2024 年高考数学真题(天津卷)
一、单选题
1．集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B 等于( )
A．{1,2,3,4}
B．{2,3,4}
C．{2,4}
D．{1}
答案 B
解析 因为集合A＝{1,2,3,4}，
B＝{2,3,4,5}，
所以A∩B＝{2,3,4}．
2．设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 由函数y＝x3为增函数可知，
若a3＝b3，则a＝b；
由函数y＝3x为增函数可知，
若3a＝3b，则a＝b.
故“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件．
3．下列图中，线性相关系数最大的是( )
答案 A
解析 观察4 幅图可知，A 图散点分布比较集中，且大体在一条直线附近，线性回归模型拟
合效果比较好，呈现明显的正相关，线性相关系数相比于其他3 图更接近1.
4．下列函数是偶函数的是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
答案 B
解析 对于A，函数定义域为R，
f(－x)＝＝≠f(x)，
故f(x)不是偶函数，故A 错误；
对于B，函数定义域为R，
f(－x)＝＝＝f(x)，
故f(x)为偶函数，故B 正确；
对于C，函数定义域为{x|x≠－1}，
不关于原点对称，
故f(x)不是偶函数，故C 错误；
对于D，函数定义域为R，
f(－x)＝＝
＝－＝－f(x)，
故f(x)不是偶函数，故D 错误．
5．若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c 的大小关系为( )
A．a>b>c
B．b>a>c
C．c>a>b
D．b>c>a
答案 B
解析 因为y＝4.2x在R 上是增函数，
且－0.3<0<0.3，
所以0<4.2－0.3<4.20<4.20.3，
所以0<4.2－0.3<1<4.20.3，
即0<a<1<b，
因为y＝log4.2x 在(0，＋∞)上单调递增，
且0<0.2<1，
所以log4.20.2<log4.21＝0，
即c<0，所以b>a>c.
6．若m，n 为两条直线，α 为一个平面，则下列结论中正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m⊥n
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m∥α，n⊥α，则m⊥n
D．若m∥α，n⊥α，则m 与n 相交
答案 C
解析 对于A，B，若m∥α，n∥α，
则m 与n 可能平行，相交或异面，故A，B 错误；
对于C，D，若m∥α，n⊥α，
则m⊥n，且m 与n 可能相交，也可能异面，故C 正确，D 错误．
7．已知函数f(x)＝sin 3(ω>0)的最小正周期为π.则函数f(x)在上的最小值是( )
A．－ B．－ C．0 D.
答案 A
解析 f(x)＝sin 3
＝sin(3ωx＋π)＝－sin 3ωx，
由T＝＝π 得ω＝，
即f(x)＝－sin 2x，
当x∈时，2x∈，
sin 2x∈，
所以f(x)min＝－.
8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.P 是双曲线右支上一点，且直线
PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8 的直角三角形，则双曲线的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
答案 C
解析 由题意可知，∠F1PF2＝90°，
又直线PF2的斜率为2，
可得tan∠PF2F1＝＝2，
根据双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，
得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
＝|PF1||PF2|＝×4a×2a＝4a2，
又
＝8，所以a2＝2，
所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2
＝(4a)2＋(2a)2＝20a2＝40.
又|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10，
又a2＋b2＝c2，所以b2＝8，
所以双曲线的方程为－＝1，
9.一个五面体ABC－DEF.已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，AD＝1，BE＝2，CF＝
3，则该五面体的体积为( )
A.
B.＋
C.
D.－
答案 C
解析 用一个完全相同的五面体HIJ－LMN(顶点与五面体ABC－DEF 一一对应)与该五面体
相嵌，
使得D，N；E，M；F，L 重合，
因为AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，
AD＝1，BE＝2，CF＝3，
则形成的新组合体为一个三棱柱，
该三棱柱的直截面DGK(与侧棱垂直的截面)为边长为1 的等边三角形，
侧棱长l＝1＋3＝2＋2＝3＋1＝4，
V 五面体ABC－DEF＝V 三棱柱ABC－JIH
＝S△DGK·l＝××1×1××4
＝.
二、填空题
10．已知i 是虚数单位，复数(＋i)·(－2i)＝________.
答案 7－i
解析 (＋i)·(－2i)
＝5＋i－2i＋2
＝7－i.
11．在6的展开式中，常数项为________．
答案 20
解析 因为6的展开式的通项为
Tr＋1＝C6－rr
＝36－2rCx6(r－3)，r＝0,1，…，6，
令6(r－3)＝0，可得r＝3，
所以常数项为30C＝20.
12．圆(x－1)2＋y2＝25 的圆心与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则
原点到直线AF 的距离为________．
答案
解析 圆(x－1)2＋y2＝25 的圆心为F(1,0)，
故＝1，即p＝2，
由
可得x2＋2x－24＝0，
故x＝4 或x＝－6(舍去)，
故A(4，±4)，
故直线AF：y＝±(x－1)，
即4x－3y－4＝0 或4x＋3y－4＝0，
故原点到直线AF 的距离
d＝＝.
13．A，B，C，D，E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加．甲选到A 的概率为
________；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为________．
答案
解析 方法一 (列举法)
从五个活动中选三个的情况有：
ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10 种，
其中甲选到A 有6 种情况：
ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，
则甲选到A 的概率为＝；
乙选A 活动有6 种情况：
ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，
其中再选择B 活动有3 种情况：
ABC，ABD，ABE，
故乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为＝.
方法二 设选到A 为事件M，
选到B 为事件N，
则甲选到A 的概率为P(M)＝＝；
乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为
P(N|M)＝＝＝.
14．在边长为1 的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点， CE＝DE，BE＝λBA＋
μBC，则λ＋μ＝________；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 的中点，则AF·DG的最小值为
________．
答案 －
解析 方法一 因为CE＝DE，
即CE＝BA，
则BE＝BC＋CE＝BA＋BC，
可得λ＝，μ＝1，
所以λ＋μ＝；
由题意可知，＝＝1，
BA·BC＝0，
因为F 为线段BE 上的动点，
设BF＝kBE＝kBA＋kBC，k∈，
则AF＝AB＋BF＝AB＋kBE
＝BA＋kBC，
又因为G 为AF 的中点，
则DG＝DA＋AG＝－BC＋AF
＝BA＋BC，
可得AF·DG＝·
＝2＋k
＝2－，
又由k∈可知，
当k＝1 时，AF·DG取到最小值为－.
方法二 以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(－1,0)，B(0,0)，C(0,1)，D(－1,1)，E，
可得BA＝(－1,0)，BC＝(0,1)，
BE＝，
因为BE＝λBA＋μBC＝(－λ，μ)，
则所以λ＋μ＝；
因为点F 在线段BE：y＝－3x，x∈上，
设F(a，－3a)，a∈，
且G 为AF 的中点，则G，
可得AF＝(a＋1，－3a)，
DG＝，
则AF·DG＝＋(－3a)
＝52－，
且a∈，
所以当a＝－时，
AF·DG取到最小值为－.
15．若函数f(x)＝2－＋1 恰有一个零点，则a 的取值范围为________．
答案 (－，－1)∪(1，)
解析 ①当a＝0 时，
f(x)＝2|x|－2＋1＝2|x|－1，
令f(x)＝0，得2|x|＝1，x＝±，
即f(x)有两个零点，不满足题意．
②当a≠0 时，令ax＝m，
则2－|ax－2|＋1＝2－|m－2|＋1，
由2－|m－2|＋1＝0 可得2＝|m－2|－1，
则|m－2|－1≥0，解得m≥3 或m≤1.
(ⅰ)若m≥3，则由2＝|m－2|－1 可得2＝m－3，
化简得＝＝1－＋
＝92＋，
令g(m)＝92＋，m≥3，
则g(m)在[3,9)上单调递减，在(9，＋∞)上单调递增，
又g(3)＝，g(9)＝，
当m→＋∞时，g(m)→1，
作出g(m)的大致图象如图所示．
(ⅱ)若m≤1，因为x＝0 不是f(x)的零点，
所以m≠0.
由2＝|m－2|－1 可得2＝1－m，
化简得＝＝1＋＋＝2，
令h(m)＝2，m≤1 且m≠0，
则h(m)在(－∞，－1)，(0,1]上单调递减，在(－1,0)上单调递增，
又h(－1)＝0，h(1)＝4，
当m→－∞时，h(m)→1，
当m→0 时，h(m)→＋∞，
作出h(m)的大致图象如图所示．
数形结合可知，若f(x)恰有一个零点，
则<<4，
解得－<a<－1 或1<a<，
即a 的取值范围为(－，－1)∪(1，)．
三、解答题
16．在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c.已知cos B＝，b＝5，＝.
(1)求a 的值；
(2)求sin A 的值；
(3)求cos(B－2A)的值．
解 (1)设a＝2t，c＝3t，t>0，
则根据余弦定理得
b2＝a2＋c2－2accos B，
即25＝4t2＋9t2－2×2t×3t×，
解得t＝2(舍负)，则a＝4，c＝6.
(2)方法一 因为B 为三角形内角，
所以sin B＝＝＝，
再根据正弦定理得＝，
即＝，解得sin A＝.
方法二 由余弦定理得
cos A＝＝＝，
因为A∈(0，π)，
则sin A＝＝.
(3)方法一 因为cos B＝>0，
且B∈(0，π)，所以B∈，
由(2)方法一知sin B＝，
因为a<b，则A<B，
所以cos A＝＝，
则sin 2A＝2sin Acos A＝2××＝，
cos 2A＝2cos2A－1＝2×2－1＝，
cos(B－2A)＝cos Bcos 2A＋sin Bsin 2A
＝×＋×＝.
方法二 sin 2A＝2sin Acos A
＝2××＝，
则cos 2A＝2cos2A－1＝2×2－1＝，
因为B 为三角形内角，
所以sin B＝＝＝，
所以cos(B－2A)＝cos Bcos 2A＋sin Bsin 2A
＝×＋×＝.
17.如图，已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥AB，AB∥CD，AA1＝2，AB＝2AD＝2，
DC＝1，N 是B1C1的中点，M 是DD1的中点．
(1)求证：D1N∥平面CB1M；
(2)求平面CB1M 与平面BB1C1C 夹角的余弦值；
(3)求点B 到平面CB1M 的距离．
(1)证明 取CB1的中点P，连接NP，MP，
由N 是B1C1的中点，
故NP∥CC1，
且NP＝CC1，
由M 是DD1的中点，
故D1M＝DD1＝CC1，
且D1M∥CC1，
则有D1M∥NP，D1M＝NP，
故四边形D1NPM 是平行四边形，
故D1N∥MP，
又MP⊂平面CB1M，
D1N⊄平面CB1M，
故D1N∥平面CB1M.
(2)解 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
有B(2,0,0)，B1(2,0,2)，M(0,1,1)，C(1,1,0)，
则有CB1＝(1，－1,2)，
CM＝(－1,0,1)，
BB1＝(0,0,2)，
设平面CB1M 与平面BB1C1C 的法向量分别为
m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)，
则有
分别取x1＝x2＝1，
则有y1＝3，z1＝1，y2＝1，z2＝0，
即m＝(1,3,1)，n＝(1,1,0)，
则|cos〈m，n〉|＝＝＝，
故平面CB1M 与平面BB1C1C 夹角的余弦值为.
(3)解 由BB1＝(0,0,2)，
平面CB1M 的一个法向量为m＝(1,3,1)，
则有＝＝，
即点B 到平面CB1M 的距离为.
18．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，椭圆的离心率e＝，左顶点为A，下顶点为B，O 为坐标原点，
C 是线段OB 的中点，其中S△ABC＝.
(1)求椭圆方程；
(2)过点的动直线与椭圆有两个交点P，Q.在y 轴上是否存在点T 使得TP·TQ≤0 恒成立？若
存在，求出这个点T 纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
解 (1)因为椭圆的离心率e＝，
故a＝2c，b＝c，其中c 为半焦距，
所以A(－2c，0)，B(0，－c)，C，
故S△ABC＝×2c×c＝，
故c＝，所以a＝2，b＝3，
故椭圆方程为＋＝1.
(2)若过点的动直线的斜率存在，
则可设该直线方程为
y＝kx－，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，T(0，t),
由
可得(3＋4k2)x2－12kx－27＝0，
故Δ＝144k2＋108(3＋4k2)＝324＋576k2>0，
且x1＋x2＝，x1x2＝－，
而TP＝(x1，y1－t)，TQ＝(x2，y2－t)，
故TP·TQ＝x1x2＋(y1－t)(y2－t)
＝x1x2＋
＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋2
＝(1＋k2)×－k×＋2
＝
＝，
因为TP·TQ≤0 恒成立，
故
解得－3≤t≤；
若过点的动直线的斜率不存在，
则P(0,3)，Q(0，－3)或P(0，－3)，Q(0,3)，
此时需－3≤t≤3，
两者结合可得－3≤t≤.
综上，存在T(0，t)，使得TP·TQ≤0 恒成立．
T 点纵坐标的取值范围为.
19．已知数列{an}是等比数列，公比大于0，其前n 项和为Sn，若a1＝1，S2＝a3－1.
(1)求数列{an}的前n 项和Sn；
(2)设bn＝k∈N*.
①当k≥2，n＝ak＋1时，求证：bn－1≥ak·bn；
②求i.
(1)解 设等比数列{an}的公比为q(q>0)，
因为a1＝1，S2＝a3－1，
即a1＋a2＝a3－1，
可得1＋q＝q2－1，
整理得q2－q－2＝0，
解得q＝2 或q＝－1(舍去)，
所以Sn＝＝2n－1.
(2)①证明 由(1)可知an＝2n－1，
且k∈N*，k≥2，
当n＝ak＋1＝2k≥4 时，
则
即ak<n－1<ak＋1，
可知ak＝2k－1，bn＝k＋1，
bn－1＝b2k－1＝b2k－2＋2k＝b2k－3＋4k＝…＝b2k－1＋2k·(2k－1－2k－1)＝k＋2k·(2k－1－1)
＝k(2k－1)，
可得bn－1－ak·bn＝k(2k－1)－(k＋1)2k－1
＝(k－1)2k－1－k≥2(k－1)－k＝k－2≥0，
当且仅当k＝2 时，等号成立，
所以bn－1≥ak·bn.
②解 由(1)可知，
Sn＝2n－1＝an＋1－1，
若n＝1，则S1＝1，b1＝1；
若n≥2，则ak＋1－ak＝2k－1，
当2k－1<i≤2k－1 时，
bi－bi－1＝2k，可知{bi}为等差数列，
可得＝k·2k－1＋2k·
＝k·4k－1＝，
所以i＝1＋[5×42－2×4＋8×43－5×42＋…＋(3n－1)4n－(3n－4)4n－1]
＝，
且当n＝1 时，上式成立，
综上所述，i＝.
20．设函数f(x)＝xln x.
(1)求f(x)图象上点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)≥a(x－)在x∈(0，＋∞)时恒成立，求a 的取值范围；
(3)若x1，x2∈(0,1)，证明：≤
.
(1)解 由题知f(1)＝0，f′(x)＝ln x＋1，
所以f′(1)＝1，所以切线方程为y＝x－1.
(2)解 由题可得xln x≥a(x－)在(0，＋∞)上恒成立，
即ln x≥a 在(0，＋∞)上恒成立．
设g(x)＝ln x－a＝ln x－a＋，
x∈(0，＋∞)，
则g(x)≥0 恒成立，
又g(1)＝0，所以g′(1)＝0.
因为g′(x)＝－
，
所以g′(1)＝1－＝0，解得a＝2.
经检验，符合题意．
(3)证明 当x1＝x2时，
|f(x1)－f(x2)|＝
＝0.
当x1≠x2时，不妨设0<x1<x2<1，
令f′(x)＝ln x＋1＝0，得x＝，
当0<x<时，f′(x)<0，
当<x<1 时，f′(x)>0，
所以f(x)在上单调递减，
在上单调递增．
①当0<x1<x2≤时，f(x1)>f(x2)，
|f(x1)－f(x2)|＝x1ln x1－x2ln x2，
设t(x)＝xln x＋，0<x<1，
则t′(x)＝ln x＋1＋，
设m(x)＝ln x＋1＋，0<x<1，
则m′(x)＝－＝，
令m′(x)＝0，得x＝，
当0<x<时，m′(x)<0，
当<x<1 时，m′(x)>0，
所以m(x)在上单调递减，
在上单调递增，
所以t′(x)≥t′＝ln ＋1＋2＝ln >0，
所以t(x)在(0,1)上单调递增，
所以x1ln x1＋<x2ln x2＋，
所以x1ln x1－x2ln x2<－，
因为(－)2－()2
＝2x1－2
＝2(－)<0，
所以－<，
所以x1ln x1－x2ln x2<，
即|f(x1)－f(x2)|<
.
②当≤x1<x2<1 时，f(x1)<f(x2)，
|f(x1)－f(x2)|＝x2ln x2－x1ln x1，
设h(x)＝xln x－x，0<x<1，
则h′(x)＝ln x<0，
所以h(x)在(0,1)上单调递减，
所以x1ln x1－x1>x2ln x2－x2，
即x2ln x2－x1ln x1<x2－x1，
因为≤x1<x2<1，
所以0<x2－x1<1，
0<<1，x2－x1<，
所以x2ln x2－x1ln x1<，
即|f(x1)－f(x2)|<
.
③当0<x1<<x2<1 时，
若f(x1)<f(x2)，
则|f(x1)－f(x2)|<，
由②知，<<，
所以|f(x1)－f(x2)|<
；
若f(x1)>f(x2)，
则|f(x1)－f(x2)|<，
由①知，<<，
所以|f(x1)－f(x2)|<
.
若f(x1)＝f(x2)，
则|f(x1)－f(x2)|＝0，
>0，
故|f(x1)－f(x2)|<
.
综上可知，∀x1，x2∈(0,1)，
都有|f(x1)－f(x2)|≤
.
