专练16 “15~17”解答题
15.(13 分)如图,在△ABC 中,AB＝5,AC＝3,点D,E 是BC 边上的两点,点D 在B,E 之间,∠BAD＝
∠CAE.
(1)求AD
AE ·CE
BD 的值;
(2)若BC＝7,AB⊥AE,求AD
DE 的值.
解 (1)因为∠BAD＝∠CAE,
所以
S△BAD
S△CAE
＝
1
2 AB·AD sin ∠BAD
1
2 AC·AE sin ∠CAE
＝BD
CE ,
即5 AD
3 AE ＝BD
CE ,所以AD·CE
AE·BD ＝3
5.
(2)因为AB＝5,AC＝3,BC＝7,
所以cos∠BAC＝A B
2＋A C
2−BC
2
2 AB·AC
＝5
2＋3
2−7
2
2×5×3 ＝－1
2,
所以∠BAC＝2π
3 .
因为AB⊥AE,
所以∠BAD＝∠CAE＝2π
3 －π
2 ＝π
6 ,
所以∠DAE＝π
3 .
因为cos B＝A B
2＋BC
2−A C
2
2 AB·BC
＝5
2＋7
2−3
2
2×5×7
＝13
14 ,
所以sin∠AED＝cos B＝13
14.
所以AD
DE ＝sin ∠AED
sin ∠DAE ＝
13
14
√3
2
＝13√3
21 .
16.(15 分)已知等比数列{an}的前n 项和为Sn,an＋1＝2Sn＋3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)在数列{an}的相邻项ak与ak＋1(k∈N*)之间插入k 个相同的数(－1)k,使其与原数列构成新数列
{bn},设Tn为数列{bn}的前n 项和,求T40.
解 (1)由an＋1＝2Sn＋3 知an＝2Sn－1＋3(n≥2),
两式相减得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)(n≥2),
即an＋1－an＝2an(n≥2),
所以an＋1＝3an(n≥2).
所以等比数列{an}的公比q＝3,
当n＝1 时,a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝3a1,
所以a1＝3,
所以an＝3n.
(2)数列{bn}为:3,－1,32,1,1,33,－1,－1,－1,34,……,
以如下划分:3,|－1,32,|1,1,33,|－1,－1,－1,34,|,……,
得{bn}的项数Xk＝1＋2＋3＋4＋…＋k＝k(k ＋1)
2
,
当k＝8 时,{bn}的项数X8＝36;
当k＝9 时,{bn}的项数X9＝45.
所以T40＝3＋32＋33＋34＋…＋38＋(－1)×1＋1×2＋(－1)×3＋…＋1×6＋(－1)×7＋1×4
＝3×(1−3
8)
1−3
＋3－7＋4＝3
2×(38－1)＝9 840.
17.(15 分)如图,四棱锥P－ABCD 的所有顶点均在同一个球的球面上,且AB＝AD＝
4,BC⊥CD,PB⊥平面PAD.
(1)证明:平面PAB⊥平面ABCD;
(2)求四棱锥P－ABCD 体积的最大值;
(3)当四棱锥P－ABCD 的体积最大时,求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.
(1)证明 由题意知四边形ABCD 存在外接圆,
故∠BAD＋∠BCD＝π,而BC⊥CD,
故AB⊥AD,
由PB⊥平面PAD,AD⊂平面PAD,可得PB⊥AD,
而AB∩PB＝B,AB,PB⊂平面PAB,故AD⊥平面PAB,
又因为AD⊂平面ABCD,
故平面PAB⊥平面ABCD.
(2)解 如图,过点P 作PH⊥AB,垂足为H,则PH⊥平面ABCD.
四棱锥P－ABCD 的体积V＝1
3·PH·S 四边形ABCD
＝1
3·PH·(S△ABD＋S△BCD),
由已知得PB⊥PA,则点P 在以AB 为直径的圆上,
当PA＝PB 时,PH 最大,最大值为AB
2 ＝2.
同理,当BC＝CD 时,S△BCD最大,此时底面ABCD 是正方形.
所以四棱锥P－ABCD 体积的最大值为
Vmax＝1
3×2×42＝32
3 .
(3)解 以A 为坐标原点,AB,AD 所在直线分别为x,y 轴,
过点A 且与平面ABCD 垂直的直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图.
由(2)可知B(4,0,0),D(0,4,0),P(2,0,2),C(4,4,0).
所以⃗PB＝(2,0,－2),⃗BD＝(－4,4,0),⃗PC＝(2,4,－2).
设平面PBD 的一个法向量为n＝(x,y,z),
则{⃗
PB·n＝2 x−2 z＝0,⃗
BD·n＝−4 x＋4 y ＝0,取n＝(1,1,1).
记直线PC 与平面PBD 所成的角为θ,
则sin θ＝|n·⃗PC |
|n||⃗PC |
＝
2＋4−2
√3×√4＋16＋4 ＝√2
3
