4.4 等比数列
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：等比数列的概念............................................................. 2
考点二：等比中项......................................................................2
考点三：等比数列的通项公式....................................................... 2
考点四：等比数列的单调性.......................................................... 2
考点五：等比数列的判断（证明）..................................................2
考点六：等比数列常用性质.......................................................... 2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：等比数列的定义和认识.................................................... 3
题型二：等比数列通项公式的应用..................................................4
题型三：等比中项......................................................................6
题型四：等比数列的判断与证明.................................................... 7
题型五：等比数列性质的应用....................................................... 9
题型六：等比数列子数列的性质及应用..........................................12
题型七：构造等比数列求通项公式................................................13
题型八：正项等比数列的对数成等差数列的应用.............................. 15
题型九：等比数列的单调性........................................................ 17
题型十：求等比数列的最值........................................................ 19
题型十一：等比数列在传统文化中的应用....................................... 20
模块三：综合巩固....................................................................... 22
4.4 等比数列
模块一：基础知识
考点一：等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做
等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(
0
q
)
符号语言
1
n
n
a
q
a
（或者
1
(
2)
n
n
a
q n
a
）( q 为常数，
0
q
，n
N
)
考点二：等比中项
如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，
b 成等比数列⇔
2
G
ab
.
考点三：等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列{
}
n
a
的第n 项
na 有公式
1
1
n
n
a
a q
.这就是等比数列{
}
n
a
的通项公式，其中
1a
为首项，q 为公比．
考点四：等比数列的单调性
已知等比数列{
}
n
a
的首项为
1a ，公比为q
1、当
1
0
1
a
q
或
1
0
0
1
a
q
时，等比数列{
}
n
a
为递增数列；
2、当
1
0
0
1
a
q
或
1
0
1
a
q
时，等比数列{
}
n
a
为递减数列；
3、当
1
q
时，等比数列{
}
n
a
为常数列（
0
na
）
4、当
0
q
时，等比数列{
}
n
a
为摆动数列.
考点五：等比数列的判断（证明）
1、定义：
1
n
n
a
q
a
（或者
1
(
2)
n
n
a
q n
a
）（可判断，可证明）
2、等比中项法：验证
2
1
2
n
n
n
a
a a
（特别注意
0
na
）（可判断，可证明）
3、通项公式法：验证通项是关于n 的指数型函数（只可判断）
考点六：等比数列常用性质
设数列{
}
na
是等比数列，
n
S 是其前n 项和．
（1）
n m
n
m
a
a q
(2)若m
n
p
q
，则
m
n
p
q
a a
a a
，其中
, , ,
m n p q
N
.特别地，若
2
m
n
p
，则
2
m
n
p
a a
a
，其
中
, ,
m n p
N
.
(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即
ka ，
k m
a
，
2
k
m
a
，…仍是等比数列，公比为
m
q ( ,k m
N
).
(4)若数列{
}
na
，{ }
nb
是两个项数相同的等比数列，则数列{
}
n
ba
，{
}
n
n
pa
qb
和{
}
n
n
pa
qb
(其中b ，p ，q
是非零常数)也是等比数列．
模块二：题型分类
题型一：等比数列的定义和认识
1．下列三个数依次成等比数列的是（
）
A．1，4，8
B．1
，2，4
C．9，6，4
D．4，6，8
【答案】C
【分析】根据等比数列的知识求得正确答案.
【解析】
2
4
1 8
，A 选项错误；
2
2
1 4
，B 选项错误.
因为6
4
2
9
6
3
，所以9，6，4 依次成等比数列，C 选项正确.
2
6
4 8
，D 选项错误.
故选：C
2．下列数列一定是等比数列的是（
）
A．数列1，2，6，18，…
B．数列
na
中，
2
1
2
a
a
，
3
2
2
a
a
C．常数列a ，a ，…，a ，…
D．数列
na
中，
1
0
n
n
a
q q
a
【答案】D
【分析】对四个选项按等比数列的定义一一验证即可.
【解析】对于A，2
2
1
，6
3
2
2
，故不是等比数列；
对于B，前3 项是等比数列，多于3 项时，无法判定，故不一定是等比数列；
对于C，当
0
a
时，不是等比数列；
对于D，该数列符合等比数列的定义，一定是等比数列．
故选：D．
3．下面四个数列中，一定是等比数列的是（
）
A．q，2q，4q，6q
B．q，q2，q3，q4
C．q，2q，4q，8q
D．1
q ，
2
1
q ，
3
1
q ，
4
1
q
【答案】D
【分析】根据等比数列的定义，逐一分析选项，即可得答案.
【解析】对于A、B、C：当q＝0 时不是等比数列，故A、B、C 错误；
对于D：由题意可得
0
q
，且符合等比数列的定义，公比是1
q ，故D 正确，
故选：D
题型二：等比数列通项公式的应用
1.在等比数列
na
中，
(1)已知
1
3
a ，
2
q =
，求
5a ；
(2)已知
1
1
a ，
2
q =
，
16
na
，求n ；
(3)已知
1
1
3
a
，
7
9
a
，求q；
(4)已知
3
2
q
，
4
27
a
，求
1a ．
【答案】(1)
5
48
a
(2)
5
n
(3)
1
2
3
q
(4)
1
8
a
【详解】（1）等比数列
na
中，
1
3
=
a
，
2
q =
，则
4
5
3 2
48
a
.
（2）等比数列
na
中，
1
1
a ，
2
q =
，
16
na
，由
1
=16
1 2n
na
，可得
5
n
.
（3）等比数列
na
中，
1
1
3
a
，
7
9
a
，由
6
7
1
9
3
a
q
，可得
1
2
3
q
.
（4）等比数列
na
中，
3
2
q
，
4
27
a
，由
3
4
1
3
27
2
=
a
a
，可得
1
8
a .
2.记
n
S 为数列
na
的前n 项和，且
2
1
n
n
S
a
，则
na
.
【答案】
1
2n
【详解】
2
1
n
n
S
a
①，当
1
n 时，
1
1
2
1
a
a
，解得
1
1
a ，
当
2
n
时，
1
1
2
1
n
n
S
a
②，
①-②得，
1
1
2
1 2
1
n
n
n
n
S
S
a
a
，
即
1
2
2
n
n
n
a
a
a
，所以
1
2
n
n
a
a
，
na
是首项为-1，公比是2 的等比数列，故
1
1
1 2
2
n
n
na
.
故答案为：
1
2n
3.已知数列{
}
na
的首项
1
1
a ，且
1
2
(
N,
1)
n
n
a
a
n
n
，那么
3a
；数列{
}
na
的通项公式为
na
.
【答案】
4
1
2n
【详解】由题意数列{
}
na
的首项
1
1
a ，且
1
2
(
N,
1)
n
n
a
a
n
n
，
那么
2
1
3
2
2
2,
2
4
a
a
a
a
；
由此可知
0
na
，故
1
2(
N,
1)
n
n
a
n
n
a
，则数列{
}
na
为首项是
1
1
a ，公比为2 的等比数列，
故
1
2n
na
，首项也适合该式，
故答案为：4；
1
2n
4.已知数列
na
是公比为q 的等比数列．
(1)若
2
2
a
，
5
54
a
，求
na
的通项公式；
(2)若
1
125
a
，
0.2
q
，
4
3.2 10
na
，求n．
【答案】(1)
2
2 3n
na
(2)9
【详解】（1）由等比数列的通项公式可知，
1
4
1
2
54
a q
a q
，
两式相除得
3
27
q
，即
3
q
．
所以
1
2
3
a
．
因此，这个数列的通项公式是
1
2
2
3
2 3
3
n
n
na
．
（2）因为
1
125
a
，
0.2
q
，
所以
1
1
4
1
1
125
5
5
n
n
n
na
a q
．
又
4
4
4
5
3.2 10
3.2 2
5
5
na
，因此
4
5
5
5
n
，即
9
n
．
5.知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且满足
2
1
n
n
S
a
，则数列
na
的通项公式为（
）
A．
2n
na
B．
2 n
na
C．
1
2n
na
D．
12
n
na
【答案】C
【详解】当
1
n 时，
1
1
1
1
2
1
,
1
S
a
a
a
，
当
2
n
时，
1
1
1
2
2
,
2
n
n
n
n
n
n
n
a
S
S
a
a
a
a
，
因此数列
na
是首项为1，公比为2 的等比数列，
1
2n
na
，
故选：C.
6.已知各项均为正数的等比数列
na
满足
1
1
a ，且
2
4
3
2
8
a a
a
，则
na
【答案】
1
2n
【详解】设等比数列
na
的公比为(
0)
q q
，因为
2
4
3
2
8
a a
a
，所以
2
4
2
1
1
2
8
a q
a q
，
又
1
1
a ，所以
4
2
2
8
0
q
q
，解得
2
4
q
，即
2
q =
，所以
1
1
1
2
n
n
n
a
a
q
.
故答案为:
1
2n.
题型三：等比中项
1．数1 与4 的等差中项，等比中项分别是（
）
A．
5
2
，2
B．
5
2
，2
C．5
2 ，2
D．5
2 ，2
【答案】D
【分析】利用等差中项与等比中项的定义分别进行求解即可.
【解析】根据等差中项的定义可知，1 与4 的等差中项为1
4
5
2
2
；
根据等比中项的定义可得，1 与4 的等比中项G 满足G2＝1×4＝4，G＝±2.
故选：D.
2.若a，G，b 成等比数列，则称G 为a 和b 的等比中项．
(1)求45 和80 的等比中项；
(2)已知两个数
9
k 和6
k
的等比中项是2k，求k．
【答案】(1) 60
(2)
18
5
k
或
3
k
【详解】（1）设G 为45 和80 的等比中项，则
2
45 80
3600
G
，所以
60
G
.
所以45 和80 的等比中项为60
（2）两个数
9
k 和6
k
的等比中项是2k ，
所以
2
4
9
6
k
k
k
，
2
5
3
54
0
k
k
，
5
18
3
0
k
k
，
解得
18
5
k
或
3
k
，此时
9
0
k
，6
0
k
，满足题意，
所以
18
5
k
或
3
k
.
3.在等比数列
na
中，
2a ，
10
a 是方程
2
6
4
0
x
x
的两根，则
3
9
6
a a
a
（
）
A．2
B．2
C．2
或2
D．3
5
【答案】A
【详解】由于
2a ，
10
a 是方程
2
6
4
0
x
x
的两根，
所以
2
2
10
2
10
6
6
0,
4
4
a
a
a
a
a
，
由于
4
4
6
2
10
6
,
a
a q
a
a q
，所以
6a 为正数，
所以
6
2
a
．所以
2
3
9
6
6
6
6
2
a a
a
a
a
a
．
故选：A.
4.已知等差数列
na
的公差不为0，若
1a ，
3
a ，
6a 成等比数列，则这个等比数列的公比是（
）
A．2
3
B．3
2
C．2
D．4
【答案】B
【详解】等差数列
na
,设公差为d，因为
1a ，
3
a ，
6a 成等比数列，
故
2
2
3
1
6
1
1
1
(
)
,
(
2 )
(
5 )
a
a a
a
d
a
a
d
，
又因为公差不为0，
1
4
a
d
，所以
3
6
6 ,
9
a
d a
d
，
则这个等比数列的公比是3
2 .
故选：B
5.已知数列
na
是等比数列，函数
2
5
6
y
x
x
的零点分别是
2
10
,
a a ，则
6a （
）
A．2
B．
6
C．
3
D．
6
【答案】D
【详解】由题意可得
2
10
2
10
6
0,
5
0,
a a
a
a
所以
2
10
0,
0
a
a
，
故
6
0
a
，且
2
6
10
6
a a
a
，
故选：D
题型四：等比数列的判断与证明
1.如果数列
na
是等比数列，那么（
）
A．数列
lg
na
是等比数列
B．数列
2 n
a
是等比数列
C．数列
2
na
是等比数列
D．数列
n
na
是等比数列
【答案】C
【详解】对于C，设等比数列
na
的公比为
0
q q
，则
1
n
n
a
q
a
，
所以
2
2
2
1
1
2
n
n
n
n
a
a
q
a
a
为非零常数，则数列
2
na
是等比数列，故C 正确；
对于ABD，取
1
2n
na
，则
1
1
2
2
2
n
n
n
n
a
a
，数列
na
是等比数列，
则
1
1
a ，
2
2
a
，
3
4
a
，
故
1
lg
0
a
，
2
lg
lg 2
a
，
3
lg
lg 4
a
，
所以
2
2
1
3
lg
lg
lg
a
a
a
，则数列
lg
na
不是等比数列，故A 错误.
而
1
2
2
a
，
2
2
4
a
，
3
2
16
a
，显然
3
2
1
2
2
2
2a
a
a
，
所以数列
2 n
a
不是等比数列，故B 错误.
而
1
1
a ，
2
2
4
a
，
3
3
12
a
，则
2
2
1
3
2
3
a
a
a
，
所以数列
n
na
不是等比数列，故D 错误.
故选：C.
2.函数
logk
f x
x
（k 为常数，
0
k
且
1
k ），数列
n
f a
是首项为4，公差为2 的等差数列，求证：
数列
na
是等比数列．
【答案】证明见解析
【详解】数列
n
f a
是首项为4，公差为2 的等差数列，
所以
4
2
1
2
2
n
f a
n
n
，n
N ，
可得
2
2
n
na
k
，
2
4
1
n
na
k
，且k>0，k≠1，
所以
2
1
n
n
a
k
a
，∴数列
na
是等比数列.
3.已知数列{
}
na
满足
1
2
a ，且
1
3
6
n
n
a
a
，求{
}
na
的通项公式．
【答案】
1
3
3
n
na
【详解】解：由
1
3
6
n
n
a
a
可得：
1
3
3(
3)
n
n
a
a
，
因为
1
2
a ，所以
1
3
1
a
，
所以{
3}
na
是以1 为首项3 为公比的等比数列，
所以
1
3
3n
na
，
所以
1
3
3
n
na
．
4.在数列
na
中，
1
2
a
，
*
1
4
3
2,
N
n
n
a
a
n
n
．
(1)求证：
1
na
是等比数列；
(2)求数列
na
的通项公式．
【答案】(1)证明详见解析；
(2)
1
4
1
n
na
.
【详解】（1）依题意，数列
na
中，
1
2
a
，
*
1
4
3
2,
N
n
n
a
a
n
n
，
所以
1
*
N
1
4
1
2,
n
n
a
a
n
n
，
所以数列
1
na
是首项为
1
1 1
a ，公比为4 的等比数列.
（2）由（1）得：数列
1
na
是首项为
1
1 1
a ，公比为4 的等比数列，
所以
1
1
1
1 4
,
4
1
n
n
n
n
a
a
.
5.已知数列
na
中
1
1
a ，
1
2
3
n
n
a
a
，
*
N
n
.证明：数列
3
na
是等比数列；
【答案】证明见解析
【详解】证明：因为
1
2
3
n
n
a
a
，
*
N
n
，所以
1+3
2
3
n
n
a
a
，
所以
1
3
2
3
n
n
a
a
，
*
N
n
，
又
1
3
4
a
，所以
3
na
为首项是4，公比为2 的等比数列.
6．若数列
na
的通项公式为
1
2
n
na
，则（
）
A．数列
1
n
n
a
a
是首项为1
4 ，公比为
1
2 的等比数列
B．数列
1
n
n
a
a
是首项为
1
4
，公比为
1
2
的等比数列
C．数列
1
n
n
a
a
是首项为
1
4
，公比为
1
2 的等比数列
D．数列
1
n
n
a
a
是首项为
1
2
，公比为
1
2
的等比数列
【答案】B
【分析】根据等比数列的定义，即可判断选项.
【解析】因为
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
a
a
，
2
1
2
1
1
1
1
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
，
2
1
2
1
1
2
4
a
a
，
所以
1
n
n
a
a
的首项为
1
4
，且
1
2
1
1
2
n
n
n
n
a
a
a
a
，所以
1
n
n
a
a
是公比为
1
2
的等比数列．
故选：B
题型五：等比数列性质的应用
1.等比数列
na
中，
3
7
15
8
6,
3
a a a
a
，则
9a （
）
A．2
3
B．3
2
C．2
D．12
【答案】A
【分析】根据等比数列的性质求得正确答案.
【解析】
3
7
15
2
8
15
2
15
8
9
9
9
2
3
3
9
6,
3
a a a
a a a
a a
a a
a
a
.
故选：A
2.已知数列
na
是正项等比数列，数列
nb
满足
2
log
n
n
b
a
.若
12
2
5
8
2
a a a
，
1
2
3
9
b
b
b
b
（
）
A．24
B．32
C．36
D．40
【答案】C
【详解】因为
na
是正项等比数列，
12
2
5
8
2
a a a
，
所以
3
12
3
4
5
2
2
a
，则
4
5
2
a
，
所以
1
2
3
9
2
1
2
2
3
2
9
2
log
log
log
log
b
b
b
b
a
a
a
a
2
9
9
2
5
4
36
2
1
3
9
2
2
36
log
log
log
2
log 2
a a a
a
a
.
故选：C.
3.在正项等比数列
na
中，
1 13
36
a a
，则
5
9
4
a
a
的最小值是（
）
A．12
B．18
C．24
D．36
【答案】C
【详解】在正项等比数列
na
中，
5
9
1 13
36
a a
a a
，所以
5
9
5
9
4
2
4
24
a
a
a
a
，
当且仅当
5
9
4
a
a
即
5
9
12,
3
a
a
时，等号成立，即
5
9
4
a
a
的最小值是24.
故选：C.
4.在正项等比数列
na
中，
3
a 与
8a 是方程
2
30
10
0
x
x
的两个根，则
1
2
10
lg
lg
lg
a
a
a
.
【答案】5
【详解】因为
3
a 与
8a 是方程
2
30
10
0
x
x
的两个根，所以
8
3
10
a a
，
因为
na
为正项等比数列，所以
1 10
2
9
3
4
7
5
6
8
10
a
a
a
a a
a
a a
a a
，
所以
5
5
1
2
10
1
2
10
8
3
lg
lg
lg
lg
lg
lg10
5
a
a
a
a
a
a
a
a
，
故答案为：5.
5.已知数列{
}
na
是等差数列，数列{ }
nb
是等比数列，
7
9
4π
3
a
a
，且
2 6 10
8
b b b
，则
3
8
13
4 8
1
a
a
a
b b
（
）
A．π
4
B．π
3
C．π
2
D．2π
3
【答案】D
【详解】解：∵数列{
}
na
是等差数列，且
7
9
4π
3
a
a
，
∴
3
13
8
7
9
4π
2
3
a
a
a
a
a
，可得
8
2π
3
a
，则
3
8
13
8
3
2π
a
a
a
a
.
∵数列{ }
nb
是等比数列，∴
2
2 10
6
b b
b ，又由题意
2
6 10
8
b b b
，
∴
2
0
3
6 1
6
8
b b b
b
，∴
6
2
b
，
∴
2
4
6
8
1
4 1
3
1
b b
b
，
∴
3
8
13
2 8
1
2π
3
a
a
a
b b
.
故选：D．
6.已知在等比数列
na
中，
2a ，
10
a 是方程
2
13
14
0
x
x
的两个实数根，则
6a
．
【答案】14
【详解】∵
2a ，
10
a 是方程
2
13
14
0
x
x
的两个实数根，∴
2
10
13
a
a
，
2 10
14
a a
，
故
2
0
a
，
10
0
a
，根据等比数列的性质有：
2
6
2
10
14
a
a a
且
4
6
2
0
a
a
q
，
故
6
14
a
．
故答案为：14
7.正项等比数列
na
中，
3
6
4
a
a
，则
2
1
2
2
2
8
log
log
log
a
a
a
的值是
．
【答案】8
【详解】因为正项等比数列
na
中，
3
6
4
a
a
，
所以
2
1
2
2
2
8
log
log
log
a
a
a
2
1
2
8
log (
)
a a
a
4
2
3
6
log (
)
a
a
2
4log 4
8
，
故答案为：8
8．已知公比不为1 的正项等比数列
na
满足
2
*
3
,
N
m
n
a
a a
m n
，则4
1
m
n
的最小值为（
）
A．6
B．2
C．3
2
D．
1
2
【答案】C
【分析】由等比数列性质得到
6
m
n
，根据基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【解析】由等比数列的性质得
6
m
n
，又
*
,
N
m n
，
由基本不等式得
4
1
1
4
1
1
4
1
4
3
4 1
5
2
6
6
6
2
n
m
n m
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
，
当且仅当4n
m
m
n
，即
4,
2
m
n
时，等号成立，
故4
1
m
n
的最小值为3
2 .
故选：C
题型六：等比数列子数列的性质及应用
1．已知数列
na
满足
1
1
5,
2n
n
n
a
a a
，则
7
3
a
a （
）
A．4
B．2
C．5
D．5
2
【答案】A
【解析】根据
1
2n
n
n
a a
，再写一个式子，两式相比得到奇数项成等比数列，则可解.
【解析】解：
1
2n
n
n
a a
，所以
1
1
2
2
n
n
n
a
a
n
，所以
1
1
2
2
n
n
n
a
a
，
数列
na
的奇数项组成等比数列，偶数项组成等比数列，故
2
7
3
2
4
a
a
，
故选：A
【点睛】考查递推公式以及等比数列的定义的应用，基础题.
2．已知数列
na
的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且
1
1
a ，2
2
a
，3
4
6
a
a
，5
6
11
a
a
，
则
7
8
a
a
（
）
A．16
B．18
C．19
D．20
【答案】D
【分析】设等差数列公差为d，等比数列公比为q，则
3
1
a
d
，
4
2
a
q
，
5
1 2
a
d
，
2
6
2
a
q
，代入条
件，解得q，d 的值，从而求出
7
8
a
a
.
【解析】设等差数列公差为d，等比数列公比为q，则
3
1
a
d
，
4
2
a
q
，
5
1
2
a
d
，
2
6
2
a
q
，
则
3
4
1
2
6
a
a
d
q
，
2
5
6
1
2
2
11
a
a
d
q
，
解得
2
q =
或0（舍），
1
d ，
则
7
1 3
4
a
d
，
3
8
2
16
a
q
，
故
7
8
4 16
20
a
a
故选：D
3．实数a 、b 满足
0
a
b
，按顺序a 、
2
a
b
、b 、
ab 可以构成的数列（
）
A．可能是等差数列，也可能是等比数列
B．可能是等差数列，但不可能是等比数列
C．不可能是等差数列，但可能是等比数列
D．不可能是等差数列，也不可能是等比数列
【答案】B
【分析】由实数a 、b 满足
0
a
b
，根据等差数列的定义和等比数列的定义，分析a 、
2
a
b
、b 、ab 按
一定顺序构成等差（比）数列时，是否有满足条件的a
b
，的值，即可得答案．
【解析】数a
b
、满足
0
a
b
，
则有
2
a
b
ab
b
a
若能构成等差数列，则
2
a
b
ab
a
b
，得2
=3
ab
b
a
.于是
3
a
b
＜
.
2
2
4
9
6
ab
b
ab
a
得
9
a
b
，或a
b
（舍）
当
9
a
b
时这四个数为3 , ,5 ,9
b b b b
成等差数列．
但此时
0
ab a
＜，
0
2
a
b
b
，不可能相等，故仍无法构成等比数列.
故选:B.
【点睛】本题考查的知识点是等差数列的确定和等比数列的确定，熟练掌握等差数列和等比数列的定义和
性质是解答的关键．
题型七：构造等比数列求通项公式
1.已知数列
na
，
1
1
a ，
1
2
1
2
n
n
a
a
n
，则数列
na
的通项公式为
.
【答案】
2
1
n
na
/
1
2n
na
【详解】由
1
2
1
2
n
n
a
a
n
得
1
1
2
1
2
n
n
a
a
n
，又
1
1
2
0
a
故
1
na
是以公比为2 的等比数列，且首项为2 ，因此
1
2n
na
，故
2
1
n
na
,
故答案为：
2
1
n
na
2.已知数列
na
的首项
1
6
a
，且满足
1
1
4
2n
n
n
a
a
．求数列
na
的通项公式；
【答案】
4
2
n
n
na
【详解】∵
1
1
4
2n
n
n
a
a
，∴
1
1
2
1
2
2
n
n
n
n
a
a
，∴
1
1
1
2
1
2
2
n
n
n
n
a
a
.
又∵
1
1
1
2
2
a
，故
1
2
n
n
a
是以2 为首项，2 为公比的等比数列,
∴
1
1
2 2
2
2
n
n
n
n
a
，则
4
2
n
n
na
．
3.在数列{
}
na
中，
1
2
a
，
*
1
2
2(
)
n
n
a
a
n
N
(1)证明：数列{
2}
na
是等比数列；
(2)若
2
log (
2)
n
n
b
a
，
1
1
n
n
n
c
b b
，求数列{ }
nc
的前n 项和Sn．
【答案】(1)证明见解析
(2) 2(
2)
n
n
【详解】（1）证明：由
*
1
2
2(
)
n
n
a
a
n
N
得
1
2
2(
2)
n
n
a
a
.
因为
1
2
a
，所以
1
2
4
a
，所以
1
2
2
2
n
n
a
a
所以数列{
2}
na
是以4 为首项，2 为公比的等比数列.
（2）由（1）得
1
1
2
4 2
2
n
n
na
-
+
+
= ×
=
，∴
1
2
2
log (
2)
log 2
1
n
n
n
b
a
n
，
1
1
1
1
1
(
1)(
2)
1
2
n
n
n
c
b b
n
n
n
n
.
∴
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
(
)
(
)
(
)
2
3
3
4
1
2
2
2
2(
2)
n
n
n
S
c
c
c
n
n
n
n
4.已知数列
na
满足
1
1
1,
3
2
n
n
a
a
a
，证明
1
na
为等比数列，并求
na
的通项公式.
【答案】证明过程见详解，
1
2 3
1
n
na
.
【详解】因为
1
3
2
n
n
a
a
，所以
1
1
3
1
n
n
a
a
，
又
1
1
2
a
，所以数列
1
na
是以2 为首项，3 为公比的等比数列，
则
1
1
2 3n
na
，所以
1
2 3
1
n
na
5.数列
na
满足
1
1
1
1,
1
2
2
n
n
a
a
a
n
.
(1)若
2
n
n
b
a
，求证：
nb
为等比数列；
(2)求
na
的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
1
1
2
2
n
n
a
【详解】（1）由于
1
1
1
1,
1
2
2
n
n
a
a
a
n
，
所以
1
1
2
2
2
2
n
n
a
a
n
，
即
1
2
2
1
n
n
b
n
b
，
所以数列
nb
是首项为
1
2
1
a
，公比为
1
2 的等比数列.
（2）由（1）得
1
1
2
n
n
b
，
所以
1
1
1
1
2
,
2
2
2
n
n
n
n
a
a
.
6.已知数列
na
满足
1
1
a ，
1
2
1
n
n
a
a
n
N
.
(1)写出该数列的前5项；
(2)求数列
na
的通项公式.
【答案】(1)
1
1
a ，
2
3
a
，
3
7
a
，
4
15
a
，
5
31
a
(2)
2
1
n
na
【详解】（1）
1
1
a
，
1
2
1
n
n
a
a
n
N
2
1
2
1
3
a
a
，
3
2
2
1
7
a
a
，
4
3
2
1
15
a
a
，
5
4
2
1
31
a
a
.
（2）由
1
2
1
n
n
a
a
得：
1
1
2
1
n
n
a
a
，又
1
1
2
a
，
数列
1
na
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
1
2n
na
，
2
1
n
na
.
题型八：正项等比数列的对数成等差数列的应用
1．设
na
为等比数列，则“对于任意的
*
N
n
，
2
n
n
a
a
”是“
na
为递减数列”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分、必要条件、等比数列的单调性等知识进行分析，从而确定正确答案.
【解析】设等比数列
na
的公比为,
0
q q
，
若
2
2
2
1
0
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
q
，
当
1
0
a
时，由
2
1
1
0
a
q
得
2
1
0
q
，
解得1
0
q
或0
1
q
，
若1
0
q
，则
1
2
0
a
a q
，此时
2
2
1
0
a
q
与已知矛盾；
若0
1
q
，则
0
na
，此时
na
为递减数列.
当
1
0
a
时，由
2
1
1
0
a
q
得
2
1
0
q
，
解得
1
q 或
1
q
，
若
1
q ，则
2
1
0
a
a q
，此时
2
2
1
0
a
q
与已知矛盾；
若
1
q
，则
0
na
，此时此时
na
为递减数列.
反之，若
na
为递减数列，则
2
n
n
a
a
，
所以“对于任意的
*
N
n
，
2
n
n
a
a
”是“
na
为递减数列”的充分必要条件.
故选：C
2．已知等差数列
na
的前项和为
n
S ，且
11
10
12
S
S
S
，若
2023 n
a
nb
，数列
nb
的前n项积为
nT ，则使
1
nT
的最大整数n 为（
）
A．20
B．21
C．22
D．23
【答案】B
【分析】先判断出
11
11
12
12
0,
0,
0
a
a
a
a
，从而得到
11
1
b ，12
1
b
，
2
11 1
1
b b ，故可判断
20
21
22
23
,
,
,
T
T
T
T 与
1 的大小关系.
【解析】设等差数列
na
的公差为d ，则
1
1
2023
2023
n
n
a
d
a
n
n
b
b
，
故
nb
为各项为正数的等比数列.
因为
11
10
12
S
S
S
，故
11
1
2
1
1
0,
0
a
a
a
，故
12
0
a
，
故
11
11
1
2023a
b
，
12
12
1
2023a
b
，
1
1
1
2
1 12
1
1
2023a
a
b b
，
故
1
2
11
1
b
b
b
，
12
13
1
b
b
，
所以
19
20
1
2
20
1
2 20
10 12
11
1 11
1
T
b
b
b
b
b b
b b
b
bb
，
21
21
1
2
21
1 21
2 20
10 12
11
11
1
T
b
b
b
bb
b b
b b
b
b
，
11
22
1
2
22
1 22
2
21
11 12
11 12
1
T
b
b
b
b b
b b
b b
b b
，
所以
23
22 23
1
T
T b
，
故选：B.
3．等比数列
na
中，
1012
1
a
，
1011
1012
a
a
，则满足
1
2
1
2
1
1
1
0
n
n
a
a
a
a
a
a
的最大正整数n
为（
）
A．2021
B．2022
C．2023
D．2024
【答案】B
【分析】根据题意得
2
1
1
1
n
a q ，结合
1012
1
a
，
1011
1012
1
a
a
及等比数列的通项公式从而可求解.
【解析】由题意知：
1
2
1
2
1
1
1
0
n
n
a
a
a
a
a
a
，
即：
1
2
1
2
1
1
1
n
n
a
a
a
a
a
a
，得：
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
q
a
q
a
q
a
q
q
q
q
因为：
1012
1
a
，
1011
1012
1
a
a
，所以：0
1
q
，
2
1
1
1
n
a q
由
1
1
1
1
n
a a q
，得：
1
1
n
a a
，
因为：
2
1
2023
1012
1
a a
a
，
1
2022
1011 1012
1
a a
a
a
所以：
max
2022
n
，故B 项正确.
故选：B.
题型九：等比数列的单调性
1．等比数列
na
公比为
1
q q
，1
0
a
，若
1
2
3
n
n
T
a a a
a
（n
N ），则“
1
q
”是“数列
nT
为递增数列”
的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据等比数列的通项公式，结合等差数列的前n 项和公式、充分性和必要性的定义进行判断即可.
【解析】因为等比数列
na
公比为q，
所以
(
1)
1
1 2
1
2
1
1
1
3
1
2
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
T
a a
a
a q
a q
a
q
a
a
q
a
，
当
1
1 ,
2
2
a
q
时，
1
1
2
T
，
2
1
2
T
，显然数列
nT
为不是递增数列；
当“数列
nT
为递增数列”时，有
1
n
n
T
T
，
因为
1
0
a
，所以如果
0
q
，例如
1
1,
1
a
q
，显然有
1
1
T ，
2
1
T ，显然数列
nT
为不是递增数列，
因此有
1
0
a
，
0
q
，
所以由
1
n
n
T
T
(
1)
1
2
1
1
1
(
1)
2
1
1
n n
n
n
n
n n
n
n
T
a
q
a q
T
a
q
，
当
1
1,
1
a
q
时，显然
1
1
n
a q
对于
N
N
恒成立，
当
1
1,0
1
a
q
时，
1
1
n
a q
对于
N
N
不一定恒成立，例如
1
1
2,
3
a
q
；
当
1
0
1,
1
a
q
时，
1
1
n
a q
对于
N
N
不一定恒成立，例如
1
1
1
,
2
5
a
q
；
当
1
0
1,0
1
a
q
时，
1
1
n
a q
对于
N
N
恒不成立，
因此“
1
q
”是“数列
nT
为递增数列”的必要不充分条件，
故选：B
2．设等比数列
na
的公比为q，前n 项积为
nT ，并且满足条件
1
1
a ，
6
7
1
a a ，
6
7
1
0
1
a
a
，则下列结论正
确的是（
）
A．
6
8
1
a a
B．0
1
q
C．
1
q
D．
nT 没有最大值
【答案】B
【分析】根据给定条件，结合等比数列通项分析求出公比q的范围，再逐项分析判断作答.
【解析】在等比数列
na
中，由
1
1
a ，
6
7
1
a a ，得
2
11
1
1
a q
，即有
0
q
，
0
na
，
若
1
q ，则
6
1
a ，
7
1
a ，此时
6
7
1
0
1
a
a
，与已知条件
6
7
1
0
1
a
a
矛盾，因此0
1
q
，B 正确，C 错误；
显然数列
na
是递减数列，由
6
7
1
0
1
a
a
，得
7
6
1
a
a
，则
2
6
8
7
1
a a
a
，A 错误；
由于
1
1
n
n
n
T
a
T
，当
N ,
5
n
n
，
1
1
na ，而
0
nT
，则
1
n
n
T
T
，当
6
n
时，
1
1
na ，则
1
n
n
T
T
，
因此当
6
n
时，
nT 逐渐增大，当
6
n
时，
nT 逐渐减小，所以
nT 的最大值为
6T ，D 错误.
故选：B
3．设等比数列
na
的公比为q，其前n项和为
n
S ，前n 项积为
nT ，且满足条件
1
1
a ，
2022
2023
1
a
a
，
2022
2023
1
0
1
a
a
，则下列选项不正确的是（
）
A．
na
为递减数列
B．
2022
2023
1
S
S
C．
2022
T
是数列
nT
中的最大项
D．
4045
1
T
【答案】B
【分析】根据已知条件求得q的范围，再根据等比数列的性质，对选项逐一判断即可.
【解析】因为数列
na
为等比数列，且
1
1
a ，
2022
2023
1
a
a
，所以
0
q
，即数列
na
为正项等比数列，
当
1
q 时，则
1
1
1
n
na
a q
，不满足
2022
2023
1
0
1
a
a
，舍去，
所以0
1
q
，即数列
na
为单调递减数列，A 说法正确；
由
2022
2023
1
0
1
a
a
可得
2022
1
a
，
2023
0
1
a
，
所以
202
2023
2022
3
1
a
S
S
，即
2022
2023
1
S
S
，B 说法错误；
因为数列
na
单调递减，且
2022
1
a
，
2023
1
a
，所以
2022
T
是数列
nT
中的最大项，C 说法正确；
由等比中项可知
4045
4045
1
2
4045
2023
1
T
a a
a
a
，D 说法正确；
故选：B
题型十：求等比数列的最值
1．已知正项等比数列
na
满足
8
11
12
1
8,
4
4
a
a
a
，则
1
2
n
a a
a
取最大值时n 的值为（
）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】B
【分析】利用等比数列的通项公式及函数的单调性，结合数列的单调性即可求解.
【解析】设等比数列
na
的公比为
0
q q
，有
3
4
11
12
8
4
1
4
32
a
a
q
q
a
，
由函数
3
4
4
0
f x
x
x
x
单调递增，且
1
1
4
32
f
，可得
1
4
q
.
有
9
10
1
2,
2
a
a
，由数列
na
单调递减，
所以
1
2
n
a a
a
取得最大值时n 的值为9，
故选：B.
2．设等比数列{
}
na
的公比为q，其前n 项之积为
nT ，并且满足条件：
1
1
a ，
2019
2020
1
a
a
，
2019
2020
1
0
1
a
a
，
给出下列结论：①0
1
q
；②
2019
2021
1
0
a
a
；③
2019
T
是数列{ }
nT
中的最大项；④使
1
nT 成立的最大
自然数等于4039；其中正确结论的序号为（
）
A．①②
B．①③
C．①③④
D．①②③④
【答案】B
【分析】由题意可得
2019
1
a
，
2020
1
a
，结合等比数列的性质逐一核对四个命题得答案．
【解析】
1
1
a
Q
，
2019
2020
1
a
a
，
2019
2020
1
0
1
a
a
，
2019
1
a
，
2020
1
a
．
0
1
q
，故①正确；
2
2019
2021
2020
1
a
a
a
，
2019
2021
1
0
a
a
，故②不正确；
2020
1
a
，
2019
T
是数列{ }
nT
中的最大项，故③正确；
2020
4039
4039
1
2
4038
4039
1
T
a a
a
a
a
，
2019
4038
1
2
4037
4038
2019
2020
(
)
1
T
a a
a
a
a
a
，
使
1
nT 成立的最大自然数等于4038，故④不正确．
正确结论的序号是①③．
故选：B．
【点睛】本题考查等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质，考查推理能力与计算能力，
属于中档题．
3．设数列
m
A
：1a ，2a ，…，
2
m
a
m
，若存在公比为q 的等比数列
1
m
B
：1b ，2b ，…，
1
m
b ，使得
1
k
k
k
b
a
b
，
其中
1
k ，2，…，m，则称数列
1
m
B
为数列
m
A
的“等比分割数列”.若数列
10
A
的通项公式为
2
1,2,
,10
n
na
n
，其“等比分割数列”
11
B
的首项为1，则数列
11
B
的公比q 的取值范围是（
）
A．
9
10
2 ,2
B．
10
11
2 ,2
C．
10
9
2,2
D．
11
10
2,2
【答案】C
【分析】由题意可得，
1
2
1,2,3,
,10
n
n
n
q
q
n
L
，从而可得
2
q
且
1
2
1,2,3,
,10
n
n
q
n
L
，可得
1
2
2
n
n
q
，再根据指数函数的单调性求出
1
2
n
n的最小值即可
【解析】由题意可得，
1
2
1,2,3,
,10
n
n
n
q
q
n
L
，
所以
2
q
，且
1
2
1,2,3,
,10
n
n
q
n
L
，
当
1
n 时，1
2
成立；当
2
n
，3，…，10 时，应有
1
2
n
n
q
成立，
因为
2x
y
在R 上单调递增，所以
1
1
1
1
2
2
n
n
n
随着n 的增大而减小，
故
10
9
2
q
，综上，q 的取值范围是
10
9
2,2
.
故选：C.
题型十一：等比数列在传统文化中的应用
1.“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出
了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单
音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12 2 .若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A．3 2 f
B．3
2
2 f
C．12
5
2 f
D．12
7
2 f
【答案】D
【详解】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.
详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为12 2 ，
所以
12
1
2
(
2,
)
n
n
a
a
n
n
N
，
又
1a
f
，则
12
7
7
7
12
8
1
( 2)
2
a
a q
f
f
故选D.
2.在第24 届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿
景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一
段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程，若第1 个图中的三角形的周长为3，则
第4 个图形的周长为
.
【答案】64
9
【详解】由题意，当
1
n 时，第1 个图中的三角形的边长为1，三角形的周长为3 1
3
；
当
2
n
时，第2 个图中“雪花曲线”的边长为1
1
1
3
3
，共有3 4
条边，
其“雪花曲线”周长为
1
3 4
4
3
；
当
3
n
时，第3 个图中“雪花曲线”的边长为
2
1
1
1
1
( )
3
3
3
，共有
2
3
4
条边，
其“雪花曲线”周长为
2
2
1
3 4
( )
3
；
当
4
n
时，第4 个图中“雪花曲线”的边长为
3
1
1
1
1
1
( )
3
3
3
3
，共有
3
3 4
条边，
其“雪花曲线”周长为
3
3
1
64
3 4
( )
3
9
.
故答案为：64
9 .
3.谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形（如图1），
沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形（如图2），对剩下的三个小三角形继续
以上操作（如图3），按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形．如果图1 三角形的边长为2，
则图4 被挖去的三角形面积之和是（
）
A．7 3
16
B．9 3
16
C．27 3
64
D．37 3
64
【答案】D
【详解】第一种挖掉的三角形边长为
1
2
1
2
，共1个，面积为
2
3
3
1
1
4
4
；
第二种挖掉的三角形边长为
1
1
1
2
2
，共3个，面积为
2
3
1
3 3
3
4
2
16
，
第三种挖掉的三角形边长为1
1
1
2
2
4
，共9个，
面积为
2
3
1
9 3
9
4
4
64
，
故被挖去的三角形面积之和是
3
3 3
9 3
37 3
4
16
64
64
.
故选：D
4.科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图1 将线段AB 等分为线段
,
,
AC CD DB，
如图2.以CD 为底向外作等边三角形CMD，并去掉线段CD ，将以上的操作称为第一次操作；继续在图2
的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成如图3 的曲线.设线段AB 的长度为1，则图3 中曲线
的长度为（
）
A．2
B．16
9
C．64
27
D．3
【答案】C
【详解】依题意，一条线段经过一次操作，其长度变为原来的4
3 ，
因此每次操作后所得曲线长度依次排成一列，构成以4
3 为首项，4
3 为公比的等比数列，
所以当进行三次操作后的曲线长度为
3
4
64
( )
3
27
.
故选：C
模块三：综合巩固
1．在等比数列
na
中，
3
7
1,
9
a
a
，则
5a （
）
A．-3
B．3
C．3 或-3
D．1
3 或
1
3
【答案】B
【分析】令等比数列
na
的公比为q，根据等比数列的通项公式可得
2
3
q ，进而可求解.
【解析】令等比数列
na
的公比为q，则
4
7
3
a
a q
，
所以
4
9
q
，解得
2
3
q ，
所以
2
5
3
1 3
3
a
a q
.
故选：B.
2．已知等比数列
na
满足
5
1
3
1
3
a
a
a
a
，则
10
2
6
2
a
a
a
a
（
）
A．1
B．3
C．4
D．15
【答案】B
【分析】根据题意结合等比数列的通项公式运算求解.
【解析】设
na
的公比为
0
q
，
因为
4
1
2
5
1
2
3
1
1
1
1
3
1
a
q
a
a
q
a
a
a
q
，解得
2
2
q
，
所以
8
1
4
10
2
4
6
2
1
1
1
3
1
a q q
a
a
q
a
a
a q q
.
故选：B.
3．已知数列
na
是以2 为首项，1为公差的等差数列；
nb
是以1为首项，2 为公比的等比数列，则
1
2
3
4
b
b
b
b
a
a
a
a
（
）
A．18
B．19
C．30
D．34
【答案】B
【分析】利用等差数列、等比数列的定义与性质计算即可.
【解析】由题意可知
1
2
3
4
1,
2,
4,
8
b
b
b
b
，
2
1
1
na
n
n
，
所以
1
2
3
4
1
2
3
4
1
1
1
1
2
3
5
9
19
b
b
b
b
a
a
a
a
b
b
b
b
.
故选：B
4.设
na
是等比数列，且
1
3
3
a
a
，
3
5
6
a
a
，则
9
11
a
a
（
）
A．24
B．36
C．48
D．64
【答案】C
【详解】在等比数列
na
中，设公比为q，
∵
1
3
3
a
a
，
3
5
6
a
a
，
∴
3
5
1
3
1
1
3
2
2
3
2
2
a
a
q
q
a
a
a
a
a
a
q
，
∴
8
4
9
11
1
3
3
2
18
a
a
a
a
q
，
故选：C.
5.在等比数列
na
中，
1
8
a ，
4
64
a
，则q （
）
A．3
B．3
C．2
D．2
【答案】C
【详解】
3
4
1
a
a q
，
3
64
8q
，解得：
2
q =
.
故选：C.
6.数列1，1，1，…，1，…必为（
）
A．等差数列，但不是等比数列
B．等比数列，但不是等差数列
C．既是等差数列，又是等比数列
D．既不是等差数列，也不是等比数列
【答案】C
【详解】数列1，1，1，…，1，…是公差为0 的等差数列，也是公比为1 的等比数列.
故选：C.
7.已知等比数列
na
的各项均为正数，若
2
1
a ，
8
6
4
2
3
a
a
a
，则
9a （
）
A．18 3
B．36 3
C．27
D．27 3
【答案】D
【详解】设
na
的公比为q，则
6
8
2
a
a q
，
4
6
2
a
a q
，
4
2
2
a
a q
．
因为
8
6
4
2
3
a
a
a
，所以
6
4
2
2
3
q
q
q
，因为
0
q
，所以
4
2
2
2
2
3
1
3
0
q
q
q
q
，所以
2
3
q ．
因为
na
的各项均为正数，所以
3
q
．因为
2
1
a ，所以
7
9
2
27 3
a
a q
．
故选：D
8.已知数列
na
满足
1
1
3
n
n
a
a
，若
4
5
4
a
a
，则
2
3
a
a
（
）
A．4
9
B．4
3
C．12
D．36
【答案】D
【详解】由
1
1
3
n
n
a
a
可知数列
na
是公比为
1
3
q
的等比数列，
所以
2
2
2
4
5
2
3
2
3
2
3
1
4
9
a
a
a
q
a
q
a
a
q
a
a
，
解得：
2
3
36
a
a
.
故选：D.
9．已知正项等比数列
na
中，
2
2023
4
a a
，则
2
1
2
2
2
2024
log
log
log
a
a
a
（
）
A．1012
B．2024
C．
1012
2
D．
2024
2
【答案】B
【分析】根据等比数列性质得到
1
2024
2
20
2
1
3
01
23
022
1013
2
4
a a
a a
a a
a
a
，结合对数运算法则求出答案.
【解析】正项等比数列
na
中，
2
2023
4
a a
，
故
1
2024
2
20
2
1
3
01
23
022
1013
2
4
a a
a a
a a
a
a
，
故
2
1
2
2
2
2024
2
1
2
2023
2024
log
log
log
log
a
a
a
a a
a
a
2
1
2024
2
2023
1013
1012
10
2
2
12
4
log
l
4
1012
4
1012 2
o
202
og
l g
a a
a a
a
a
.
故选：B
10．已知数列
na
各项均为正数，
1
3
a
，且有
1
2
3
n
n
a
a
，则
na （
）
A．
1
2
1
n
B．
3
2
1
n
C．
1
4
2
1
n
D．
1
2
2
1
n
【答案】D
【分析】设
1
2
n
n
b
a
，根据题设中的递推关系可得
1
1
2
1
n
n
b
b
，故利用等比数列的通项公式可求
2
1
n
nb
，
从而可求
na
的通项公式.
【解析】
1
2
3
n
n
a
a
，
1
2
2
2
1
n
n
n
n
a
a
a
a
，
显然若
2
0
na
，则
1
2
0
na
，则
*
N
n
，
2
na
，与题意矛盾，
所以
*
N
n
，
2
0
na
，两边同时取倒数，得：
1
1
2
1
2
2
2
n
n
n
n
a
a
a
a
，
设
1
2
n
n
b
a
，
1
1
b ，
1
1 2
n
n
b
b
，
1
1
2
1
n
n
b
b
，
因为
1
1
2
0
b
，故
1
0
nb
，故
1
1
2
1
n
n
b
b
，所以
1
nb
为等比数列，
所以
1
1
2
2
2
n
n
nb
，故
2
1
n
nb
，所以
1
2
1
2
n
na
，
故
1
2
2
1
n
n
a
，
故选：D.
11.已知公差不为0 的等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
1a ，
2
6
a
a
，
4a 成等比数列，则
10
20
S
S
（
）
A．1
20
B．1
22
C．3
20
D．3
22
【答案】B
【详解】因为
1a ，
2
6
a
a
，
4a 成等比数列，所以
2
1
4
2
6a
a
a
a
，
又
2
6
4
2
a
a
a
，所以
2
4
1
4
4a
a a
，
显然
4
0
a
，所以
4
1
4a
a
，即
1
1
4
3
a
d
a
，
所以
1
4
a
d
，又
0
d
，
所以
1
10
20
1
10 10 1
10
1
2
20 20 1
22
20
2
a
d
S
S
a
d
.
故选：B
12.分形几何是一门新兴学科，图1 是长度为1 的线段，将其三等分，以中间线段为边作无底边正三角形得
到图2，称为一次分形；同样把图2 的每一条线段重复上述操作得到图3，称为二次分形；……，则第5 次
分形后图形长度为（
）
A．
10
2 27
B．13
381
C．
52
4 243
D．
451
5 729
【答案】C
【详解】图1 的线段长度为1，图2 的线段长度为4
3 ，图3 的线段长度为
2
4
3
，
，
则一次分形长度为
1
4
3
a
，二次分形长度为
2
2
4
3
a
，
，
n 次分形后线段的长度为4
3
n
，
故5 次分形后长度为
5
5
4
52
4
3
243
a
，
故选：C.
13.正项等比数列
na
中，
3
1
2
2
a
a
a
，若
2
1
16
m
n
a a
a
，则4
1
m
n
的最小值等于（
）
A．1
B．3
5
C．13
6
D．3
2
【答案】D
【详解】设
na
的公比为q，则
2
1
1
1
2
a q
a
a q
，
因为
1
0
a
，所以
2
2
0
q
q
，解得
2
q =
或1
（舍去），
1
1
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
16
m
n
m n
m
n
a a
a
a
a
a
，故
2
4
m
n
，即
6
m
n
，
4
1
1
4
1
1
4
1
4
3
4
1
5
2
6
6
6
2
n
m
n m
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
，
当且仅当4n
m
m
n
，即
4,
2
m
n
时，等号成立，
故4
1
m
n
的最小值等于3
2
故选：D
14.（多选）已知数列
na
的首项为4，且满足
*
1
2(
1)
0
N
n
n
n
a
na
n
，则（
）
A．
na
n
为等差数列
B．
na
为递增数列
C．
na
n
为等比数列
D．
1
2
n
n
a
的前n 项和
2
2
n
n
n
T
【答案】BCD
【详解】由
*
1
2(
1)
0
N
n
n
n
a
na
n
可得
*
1
2
N
1
n
n
a
a
n
n
n
，所以数列
na
n
为等比数列，且公比为2，
故A 错误，C 正确，
1
1
4 2
2
n
n
n
n
a
a
n
n
，由于
, 2n
n
均为单调递增的数列，且各项均为正数，所以
na
为递增数列，B
正确，
1
2
n
n
a
n
，设
1
2
n
n
a
的前n 项和为
nT ，则
2
2
n
n
n
T
，D 正确，
故选：BCD
15.(多选)下列命题中，正确的有（
）
A．数列
na
中，“
1
2
2,
n
n
a
a
n
n
N
”是“
na
是公比为2 的等比数列”的必要不充分条件
B．数列
na
的通项为
2
2
na
n
n
，若
na
为单调递增数列，则
4
C．等比数列
na
中，
2a ，
10
a 是方程
2
8
4
0
x
x
的两根，则
6
2
a
D．等差数列
na
，
nb
的前n 项和为分别为
n
S ，
nT ，若
5
7
15
13
S
T
，则
3
4
21
13
a
b
【答案】AD
【详解】A：因为当
0
na
时，显然数列
na
不可能是等比数列，
但是
na
是公比为2 的等比数列一定有
1
2
2,
n
n
a
a
n
n
N
成立，
因此选项A 正确；
B：因为
na
为单调递增数列，
所以有
2
2
1
2
1
1
2
4
2
n
n
a
a
n
n
n
n
n
，
因为函数
N
4
1
f n
n
n
是减函数，所以
1
6
f
，
因此选项B 不正确；
C：因为在等比数列
na
中，设公比为q ，
2a ，
10
a 是方程
2
8
4
0
x
x
的两根，
所以有
2
10
2
10
4
0,
8
0
a
a
a
a
，于是有
2
10
0,
0
a
a
，
而
4
6
2
0
a
a
q
，
所以
6
2 10
4
2
a
a a
，因此选项C 不正确；
D：因为等差数列
na
，
nb
的前n 项和为分别为
n
S ，
nT ，
所以由
1
5
5
3
3
1
7
7
4
4
5
5
15
15
15
21
2
13
13
7
13
13
7
2
a
a
S
a
a
b
b
T
b
b
，
因此选项D 正确，
故选：AD
16.已知
1
1
a ，
1
3
2
N
n
n
a
a
n
，则通项公式
na
.
【答案】
1
2 3
1
n
【详解】
1
1
1
3
2
3
1
n
n
n
n
a
a
a
a
，
因此数列
1
na
是以1 1
2
为首项，3 为公比的等比数列，
因此
1
1
1
2 3
2 3
1
n
n
n
n
a
a
，
故答案为：
1
2 3
1
n
17.记等比数列
nb
的前n 项和为
nT ，且
3n
nT
a
，则
a
.
【答案】1
【详解】当
1
n 时，
1
1
3
b
T
a
；当
2
n
时，
1
1
1
3
3
2 3
n
n
n
n
n
n
b
T
T
a
a
，
由数列
nb
是等比数列，则
3
2
2
1
b
b
b
b
，则
2
2 3
2 3
2 3
3
a
，解得
1
a .
故答案为：1
.
18.数列
na
的满足
1
3
a
，
*
1
2
1
N
n
n
a
a
n
，
2
log
1
n
n
b
a
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)将数列
nb
中去掉数列
na
的项后余下的项按原来的顺序组成数列
nc
，求数列
nc
的前50 项和
50
S ．
【答案】(1)
2
1
n
na
(2)1473
【详解】（1）因为
1
2
1
n
n
a
a
，
所以
1
1
2(
1)
n
n
a
a
，
又因为
1
2
0
1
3 1
a
，
所以
1
2
n
n
a
a
，
*
N
n
，
所以数列
1
na
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
则
1
1
2 2n
na
，即
2
1
n
na
．
（2）由
2
log
1
n
n
b
a
得，
2
log 2n
n
n
b
，
因为
50
5
6
50,
33,
65
b
a
a
，
所以
50
S 中要去掉数列
na
的项有5 项，
所以
50
1
2
50
1
2
5
(
)
(
)
S = b
b
b
a
a
a
55 (1 55)
(3
5
9 17
33)
1473
2
．
19.设各项都是正数的数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
1
a ，且
2
2
n
n
n
a
a
S
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
1
1
b ，
1
2
3
n
a
n
n
b
b
，求数列
nb
的通项公式．
【答案】(1)
na
n
(2)
1
1
5 3
2
n
n
nb
【详解】（1）已知
2
2
n
n
n
a
a
S
，得
2
1
1
1
2
2
n
n
n
a
a
S
n
，
两式作差，得
2
2
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
，即
1
1
1
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
．
又数列
na
的各项都是正数，所以
1
0
n
n
a
a
，所以
1
1
2
n
n
a
a
n
，
显然数列
na
是以1 为首项，1 为公差的等差数列，
所以
na
n
；
（2）由（1）得
1
3
2n
n
n
b
b
，故
1
1
3
2
2
n
n
n
nb
b
，
而
1 1
1
2
5
0
b
，故
1
2n
nb
是首项为5，公比为3 的等比数列，
所以
1
1
2
=5 3
n
n
nb
，故
1
1
5 3
2
n
n
nb
.
