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4．3.1 第二课时 等比数列的性质及应用(习题课)
[A级 基础巩固]
1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( )
A．－24 B．0
C．12 D．24
解析：选A 由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列
的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.
2．在正项等比数列{a }中，a <a ，a·a＝6，a＋a＝5，则等于( )
n n＋1 n 2 8 4 6
A. D．
C. D．
解析：选D 法一：设公比为q，则由等比数列{a }各项为正数且a <a 知0<q<1，由a·a＝6，得a＝6.
n n＋1 n 2 8
∴a＝，a＋a＝＋q＝5.
5 4 6
解得q＝，∴＝＝2＝.
法二：设公比为q，由a ＞0，且a ＜a 知0＜q＜1.
n n＋1 n
∵a·a＝a·a＝6，
2 8 4 6
∴则或(舍)．
∴q2＝＝，
∴＝＝.
3．已知各项均为正数的等比数列{a }中，lg(aaa )＝6，则a·a 的值为( )
n 3 8 13 1 15
A．100 B．－100
C．10 000 D．－10 000
解析：选C ∵aaa ＝a，∴lg(aaa )＝lg a＝3lg a＝6.∴a＝100.∴aa ＝a＝10 000，故选C.
3 8 13 3 8 13 8 8 1 15
4．在等比数列{a }中，T 表示前n项的积，若T＝1，则( )
n n 5A．a＝1 B．a＝1
1 3
C．a＝1 D．a＝1
4 5
解析：选B 由题意，可得a·a·a·a·a ＝1，即(a·a)·(a·a)·a ＝1，又因为a·a ＝a·a ＝a，所以a＝1，
1 2 3 4 5 1 5 2 4 3 1 5 2 4
得a＝1.
3
5．已知等比数列{a }中，aa ＝4a，数列{b }是等差数列，且b＝a，则b＋b 等于( )
n 3 11 7 n 7 7 5 9
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：选C 等比数列{a }中，aa ＝a＝4a，解得a＝4，等差数列{b }中，b＋b＝2b＝2a＝8.
n 3 11 7 7 n 5 9 7 7
6．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是
________．
解析：设此三数为3，a，b，则
解得或所以这个未知数为3或27.
答案：3或27
7．设数列{a }为公比q>1的等比数列，若a，a 是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a＋a＝________.
n 4 5 6 7
解析：由题意得a＝，a＝，∴q＝＝3.
4 5
∴a＋a＝(a＋a)q2＝×32＝18.
6 7 4 5
答案：18
8．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角
线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．
解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{a }(1≤n≤10，n∈N*)，
n
则第10个正方形的面积S＝a＝2＝211＝2 048.
答案：2 048
9．在由实数组成的等比数列{a }中，a＋a＋a ＝28，a·a·a ＝512，求q.
n 3 7 11 2 7 12
解：法一：由条件得由②得a＝512，即a＝8.
7
将其代入①得2q8－5q4＋2＝0.
解得q4＝或q4＝2，即q＝±或q＝±.
法二：∵aa ＝aa ＝a，
3 11 2 12
∴a＝512，即a＝8.
7
于是有
即a 和a 是方程x2－20x＋64＝0的两根，解此方程得x＝4或x＝16.
3 11
因此或
又∵a ＝a·q8，
11 3
∴q＝± ＝±4 ＝±或q＝± ＝± .
10．在正项等比数列{a }中，aa－2aa＋aa＝36，aa＋2aa＋aa＝100，求数列{a }的通项公式．
n 1 5 3 5 3 7 2 4 2 6 4 6 n
解：∵aa＝a，aa＝a，
1 5 3 7
∴由题意，得a－2aa＋a＝36，
3 5
同理得a＋2aa＋a＝100，
3 5
∴即
解得或
分别解得或
∴a ＝2n－2或a ＝26－n.
n n
[B级 综合运用]
11．设各项为正数的等比数列{a }中，公比q＝2，且a·a·a·…·a ＝230，则a·a·a·…·a ＝( )
n 1 2 3 30 3 6 9 30
A．230 B．210C．220 D．215
解析：选C ∵a·a·a·…·a ＝230，
1 2 3 30
∴a·q1＋2＋3＋…＋29＝a·q＝230，
∴a＝2－，
1
∴a·a·a·…·a ＝a·(q3)
3 6 9 30
＝(2－×22)10×(23)45＝220.
12．各项均为正数的等比数列{a }满足：a ＞1，a ＋a ＞aa ＋1＞2，记数列{a }的前n项积为T ，则满足
n 1 6 7 6 7 n n
T ＞1的最大正整数n的值为( )
n
A．11 B．12
C．13 D．14
解析：选B ∵a＋a＞aa＋1＞2，
6 7 6 7
∴
∵a＞1，∴
1
由aa＞1得aa ＝aa ＝…＝aa＞1，∴T ＞1，
6 7 1 12 2 11 6 7 12
∵a＜1，∴aa ＝aa ＝…＝a＜1，∴T ＜1，
7 1 13 2 12 13
∴n的最大值为12，故选B.
13．若等比数列{a }的各项均为正数，且a a ＋aa ＝2e5，则aa ＝________，ln a ＋ln a ＋…＋ln a
n 10 11 9 12 3 18 1 2 20
＝________.
解析：因为{a }为等比数列，所以aa ＝aa ＝…＝aa ＝a a .又a a ＋aa ＝2e5，所以aa ＝a a ＝
n 1 20 2 19 9 12 10 11 10 11 9 12 3 18 10 11
aa ＝e5，所以ln a ＋ln a ＋…＋ln a ＝ln(aa…a )＝ln[(aa )·(aa )·…·(a a )]＝ln(a a )10＝ln(e5)10＝
9 12 1 2 20 1 2 20 1 20 2 19 10 11 10 11
ln e50＝50.
答案：e5 50
14．已知数列{a }为等差数列，公差d≠0，由{a }中的部分项组成的数列ab ，ab ，…，ab ，…为等比数
n n 1 2 n
列，其中b＝1，b＝5，b＝17.求数列{b }的通项公式．
1 2 3 n解：依题意a＝aa ，即(a ＋4d)2＝a(a ＋16d)，所以ad＝2d2，因为d≠0，所以a ＝2d，数列{ab }的公比
1 17 1 1 1 1 1 n
q＝＝＝3，
所以ab ＝a3n－1，①
n 1
又ab ＝a＋(b －1)d＝a，②
n 1 n 1
由①②得a·3n－1＝·a.
1 1
因为a＝2d≠0，所以b ＝2×3n－1－1.
1 n
[C级 拓展探究]
15．容器A中盛有浓度为a%的农药m L，容器B中盛有浓度为b%的同种农药m L，A，B两容器中农药
的浓度差为20%(a>b)，先将A中农药的倒入B中，混合均匀后，再由B倒入一部分到A中，恰好使A中
保持m L，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%?
解：设第n次操作后，A中农药的浓度为a ，B中农药的浓度为b ，则a＝a%，b＝b%.
n n 0 0
b＝(a＋4b)，a＝a＋b＝(4a＋b)；
1 0 0 1 0 1 0 0
b＝(a＋4b)，a＝a＋b＝(4a＋b)；…；
2 1 1 2 1 2 1 1
b ＝(a ＋4b )，a ＝(4a ＋b )．
n n－1 n－1 n n－1 n－1
∴a －b ＝(a －b )＝…
n n n－1 n－1
＝(a－b)·n－1.
0 0
∵a－b＝，∴a －b ＝·n.
0 0 n n
依题意知·n<1%，n∈N*，解得n≥6.
故至少经过6次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%.
