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专题4. 3等比数列（A卷基础篇）（人教A版第二册,浙江专用）
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）
1．（2020·新疆巴音郭楞蒙古自治州·高一期末）各项均为正数的等比数列 中， ， ，则
（ ）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】A
【解析】
因为各项均为正数的等比数列 中， ， ，所以 ，所以 （负值舍
去）
故选：A.
2．（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）等比数列 中，已知 ， ，数列
的公比为（ ）.
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】
数列 是等比数列，则 ，（ 为数列 的公比），则 ，解得
.
故选：C.
3．（2020·山东省济南回民中学高二期中）在等比数列 中， ， ，则数列的前5项和等于
（ ）A．31 B．32 C．63 D．64
【答案】A
【解析】
因为等比数列 中， ， ，所以数列的前5项和 ，
故选：A.
4．（2020·全国高二课时练习） 与 的等比中项是（ ）
A．1 B． C．2 D． 或1
【答案】D
【解析】
由题意可设 与 的等比中项是 ，
则 ，解得 或 .
故选：D.
5．（2020·江阴市华士高级中学高二期中）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七
层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相
邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了
363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（ ）
A．3盏 B．9盏 C．27盏 D．81盏
【答案】C
【解析】
根据题意，设塔的底层共有 盏灯，则每层灯的数目构成以 为首项， 为公比的等比数列，
则有 ，
解可得： ，
所以中间一层共有灯 盏.
故选：C6．（2020·江苏省锡山高级中学高二月考）在等比数列 中，首项 则项数n为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
由题意可得等比数列通项 ，则
故选：C
7．（2020·江苏南通市·高二期中）已知1，a，x，b，16这五个实数成等比数列，则x的值为（ ）
A．4 B．－4 C．±4 D．不确定
【答案】A
【解析】
由题意知： ，且若令公比为 时有 ，
∴ ，
故选：A
8．（2020·云南高二学业考试）已知等比数列 的前n项和为 ，公比 ，则 等于（
）
A．32 B．31 C．16 D．15
【答案】B
【解析】
因为等比数列 的前n项和为 ，公比 ，所以 ，又因为
，所以 .
故选：B.
9．（2020·河南南阳市·高三期中（理））公差不为0的等差数列 中， ，数列是等比数列，且 ，则 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】D
【解析】
等差数列 中, ,故原式等价于 解得 或
各项不为0的等差数列 ,故得到 ，
数列 是等比数列，故 =16.
故选：D.
10．（2020·上海市嘉定区第一中学高二月考）标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创
的视力记录方式，此表中各行均为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的
边长都是下方一行“E”边长的 倍，若视力4.2的视标边长为 ，则视力5.1的视标边长为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】
设第 行视标边长为 ，第 行视标边长为
由题意可得：
则数列 为首项为 ，公比为 的等比数列
即
则视力5.1的视标边长为
故选：A
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）
11．（2020·河南高三月考（理））已知等比数列 满足 且 ，则 ________.
【答案】
【解析】
因为 ，所以 .
故由等比数列的通项公式得 .
故答案为：
12．（2020·上海市建平中学高三期中）已知公比为 的等比数列 满足 ，则
__________________．
【答案】1
【解析】因为 为等比数列，且 ，
所以 ，即 ，解得 ，
故答案为：1
13．（2020·湖北省孝感市第一高级中学高一期中）从盛有 纯酒精的容器中倒出 ，然后用水填满，
再倒出 ，又用水填满…….连续进行了 次后，容器中的纯酒精还剩下 ，则 ________.
【答案】5
【解析】
根据题意，连续进行了 次后，容器中的纯酒精的剩余量组成数列 ，
则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，则 ，
若连续进行了 次后，容器中的纯酒精还剩下 ，即 ，
解得 ，
故答案为： ．
14．（2020·浙江高二单元测试）在正项等比数列 中，若 ， ，则 ___________；
___________．
【答案】
【解析】
由题意可知 ，由题意可得 ，解得 ，
.故答案为： ； .
15．（2020·全国高三专题练习）我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万
世不竭”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.那么，第6天截取之后，剩余木棍
的长度是_________尺；要使剩余木棍的长度小于 尺，需要经过________次截取.
【答案】
【解析】
记第 天后剩余木棍的长度 ，则 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 ，
由 得 ，所以 的最小值为 .
所以第6天截取之后，剩余木棍的长度是 尺，要使剩余木棍的长度小于 尺，需要经过 次截取.
故答案为： ； .
16．（2020·江苏南通市·） 是正项等比数列 的前 和， ， ，则 ______．公比
______．
【答案】2 3
【解析】
当 时， ，不满足题意，故 ；
当 时，有 ，解之得： .
故答案为：2；3.17．（2020·全国高三专题练习）等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，且 ， ， 成
等比数列，则 ________， ________．
【答案】 12
【解析】
设等差数列的公差为 ，则由 得 ，即 ，解得 ，
则 ， ．
由 ， ， 成等比数列得 ，
即 ，解得 ．
故答案为： ；12
三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）
18．（2020·全国高二）已知数列 的通项公式 .
（1）求 ， ；
（2）若 ， 分别是等比数列 的第1项和第2项，求数列 的通项公式.
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
（1）因为 ，所以 ， ，
（2）由题意知：等比数列 中， ， ，
公比∴等比数列 的通项公式
19．（2020·银川市·宁夏大学附属中学高二月考）已知正项等比数列 的前 项和为 ，且 ，
.
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）设等比数列 的公比为 ，则 ，所以 或 （舍），
所以 ， .
（2）由（1）得 ，所以 .
20．（2020·广西桂林市·桂林十八中高二月考（文））在正项等比数列 中， ，且 ， 的等
差中项为 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和为 ．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）设正项等比数列 的公比为 ，
由题意可得 ，解得 ．数列 的通项公式为 ；
（2） .
21．（2020·贵州贵阳市·高三其他模拟（理））已知 是公差不为零的等差数列， ，且
成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 .
【答案】（1） ，（2）
【解析】
（1）设等差数列 的公差为 （ ），
因为 ，且 成等比数列，
所以 ，即 ，
解得 （舍去）或 ，
所以 ，
（2）由（1）可得 ，
所以
22．（2020·安徽高三其他模拟（文））设 是等比数列，其前 项的和为 ，且 ， .（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求 的最小值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）设 的公比为q，因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 .
（2）因为 ，所以 ，
由 ，得 ，即 ，解得 ，
所以n的最小值为6.
