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专题07 数列
能力提升检测卷
时间：60分钟 分值：120分
一、选择题（每小题只有一个正确选项，共60分）
1．已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 ，利用累加法得出 .
【详解】由题意可得 ，
所以 ， ，…， ，
上式累加可得
，
又 ，所以 .故选：B.
2．等差数列 前 项和为 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将 化成 和 的形式，得到二者关系，求得 ，利用 求得结
果.【详解】
，即
故选：C.
3．在等比数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题设结合等比数列通项公式求得公比 ，进而求 .
【详解】由题设， ，又 ，可得 ，∴ .故选：A
4．已知等差数列 的前 项和 ，且 ， ，则 最小时， 的值为
（ ）.
A．2 B．1或2 C．2或3 D．3或4
【答案】C
【分析】先由已知条件求出等差数列的首项和公差，从而可表示出 ，
进而利用二次函数的性质可求得结果
【详解】解：设等差数列 的公差为 ，
因为 ， ，
所以 ，解得 ， ，
所以 ，
因为 ，所以当 或 时，其有最小值.故选：C
5．设 是等比数列，且 ， ，则 （ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
【答案】D
【分析】根据已知条件求得 的值，再由 可求得结果.
【详解】设等比数列 的公比为 ，则 ，
，
因此， .故选：D.
6．在正项等比数列 中，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】根据等比数列的性质可得 ，由题意 ，解得 ，再
根据等比数列通项公式求得公比 ，从而得到数列 的通项公式.
【详解】 在等比数列 中，，解得 或
当 时， ，
，
；
当 时， ，
，
综上所述： 或 ，故选：C.
7．设数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的前
10项的和是
A．290 B． C． D．
【答案】C
【分析】由 得 为等差数列，求得 ，得
利用裂项相消求解即可
【详解】由 得 ，
当 时， ，整理得 ，
所以 是公差为4的等差数列，又 ，
所以 ，从而 ，
所以 ，数列 的前10项的和 .故选 .
8．已知数列{a }满足：a＝－13，a＋a＝－2，且a ＝2a－a (n≥2)，则数列
n 1 6 8 n－1 n n＋1
的前13项和为
A． B．－ C． D．－
【答案】B
【分析】根据题干变形可得到数列{an}为等差数列，再由等差数列的公式得到通项，最终
裂项求和即可.
【详解】an ＝2an－an (n≥2)，可得an －an＝an－an ，
－1 ＋1 ＋1 －1
可得数列{an}为等差数列，设公差为d，由a＝－13，a＋a＝－2，即为2a＋12d＝－2，
1 6 8 1
解得d＝2，则an＝a＋(n－1)d＝2n－15.
1
，即有数列 的前13项和为
＝ × ＝－ .故选B.
9．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a–a=12，a–a=24，则 =（ ）
5 3 6 4
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
【答案】B
【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利
用等比数列的通项公式和前 项和公式进行求解即可.
【详解】设等比数列的公比为 ，
由 可得： ，
所以 ，
因此 .故选：B.
10．已知数列 的前 项和为 ， ， 且 ，满足 ，数列
的前 项和为 ，则下列说法中错误的是（ ）A． B．
C．数列 的最大项为 D．
【答案】D
【解析】当 且 时，由 代入 可推导出数列 为等
差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列 的通项公式，由 可判断A
选项的正误；利用 的表达式可判断BC选项的正误；求出 ，可判断D选项的正误.
【详解】当 且 时，由 ，
由 可得 ，
整理得 （ 且 ）.
则 为以2为首项，以2为公差的等差数列 ， .
A中，当 时， ，A选项正确；
B中， 为等差数列，显然有 ，B选项正确；
C中，记 ，
，
，故 为递减数列，
，C选项正确；
D中， ， ， .
，D选项错误.
故选：D．11．已知等差数列 的前n项和为 ， ，若 ，且 ，则m
的值是
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】由等差数列性质求出 ，由等差数列前n项可求得m．
【详解】∵ 是等差数列，∴ ， ，
∴ ， ．故选：C．
12．设等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．28 B．32 C．16 D．24
【答案】B
【分析】由等差数列 前n项和的性质，可得 ， ， ， 成等差数
列，结合题干数据，可得解
【详解】由等差数列 前n项和的性质，
可得 ， ， ， 成等差数列，
∴ ，解得 .
∴ 2，6，10， 成等差数列，
可得 ，解得 .故选：B
二、填空题（共4小题，共20分）
13．数列 的前 项和为 ，则 ______.
【答案】12
【分析】根据数列的前 项和 与数列的通项 的关系求解.
【详解】由数列的前 项和 与数列的通项 的关系可得 ，
又 ，所以 ， ，
所以 ，故答案为：12.
14．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）
○●○○●○○○●○○○○●……,若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前
2006个圆中有实心圆的个数为______.
【答案】61
【分析】将这些圆分段处理, 第一段2个圆，第二段3个圆，第三段4个圆,……,然后利用
等差数列的前 项和公式计算前 段和前 段的和,可知答案.
【详解】解：将这些圆分段处理，第一段2个圆，第二段3个圆，第三段4个圆，……，可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆，由于本题要求前2006个圆中实心圆的个数，
因此找到第2006个圆所在的段数很重要，
因为 ，
而 ，
因此,前2006个圆中共有61个实心圆，故答案为:61.
15．将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为
________．
【答案】
【分析】首先判断出数列 与 项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成
新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.
【详解】因为数列 是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列 是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列 是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以 的前 项和为 ，
故答案为： .
16．已知数列{an}满足a＝1， （ ），则an＝__．
1
【答案】
【分析】利用数列的递推关系式推出 是等差数列，然后求解通项公式即可．
【详解】数列{an}满足a＝1， （ ），
1
可得： ， ,
所以 是等差数列，首项为 ，公差为1，
所以 1+（n﹣1）×1＝n，所以 ．故答案为：
三、解答题（共40分）
17．在正项数列 中， ， ， .
（1）求数列 与 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .【答案】（1） ， ，（2）
【解析】（1）在已知等式 两边同时除以 ，即可证得 是
等比数列（必须求出 ），然后可求得 ，解方程 可得 ；
（2）由（1）求出 ，其前 项和用分组求和法，一部分由等差数列
前 项和公式可得，另外一部分用错位相减法求和．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∴ .
又 ，∴ 是首项为2，公比为2的等比数列，
从而 .
∵ ，∴ ，又 ，解得 .
（2） ，
设数列 的前 项和为 ，
则 ，
，
则 ，
即 ，
即 ，
故 .
18．已知数列 中， ，点 在直线 上.
(1)求数列 的通项公式及其前 项的和 ；
(2)设 ，证明： .【答案】(1) ， ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据等比数列的通项公式结合前 项和公式，即可求得结果；
（2）利用错位相减法求得 的前 项和，再证明即可.
(1)因为点 在直线 上，所以 ，又 ，
故数列{ }是以3为公比，3为首项的等比数列，所以 ， .
(2)由题可知 ，记 ，
所以 ①
① ，得 ②
① ②，得 ，
故 ，又 ，故 ，即证.
19．已知数列 的前n项和为 ， ，且 .
（1）求数列 的通项；
（2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任
意 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）由 ，结合 与 的关系，分 讨论，得到数列 为
等比数列，即可得出结论；
（2）由 结合 的结论，利用错位相减法求出 ， 对任意
恒成立，分类讨论分离参数 ，转化为 与关于 的函数的范围关系，即可求解.
【详解】（1）当 时， ，
，
当 时，由 ①，
得 ②，① ②得，
又 是首项为 ，公比为 的等比数列，
；
（2）由 ，得 ，
所以 ，
，
两式相减得
，
所以 ，
由 得 恒成立，
即 恒成立，
时不等式恒成立；
时， ，得 ；
时， ，得 ；
所以 .
20．记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
【答案】(1) ；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得： ，则： ，
设等差数列的公差为 ，从而有： ，
，
从而： ，由于公差不为零，故： ，
数列的通项公式为： .
(2)由数列的通项公式可得： ，则： ，
则不等式 即： ，整理可得： ，
解得： 或 ，又 为正整数，故 的最小值为 .
