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第四章 数 列
章末测试
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）
1．（2020·山东泗水·期中（文））已知数列 中， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在数列 中， ， ，则 ， ，
， .故选：B.
2．（2020·四川阆中中学月考（理））等比数列 的各项均为正实数，其前n项和为S，若a＝4，a·a
n 3 2 6
＝64，则S＝（ ）
5
A．32 B．31 C．64 D．63
【答案】B
【解析】依题意 ，即 ，解得 ，
所以 .故选：B3．（2020·湖南武陵·常德市一中月考）在等比数列 中， ，则 （ ）
A．3 B． C．3或 D． 或
【答案】C
【解析】若 的公比为 ，
∵ ，又由 ，即有 或 ,
∴ 或 ，故有 或 故选：C
4．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校月考（理））在递减等比数列 中， 是其前 项和，若
， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】则 ，解得 或 ，∵ 是递减数列，则 ，
∴ ， （ 舍去）．
∴ ， ．
故选：A．
5．（2020·重庆高一期末）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给 个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两份之和，则最小
的一份为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设5人分到的面包数量从小到大记为 ，设公差为 ，
依题意可得， ，
，
，解得 ，
.
故选:A.
6．（2020·贵州贵阳·为明国际学校其他（理））已知等比数列 的前n项和为 ，若公比
，则数列 的前n项积 的最大值为（ ）
A．16 B．64 C．128 D．256
【答案】B
【解析】由 ， ，得 ，解得 ，
所以数列 为8， ，2， ， ， ，……，前4项乘积最大为64.故选：B.
7．（2020·吉林市第二中学月考）已知等差数列 的前n项的和为 ，且 ，有下面4个结
论：
① ；② ；③ ；④数列 中的最大项为 ，
其中正确结论的序号为（ ）
A．②③ B．①② C．①③ D．①④
【答案】B
【解析】由 得 ， ，则 ， ，
所以 ，所以 ，①正确；
，故②正确；
，故③错误；
因为 ， ，故数列 中的最大项为 ，故④错误．
故选：B.
8．（2020·上海市市西中学月考）已知等差数列 的前n项和为 ，若 是一个确定的常数，
则数列 中是常数的项是（ ）
A． ； B． ； C． ； D．
【答案】D
【解析】由于题目所给数列为等差数列，根据等差数列的性质，
有 ，
故 为确定常数，由等差数列前 项和公式可知 也为确定的常数.
故选:D
二、多选题（每题有多个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）
9．（2020·鱼台县第一中学月考）设 是等差数列， 为其前 项和，且 ， ，则
下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D． 、 均为 的最大值
【答案】ABD
【解析】由 得 ，即 ，
又∵ ，
，
，故B正确；
同理由 ，得 ，
，故A正确；
对C， ，即 ，可得 ，
由结论 ，显然C是错误的；
与 均为 的最大值，故D正确；
故选：ABD.
10．（2020·河北邯郸·高三月考）已知数列 满足： ，当 时， ，则关于数列 说法正确的是（ ）
A． B．数列 为递增数列
C．数列 为周期数列 D．
【答案】ABD
【解析】 得 ，
∴ ，
即数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，
∴ ，
∴ ，得 ，由二次函数的性质得数列 为递增数列，
所以易知ABD正确，
故选：ABD.
11．（2020·湖南雁峰·衡阳市八中高二月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，
初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ）
A．此人第三天走了二十四里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C．此人第二天走的路程占全程的
D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
【答案】BD
【解析】由题意，此人每天所走路程构成以 为公比的等比数列，
记该等比数列为 ，公比为 ，前 项和为 ，则 ，解得 ，
所以此人第三天走的路程为 ，故A错；
此人第一天走的路程比后五天走的路程多 里，故B正确；
此人第二天走的路程为 ，故C错；
此人前三天走的路程为 ，后三天走的路程为 ，
，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D正确；
故选：BD.
12．（2019·山东省招远第一中学高二期中）已知两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且
，则使得 为整数的正整数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】由题意可得 ，则
，
由于 为整数，则 为 的正约数，则 的可能取值有 、 、 ，
因此，正整数 的可能取值有 、 、 .
故选：ACD.
第II卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）
13．（2020·山东泗水·期中（文））已知 是等比数列， ， ，则
______.
【答案】
【解析】由题意，等比数列 中， ， ，可得 ，解得 ，
又由 ，且 ，
即数列 表示首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 .
故答案为： .
14．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校月考（理））在各项都是正数的等比数列 中， ， ，
成等差数列，则 的值是________.
【答案】
【解析】设等比数列 的公比为 ，
由 ，得 ，
解得 (负值舍)，
则 .
故答案为： .
15．（2020·吉林市第二中学月考）各项均为正数的等比数列{a}的前n项和为S，已知S＝30，S＝70，
n n 6 9
则S＝________.
3
【答案】10
【解析】根据等比数列的前n项和的性质，若S 是等比数列的和，则S，S －S，S －S ，…仍是等比数
n n 2n n 3n 2n
列，得到(S－S)2＝S(S－S)，
6 3 3 9 6
即 .
解得S＝10或S＝90(舍)．
3 3
故答案为：
16．（2020·四川武侯·成都七中月考）已知等差数列 的公差 ，前 项之和为 ，若对任意正整
数 恒有 ，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为对任意正整数 恒有 ，所以 为 最小值，
因此 ，即
故答案为：
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共6题70分）
17．（2020·安徽省舒城中学月考（文））已知在等差数列 中， ， ．（1）求数列 的通项公式：
（2）设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】设等差数列 的公差为 ，
由 ，可得
解得 ，
所以等差数列 的通项公式可得 ;
（2） 由（1）可得 ，
所以 .
18．（2020·湖南武陵·常德市一中月考）已知数列 的前 项和为 ，
.
（1）求证：数列 为等差数列；
（2）记数列 的前 项和为 ，求
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）当 时，因为 ，所以 ，
即 首项为 ，公差为 的等差数列.
（2）由（1）得 ， .
当 时， .
当 时， ，符合题意，所以 .
所以 ，
所以
.
19．（2021·黑龙江鹤岗一中月考（理））已知各项均为正数的等差数列 中， ，且
， ， 构成等比数列 的前三项.
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ， ；（2）
【解析】（1）设等差数列的公差为 ，则由已知得： ，即 ，
又 ，
解得 或 （舍去）， ，，
又 ， ，
， ；
（2） ，
，
两式相减得 ，
则 .
20．（2020·四川省绵阳南山中学月考（理））已知数列 为等差数列， ， ，其前 项和为
，且数列 也为等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，
， ， 成等差数列，
，解得 ，
，
经检验 ，所以数列 为等差数列， .
（2） ， ，
设数列 的前 项和为 ，
则 .
21．（2020·浙江月考）已知等比数列 的公比 ，且 ， 是 ， 的等差中
项.
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明： ，设 的前 项的和为 ，求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】（1）由 是 ， 的等差中项得 ，
所以 ，解得 ，
由 ，得 ，解得 或 ，
因为 ，所以 .
所以 .
（2） ，
在 成立，又有 ，
.
22．（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高二期中（理））已知数列 中， 是 的前 项和且 是
与 的等差中项，其中 是不为 的常数.
（1）求 .
（2）猜想 的表达式，并用数学归纳法进行证明.
【答案】（1） ； ； （2）猜想： ；证明见解析
【解析】（1）由题意知：
即 ，
当 时， ，解得 .
当 时， ，解得 .
当 时， ，解得 .
（2）猜想：
证明：①当 时，由（1）知等式成立.
②假设当 时等式成立，即 ，则当 时，又
则 ， ，
∴ ，
即
所以 ，
即当 时，等式成立.
结合①②得 对任意 均成立.
