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4.3 等比数列
【题组一 等比数列基本量计算】
1．（2020·自贡市田家炳中学开学考试）已知 是等比数列， ， ，则公比 （ ）
A． B．-2 C．2 D．
【答案】D
【解析】由题意可得 ，故可得 故选：D．
2．（2020·福建学业考试）等比数列2，4，8，…的公比为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】由已知2，4，8，…为等比数列，则公比 .故选：C.
3．（2020·江西省信丰中学月考（文））设 为等比数列{ }的前n项和, ,则 ＝
A．10 B．9 C．-8 D．-5
【答案】A
【解析】由 ,得 ,故 .故选：A
4．（2020·长春市第二实验中学开学考试）在等比数列 中， ， ，则公比 等于
（ ）
A．4 B．2 C． D． 或4
【答案】C
【解析】因为在等比数列 中， ， ，所以 ，则 .故选：C.5．（2020·江西省奉新县第一中学月考（文））在各项均为正数的等比数列 中，前 项和为 ，若
， ，则公比 的值是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【解析】∵在各项均为正数的等比数列 中，公比 ，又由 ， ，可得 ，
故由求和公式可得 ， ，两式相比可得 ，
解得 ，故选：B.
6．（2020·云南一模（理））数列 是等差数列， ，且 构成公比为q的等比数列，则
（ ）
A．1或3 B．0或2 C．3 D．2
【答案】A
【解析】设等差数列 的公差为d，∵ 构成公比为q的等比数列，∴ ，
即 ，解得 或2，所以 或 ，所以 或3，故选：A
7．（2020·古丈县第一中学高一期末）等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ， 成等差数列，
则 的公比为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】设等比数列 的公比为 ，
因为 ， ， 成等差数列，所以 ，所以 ，
化为： ，解得 ．
故选：D
8．（2020·钦州市第三中学高三月考（文））设等比数列 的前 项和为 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时， ；
当 时， ，解得 .故选C.
9．（2020·福建莆田一中期中）在正项等比数列 中，若 依次成等差数列，则 的公比为
（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【解析】由题意知 ，又 为正项等比数列，所以 ，且 ，所以
，所以 或 （舍），故选A
10．（2020·天水市第一中学期末（理））记S 为等比数列{a}的前n项和.若 ，则
n n
S=___________．
4
【答案】 .【解析】设等比数列的公比为 ，由已知
，即 解得 ，
所以 ．
11（2020·全国月考（理））设正项等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，若 ，则
_______________.
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，化简得 ，
因为等比数列 的各项为正数，所以 ，所以 ，故答案为：
12．（2019·浙江高二学业考试）已知数列 满足 ，则 ＝________.
【答案】4
【解析】因为 ，所以 ，即数列 是以2为公比的等比数列，
所以 .故答案为：4.
【题组二 等比数列中项性质】
1．（2020·赣州市赣县第三中学高二月考（理））等比数列 的各项均为正数，且 ，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】A
【解析】 等比数列 的各项均为正数，且 ，
由等比数列的性质可得： ，
．故选： ．
2．（2019·中区·山东省实验中学月考）已知正项等比数列 满足 ，若存在两项 ，
使得 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，正项等比数列 满足 ，
所以 ，即 ，
解得 或 ，
因为数列 是正项等比数列，
所以 ，
所以 ，
又知道 ，
所以 ，即 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，因为 、 为正整数，故等号不成立，
当 ， 时， ，
当 时， ，
当 ， 时， ，
故 的最小值为
故选： ．
3.（2020·贵州省思南中学月考）已知等比数列 中，若 且 ，则
（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】B
【解析】根据题意，设等比数列 的公比为 ，若 ，
则有 ，解得 ，
由 ，即 ，则有 ，
解可得 或 ，又由 ，则 ，
则 ，
故选：B.
4．（2020·全国高二月考（文））等比数列 的前n项和为 ，若 ， ，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于在等比数列 中，由 可得： ，
又因为 ，
所以有： 是方程 的二实根，又 ，所以 ，
故解得： ，从而公比
那么 ，
故选：D．
5．（2020·黑龙江爱民·牡丹江一中开学考试）在各项均为正数的等比数列 中，
，则 的最大值是（ ）
A．25 B． C．5 D．
【答案】B
【解析】 是等比数列，且 ，
.
又 ， ，
，当且仅当 时取等号.
故选：B.
【题组三 等比数列的前n项和性质】1．（2020·广东濠江·金山中学高一月考）各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，若
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设等比数列 的公比为 ，由题意易知
所以 ， ，
两式相除得 ，
化简得 ，解得 ，
所以 ,故选B.
2．（2020·广东清远·高二期末）设等比数列{a}的前n项和为S，若 ＝3，则 ＝（ ）
n n
A．9 B．7 C．5 D．4
【答案】B
【解析】∵ ，根据分式的性质可得 ，
根据等比数列的性质可知 成等比数列，
得到
∴ ，∴
∴ .
故选：B.
3．（2020·武汉市钢城第四中学高一月考）已知等比数列 的前 项和为 ， ， ，则
（ ）
A．130 B．150 C．170 D．190
【答案】A
【解析】等比数列 的前 项和为 ， ， ，所以 ， ， 依然成等
比数列，所以 ，即 ，所以
故选：A
4．（2020·湖北茅箭·十堰一中高一月考）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由等比数列片断和的性质可知 、 、 、 成等比数列，
且公比为 ，因此， .故选：D.
5．（2020·合肥市第六中学高一月考）各项均为实数的等比数列 的前 项和记为 ，若 ，
，则 （ ）．A． B．30或 C．30 D．40
【答案】C
【解析】设等比数列 的公比为 ，由题意易知 ，
则 为等比数列，
可得 ，
，
解得 或 （舍），
故 .
故选：C.
6．（2020·勃利县高级中学高一期末）已知等比数列 的前n项和为 ，且 ， ，则
（ ）
A．16 B．19 C．20 D．25
【答案】B
【解析】因为等比数列 的前n项和为 ，所以 ， ， 成等比数列，因为 ，
，所以 ， ，故 .
故选：B
7．（2020·安徽高三其他（文））已知项数为奇数的等比数列 的首项为1，奇数项之和为21，偶数项
之和为10，则这个等比数列的项数为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】A
【解析】根据题意，数列 为等比数列，设 ，又由数列 的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则 ，
故 ；
故选：
8．（2020·浙江高一期中）已知一个等比数列首项为 ，项数是偶数，其奇数项之和为 ，偶数项之和为
，则这个数列的项数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设这个等比数列 共有 项，公比为 ，
则奇数项之和为 ，
偶数项之和为 ，
，
等比数列 的所有项之和为 ，则 ，
解得 ，因此，这个等比数列的项数为 .
故选：C.
9．（2019·江苏省前黄高级中学月考）等比数列 共有 项，其中 ，偶数项和为 ，奇数
项和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由题意知 ，可得 ，又因为
所以 ， ，
解得 ，故选B.
10．（2020·河北丛台·邯郸一中高一月考）已知一个项数为偶数的等比数列 ，所有项之和为所有偶数
项之和的4倍，前3项之积为64，则 （ ）.
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【解析】由题意可得所有项之和 是所有偶数项之和的4倍，∴ ，
设等比数列 的公比为 ，由等比数列的性质可得 ，即 ，
∴ ，∵ ,∴解得 ，
又前3项之积 ，解得 ，∴ .
故选:B.
【题组四 等比数列的单调性】
1．（2020·上海高二课时练习）在等比数列 中，首项 ，则 是递增数列的充要条件是公比q
满足（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先证必要性：，且 是递增数列，
，即q＞0，且 ，
则此时公比q满足0＜q＜1；
再证充分性：
，
，
，即 ，
则 是递增数列，
综上， 是递增数列的充要条件是公比q满足0＜q＜1.
故选：C.
2．（2020·湖南月考（文））记 为等比数列 的前 项和.若 ， ，则满足不
等式： 的最大的 值等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为 ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，从而 ，所以 ，
故选：C.
3．（2020·山东兰陵·高二期末）设等比数列 的公比为q，其前n项和为 ，前n项积为 ，并且满
足条件 ， ， .则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． 的最大值为 D． 的最大值为
【答案】ABC
【解析】 ， ， ，
， ，
A. ，故正确；
B. ，故正确；
C. 是数列 中的最大项，故正确．
D. 因为 ， ， 的最大值不是 ，故不正确.
故选：ABC．4．（2020·安徽省明光中学高一月考）等比数列 的公比为 ，其前 项和的积为 ，并且满足下面
条件， ， ， .给出下列结论:① ；② ；③ 的值是
中最大的；④ 成立最大的自然数 等于198.其中正确的结论是__________.
【答案】①④
【解析】①中因为 ，
所以 即 ，
因为 ，且 ，
所以 ，即
所以①正确；
②中因为 且 ，
所以 ，即
所以②不正确；
③中 ，且 ，
所以 ，
所以③不正确；
④中
，所以④正确.
故答案为：①④
5．（2020·上海市实验学校期中）设等比数列 的公比为 ，其前 项之积为 ，并且满足条件：
， ， ，给出下列结论：① ；② ；③ 是数列
中的最大项；④使 成立的最大自然数等于4031；其中正确结论的序号为______.
【答案】①③
【解析】∵ ，
若 ，则 ，
此时 ，与 矛盾，故 不成立，
若 ， ，
此时 ，与 矛盾，故 不成立，
∴ ，故①正确；
因为 ， ， ，
由 得
，故②不正确；
因为 ， ， ，
所以当 时， ，当 时， ，所以 是数列 中的最大项，故③正确；
，
，
∴使 成立的最大自然数等于4032，故④不正确.
故答案为：①③.
【题组五 证明判断等比数列】
1．（2019·全国高一课时练习）在下列各选项中，不是一个等比数列的前三项的是（ ）.
A．2，4，8 B．-2，-4，-8 C．-2，-4，8 D．2，-4，8
2842
【答案】CA： ，符合；
2842
B： ，符合；
2842
C： ，不符合；
2842
D： ，符合.
故选：C.
2．（2020·福建厦门双十中学高一期中）若数列 是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为数列 是等比数列，所以 ，
对于A， 不一定是常数，故A不一定是等比数列；
对于B， 可能有项为零，故B不一定是等比数列；对于C，利用等比数列的定义，可知 的公比是数列 公比的倒数，故C项一定是等比数列；
对于D，当 时，数列 存在负项，此时 无意义，故D项不符合题意；
故选C.
3．（2020·河北运河·沧州市一中高一月考）下列说法正确是（ ）
A．常数列一定是等比数列 B．常数列一定是等差数列
C．等比数列一定不是摆动数列 D．等差数列可能是摆动数列
【答案】B
【解析】对于A选项，各项均为 的常数列不是等比数列，A选项错误；
对于B选项，常数列每一项都相等，则常数列是公差为 的等差数列，B选项正确；
对于C选项，若等比数列的公比 满足 ，则该等比数列为摆动数列，C选项错误；
对于D选项，若等差数列的公差 ，则该等差数列为递增数列；
若 ，则该等差数列为常数列；
若 ，则该等差数列为递减数列.
所以，等差数列一定不是摆动数列，D选项错误.
故选：B.
4．（2020·安徽高一期末（理））若{a}是公差为2的等差数列，则 是（ ）
n
A．公比为324的等比数列 B．公比为18的等比数列
C．公差为6的等差数列 D．公差为5的等差数列
【答案】B
【解析】设 ，
则 ，
是公差为2的等差数列，
， ，所以 ，
数列 是公比为18的等比数列.
故选：B
