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4.3.1等比数列的概念 (2) -B提高练
一、选择题
1．（2021·四川省峨眉二中高二期末）已知正项等比数列 中， ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】在正项等比数列 中， 由
所以 ，又 ，所以 ，所以 ，故选：D
2．（2021·江苏宿迁市高二期末）2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品
成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距
离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折 次其厚度就可
以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数 是（ ）（ ， ）
A．40 B．41 C．42 D．43
【答案】C
【详解】设对折 次时，纸的厚度为 ，每次对折厚度变为原来的 倍，
由题意知 是以 为首项，公比为 的等比数列，
所以 ，令 ，
即 ，所以 ，即 ，
解得： ，所以至少对折的次数 是 ，故选：C
3．（2021·安徽无为高中高二期末）若 是公比为e的正项等比数列，则 是（ ）A．公比为 的等比数列 B．公比为3的等比数列
C．公差为3e的等差数列 D．公差为3的等差数列
【答案】D
【详解】解：因为 是公比为 的正项等比数列，所以 ，且
因为 ，为常数，
所以 是公差为3的等差数列，故选： ．
4．（2021·全国高二专题练习）在等比数列{a}中，“a<a<a”是“数列{a}递增”的（ ）
n 1 2 3 n
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】当a<a<a 时，设公比为q，由a<aq<aq2得
1 2 3 1 1 1
若a>0，则1<q<q2，即q>1，此时，显然数列{a}是递增数列，
1 n
若a<0，则1>q>q2，即0<q<1，此时，数列{a}也是递增数列，
1 n
反之，当数列{a}是递增数列时，显然a<a<a.
n 1 2 3
故“a<a<a”是“等比数列{a}递增”的充要条件．故选：C
1 2 3 n
5．（多选题）（2021·江苏省响水中学高二期末）已知等比数列 的公比 ，等差数列
的首项 ，若 ，且 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】对选项A，因为 ，所以 ，故A正确；
对选项B，因为 ，所以 或 ，即 或 ，故B错误；
对选项C，D，因为 异号， ，且 ，所以 中至少有一个负数，
又因为 ，所以 ， ，故C错误，D正确.故选：AD6. （多选题）（2021·威海市文登区教育教学研究培训中心高二期末）在数列 中，若
（ 为常数），则称 为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断错误的
是（ ）
A． 不可能为 B．“等差比数列”中的项不可能为
C．等差数列一定是“等差比数列” D．等比数列一定是“等差比数列”
【答案】BCD
【详解】解： 当 时，根据“等差比数列”的定义，有 ，即有 ，
这与分母不为0矛盾， ，故选项 正确； 当 时， 为常
数， 数列 为“等差比数列”，且 ，故选项 错误；又当数列 为非零常数列时，
数列 既是等差数列又是等比数列，但 ，此时数列 不是“等差比数列”，故
选项 、 错误，故选： ．
二、填空题
7．（2021·陕西商洛市高二期末）“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，
其意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完”设第一天这根木棰被截取一半剩下
尺，第二天被截取剩下的一半剩下 尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下 尺，则
__________ ．
【答案】24【详解】依题意可知， ， ， ，…成等比数列，且公比为 ，则 ．
8．（2021·四川内江市高二期末）若数列 满足 ，则称 为“梦想数列”，已
知正项数列 为“梦想数列”，且 ，则 ________．
【答案】32
【详解】由题意可知，若数列 为“梦想数列”，则 ，可得 ，
所以，“梦想数列” 是公比为 的等比数列，若正项数列 为“梦想数列”，则
，所以， ，即正项数列 是公比为 的等比数列，因为 ，因
此， .
9．（2021·云南昆明高二期末）已知 成等比数列， 成等差数列，则
________．
【答案】 或
【详解】因为 成等比数列，所以 ，解得 或 ，
当 时， ， ，当 时， ， ，
或 ， 成等差数列，
， 或 .10．（2021·山西太原市高二期末）已知数列 中， ， ，若
，则 __________ .
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】因为数列 中， ， ，
所以取 ，则 ，所以数列 是以2为首项，2为公差的等比数列，所以
，又 ，即 ，即 ，
解得 ．
三、解答题
11．（2021·陕西西安市·高二期末）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ， ， 成等比数列，求正整数 的值.
【详解】
（1） ，解得
（2） ，
， ， 成等比数列
，即
解得 （舍）12．（2021·山东泰安市·高二期末）“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于
2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共19
大报告，为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中
是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的 改造为绿洲，同时原有绿
洲的 被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为 万平方公里．
（1）求第n年绿洲面积 与上一年绿洲面积 的关系；
（2）判断 是否是等比数列，并说明理由；
（3）至少经过几年，绿洲面积可超过 ？
【详解】（1）由题意得
，
所以 ；
（2）由（1）得 ，∴ ，
所以 是等比数列.
（3）由（2）有 ，又 ，所以 ，
∴ ，即 ；
，即 ，两边取常用对数得：，所以
，
∴ ．
∴至少经过6年，绿洲面积可超过60%．
