式3】下列事件中,是等可能事件的是 .(填序号)
①抛掷一枚均匀的正方体骰子一次,朝上的点数是奇数与朝上的点数是偶数;
②袋子中装有红、黄两种颜色的球,一次抽到红球与黄球;
③随意掷一枚均匀的硬币一次,正面朝上与反面朝上;
④掷一枚图钉一次,钉尖着地与钉尖朝上.
【答案】①③
【知识点】等可能事件
【详解】解：①抛掷一枚均匀的正方体骰子一次，朝上的点数是奇数与朝上的点数是偶数是等可能
事件；
②袋子中装有红、黄两种颜色的球，一次抽到红球与黄球，因为不知道两种球的具体数量，所以不
能确定是否为等可能事件；
③随意掷一枚均匀的硬币一次，正面朝上与反面朝上是等可能事件；
④掷一枚图钉一次，钉尖着地与钉尖朝上不是等可能事件．
故答案为①③．
考点4：概率的理解
典例4：9月24日结束的2024年全国射击锦标赛男子50米步枪三姿决赛中，巴黎奥运会双冠王盛李
豪击败对手夺冠．某次训练过程中，通过大量重复的射击练习，统计出盛李豪射出10环以上的频率
为0.9．下列说法正确的是（ ）
A．盛李豪射击1次，不一定能射出10环以上
B．盛李豪射击1次，一定能射出10环以上
C．盛李豪射击10次，一定有9次射出10环以上
D．盛李豪射击9次，至少有1次射出10环以上
【答案】A
【知识点】概率的意义理解、由频率估计概率
【分析】本题考查频率与概率的概念．频率是指某个事件在多次重复试验中发生的次数与试验总次
数的比值，它可以近似地表示事件发生的概率，但不是绝对的．我们需要根据频率来判断每个选项
的正确性。
【详解】Ａ.盛李豪射击1次，不一定能射出10环以上，本选项正确，符合题意；
B.盛李豪射击1次，不一定能射出10环以上，本选项不正确，不符合题意；
C.盛李豪射击10次，不一定有9次射出10环以上，本选项不正确，不符合题意；
D.盛李豪射击9次，不能恰好有至少有1次射出10环以上，本选项不正确，不符合题意；故选择：A
【变式1】如图是某天气预报软件的显示屏，下列对降水信息的说法中正确的是（ ）
淮安市涟水县天气
22~33°C
日出453日落19:18
体感温度28°C
降水概率 85%
降水量1.0mm
空气质量 优
A．涟水县明天将有85%的时间下雨
B．涟水县明天将有85%的地区下雨
C．涟水县明天下雨的可能性较大
D．涟水县明天下雨的可能性较小
【答案】C
【知识点】概率的意义理解
【分析】本题考查用概率反映随机事件发生的可能性大小，根据概率反映随机事件出现的可能性大
小，即可进行解题．
【详解】解：淮安市涟水县降水的概率为85%，表示涟水县明天下雨的可能性较大，并不代表85%
的地区下雨或85%的时间下雨，
故选：C．
【变式2】一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都 ，事件
A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)= ．特别地，当A为必然事件时，
P(A)=1；当A为不可能事件时，P(A)=0．
m
【答案】 相等
n
【知识点】概率的意义理解
【分析】此题考查了概率的定义，根据概率的定义求解即可．
【详解】解：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件
m
A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)= ．
n
m
故答案为：相等， ．
n
1
【变式3】如果事件A发生的概率是 ，那么在相同条件下重复试验，下列说法正确的是 ．
100
(填符合条件的序号)①说明做100次这种试验，事件A必发生1次；
②说明做100次这种试验，事件A可能发生1次；
③说明做100次这种试验中，前99次事件A没发生，后1次事件A才发生；
1
④说明事件A发生的频率是 ．
100
【答案】②
【知识点】概率的意义理解
【分析】直接利用概率的意义分别分析得出答案．
【详解】解：①说明做100次这种试验，事件A必发生1次，事件A不一定发生，故错误；
②说明做100次这种试验，事件A可能发生1次，正确；
③说明做100次这种试验中，前99次事件A没发生，后1次事件A发生，事件A不一定发生，故错误；
1
④说明事件A发生的频率是 ，频率不等于概率，故此选项错误．
100
故答案为：②．
【点睛】本题考查了概率的意义，正确理解概率求法是解题关键．
考点5：列举法求概率
典例5：在如图所示的电路图中，随机闭合开关S ，S ，S 中的两个，请用列表法或画树状图法求出
1 2 3
能让灯泡L 发光的概率．
1
1
【答案】能让灯泡L 发光的概率为 ．
1 3
【知识点】根据概率公式计算概率、列举法求概率
【分析】本题主要考查列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法表示随机
事件等可能结果是解题的关键．
根据题意，把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式的计算方法即可求解．
【详解】解：随机闭合开关S ，S ，S 中的两个的情况有，(S ,S ),(S ,S ),(S ,S )，共3种情况，
1 2 3 1 2 1 3 2 3
其中能让灯泡L 发光的是(S ,S )，
1 1 2
1
∴能让灯泡L 发光的概率为 ．
1 3【变式1】某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，
B，C，D，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随
机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事．
(1)请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果；
(2)求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．
【答案】(1)所有可能出现的结果共6种：AB，AC，AD，BC，BD，CD
1
(2)小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率是
2
【知识点】列举法求概率
【分析】本题主要考查了列举法求概率，解题的关键是写出所有可能出现的结果．
（1）按照先抽到A、再抽到其他的，先抽到B、再抽到C或D，然后抽到C，再抽到D，写出所有
可能的结果即可；
（2）根据概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：所有可能出现的结果共6种：AB，AC，AD，BC，BD，CD．
（2）解：记抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案为事件M，M包含的结果有3种，即
AC，BC，CD，且6种可能的结果出现的可能性相等，
3 1
∴P(M)= = ．
6 2
【变式2】不透明的箱子里有三个球，分别标有数字1，2，3，各球除所标的数外其他均相同．从箱
子里任意摸出两个球，并记下数．
(1)用适当的方法列举出所有的可能结果；
(2)求两个数的积是偶数的概率．
【答案】(1)见解析
2
(2)
3
【知识点】列举法求概率
【分析】（1）运用列举法列出所有情况即可；
（2）找到两个数的积是偶数的情况数，利用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：从三个球中摸出两个球，
则可能的结果为(1,2)，(1,3)，(2,3)；（2）由（1）得：三种情况中两个数的积分别为2，3，6，偶数有2个，
2
∴两个数的积是偶数的概率为 ．
3
【点睛】本题考查了概率的求法，列举法，解题的关键是能不重不漏的列举出所有情况．
【变式3】为了建设书香校园，更好地满足学生的阅读需求，某校决定新增四类书籍（科普类、文
学类、艺术类、工具类），并计划根据学生的需求情况进行采购．为此，学校随机抽取了部分学生
进行调查（每名学生必选且只选一类图书），并将调查结果进行统计分析，绘制成如下不完整的统
计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)选文学类图书的学生有_______人，α=_________
(2)若该校共有学生1800人，请估计该校学生中需要工具类图书的人数；
(3)某班计划从报名的甲、乙、丙三名学生中随机选择两名学生作为班级图书管理员，请用列表或画
树状图的方法，求同时选中乙和丙的概率．
【答案】(1)70，108
(2)估计该校学生中需要工具类图书的人数约180人
1
(3)
6
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状
图法求概率
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法与树状图法，读懂统计图，从
不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）用科普类的人数除以对应百分比可得总人数，再求出选文学类图书的人数，用360乘“艺术
类”所占百分比可得对应的圆心角度数；
（2）用该校共有学生人数1800乘以工具类图书所占百分比即可；
（3）根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求得相应的概率．
【详解】（1）调查的学生总人数为50÷25%=200（人），∴选文学类图书的学生有200−(50+60+20)=70（人）．
60
α=360°× =108°．
200
故答案为：70，108；
20
（2）解：1800× =180（人），
200
∴估计该校学生中需要工具类图书的人数约180人．
（3）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
（甲，
甲 （甲，丙） （甲，丁）
乙）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
（丙，
丙 （丙，甲） （丙，丁）
乙）
（丁，
丁 （丁，甲） （丁，丙）
乙）
共有12种等可能的结果，其中同时选中乙和丙的结果有：（乙，丙），（丙，乙），共2种，
2 1
∴同时选中乙和丙的概率为P= = ．
12 6
考点6：列表法、树状图法求概率
典例6：某校为了解学生对“A：古诗词，B：国画，C：武术，D：书法”等中国传统文化项目的最
喜爱情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查（每人限选一项），并将调查结果绘制成
如下不完整的统计图（如图），根据图中的信息解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共调查了 名学生；扇形统计图中，项目D对应扇形的圆心角为 度；
(2)若该校共有学生2000人，请根据上述调查结果估计该校学生中最喜爱“A：古诗词”的有多少人；
(3)若该校在A，B，C，D四项中任选两项成立课外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选
中项目A和D的概率．【答案】(1)200，90
(2)800人
1
(3)
6
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的圆心角、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查的是折线统计图和扇形统计图的综合运用，用列表法或画树状图法求概率；列表
法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比，能
对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式是解题的关键．
（1）根据折线统计图中C的人数和扇形统计图中C所占的百分比，求出总数；
（2）用总人数乘以喜爱项目A的占比即可；
（3）用树状图列出所有等可能情况，再根据题意求得概率．
【详解】（1）解：调查的学生数为30÷15%=200人，
50
项目D对应扇形的圆心角为360× =90°，
200
故答案为：200，90；
( 50 )
（2）解：2000× 1−20%−15%− =800(人)，
200
∴该校学生中最喜爱“A：古诗词”的有800人；
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中恰好选中项目A和D的结果有2种.
2 1
∴恰好选中项目A和D的概率为 = ．
12 6
【变式1】2024年4月23日是世界读书日，为贯彻落实好《全国青少年学生读书行动1实施方案》，
打造“人人爱读书，人人好读书”的书香校园，实验学校开展以“书香校园—我最喜欢的书籍”为
主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺
术类，E：其他类）．学校数学兴趣小组对部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，数学兴趣
小组绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．根据以上信息，解答下列问题：
(1)学校此次被调查的学生总人数为______名，并根据题意补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，C“科技类”所对应的圆心角度数是______度；
(3)学校数学兴趣小组中，甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书
籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
【答案】(1)100，见解析
(2)144
2
(3)
9
【知识点】求扇形统计图的圆心角、由扇形统计图求总量、条形统计图和扇形统计图信息关联、列
表法或树状图法求概率
【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图、画树状图或列表法求概率、概率公式．
（1）利用选择A类的学生人数除以其所占的百分比求得样本总量，再利用总人数减去其他类的学生
人数求得D类的学生人数，再补全条形统计图即可；
（2）利用C类的学生人数除以样本的总人数求得其所占的百分比，再乘以360°即可求解；
（3）画树状图可得共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍有2种等可能的结
果，再利用概率公式求解即可．
10
【详解】（1）解：被调查学生总人数： =100（名），
10%
D的人数=100−10−20−40−5=25（名），
补全条形统计图如下：故答案为：100；
40
（2）解：C“科技类”所对应的圆心角度数是360°× =144°，
100
故答案为：144；
（3）解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，
2
∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为 ．
9
【变式2】为了建设书香校园，更好地满足学生的阅读需求，某校决定新增四类书籍（科普类、文
学类、艺术类、工具类），并计划根据学生的需求情况进行采购．为此，学校随机抽取了部分学生
进行调查（每名学生必选且只选一类图书），并将调查结果进行统计分析，绘制成如下不完整的统
计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)选文学类图书的学生有_____人，α= _____°；
(2)若该校共有学生1800人，请估计该校学生中需要工具类图书的人数；
(3)某班计划从报名的甲、乙、丙、丁四名学生中随机选择两名学生作为班级图书管理员，请用列表
或画树状图的方法，求同时选中乙和丙的概率．
【答案】(1)70，108；
(2)估计该校学生中需要工具类图书的人数约180人；
1
(3) ．
6
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法与树状图法，读懂统计图，从
不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）用科普类的人数除以对应百分比可得总人数，再求出选文学类图书的人数，用360乘“艺术
类”所占百分比可得对应的圆心角度数；
（2）用该校共有学生人数1800乘以工具类图书所占百分比即可；
（3）根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求得相应的概率．
【详解】（1）调查的学生总人数为50÷25%=200（人），
∴选文学类图书的学生有200−(50+60+20)=70（人）．
60
α=360°× =108°．
200
故答案为：70，108；
20
（2）1800× =180（人），
200
∴估计该校学生中需要工具类图书的人数约180人．
（3）列表如下：
甲 乙 丙 丁
（甲，
甲 （甲，丙） （甲，丁）
乙）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
（丙，
丙 （丙，甲） （丙，丁）
乙）
（丁，
丁 （丁，甲） （丁，丙）
乙）
共有12种等可能的结果，其中同时选中乙和丙的结果有：（乙，丙），（丙，乙），共2种，
2 1
∴同时选中乙和丙的概率为P= = ．
12 6
【变式3】在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字3，−5，7的小球，它们的形状、大小、
质地完全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌
均匀后再随机取出1个小球，再记下小球上的数字．
(1)用列表法或树状图法中的一种方法，写出所有可能出现的结果；
(2)求两次取出的小球上数字的和是正数的概率；
(3)在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字3，−5，m的小球，它们的形状、大小、质地完
全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后1
再随机取出1个小球，再记下小球上的数字．若两次取出的小球上数字的和是正数概率大于 ，直
2
接写出m的取值范围．
【答案】(1)(3,3),(3,−5),(3,7),(−5,3)(−5,−5),(−5,7),(7,3),(7,−5),(7,7)；
2
(2) ；
3
(3)m>5．
【知识点】求一元一次不等式的解集、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查列表法或树状图法求概率，熟练掌握树状图法求概率的方法步骤是解答的关键．
（1）画树状图可得所有出现的结果；
（2）找出符合题意的可能数，进而利用概率公式求解即可．
（3）根据题意，列出所有的可能情况，找出符合题意的可能数，进而m的取值范围．
【详解】（1）解：根据题意画树状图如下：
所有可能出现的结果有(3,3),(3,−5),(3,7),(−5,3)(−5,−5),(−5,7),(7,3),(7,−5),(7,7)共有9种；
（2）解：共有9种情况，两次取出的小球上数字的和是正数有6种情况，
6 2
两次取出小球上的数字相同的概率为 = ．
9 3
（3）根据题意，列出所有的可能情况
1．(3,3)和为6；
2．(3,−5)和为−2；
3．(3,m)和为3+m；
4．(−5,3)和为−2；
5．(−5,−5)和为−10；
6．(−5,m)和为m−5；
7．(m,3)和为m+3；
8．(m,−5)和为m−5；
9．(m,m)和为2m．
总共有9种可能的组合．
1
两次取出的小球上数字的和是正数概率大于 ，我们需要至少有5种组合的和为正数．
2
则需要满足以下条件：¿
解得：m>5．
故答案为：m>5
考点7：用频率估计概率
典例7：一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，
记录下颜色，然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下：
实验次数n 200 300 400 500 600 700 800 1000
摸到红球次数m 151 221 289 358 429 497 571 702
摸到红球频率
m 0.75 0.74 0.72 0.72 0.72 0.71 a b
n
(1)表格中a=__________，b=__________．（精确到0.01）
(2)估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为__________；（精确到0.1）
(3)如果袋子中有28个红球，4个白球，若干黄球，估计袋子中黄球的个数和摸到黄球的概率？
【答案】(1)0.71；0.70
(2)0.7
1
(3)黄球有8个，
5
【知识点】根据概率公式计算概率、求某事件的频率、由频率估计概率
【分析】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概
率等于所求情况数与总情况数之比．也考查了概率的计算．
（1）用摸到红球的次数除以试验次数即可求出摸到红球的频率；
（2）找到多次试验频率逐渐稳定到的常数即可求得概率；
（3）根据题意列出方程求求出黄球的个数，再根据概率公式求概率即可．
【详解】（1）解：a=571÷800≈0.71；
b=702÷1000≈0.70；
故答案为：0.71；0.70；
（2）解：观察发现随着实验次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定在常数0.7附近，
所以计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为0.7，
故答案为：0.7；
（3）解：设袋子中有黄球x个，
根据题意得，
0.7(x+28+4)=28，
解得x=8，∴黄球有8个，
8 1
∴摸到黄球的概率为 = ．
8+28+4 5
【变式1】如图，两个转盘A，B都被分成了3个全等的扇形，在每一个扇形内均标有不同的自然数，
固定指针，同时转动转盘A，B两个转盘停止后观察两个指针所指扇形内的数字（若指针停在扇形
的边线上，当作指向上边的扇形）
转盘总次数 10 20 30 50 100 150 180 240 330 450
“和为7”出现的频
2 7 10 16 30 46 59 81 110 150
数
“和为7”出现的频
0.20 0.35 0.33 0.32 0.30 0.31 0.33 0.34 0.33 0.33
率
(1)用列表法（或树形图）表示两个转盘停止转动后指针所指扇形内的数字的所有可能结果；
(2)小明每转动一次就记录数据，并算出两数之和，其中“和为7”的频数及频率如表：如果实验继
续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为7”
的概率；
(3)根据（2），若010．
∴应该选择方案一．
【变式2】有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和
数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张．
(1)用列表法或者画树状图法表示所有取牌的可能性；
(2)现在甲、乙两人做游戏，目前有三种游戏方案．
A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜；
B方案：若两次抽得数字之和为奇数则甲胜，否则乙胜；
C方案：再拿一张红桃3，改变题目中的规则，现在一次性抽取两张牌，若这两张牌的数字分别是3
和4，则甲胜，否则乙胜．
请问甲选择哪种方案获胜概率更高？乙选择哪种方案获胜概率更高？
【答案】(1)见解析
(2)甲选择A方案获胜概率更高；乙选择C方案获胜概率更高
【知识点】游戏的公平性、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查用列表法或者画树状图法求概率，游戏公平性；
（1）列表找出所有的可能性及符合条件的数量，再求概率即可；
（2）分别求出三种方案甲乙的获胜概率，再判断即可．
【详解】（1）列表如下：红桃3 红桃4 黑桃5
红桃3 红桃3，红桃3 红桃4，红桃3 黑桃5，红桃3
红桃4 红桃3，红桃4 红桃4，红桃4 黑桃5，红桃4
黑桃5 红桃3，黑桃5 红桃4，黑桃5 黑桃5，黑桃5
（2）由（1）可得：
5 4
A方案：甲获胜概率为 ，乙获胜概率为 ，
9 9
4 5
B方案：甲获胜概率为 ，乙获胜概率为 ，
9 9
C方案画树状图如下（C方案不再看花色，因此列表时不再列举花色）：
4 1 8 2
C = =
12 3 12 3
方案：甲获胜概率为 ，乙获胜概率为 ，
故甲选择A方案获胜概率更高；乙选择C方案获胜概率更高．
【变式3】渠县教育局在实施“教学联盟”对口帮扶活动中，准备为渠县乡镇部分农村学校的小学
生捐赠一批课外读物，为了解学生课外阅读的喜好情况，现对渠县农村学校中随机抽取部分小学生
进行问卷调查，调查要求每人只选取一种喜欢的书籍，如果没有喜欢的书籍，则作“其他” 类统计，
图（1）与图（2）是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图．
(1)本次调查抽取的人数是____人；在扇形统计图中，“漫画”所在扇形的圆心角为 度．
(2)若该市农村小学共有 25000 名学生，则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的小学生约有
____人．
(3)现在有一种漫画书，发到最后只剩一本，但小丽和小芳都想要，于是她们玩一种游戏， 规则是：
现有 4 张卡片上分别写有 1，2，3，4四个整数，先让小丽随机地抽取一张后放回，再由小芳随机地抽取一张．若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则小丽得到这本书，若抽取的两张卡片上
的数字之和是3的倍数则小芳得到这本书，用列表法或树状图分析这种方法对二人是否公平？
【答案】(1)72
(2)7500
(3)这种方法不公平，理由见解析
【知识点】游戏的公平性、列表法或树状图法求概率、条形统计图和扇形统计图信息关联、由样本
所占百分比估计总体的数量
【分析】（1）用“其他”种类人数除以“其他”种类人数所占百分比即可求出本次调查抽取的人数；
用“漫画”种类人数除以本次调查抽取的人数乘360°即可求出“漫画”所在扇形的圆心角度数；
（2）用25000乘“科普常识”所占的百分比，即可求出该市农村25000名学生中喜爱“科普常识”
的小学生人数；
（3）列表得出所有可能的情况数，找到符合抽得的数字之和是5的倍数的情况数，是3的倍数的情
况数，再分别除以总情况数，即可求出数字之和是5的倍数的概率，数字之和是3的倍数的概率，
进而比较求解即可．
【详解】（1）解：30÷10%=300（人）
“漫画”所在扇形的圆心角为60÷300×360°=72°；
（2）解：估计喜爱“科普常识”的小学生约有25000×30%=7500（人）；
（3）解：列表如下：
两数之
1 2 3 4
和
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
∴共有16种等可能的结果，其中抽得的数字之和是5的倍数的有4种，是3的倍数的有5种，
4 1 5
∴则书给小丽的概率是 = ，给小芳的概率是
16 4 16
1 5
∵ <
4 16
答：这种方法不公平．
【点睛】本题考查了结合扇形统计图和条形统计图获取相关信息，包括利用样本百分比估计总体数
量，根据树状图或列表法计算概率等知识点，理解题意，综合运用这些知识点是解题的关键．
考点9：概率与统计的综合典例9：为了了解中学生现阶段对国家时事热点的关注情况，以提高当代中学生的公民素质和社会
责任感．某校做了一次学生对时事热点的关注程度的抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．很深
入的了解，如果有后续报道会持续关注；B．比较了解，掌握当下的情况；C．基本了解，当时看过
之后就忘记了；D．不了解，没有兴趣．
根据调查统计的结果，绘制了不完整的三种统计图表．
对时事热点关注程度的统计表：
对时事热点关注程度 百分比
A．很深入的了解 15%
B．比较了解 m
C．基本了解 35%
D．不了解 n
请结合统计图表，回答下列问题：
(1)本次参与调查的学生共有_____人，m=_____，n=_____；
(2)图2所示的扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是______度；
(3)请补全图1所示的条形统计图；
(4)根据调查结果，学校准备开展一次关于时事热点的知识竞赛，某班要从“很深入的了解”态度中
的小明和小丽中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则：把四个完全相同的乒乓球上分
别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋子中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一个
人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字之积小于5，则小丽去；否则小
明去．这个游戏规则是否公平？如果公平，请说明理由；如果不公平，谁选中的可能性大？
【答案】(1)400，25%,25%
(2)90
(3)见解析(4)游戏公平，见解析
【知识点】求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率、
游戏的公平性
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图、统计表，求扇形统计图中扇形的圆心角，判断游戏
的公平性，树状图法或列表法求概率等知识．
（1）根据A的占比及人数，可求得抽取的总人数；根据B的人数及抽取的总人数，可求得m；由总
人数减去A、B、C的人数，可求得D的人数，从而可求得n；
（2）D部分的占比与圆周角的积即可求出；
（3）根据（1）中求得D的人数，即可补充条形统计图；
（4）画出树状图，计算出小明去与小丽去的概率，进行比较即可．
【详解】（1）解：抽取的总人数为：60÷15%=400（人）；
100
m= ×100%=25%；
400
100
400−60−100−140=100（人），n= ×100%=25%；
400
故答案为：400，25%,25%；
（2）解：360°×25%=90°；
故答案为：90；
（3）解：补全的条形统计图如下：
（4）解：游戏公平，理由如下：
画出树状图如下：6 1 6 1
小丽去的概率为： = ，小明去的概率为： = ，
12 2 12 2
由于两人去的概率相等，则游戏公平．
【变式1】为了加强学生的垃圾分类意识，某校进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次
宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；
B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表：
垃圾分类知识测试成绩统计表
百分
测试等级 人数
比
A．优秀 5% 20
B．良好 60
C．及格 45% m
D．不及格 n
请结合统计表，回答下列问题：
(1)求m、n的值；
(2)如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为5600人，请
根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数；
(3)为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每
班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏
来确定人选，具体规则：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明
的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，
否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
【答案】(1)m=180，n=35%
(2)1120
(3)这个游戏规则不公平，理由见解析【知识点】游戏的公平性、列表法或树状图法求概率、由样本所占百分比估计总体的数量、统计表
【分析】（1）由优秀的人数除以所占比例得出本次参与调查的学生人数，进而求出m和n的值；
（2）由总人数乘以良好和优秀所占比例即可；
（3）先画树状图展示所有12种等可能的结果，找出和为奇数的结果有8种，再计算出小明参加和
小亮参加的概率，比较两概率的大小可判断这个游戏规则是否公平．
【详解】（1）本次参与调查的学生人数为：20÷5%=400(人)，
m=400×45%=180，
∵400−20−60−180=140，
∴n=140÷400×100%=35%；
20+60
（2）5600× =1120(人)，
400
即估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数为1120人；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种，
8 2
∴P(小明参加)= = ，
12 3
2 1
P(小亮参加)=1− = ，
3 3
2 1
∵ ≠ ，
3 3
∴这个游戏规则不公平．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法、游戏的公平性、统计表、样本估计总体以及概率公式等知
识；画出树状图是解题的关键．
【变式2】某著名景区计划在西峰修建安装至多4条索道接送游客，过去10年景区游客统计资料显
示，景区每年游客客流量X都在160万人以上．过去10年的游客客流量的统计情况绘制成如下频数
分布直方图（数据包括左端点，不含右端点，假设每年游客客流量不相互影响）．以过去10年的游客客流量的统计情况为参考依据．
(1)求该景区今年游客客流量不低于240万人的概率；
(2)若该景区希望安装的索道尽可能运行，但每年索道最多可运行条数受游客客流量X的限制，并有
如下表关系：
年游客客流量（单位：万
160≤X<200 200≤x<240 240≤X<280 280≤x<320
人）
索道最多可运行条数 1 2 3 4
若某条索道运行，则该条索道年利润为6000万元；若某条索道未运行，则该条索道年亏损2000万
元，从平均获利的角度看，帮景区作出决策，应选择安装2条还是3条索道获利较多？请说明理由．
1
【答案】(1)
5
(2)选择2条索道，理由见解析
【知识点】概率的其他应用、由条形统计图推断结论
【分析】（1）以过去10年游客流量不低于240万的比率作为今年的概率；
（2）计算出不同游客流量出现的概率，再分别计算两种方案下各种游客流量概率下的平均获利进行
比较．
【详解】（1）该景区地过去10年游客客流量不低于240万人的年数为1+1=2（年），
2 1
占总年数的比率为 = ，
10 5
1
因此该景区今年游客客流量不低于240万人的概率为 ；
5
（2）根据题意，
2 1
年游客客流量在160≤X<200的概率为 = ，此时可维持1条索道支行；
10 56 3
年游客客流量在200≤x<240的概率为 = ，此时可维持2条索道支行；
10 5
1
年游客客流量在240≤X<280的概率为 ，此时可维持3条索道支行；
10
1
年游客客流量在280≤x<320的概率为 ，此时可维持4条索道支行；
10
若安装2条索道，
1 (3 1 1 )
则平均获利为(6000−2000)× +6000×2× + + =10400（万元），
5 5 10 10
若安装3条索道，
1 3 ( 1 1 )
则平均获利为(6000−2000×2)× +(6000×2−2000)× +6000×3× + =10000（万
5 5 10 10
元），
∵10400>10000，
∴选择安装2条索道获利较多．
【点睛】本题考查概率的应用，熟练掌握概率相关知识灵活运用是解题关键．
【变式3】近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的
大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一
次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．
根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．
对雾霾天气了解程度的统计表
对雾霾天气了解程度 百分比
A．非常了解 5%
B．比较了解 15%C．基本了解 45%
D．不了解 n
请结合统计图表，回答下列问题：
（1）本次参与调查的学生共有________，n=________；
（2）扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是________度；
（3）请补全条形统计图；
（4）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚
中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字
1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从
剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去．请
用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
【答案】（1）400，35%；（2）126；（3）详见解析；（4）这个游戏规则不公平，理由见解析．
【知识点】统计表、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率、游戏的公平性
【分析】（1）用C等级的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用1减去其它等级的百
分比可得n的值；
（2）用360°乘以D等级所占的百分比可得扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角；
（3）先计算出D等级的人数，然后补全条形统计图；
（4）先画出树状图得到所有等可能的结果，找出和为奇数的结果，再计算出小明去和小刚去的概率，
然后比较两概率的大小即可判断这个游戏规则是否公平．
【详解】解：（1）180÷45%=400，所以本次参与调查的学生共有400人，
n=1−5%−15%−45%=35%；
故答案为400，35%；
（2）扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角=360°×35%=126°，
故答案为126；
（3）D等级的人数为400×35%=140（人），补全条形统计图如下：（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种，
8 2 2 1
∴P（小明去）= = ，P（小刚去）=1− = ，
12 3 3 3
2 1
∵ ≠ ，∴这个游戏规则不公平．
3 3
【点睛】本题考查了扇形统计图、条形统计图和统计表的相关知识以及画树状图或列表法求两次事
件的概率，熟练掌握统计图的相关知识和画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键．
