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5.2.2导数的四则运算法则 -B提高练
一、选择题
1．（2021·北京西城区高二期末）已知函数 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ,所以
所以 .
2．（2021·广东华南师大附中高二月考）已知 ， 是 的导函数，
即 ， ，…， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，所以 ，
……可知 的解析式周期为4，因为 ，所以
3．曲线 在点 处的切线斜率为8，则实数 的值为（ ）
A． B．6 C．12 D．
【答案】A【解析】由 ，得 ，则曲线 在点 处的切
线斜率为 ，得 .
4．已知函数 ，其导函数为 ，则
的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】 ， ，
所以 为偶函数，所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ．
5．（多选题）（2020·全国高二单元测试）下列结论中正确的有（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】ABC
【详解】选项A中，若 ，则 ，故A正确；选项B中，若
，则 ，令 ，则 ，解得 ，故B正确；选项C中，若 ，则 ，故C正确；选项D中，若
，则 x，故D错误．
6．（多选题）下列函数在点 处有切线的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】 ， ，此时切线的斜率为 ，故在点 处有切线
， ，此时切线的斜率为 ，故在点 处有切线
，在 处不可导，则在 处没有切线
， ，此时切线的斜率为 ，故在点 处有切线.
二、填空题
7．已知函数 ，则 在 处的导数 ________.
【答案】
【解析】 ， ， .
8．若函数 ， 满足 ，且 ，则
_________.
【答案】3
【解析】因为函数 ， 满足 ，且 ，
所以 ，则 ，对 两边求导，可得 ，所以 ，因此 .
9．（2020·全国高二专题练）在等比数列 中， ， ，函数
，若 的导函数为 ，则
_________.
【答案】
【详解】设 ， ， ，
10．（2020·和县第二中学高二月考（理））现有一倒放圆锥形容器，该容器深 ，底面直径为
，水以 的速度流入，则当水流入时间为 时，水面上升的速度为_________.
【答案】
【详解】设注入水后水面高度为 ，水面所在圆的半径为 ，
，即： .因为水的体积为 ，即 ，
，所以当 时， .（注：瞬时速度 ）.
三、解答题
11．已知 ，函数 的导函数为 ．（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求 的值．
【解析】（1）若 ，则 ，所以 ，
则 ，即曲线 在点 处的切线斜率为 ，
又 ，
所以所求切线方程为： ；
（2）由 得
，
所以 ， ， ，
因此
12．记 、 分别为函数 、 的导函数.把同时满足
的 叫做 与 的“Q点”.
（1）求 与 的“Q点”；
（2）若 与 存在“Q点”，求实数a的值.
【解析】（1）因为 ，设 为函数 与 的一个“ ”点.
由 且 得 ，解得 .
所以函数 与 的“ ”点是2.
（2）因为 ，
设 为函数 与 的一个“ ”点.
由 且 得 ，
由②得 代入①得 ，所以 .
所以 .
