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4.3.2等比数列的前n项和公式 (2) -A基础练
一、选择题
1．（2021·吉林长春市实验中学高二期末）如图，已知 面积为4，连接 三边的中点
构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2020个三角
形面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】观察图形可知后一个三角形的面积是前一个的 ，设第n个三角形的面积为 ，
则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， ，
第2020个三角形面积为 .故选：B.
2．（2021·河南洛阳高二期末月考）在流行病学中，基本传染数R 是指在没有外力介入，同时所有
0
人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R 个人，为第一轮传染，
0
这R 个人中每人再传染R 个人，为第二轮传染，…….R 一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的
0 0 0
接触频率､每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数 ，平均感染周期为7
天，设某一轮新增加的感染人数为M，则当M>1000时需要的天数至少为（ ）参考数据：
lg38≈1.58
A．34 B．35 C．36 D．37【答案】D
【详解】设第 轮感染人数为 ，则数列 为等比数列，其中 ，公比为 ，
所以 ，解得 ，
而每轮感染周期为7天，所以需要的天数至少为 ．
3．（2021·湖南湘潭市湘潭一中高二期末）数列 的通项公式 ，则数列 的前5
项和 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，所以则数列 的前5项和
.
4．（2021·陕西咸阳市高二期末）某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建五个实验
室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费.设备费从第一到第五实验室依次构成等比数列，
已知第三实验室比第一实验室的设备费用高9万元，第五实验室比第三实验室的设备费用高36万
元.则该研究所改建这五个实验室投人的设备费用为（ ）
A．93万元 B．45万元 C．189万元 D．96万元
【答案】A
【详解】设第一到第五实验室的设备费用分别为 ；则由题意 成等比
数列，设公比为 ，且 ， ； ，解得 或（舍）；由 得 .所以 .
5．（多选题）（2021·辽宁铁岭市高二期末）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十
八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是（ ）
A．此人第六天只走了5里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里
C．此人第二天走的路程比全程的 还多1.5里
D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
【答案】BCD
【详解】解：根据题意此人每天行走的路程成等比数列，
设此人第 天走 里路，则 是首项为 ，公比为 的等比数列．
所以 ，解得 ．
选项A： ，故A错误，
选项B：由 ，则 ，又 ，故B正确．
选项C： ，而 ， ，故C正确．
选项D： ，
则后3天走的路程为 ，而且 ，D正确．故选：BCD．
6．（多选题）（2021·江苏镇江市高二期末）计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.
当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究
的一个数字为计算机病毒传染指数 即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数 若一台计算机有 个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件
被感染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，
则下列说法中正确的是（ ）
A．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件
B．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件
C．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态
D．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列
【答案】ABC
【详解】设第 分钟之内新感染的文件数为 ，前 分钟内新感染的病毒文件数之和为 ，
则 ，且 ，由 可得 ，两式相减得：
，
所以 ，所以每分钟内新感染的病毒构成以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，在第3分钟内，该计算机新感染了 个文件，故选项A 正确；
经过5分钟，该计算机共有 个病毒文件，故选
项B正确；10分钟后，计算机感染病毒的总数为
，
所以计算机处于瘫痪状态，故选项C正确；该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为
3的等比数列，故选项D不正确；故选：ABC
二、填空题
7．（2021·长沙市·湖南师大附中高二期末）某同学让一弹性球从128米高处下落，每次着地后又跳
回原来高度的一半再落下，则第8次着地时球所运动的路程的和为________ m.
【答案】382
【详解】记第 次落地到第 次落地之间球运动的路程为 ，则 是首项 米，公比为 的等比数列，所以第8次着地时球所运动的路程的和为
米.
8．（2021·山东青岛市高二期末）《莱茵德纸草书》（ ）是世界上最古老的数学著
作之一.书中有这样一道题目：把 个面包分给 个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使
较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最小的一份为________ .
【答案】3
【详解】设等比数列为 ，其公比为 ，由题意知， ，可得
，因为 ，所以 ，解得 或 （舍去），
当 时，可得 ，解得 .
9．（2021·安徽马鞍山市高二期末）已知等比数列{a}的前n项和为S，且 ，
n n
则实数 的值为_____
【答案】
【详解】当 时， ，两式相减得 ，
即 ，并且数列 是等比数列，所以 ，
， ，当 时， ，解得 .
10．（2021·河北邢台市高二期末）已知等比数列 的前n项和与前n项积分别为 ， ，公比
为正数，且 ， ，则使 成立的n的最大值为（ ）
【答案】12
【详解】解：因为 ， ，公比为正数显然不为1，所以 ，解得
， ，所以 ，则 ，
要使 ，则 ，解得 ，故n的最大值为12.
三、解答题
11．（2021·上海徐汇区位育中学高二期末）有一个细胞集团最初有细胞10个，每小时内先消亡3
个，余下的每个再分裂成2个，设 小时后细胞个数为 .
（1）求出 、 ，并写出 与 的递推公式；
（2）求出数列 的通项公式，问：至少多少小时后细胞个数超过10000个？
【详解】
（1）由题意 ， ， ；
（2）由（1） ，所以 ， ，所以数列 是等比数
列，公比为 ， ，
由 ，由于 ，所以 ， ，所以至少12个小时后细胞个数超过10000个．
12．（2021·湖北恩施高二期末）某工厂2019年初有资金1000万元，资金年平均增长率可达到
20％，但每年年底要扣除 万元用于奖励优秀职工，剩余资金投入再生产．
（1）以第2019年为第一年，设第 年初有资金 万元，用 和 表示 ，并证明数列
为等比数列；
（2）为实现2029年初资金翻再现两番的目标，求 的最大值（精确到万元）．
（参考数据： ， ， ）
【详解】
（1）依题意， ，整理得： ，
，又 ，
∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．
（2）由（1）知， ，
∴2029年初资金翻再现两番
∴ ，解得 ，
所以 的最大值是84．
